Реферат: Кривые третьего и четвертого порядка
Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова
Кафедра высшей математики
КУРСОВАЯРАБОТА
на тему:
«Кривыетретьего и четвертого порядка»
Выполнили: студенты
группы С-12-00
Пинаев И.Н.
Искаков Р.Р.
Проверила:
доцент кафедры высшей математики
к.ф.-м.наук Самарина С.М.
Чебоксары, 2002
Декартов лист
1. Особенности формы. Декартовым листом называетсякривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид
/> (1)
Иногда удобно пользоватьсяпараметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решаяполученную систему относительно х и у, в результате будем иметь:
/>
(2)откуда следует, что декартов листявляется рациональной кривой.
Заметим еще, что полярноеуравнение декартова листа имеет вид
/> (3)
Координаты х и у входятв уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметричнаотносительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки приводитк заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа.Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей сначалом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членовнизшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откудаполучим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Этикасательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в началекоординат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что впервом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у =х в точке
/>
Точки этой петли, в которыхкасательные параллельны координатным осям, имеют координаты
/> и /> (cм. рис. 1)
Для окончательного заключения о формекривой следует еще найти асимптоту/>Заменяя в уравнении кривой у на /> приравняем нулюв полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х.Получим />
/>и b= — а. Таким образом, декартов лист имеет асимптоту
у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-мкоординатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.
/>
Рис. 1
2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если втрех точках алгебраической кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой, провестикасательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать такжена прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказываетсяпросто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точекдекартова листа, соответствующих значениям t1, t2 и t3 параметра, на одной прямой. Еслиуравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пересеченияэтой прямой с кривой, должны удовлетворять системе
/>
Система эта приводит к уравнению
/>
корни которого и будут искомымизначениями t1, t2 и t3 параметра, откуда следует, что
/> (4)
Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2), М3 (t3) декартова листа на одной прямой.
Располагая этим условием, покажем справедливость теоремыМаклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 (t1) можнорассматривать как прямую, которая пересекает декартов лист в двух совпадающихмежду собой точках, для которых t2=t1, и в третьей точке, для которойсоответствующее значение параметра обозначим через T1.Условие (4) примет вид t12T1= -1. Для касательных в точках М2и M3 получим аналогичные соотношения t22 T2= -1 и t32T3 = -1. Перемножая эти три равенства, будемиметь
(t1t2t3)2T1T2T3 = -1. откуда на основании (4) заключаем,что и T1T2T3 = -1, т. е. точки N1(T1), N2(T2) и N3(T3) лежат на одной прямой.
Определяя площадь, ограниченнуюпетлей декартова листа, получим:
/>
3. Способ построения. Заметим предварительно, что если осьсимметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид
/> (5)
Пусть теперь имеется окружность срадиусом r и центром в точке
/>
и прямая х= -h. Возьмем произвольную точку Q этой окружности ипроведем прямую QA и прямую QN,перпендикулярную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки пересечения R прямой QAс прямой х= -h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q1 с прямой QN. Таким образом,точке Q на окружности будет поставлена всоответствие точка Q1. Геометрическое место точек Q1 представляет собой декартов лист.
/>
Рис 2.
Для доказательства заметим, чтокоординаты точки Q можно записать в виде
/>
угол, составляемый радиусом круга,проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс. Всоответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде
/>
Полагая в этом уравнении х= -h, находим ординату
/>
точки R. Отсюда следует, что уравнение прямой RQ1 запишется в виде
/> (6)
В то же время уравнение прямой Q1N имеет вид
/> (7)
Исключая из уравнений (6) и (7)параметр w, находим уравнение геометрического места точек Q1 в виде
/>
Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденноегеометрическое место точек является декартовым листом.
Преобразование точек окружности вточки декартова листа, осуществляемое при таком его построении, называется преобразованиемМаклорена.
4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая,названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Фермав 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссеи ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе,ординате и некоторой константе. Форма кривой устанавливается впервыеРобервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлениикривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, онполучает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическоеназвание кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой сналичием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли.Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.
Циссоида Диоклеса
1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды—кривой,открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба, мыостановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей)с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВи на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким образом точка Мпринадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделавуказанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).
Если точку О принять за полюс, то /> но /> откудаполучаем полярное уравнение циссоиды
/> (1)
Пользуясь формулами перехода от полярныхкоординат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в прямоугольной системе:
/> (2)
Параметрические уравнения циссоидыможно получить, полагая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем ксистеме
/>
/>
Рис. 3
Уравнение (2) показывает, чтоциссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравнений (3)следует, что она является рациональной кривой.
Циссоида симметрична относительнооси абсцисс, имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности,т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координатявляется точкой возврата 1-го рода.
2. Свойства. Кинематически циссоида может бытьполучена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС,передвигающегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит пооси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Ена оси абсцисс. (Рис. 4)
Действительно, обозначив серединуотрезка ОЕ через D, замечаем,что поскольку ВС=ЕО, êВСЕ=êВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, êNBE— равнобедренный, а так как ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE. Пусть, далее, точка К есть точка пересечения спродолжением отрезка DMпрямой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишемокружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точкепересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К.Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F, заметим, что треугольники DOF и МВК равны между собой. Изравенства их следует, что DF=MK, а значит, и DM=FK. Последнее равенство и показывает, что геометрическоеместо точек М будет циссоидой.
Другие способы образования циссоидыоснованы на ее соотношениях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоидаявляется подэрой параболы относительно ее вершины.
/> – уравнение данной параболы.Уравнение касательной в произвольной точке М (x, h)этой параболы можно записать в виде /> уравнение перпендикуляра, опущенногоиз
/>
Рис. 4.
начала координат на эту касательную,будет /> координатыточки N пересечения его с касательной определятся по формулам
/> (4)
Исключая из этих равенств параметр h, мы получим уравнение />
/> выражающее циссоиду.
Заметим далее, что координаты точки,симметричной началу координат относительно касательной к параболе у2= 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно,определятся формулами
/>
Исключая из этих равенств параметр h, мы снова получимциссоиду с уравнением /> Отсюда следует, что циссоидаявляется геометрическим местом точек, симметричных вершине параболыотносительно ее касательных.
Следует заметить, что геометрическое место точек,симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рассматриватькак траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится поданной параболе. Таким образом, возникает новый способ кинематического образованияциссоиды как траектории вершины параболы, которая без скольжения катится подругой такой же параболе.
Остановимся на метрических свойствахциссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениямициссоиды в виде />
Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняетсяутроенной площади производящего круга; действительно,
/>
Это соотношение получено былоГюйгенсом и независимо от него Ферма.
/>
Рис. 5.
Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5),найдем, интегрируя в границах /> до /> что она равна /> Если теперь провестикасательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейноготреугольника CMANC будет равна />
/> Выражение, стоящее в правойчасти, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак,пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.
Объем тела, образованного вращениемчасти плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординатопределится по формуле
/>
Если учесть, что объем тора,получаемого от вращения производящего круга вокруг оси ординат, равняется/>то изполученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением частиплоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пятьраз больше объема тора, полученного от вращения производящего круга вокруг тойже оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.
Пусть теперь хс — абсциссацентра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогдапо теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2pхс, где V и U—соответственно объем и площадь,которые были определены выше. Подставляя их значения
в соотношение Гюльдена, получим />
Таким образом, центр тяжести частиплоскости, ограничиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок междувершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.
Это соотношение позволяет в своюочередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ееасимптоты. По теореме Гюльдена будем иметь
/>
/>
Этот результат можно истолковать также как объем тора,полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом,объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты, равен объемутора, полученного от вращения производящего круга. Это соотношение установленовпервые Слюзом.
Длина дуги циссоиды от ее вершины доточки с абсциссой х определится по формуле
/>
/>
3. Применение циссоиды к решению делосскойзадачи. Как уже говорилось, циссоида была открыта древними в поискахрешения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласнолегенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали отмора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно былоумиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачисводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза большеобъема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, тосправедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внушением математиков,нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении кубаявлялась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи опостроении квадрата с площадью, в два раза большей площади данного квадрата,и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели всознании оракула.
Открытие циссоиды для целей решенияделосской задачи приписывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Возможностьнайти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данногокуба, усматривается из следующих соображений. Пусть b – ребро данного куба, а В – ребро искомого; тогда /> и,следовательно, /> Отсюда ясно, что графическоерешение задачи должно свестись к построению />
Перепишем для этой цели уравнениециссоиды в виде /> Заметим далее, что прямая /> отсекает откасательной отрезок (рис. 6)
/> (5)
и пересекает циссоиду в точке М,координаты которой удовлетворяют уравнению />
Это уравнение можно рассматривать какуравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординатотрезок
/> (6)
Если теперь принять /> и на оси ординатотложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точкупересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученныйотрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из формул (5) и (6),отрезок AD и будет равен />
Древние рассматривали только ту частьциссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугойокружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую листплюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей уциссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и независимо от него Слюзом.Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписываетсяНьютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическимпутем, но и графическим.
/>
Рис. 6
Кардиоида
1. Уравнение. Кардиоиду можно определить кактраекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с такимже радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду смодулем m, равным 1.
Это обстоятельство позволяет сразу жезаписать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенныхпараметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:
/> (1)
Чтобы получить полярное уравнениекардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить пооси абсцисс. Так как четырехугольник AOO1M будет равнобедреннойтрапецией, то полярный угол j точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е.параметру t. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнениисистемы (1) у через rsin t. Сокращая полученное таким образом равенство на sin t, получим полярноеуравнение кардиоиды
/>
Рис. 7
По виду этого уравнения
/>
можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Паскаля.Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.
Переводя уравнение (2) впрямоугольную систему координат, получим:
/> (3)
Из этого уравнения следует, чтокардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.
2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоидаявляется эпициклоидой с m=1,на нее можно перенести все свойства рассмотренных нами в предыдущем параграфеэпициклоид.
Вот эти свойства и характеристики.
1. Касательная в произвольной точкекардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметральнопротивоположную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.
2. Угол m, составляемый касательной ккардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемогоэтим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно/>
/>
Из этого соотношения непосредственновытекает, что угол, составляемый касательной к кардиоиде с осью абсцисс, равняется /> (каквнешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой /> можно доказать, чтокасательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс,взаимно перпендикулярны.
Действительно, так как />
/>
Рис. 8
Заметим еще, что геометрическоеместо точек пересечения этих касательных есть окружность /> Действительно,уравнение первой касательной на основании уравнений (1) кардиоиды, будет иметьвид />
/> а второй касательной /> Исключая изэтих уравнений параметр, получим уравнение указанной окружности.
3. Радиус кривизны в произвольнойточке кардиоиды определится по формуле
/> (4)
Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 полярнойнормали N в заданной точке.
Действительно, /> откуда на основании (4) получаем /> Соотношение этоможет быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.
4. Эволюта кардиоиды, согласно общемусвойству эволют эпициклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, скоэффициентом подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол180°.
5. Длина дуги кардиоиды от точки А допроизвольной точки М определится по формуле
/> (5)
Если длину дуги отсчитывать от точкиА1, диаметрально противоположной точке А, то формула для определениядлины дуги может быть записана в виде
/> (6)
6. Натуральное уравнение кардиоидыполучится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид
/> (7)
7. Площадь, ограниченная кардиоидой,определится по формуле
/>
и, как видно, равна ушестереннойплощади производящего круга.
Длина всей кардиоиды определится по формуле
/>
и, как видно, равна восьми диаметрампроизводящего круга. Объем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ееоси, равен />
Поверхность тела, полученного отвращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется />
Мы видели, что кардиоида органическисвязана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет сокружностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительноточки, принадлежащей этой окружности.
/>
Рис.9
Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный накасательную к окружности с радиусом, равным 2r,проведенную в точке N.
Так как ОМ = OB + ВМ, или r== 2r cos j + 2r,то геометрическим местом точек М будет кардиоида с уравнением r = 2r (1 + cos j).
Заметим в заключение, что кардиоидаотносится также к семейству синусоидальных спиралей, и отдельные свойства ееповторяют общие свойства этих кривых. Из этих свойств следует, в частности, чтоинверсия кардиоиды, относительно точки возврата дает параболу.
Астроида
1. Свойства. Астроида, как и рассмотренная вышекривая Штейнера, является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидойс модулем m, равным 1/4. Она представляет собой,следовательно, траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по внутреннейстороне другого, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.
Параметрические уравнения астроидыможно получить, полагая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:
/>
/>
Рис. 10
где t, как и ранее, угол поворота производящего круга(рис. 10)
Исключая из уравнений (1) параметр t,получим:
/> (2)
Из уравнения (2) следует, чтоастроида является алгебраической кривой 6-го порядка.
Параметрические уравнения (1)астроиды можно привести к виду
/> (3)
Исключая из этих уравнений параметрt, получим часто употребляемый вид уравнения астроиды
/> (4)
Полагая в ранее выведенных общихсоотношениях для циклоидальных кривых модуль
m = -1/4, получим соответствующие соотношениядля астроиды:
1) радиус кривизны в произвольнойточке астроиды определяется по формуле
/> (5)
2) длина дуги астроиды от точки А допроизвольной точки M(t) определится по формуле
/> (6)
длина одной ветви равна /> а длина всейкривой 6R;
3) для получения натуральногоуравнения астроиды заметим предварительно, что если началом отсчета длины дугиполагать не точку А, для которой t = 0, а точку, для которой t = p, то длина дуги определится формулой
/> (6)
исключая параметр t из уравнений (5)и (6), получим натуральное уравнение астроиды
/>
4) эволюта астроиды есть также астроида,подобная данной, с коэффициентом подобия, равным 2, повернутая относительноданной на угол p/4(рис.11)
5) площадь, ограниченная всейастроидой, равна /> объем тела, полученного отвращения астроиды, равняется 32/105p R3
поверхность тела, образованноговращением астроиды, равна />
Обратимся теперь к рассмотрениюнекоторых частных свойств астроиды.
Астроида является огибающей отрезкапостоянной длины, концы. которого скользят по двум взаимно перпендикулярнымпрямым.
Принимаем эти прямые за оси координати, обозначая угол наклона скользящего отрезка ND=R через a (рис.12), будем иметь уравнениепрямой ND в виде
/> (7)
Дифференцируя это уравнение по параметру a, получим:
/>
Исключая из последнего уравнения иуравнения (7) параметр a,будем иметь уравнение огибающей в виде /> т. е. астроиду.
Практически перемещение отрезка NDможно осуществить с помощью так называемых кардановых кругов. Один из этихкругов с радиусом R неподвижен, а другой, с радиусом r, в два раза меньшим, катится по внутренней стороне неподвижногокруга. Любые две диаметрально противоположные точки N и D катящегося кругабудут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оунеподвижного круга. Ясно, что огибающей диаметра катящегося круга и будетастроида.
/>
Рис. 11
/>
Рис. 12
Рассмотренный способ образованияастроиды можно истолковать также следующим образом. Прямоугольник ODCN, двестороны которого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформируетсятак, что диагональ его сохраняет длину, равную R, огибающая диагонали и будетастроидой. Так как при этом перпендикуляр, опущенный из вершины С на диагональDN, служит нормалью к огибающей, то астроида представляет собой геометрическоеместо оснований перпендикуляров, опущенных из вершины С прямоугольника на егодиагональ.
2. Свойства касательных к астроиде. Уравнение (7) выражает прямую ND,т. е. касательную к астроиде в некоторой точке М, причем параметр a представляет собой угол, составляемыйэтой касательной с осью абсцисс. Уравнение другой касательной, перпендикулярнойк первой, будет иметь вид
/> (8)
Исключая из уравнений (7) и (8)параметр а, получим уравнение /> или, в полярной системе, /> котороевыражает четырехлепестковую розу. Итак, геометрическое место вершин прямогоугла, стороны которого касаются астроиды, есть четырех лепестковая роза.
Другое свойство касательных кастроиде таково: каждая касательная пересекает астроиду в двух точках, касательныев которых пересекаются в точке, лежащей на окружности описанного около астроидыкруга.
Определим подэру астроиды относительноточки Р, лежащей на биссектрисе 1-го координатного угла на расстоянии ОР=с отначала координат. Выше было показано, что астроиду можно рассматривать как огибающуюотрезка ND = R, скользящего своими концами по координатным осям. Отсюда
/>
Рис. 13
следует, что искомую подэру можноопределить как геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных източки Р на прямую ND (рис. 13). Проведем ОЕ _|_ ND, и OQ, где Q — серединаотрезка ND. Точку Р посчитаем полюсом, а прямую РК полярной осью. Полярный уголКРМ точки М подэры обозначим через j, а радиус-вектор РМ — через r. Тогда, как легко видеть, угол />
Так как />
Но, с другой стороны, /> На основании последнихдвух равенств, полярное уравнение подэры запишется в виде /> а в прямоугольной системес началом в точке Р в виде
/>
Полученная таким образом кривая 6-гопорядка имеет в начале координат четырехкратную точку и называется «жуком». Вчастном случае, пои с=0, жук становится розой,
3. Косая астроида. Обобщениемрассмотренной астроиды является так называемая косая астроида, котораяпредставляет собой огибающую отрезка ND постоянной длины R, скользящего своимиконцами по двум прямым, пересекающимся под произвольным углом f.
/>
Рис. 14
Полагая эти пересекающиеся прямыекоординатными осями, обозначим угол, составляемый прямой ND с осью абсцисс,через t. Тогда из треугольника OND (рис. 14) будем иметь:
/>
откуда
/>
и следовательно, уравнение прямой NDв отрезках на осях запишется в виде
/>
Дифференцируя это уравнение по t иисключая из полученного после дифференцирования равенства и уравнения прямойпараметр t, получим параметрические уравнения косой астроиды в виде
/>
при /> эти уравнения выражаютрассмотренную ранее прямую астроиду.