Реферат: Курсовая работа по численным методам
1. Методом Крылова развернуть характеристический определительматрицы А=/>. Исходную систему линейныхуравнений решить методом Жордана-Гаусса.
Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицыобращать в нуль свой характеристический многочлен.
Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица являетсякорнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его внуль.
Пусть
/> – (1)
характеристический многочлен.
Заменяя в выражении (1) величину /> на/>, получим
/>. (2)
Возьмем произвольный ненулевой вектор
/>. (3)
Умножим обе части выражения (2) на />:
/> (4)
Положим
/>, (5)
т.е.
/> (6)
Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде
/>, (7)
или в виде
/>
Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, тоее корни /> являются коэффициентамихарактеристического многочлена (1).
Если известны коэффициенты /> икорни /> характеристическогомногочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие собственныевекторы по следующей формуле:
/> (8)
Здесь /> – векторы,использованные при нахождении коэффициентов /> методомКрылова, а коэффициенты /> определяютсяпо схеме Горнера
/> (9)
Используя все выше сказанное, развернем характеристическийопределитель матрицы А=/> методомКрылова.
Выберем в качестве начального следующий вектор:
/>, />
Вычислим
/>/>/>
Составим матричное уравнение
/>, или />
Полученную систему уравнений решим методом Жордана-Гаусса.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1 9 2 -72 -61 -61 -1 1 -3 -3 -3 30 5 1 -167 -131 -131 2 1 2/9 -8 -61/9 -61/9 11/9 -11 -88/9 -88/9 -15/9 1 657/9 651/9 651/9 3 1 -6 -5 -5 1 -9 -8 -8 1 58 59 59 4 1 1 1Исходя из результатов таблицы, имеем />.
Таким образом характеристическое уравнение матрицы /> имеет вид
/>
2. Для определения собственных чисел матрицы /> необходимо решитьполученное характеристическое уравнение третьей степени
/>
Данное кубическое уравнение невозможно решить стандартнымисредствами. Воспользуемся для этой цели числовыми методами, а точнее методамиприближенного вычисления.
2.1 Исследование функции.
Вычислим первую и вторую производные данной функции
/>
/>
Необходимо выбрать интервал, на котором будем находить решение.
Для отделения корней существует несколько способов. Наиболеепопулярные из них – графический и аналитический.
В литературе рассматриваются эти способы по отдельности. По заданиюкурсовой работы требуется отделить корни каждым из этих способов. Рискнунарушить это требование, и объединить эти два способа в один. То естьисследовать функцию аналитически и по результатам исследования построитьприблизительный график функции.
Областью значений исходного уравнения является вся ось />.
Приравняв первую производную к нулю, мы можем получить критическиеточки данной функции (точки минимумов и максимумов, или же точки, в которыхфункция не определена).
/>
/>
/>
Стоит отметить, что для вычисления квадратного корня, такжеприменимы числовые методы, на которых и основаны микрокалькуляторы и программыдля ЭВМ. Данные методы основаны на логарифмировании корня и последующеговычисления.
/>
/> вычисляется при помощичислового ряда
/>
Уравнение /> имеет решение />, />. Изменив знак равенства назнак неравенства (< или >), можем найти промежутки возрастания и убыванияфункции.
Функция возрастает на промежутке /> иубывает на промежутке />. Подставив висходное уравнение значения критических точек, имеем в результате для /> и для />.
Приравняв вторую производную к нулю, мы можем найти точку перегибаи, соответственно, найти интервал, на котором функция выпуклая и вогнутая.
/>
/>
/>
Далее необходимо найти, интервалы, в которых график функциипересекает ось />.
Сразу можно определиться, что так при /> значениефункции больше нуля, а при /> -меньше нуля, то одна из точек пересечения, будет лежать на данном интервале.Произведя не хитрые математические вычисления значения функции для />, сузим интервал до />.
Далее рассмотрим оставшиеся два интервала.
Известно, что при /> -значение функции отрицательно, а в первой критической точке положительно, тобудем сужать этот промежуток. В данном случае применим метод половинногоделения.
/>
/>
58 -100 -1059042 -50 -139492 -25 -19092 -12 -2426 -6 -320 -3 4 -5 -172 -4 -66/>
/>
4 -10 100 939158 50 109608 25 11708 12 814 6 4 5 -12Таким образом получили еще один интервал />.
Следующий будет от /> и добесконечности.
Произведем аналогичные вычисления и получим промежуток />
На основании произведенного анализа построим график исходнойфункции.
/>
2.2 Метод хорд.
Сразу необходимо заметить, что существуют два случая (варианта) прирешении методом хорд.
Случай первый. Первая и вторая производные функции имеют одинаковыезнаки, т.е. />.
В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле
/>
Случай второй. Первая и вторая производные функции имеют разныезнаки, т.е. />.
В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле
/>
Для оценки точности приближение можно воспользоваться формулой
/>,
где /> при />, /> – точное значение корня.
Итак решим наше уравнение /> методомхорд с точностью />.
2.2.1 Интервал />.
/>
/>
/>
/>
/>
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаемработать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
/>
/>
/>
/>
/>
-4,0000000 -3,0000000 -66,0000000 4,0000000 0,0740741 -4,0000000 -3,1142857 -66,0000000 -2,3688397 0,0438674 -4,0000000 -3,0440850 -66,0000000 1,5901736 0,0294477 -4,0000000 -3,0901012 -66,0000000 -0,9879693 0,0182957 -4,0000000 -3,0610770 -66,0000000 0,6456578 0,0119566 -4,0000000 -3,0798611 -66,0000000 -0,4086778 0,0075681 -4,0000000 -3,0678974 -66,0000000 0,2640772 0,0048903 -4,0000000 -3,0755972 -66,0000000 -0,1684077 0,0031187 -4,0000000 -3,0706743 -66,0000000 0,1083107 0,0020058 -4,0000000 -3,0738353 -66,0000000 -0,0692833 0,0012830 -4,0000000 -3,0718112 -66,0000000 0,0444729 0,0008236 -4,0000000 -3,0731096 -66,0000000 -0,0284836 0,0005275 -4,0000000 -3,0722776 -66,0000000 0,0182690 0,0003383 -4,0000000 -3,0728111 -66,0000000 -0,0117068 0,0002168 -4,0000000 -3,0724692 -66,0000000 0,0075061 0,0001390 -4,0000000 -3,0726884 -66,0000000 -0,0048109 0,0000891 -4,0000000 -3,0725479 -66,0000000 0,0030843 0,0000571 -4,0000000 -3,0726380 -66,0000000 -0,0019770 0,0000366/>
2.2.2 Интервал />.
/>
/>
/>
/>
/>
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаемработать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
/>
/>
/>
/>
/>
3,0000000 4,0000000 4,0000000 -10,0000000 -0,2222222 3,0000000 3,2857143 4,0000000 -0,8746356 -0,0485909 3,0000000 3,2344498 4,0000000 -0,0423087 -0,0023505 3,0000000 3,2319959 4,0000000 -0,0019734 -0,0001096 3,0000000 3,2318815 4,0000000 -0,0000919 -0,0000051/>
2.2.3 Интервал />.
/>
/>
/>
/>
/>
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаемработать имеют одинаковые знаки, то работаем по первому варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
/>
/>
/>
/>
/>
5,0000000 6,0000000 -12,0000000 4,0000000 0,6666667 5,7500000 6,0000000 -2,0156250 4,0000000 0,3359375 5,8337662 6,0000000 -0,1613014 4,0000000 0,0268836 5,8402098 6,0000000 -0,0120198 4,0000000 0,0020033 5,8406885 6,0000000 -0,0008909 4,0000000 0,0001485 5,8407240 6,0000000 -0,0000660 4,0000000 0,0000110/>
Итак, корнями уравнения /> будут />, />, />.
2.3 Метод касательных (метод Ньютона).
В век повальной компьютеризации не есть хорошо считать при помощилогарифмической линейки. Поэтому, разработаем алгоритм и прикладную программудля решения кубических уравнений методом Ньютона.
Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующейданный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает даннаяпрограмма при решении исходного уравнения.
/>
//метод Ньютона длЯрешениЯ кубических уравнений
#include<math.h>
#include<iostream.h>
double a[4]={0},
b[3]={0},
c[2]={0},
prec=0.00000;
double minim=0, maxim=0;
void Hello(void);
void Input();
void Derivative();
void Calculation();
double Calc_Fun(double);
double Calc_First(double);
double Calc_Second(double);
main(void)
{
Hello();
Input();
Derivative();
Calculation();
return 0;
}
void Hello(void)
{
cout<<«Программа длЯ решениЯкубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).\n\n»;
}
void Input()
{
cout<<«Кубическое уравнениеимеет вид»<<endl
<<«a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0»<<endl<<endl;
for (inti=0;i<4;i++)
{
cout<<«Введитезначение коэффициента a[»<<i+1<<"]:";
cin>>a[i];
}
cout<<endl<<«Необходимоуказать интервал поиска решениЯ.»<<endl
<<«Введите нижнююграницу поиска: »;
cin>>minim;
cout<<«Введите верхнююграницу поиска: »;
cin>>maxim;
while(minim==maxim||minim>maxim)
{
cout<<"\nНижнЯЯграница должна быть меньше верхней и не может быть ей равна."<<endl
<<«Повторите вводнижней границы: »;
cin>>minim;
cout<<«Повторите вводверхней границы: »;
cin>>maxim;
}
cout<<«Введите допустимуюпогрешность: »;
cin>>prec;
}
void Derivative()
{
b[0]=a[0]*3;
b[1]=a[1]*2;
b[2]=a[2];
c[0]=b[0]*2;
c[1]=b[1];
cout<<"\n\n\n"
<<«Исходноеуравнение имеет вид: \n\n»
<<a[0]<<«x^3+(»<<a[1]<<")x^2+("<<a[2]<<")x+("<<a[3]<<")=0\n\n"
<<«ПерваЯ производнаЯ имеет вид: \n\n»
<<«f'(x)=»<<b[0]<<«x^2+(»<<b[1]<<")x+("<<b[2]<<")\n\n"
<<«ВтораЯпроизводнаЯ имеет вид: \n\n»
<<«f''(x)=»<<c[0]<<«x+(»<<c[1]<<")\n\n";
}
void Calculation()
{
double x=0,m=0;
cout<<"-------------------------------------------------"<<endl
<<"| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |"<<endl
<<"-------------------------------------------------"<<endl;
if (abs(Calc_Fun(minim))*abs(Calc_Second(minim))>0) x=minim;
else x=maxim;
if(Calc_First(minim)>Calc_First(maxim)) m=abs(Calc_First(maxim));
else m=abs(Calc_First(minim));
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<x;
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<Calc_Fun(x);
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<(fabs(Calc_Fun(x))/m);
cout<<"|\n";
while((fabs(Calc_Fun(x))/m)>prec)
{
x=(x-(Calc_Fun(x)/Calc_First(x)));
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<x;
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<Calc_Fun(x);
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<fabs(Calc_Fun(x))/m;
cout<<"|\n";
}
cout<<"-------------------------------------------------";
}
double Calc_Fun(double x)
{
return(a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);
}
double Calc_First(double x)
{
return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);
}
double Calc_Second(double x)
{
return (c[0]*x+c[1]);
}
/>
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных(метод Ньютона).
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1]: 1
Введите значение коэффициента a[2]: -6
Введите значение коэффициента a[3]: -9
Введите значение коэффициента a[4]: 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска: -4
Введите верхнюю границу поиска: -3
Введите допустимую погрешность: 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :
1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
ПерваЯ производнаЯ имеет вид :
f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
ВтораЯ производнаЯ имеет вид :
f''(x)=6x+(-12)
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |
-------------------------------------------------
| -4| -66| 1.222222222|
| -3.24137931| -9.922506048| 0.183750112|
| -3.079817529| -0.40621762| 0.007522548518|
| -3.07261683|-0.000789793230|1.462580056e-05|
-------------------------------------------------
/>
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных(метод Ньютона).
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1]: 1
Введите значение коэффициента a[2]: -6
Введите значение коэффициента a[3]: -9
Введите значение коэффициента a[4]: 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска: 3
Введите верхнюю границу поиска: 4
Введите допустимую погрешность: 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :
1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
ПерваЯ производнаЯ имеет вид :
f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
ВтораЯ производнаЯ имеет вид :
f''(x)=6x+(-12)
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |
-------------------------------------------------
| 3| 4| 0.4444444444|
| 3.222222222| 0.159122085| 0.01768023167|
| 3.231855174| 0.000341137633|3.790418145e-05|
-------------------------------------------------
/>
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных(метод Ньютона).
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1]: 1
Введите значение коэффициента a[2]: -6
Введите значение коэффициента a[3]: -9
Введите значение коэффициента a[4]: 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска: 5
Введите верхнюю границу поиска: 6
Введите допустимую погрешность: 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :
1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
ПерваЯ производнаЯ имеет вид :
f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
ВтораЯ производнаЯ имеет вид :
f''(x)=6x+(-12)
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |
-------------------------------------------------
| 6| 4| 0.6666666667|
| 5.851851852| 0.2601229487| 0.04335382479|
| 5.840787634| 0.001413241032| 0.000235540172|
| 5.840726862|4.255405933e-08|7.092343222e-09|
-------------------------------------------------
2.4 Метод итераций. Каки для предыдущего метода, привожу блок-схему алгоритма решения и листингпрограммы, реализующей этот алгоритм на языке программирования С++.
/>
//метод итераций длЯ решениЯ кубических уравнений
#include<math.h>
#include<iostream.h>
double a[4]={0},
b[3]={0},
prec=0.00000;
double minim=0, maxim=0;
void Hello(void);
void Input();
void Derivative();
void Calculation();
double Calc_Fun(double);
double Calc_First(double);
main(void)
{
Hello();
Input();
Derivative();
Calculation();
return 0;
}
void Hello(void)
{
cout<<«Программа длЯ решениЯкубических уравнений методом итераций.\n\n»;
}
void Input()
{
cout<<«Кубическое уравнениеимеет вид»<<endl
<<«a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0»<<endl<<endl;
for (inti=0;i<4;i++)
{
cout<<«Введите значение коэффициентаa[»<<i+1<<"]: ";
cin>>a[i];
}
cout<<endl<<«Необходимоуказать интервал поиска решениЯ.»<<endl
<<«Введите нижнюю границупоиска: »;
cin>>minim;
cout<<«Введите верхнююграницу поиска: »;
cin>>maxim;
while(minim==maxim||minim>maxim)
{
cout<<"\nНижнЯЯ границадолжна быть меньше верхней и не может быть ей
равна." <<endl
<<«Повторите вводнижней границы: »;
cin>>minim;
cout<<«Повторите вводверхней границы: »;
cin>>maxim;
}
cout<<«Введите допустимуюпогрешность: »;
cin>>prec;
}
void Derivative()
{
b[0]=a[0]*3;
b[1]=a[1]*2;
b[2]=a[2];
}
void Calculation()
{
double x=0,x_old=0, m=0;
cout<<"-------------------------------------------------"<<endl
<<"| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |"<<endl
<<"-------------------------------------------------"<<endl;
if(fabs(Calc_First(minim))>fabs(Calc_First(maxim))) m=x=x_old=minim;
else m=x=x_old=maxim;
m=fabs(1/Calc_First(m));
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<x;
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<Calc_Fun(x);
cout<<"| |\n";
if(Calc_First(x)>0)
{
do
{
x_old=x;
x=x_old-m*Calc_Fun(x_old);
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<x;
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<Calc_Fun(x);
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<fabs( Calc_Fun(x) — Calc_Fun(x_old) );
cout<<"|\n";
}
while(( fabs( Calc_Fun(x) — Calc_Fun(x_old) ) )>prec);
}
else
{
do
{
x_old=x;
x=x_old+m*Calc_Fun(x_old);
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<x;
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<Calc_Fun(x);
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<fabs( Calc_Fun(x) — Calc_Fun(x_old) );
cout<<"|\n";
}
while(( fabs( Calc_Fun(x) — Calc_Fun(x_old) ) )>prec);
}
cout<<"-------------------------------------------------";
}
double Calc_Fun(double x)
{
return(a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);
}
double Calc_First(double x)
{
return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);
}
/>
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1]: 1
Введите значение коэффициента a[2]: -6
Введите значение коэффициента a[3]: -9
Введите значение коэффициента a[4]: 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска: -4
Введите верхнюю границу поиска: -3
Введите допустимую погрешность: 0.00005
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |
-------------------------------------------------
| -4| -66| |
| -3.24137931| -9.922506048| 56.07749395|
| -3.127327517| -3.12093462| 6.801571427|
| -3.091454705| -1.064778438| 2.056156183|
| -3.079215872| -0.372281515| 0.6924969227|
| -3.074936774| -0.131239433| 0.241042082|
| -3.073428275| -0.04639844126| 0.08484099175|
| -3.07289496| -0.01642029825| 0.02997814301|
| -3.072706221|-0.005813178631| 0.01060711962|
| -3.072639403|-0.002058264249| 0.003754914382|
| -3.072615744|-0.000728799396| 0.001329464852|
| -3.072607367|-0.000258060628|0.0004707387678|
| -3.072604401|-9.137721784e-0|0.0001666834108|
| -3.072603351|-3.235601088e-0|5.902120696e-05|
| -3.072602979|-1.145703711e-0|2.089897377e-05|
-------------------------------------------------
/>Программа длЯ решениЯкубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1]: 1
Введите значение коэффициента a[2]: -6
Введите значение коэффициента a[3]: -9
Введите значение коэффициента a[4]: 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска: 3
Введите верхнюю границу поиска: 4
Введите допустимую погрешность: 0.00005
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |
-------------------------------------------------
| 3| 4| |
| 3.222222222| 0.159122085| 3.840877915|
| 3.231062338| 0.01338370012| 0.1457383849|
| 3.231805877| 0.001151957391| 0.01223174272|
| 3.231869875|9.934183961e-05| 0.001052615552|
| 3.231875394|8.568402322e-06|9.077343728e-05|
| 3.23187587|7.390497921e-07| 7.82935253e-06|
-------------------------------------------------
/>
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1]: 1
Введите значение коэффициента a[2]: -6
Введите значение коэффициента a[3]: -9
Введите значение коэффициента a[4]: 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска: 5
Введите верхнюю границу поиска: 6
Введите допустимую погрешность: 0.00005
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |
-------------------------------------------------
| 6| 4| |
| 5.851851852| 0.2601229487| 3.739877051|
| 5.842217669| 0.0346921878| 0.2254307609|
| 5.840932773| 0.004788677115| 0.02990351069|
| 5.840755414|0.0006639855431| 0.004124691572|
| 5.840730822|9.212373716e-05|0.0005718618059|
| 5.84072741|1.278267885e-05|7.934105832e-05|
| 5.840726937|1.773688694e-06|1.100899016e-05|
-------------------------------------------------
/>
Решив уравнение />,получили корень />
Метод Корень № 1 Корень № 2 Корень № 3 Хорд -3,072638 3,231881 5,840724 Касательных (Ньютона) -3,072616 3,231855 5,840726 Итераций -3,072602 3,231875 5,840726Для дальнейших расчетов будем использовать среднее арифметическоезначение полученных корней.
/>
/>
/>
3. Используя полученные значения, определим собственные значения исходнойматрицы.
Собственные вектора матрицы А=/> определимпо формуле
/>
Для нашей матрицы, данная формула примет следующий вид
/>
Коэффициенты /> определяютсяпо схеме Горнера:
/>
Для /> имеем:
/>
/>
/>
Для /> имеем:
/>
/>
/>
Для /> имеем:
/>
/>
/>
Далее можем найти собственные векторы:
/>
/>
/>
4. Для контроля полученных значений, развернем исходную матрицу А=/>, и определим ее собственныевекторы методом непосредственного развертывания.
Характеристический многочлен для данной матрицы имеет вид:
/>.
Находим />.
Число диагональных миноров второго порядка у матрицы второгопорядка />.
Выписываем эти миноры и складываем их:
/>.
И, в заключение, находим
/>
Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид
/>
Данное уравнение идентично уравнению, полученному при помощи методаКрылова. Нет смысла заново его решать. Воспользуемся уже вычисленными корнями(их средним значением).
Определим собственный вектор />,соответствующий />.
/>, или
/>
Из третьего уравнения системы выведем /> иподставим его в первое уравнение системы
/>
/>
Примем />, тогда /> и />.
Итак, искомый вектор матрицы />,найденный с точностью до постоянного множителя />,для собственного значения матрицы /> будет:
/>
При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственноговектора />.
Мы можем проверить наши вычисления, взяв />:
/>
Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.
Определим собственный вектор />,соответствующий />.
/>, или
/>
Из третьего уравнения системы выведем /> иподставим его в первое уравнение системы
/>
/>
Примем />, тогда /> и />.
Итак, искомый вектор матрицы />,найденный с точностью до постоянного множителя />,для собственного значения матрицы /> будет:
/>
При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственноговектора />.
Мы можем проверить наши вычисления, взяв />:
/>
Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.
Определим собственный вектор />,соответствующий />.
/>, или
/>
Из третьего уравнения системы выведем /> иподставим его в первое уравнение системы
/>
/>
Примем />, тогда /> и />.
Итак, искомый вектор матрицы />,найденный с точностью до постоянного множителя />,для собственного значения матрицы /> будет:
/>
При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственноговектора />.
Мы можем проверить наши вычисления, взяв />:
/>
Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.