Реферат: Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПОВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5.

ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ.

ЦЕЛЬ. Научиться определятьуравнение переходного процесса по изображениюрегулируемого параметра по Лапласу.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Построение переходногопроцесса является завершающим этапом исследования автоматической системы. Пополученному графику переходного процесса при единичном воздействии можнонаглядно определить основные показатели качества регулирования — времярегулирования, перерегулирование, установившуюся ошибку.

Пусть нам известны:

Wy(p) — передаточная функция системыпо управлению;

Wf(p) — передаточная функция системыпо возмущению;

U(p) — управляющий сигнал;

f(p) — возмущающий сигнал.

Тогда изображение по Лапласурегулируемого параметра будет:

x(p)=Wy(p)*U(p)+Wf(p)*f(p).

Вначале рассмотрим случай,когда на систему действует управляющий сигнал U(p), а возмущающее воздействиеf(p)=0:

x(p)=Wy(p)*U(p)=<img src="/cache/referats/2515/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

Таким образом для полученияизображения по Лапласу регулируемой координаты необходимо передаточную функцию(ПФ) умножить на изображение по Лапласу входного воздействия.

Согласно таблице 1 задания 4для входного воздействия в виде одиночного импульса U(t)=1’(t)изображение U(p)=1,для входного воздействия в виде единичного скачка U(t)=1(t)изображение U(p)=EQ f(1;p) .

Рассмотрим несколькопримеров получения уравнения переходного процесса по известной передаточнойфункции.

ПРИМЕР 1. Входноевоздействие — единичный импульс U(t)=1’(t).

Передаточная функция:

W(p)=<img src="/cache/referats/2515/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

Определить уравнение весовойфункции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение поЛапласу регулируемого параметра x(p), учитывая, что U(p)=1.

x(p)=W(p)*U(p)=<img src="/cache/referats/2515/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/2515/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

2. Определяем корнихарактеристического уравнения.

p=<img src="/cache/referats/2515/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

3. Преобразуем выражение x(p)согласно формуле №8 табл.1 (задания 4).

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

4. Определяем уравнение весовойфункции по формуле №8.

x(t)=4*e-2t*sin(6t).

ПРИМЕР 2. Дана следующая ПФ:

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

Определить уравнение весовойфункции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение поЛапласу регулируемого параметра.

x(p)= <img src="/cache/referats/2515/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

2. Корни характеристическогоуравнения.

p1,2=-2±

j3.

3. Преобразуем выражение x(p)согласно формулам №8 и №9.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

4. Определяем уравнение весовойфункции по формулам №8 и №9.

x(p)=3*e-2t*sin(3t)+e-2t*cos(3t).

ПРИМЕР 3. Определитьуравнение переходной функции по сле-

дующей ПФ:

W(p)=<img src="/cache/referats/2515/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемогопараметра, учитывая, что U(p)=EQ f(1;p) .

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1035">EQ f(1;p) .

2. Корни характеристическогоуравнения.

p1=0, p2=-0.2.

3.Преобразуемизображение x(p) согласно формуле №20.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

4. Определяем уравнение весовойфункции по формуле №20.

x(p)=30*(1-e-0.2t).

Таким образом для построениялюбого переходного процесса (весовой или переходной функций) необходимо преждевсего определить корни изображенного по Лапласу регулируемого параметра. Этосделать сложно, если знаменатель является полиномом выше третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМПРИБЛИЖЕНИЯ.

Рассмотрим этот метод наконкретном примере.

ПРИМЕР 4. Определить корни вследующем характеристическом уравнении:

L(p)=p4+7.04p3+6.842p2+3.7104p+0.5904=0

РЕШЕНИЕ.

В первом приближении один изкорней можно определить по двум последним членам этого уравнения.

3.7104p+0.5904=0 p1=-EQ f(0.5904;3.7104) =-0.1591.

Если бы этот корень был бывычислен точно, то данное уравнение разделилось бы на (p+0.1591)без остатка. Вдействительности получаем:

_p4+7.04p3+6.842p2+3.7104p+0.5904| p+0.1591_________.

p4+0.1591p3 p3+6.8809p2+5.748p

_6.8809p3+6.842p2

6.8809p3+1.094p2

_5.748p2+3.7104p

5.748p2+0.9145p

2.7959p+0.5904

По полученному остатку 2.7959p+0.5904определяем корень во втором приближении.

p2=<img src="/cache/referats/2515/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

Снова делим уравнение на p+0.211и получаем остаток 2.570p+0.5904. Тогда корень в третьемприближении p3=-0.2297. Уравнение снова делим на p+0.2297и т.д. Наконец, корень в девятом приближении p9=-0.24, ачастное от деления

p3+6.8p2+5.21p+2.46=0.

По двум последним членамэтого уравнения снова определяем корни в первом приближении

5.21p+2.46=0 p1=-0.472.

После деления уравнения на p+0.472 остаток2.223p+2.46 и корень во втором приближении равен p2=-1.1066.Корень в третьемприближении p3=+2.256.Процесс расходится. Кореньне может быть положителен в устойчивой САУ.

Тогда по трем (а не по двум)последним членам этого уравнения определяем сразу два комплексных корняхарактеристического уравнения.

Остаток в первом приближении6.033p2+4.848p+8.46.

Остаток во второмприближении 5.996p2+4.802p+2.46.

Остаток в третьемприближении6.00p2+4.80p+3.46, который незначительно отличаетсяот остатка во втором приближении и по нему определяем значение комплексныхкорней.

p2,3=-0.4±

j0.5.

Частное от деления наостаток в третьем приближении

0.210p+2.46=0, тогда p4=-6.0.

Примечание.Корни кубического уравнения p3+6.8p2+5.21p+2.46можно определить методомКарно. Для этого представим его в виде

p3+ap2+bp+c=0

и путем подстановки p=<img src="/cache/referats/2515/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> приводим к ²

неполному²виду.

y3+n*y+m=0,

где n=<img src="/cache/referats/2515/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

m=<img src="/cache/referats/2515/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

Корни y1,y2,y3 ²

неполного²кубического уравненияравны:

y1=A+B y2,3=<img src="/cache/referats/2515/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

A=<img src="/cache/referats/2515/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> B=<img src="/cache/referats/2515/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> Q=<img src="/cache/referats/2515/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

Определим численные значениякорней ²

неполного²кубического уравнения.

Q=<img src="/cache/referats/2515/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

A=<img src="/cache/referats/2515/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

B=<img src="/cache/referats/2515/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

y1=A+B=-1.579+(-2.155)=-3.734

=1.867±

j0.49968.

Определяем корни данногохарактеристического уравнения третьего порядка.

p1=y1-<img src="/cache/referats/2515/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1050">-3.734-<img src="/cache/referats/2515/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1051">-6.0 p3,4=1.867±

j0.4996-<img src="/cache/referats/2515/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1052">-0.4±j0.5.

Результаты вычисления корнейуравнения третьей степени методом приближения и методом Карно — совпали.

Проведем проверку правильностиопределения корней уравнения по теореме Виета.

-b=-6.8=p1+p2+p3=-6.0-0.4+j0.5-0.4-j0.5=-6.8

-c=-2.46=-6.0*(0.42+0.52)=-2.46

РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯРЕГУЛИРУЕМОГО

ПАРАМЕТРАНА СУММУ ПРОСТЫХ ДРОБЕЙ.

Определение уравненияпереходного процесса x(t)по изображениюрегулируемого параметра в случае, когда знаменатель имеет ²

n²корней можно выполнитьпутем разложения изображения на простые дроби, по которым затем получить прямоепреобразование Лапласа, согласно табл.1 задания 4.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

где ci — коэффициентразложения;

pi — корень уравнения.

Коэффициент разложения ci в зависимости от вида корней уравнения определяется следующим образом.

1 СЛУЧАЙ. Все корнидействительные и разные.

где A¢

(p)=<img src="/cache/referats/2515/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> p=pi.

Тогда уравнение переходного процесса

x(t)=å

2 СЛУЧАЙ. Среди ²

n²действительных корней естькорень p=0.

ci=<img src="/cache/referats/2515/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1057">

Тогда уравнение переходного процесса

x(t)=<img src="/cache/referats/2515/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1058">å

3 СЛУЧАЙ.Среди ²

n²действительных корней есть ²m²пар комплексно-сопряженных.

Для каждой парыкомплексно-сопряженных корней p1,2=-a

±jbопределяетсядва значения коэффициентов c:

с1=<img src="/cache/referats/2515/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> с2=<img src="/cache/referats/2515/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1061">,

которые являются тоже комплексно-сопряженнымивыражениями c1,2=a

В этом случае определяетсямодуль |c| и угол j

|c|=<img src="/cache/referats/2515/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> j

=arctg<img src="/cache/referats/2515/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

По табл.1 (задание 4) каждойпаре комплексно-сопряженных корней соответствует переходный процесс

x(p)=2*|c|*e-a

t*cos(bt+j).

В общем случае при наличии вхарактеристическом уравнении одного нулевого корня, ²

k² — действительных корней и ²m² — комплексно-сопряженныхпереходный процесс описывается уравнением:

x(t)=<img src="/cache/referats/2515/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1064">

Примечание.4-й случай, когда в уравнении есть кратные вещественные корни в данном заданиине рассматриваются.

Рассмотрим несколькопримеров такого способа получения уравнений переходного процесса.

ПРИМЕР 5. Единичный импульсподан на систему с передаточной функцией

W(p)=<img src="/cache/referats/2515/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемогопараметра, учитывая, что U(t)=1’(t), тогдаU(p)=1.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1066">

2. Определяем корнихарактеристического уравнения.

p1= -1 p2=-2 p3= -4.

3. Разложим полученноеизображение x(p)на простые дроби.

x(p)= <img src="/cache/referats/2515/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1067">

4. Коэффициенты заложения ciбудем определять согласно1-му случаю (все корни вещественные и разные).

c1(-1)=<img src="/cache/referats/2515/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1068">

c2(-2)=<img src="/cache/referats/2515/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1069">

c3(-4)=<img src="/cache/referats/2515/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

Примечание. При нулевых начальных условиях алгебраическая сумма полученныхкоэффициентов разложения должна быть равна нулю.

c1+c2+c3= -0.1666 + 1- 0.8334=0

5. Изображение регулируемогопараметра.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1071">

6. Уравнение весовой функциисогласно формуле 5 табл.1 (задание 4).

x(t)=-0.1666*e-t+1*e-2t-0.8334*e-4t.

ПРИМЕР 6. На систему спередаточной функцией примера 5 подано единичное ступенчатое воздействие.Определить уравнение переходной функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение поЛапласу регулируемого параметра.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

2. Определяем корнихарактеристического уравнения.

p1=0 p2=-1 p3=-2 p4=-4

3. Разложим полученноевыражение x(p)на простые дроби.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1073">

4. Коэффициенты разложения ci будем определять согласно 2-му случаю (среди вещественных корней естьодин нулевой корень).

c1(-1)=<img src="/cache/referats/2515/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1074">

c2(-2)=<img src="/cache/referats/2515/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1075">

c3(-4)=<img src="/cache/referats/2515/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1076">

c0(0)=<img src="/cache/referats/2515/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

Проверка: c1+c2+c3+c0=0.1666-0.5-0.2084+0.125=0.

5. Изображение регулируемогопараметра.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1078">

6. Уравнение весовой функциисогласно формулам №3 и №5 табл.1 (задание 4).

x(t)=0.125+0.1666*e-t-0.5*e-2t-0.2084*e-4t.

Примечание.Учитывая, что производная по уравнению переходной функции дает уравнениевесовой функции, сравним полученные решения в примере №6 с решение в примере№5.

x’(t)=0+(-1)*0.1666*e-t-(-2)*0.5*e-2t+(-4)*0.2084*e-4t=

= -0.1666*e-t+e-2t-0.8336*e-4t.

ПРИМЕР 7.Определить уравнение переходной функции, если ПФ имеет вид:

W(p)=<img src="/cache/referats/2515/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1079">

РЕШЕНИЕ.<img src="/cache/referats/2515/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1080">

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра,учитывая, что u(p)=<img src="/cache/referats/2515/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1081">

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1082">

2. Определяем корнихарактеристического уравнения.

p1=0 p2,3=-3±

j4 p4=-2

3. Разложим полученноеизображение x(p) на простые дроби.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1083">

4. Коэффициенты разложения ci будем определять согласно 3-му случаю (среди ²

n²действительных корней естькомплексно-сопряженные).

c0(p1=0)=<img src="/cache/referats/2515/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1084">

c1(p2=-3±

j4)=<img src="/cache/referats/2515/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1085">

Для возведения в квадраткомплексного числа (-3+j4)представим его в показательной форме.

Полученное комплексное числов показательной форме представим в алгебраической форме.

25*ej*253°

36’=

=25*cos253°

36’+j*25*sin 253°36’=25*(-0.28401)+j*25*(-0.95882)=

=-7.100-j*23.970.

ПРИМЕЧАНИЕ. Возведение вквадрат можно произвести и без представления его в показательной форме:

(a+jb)3=(a3-3ab2)+j(3a2b-b3).

(-3+j4)2=((-3)2-42)+2*(-3)*j4=-7-j24.

Продолжаем определять c1(p2).

c1(p2=-3+j4)=<img src="/cache/referats/2515/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1088">

=<img src="/cache/referats/2515/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1092">

Так как третий корень p3=-3-j4 комплексно-сопряженный совторым p2=-3+j4,то значение c2(p3)будет отличаться от c1(p2) только знаком степени e.

c2(p3=-3+j4)=1.877*e-j*111°

06’.

Определяем значение c3(p4=-2).

5. Изображение по Лапласу регулируемого параметра ввиде простых дробей с учетом полученных значений c0,c1,c2,c3.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1094">

6. Уравнение переходной функции получаем путемпроведения обратного преобразования по Лапласу (см. табл.1 задание 4).

x(t)=10-11.33*e-2t+1.877*e+j111°

*e(-3+4j)*t+1.877*e-j111°*e(-3-4j)*t=

=10-11.33*e-2t+1.877*(e+j*(111°

+4t)+e-j*(111°+4t))*e-3t.

Выражение в скобкахпреобразуем согласно формуле Эйлера.

<img src="/cache/referats/2515/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1095"> (e+ja

+e-ja)=2*cosa

x(t)=10-11.33*e-2t+1.877*e-3t*2*cos(4t+111°

=10-11.33*e-2t+3.75*e-3t*cos(4t-1.204).

Примечание.cos(111°

)= -cos(180°-111°)= -cos(-69°)= -cos(-1.204), где 1.204 угол в радианах от j=69°.

Проверим правильностьвычисления коэффициентов c.

При t=0значение x(t=0)=0,т.к. начальные условия нулевые.

x(t)=10-11.33*1+3.75*1*cos(-1.2)=-1.33+3.75*0.3583=-1.33+1.343=0.

Условия выполняются впределах точности вычисления.

6.Уравнение переходнойфункции.

x(t)=10-11.33*e-2t+3.75*e-3t*cos(4t-1.204).

ПРИМЕР 8. Определитьуравнение весовой функции по ПФ примера №7:

W(p)=<img src="/cache/referats/2515/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1096">

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемогопараметра, учитывая, что U(p)=1.

x(p)= <img src="/cache/referats/2515/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1097">

2. Определяем корнихарактеристического уравнения.

p1= -2 p2,3=-3±

j4.

4. Разложим полученноеизображение x(p)на простые дроби.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1098">

5. Определяем коэффициентыразложения c.

c1(p1=-2)=<img src="/cache/referats/2515/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1099">

c2(p2=-3+j4)=<img src="/cache/referats/2515/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1100">

c3(p3)=-3-j4=7.45*e+j*137°

54’.

5. Представим изображение по Лапласу регулируемогопараметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c1,c2,c3.

x(p)=<img src="/cache/referats/2515/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1103">

6. Уравнение весовой функцииполучаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу.

x(t)=22.66*e-2t+7.45*e-j*137°

54’*e(-3-j4)*t+7.45*ej*137°94’*e(3+j4)*t=

=22.66*e-2t+7.45+7.45*e-3t*(ej*(-137°

54’+4t)+e-j*(-137°54’+4t))=

=22.66*e-2t+14.9*e-3t*cos(4t-2.4),

где 2.4 угол в радианах от j

=-137°54’.

2.ИСХОДНЫЕДАННЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ.

Определить уравнениепереходного процесса по заданной П.Ф.

W(p)=<img src="/cache/referats/2515/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1104">

Значения коэффициентов kи Тiпоказано в таблице 1.

Таблица 1 — Значение коэффициентовkи Т для задания 5.

№

варианта

Вид

воздействия

1(t)

0.25

0.005

0.07

0.325

1(t)

0.3

0.00625

0.03

0.325

1(t)

0.16

0.0

0.05

0.4

1(t)

0.12

0.0077

0.107

0.4

1(t)

0.24

0.015

0.21

0.8

1’(t)

0.15

0.03

0.4

1.2

1’(t)

0.2

0.002

0.04

еще рефераты

Еще работы по программированию, базе данных

Реферат по программированию, базе данных

Лекции по курсу "Информатика"

29 Августа 2013

Реферат по программированию, базе данных

Социальная информатика

29 Августа 2013

Реферат по программированию, базе данных

Системное программирование

29 Августа 2013

Реферат по программированию, базе данных

Билеты по информатике 10 класс: Visual Basic

29 Августа 2013