Реферат: Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

Реферат по математическомуанализу

на тему:

«Кривизна плоской кривой.Эволюта и эвольвента».

Выполнил: студент МГТУ им. Баумана

группа Э2 –11

Тимофеев Дмитрий

Преподаватель:

Москва2004.

Введение

Для более полного представления окривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функциискалярного аргумента.

Определение 1. Если каждому значению независимогопеременного tÎ

TÍR, называемого далеескалярным аргументом, поставить всоответствие единственный вектор r(t),то r(t) называют вектор-функциейскалярного аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называютрадиус-векторм.

Пусть в геометрическом(трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyzсортонормированным базисом i,j, k. Тогда представление

r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложениемрадиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные функции одного действительного переменного t с общей областьюопределения TÍ

R, называемые координатнымифункциями вектор-функции r(t).Понятие кривой

Введём теперь термин «кривой».Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывнойна отрезке [a,b]. Пусть втрёхмерном пространстве R3задана прямоугольная декартова системакоординат Oxyzс ртонормированным базисом {i, j, k}.

Определение 2.Множество ГÌ

R3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, tÎ[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывнойкривой, или просто кривой, а аргумент t — параметром кривой.

При фиксированном значении t = t0Î

[a, b] параметра значения x(t0), y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой. Поэтомуодна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление

Г= {r Î

R3 : r = r(t), tÎ[a, b] },

Г= {(x; y; z) Î

R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t),tÎ[a, b] }

Заданную таким образом кривуюназывают годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривуюописывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.

Кривую можно также представитькак линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну изкоординат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравненийостальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

Г = {(x; y; z) Î

R3: x = x(t), y = y(t), z = z(t), tÎ[c, d] }.

Одной и той же точке кривой могутсоответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют еёкратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки срадиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечнаяточка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой.Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при tÎ

(a, b) называют простым замкнутым контуром.

Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскостиназывают плоской.

Если эта плоскость выбрана закоординатную плоскость xOy,то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:

Г= {(x; y; z) Î

R3 : x = x(t), y = y(t), z =z(t), tÎ[a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают ипишут

Г= {(x; y) Î

R2 : x = x(t), y = y(t), tÎ[a, b] }.

График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой скоординатным представлением Г = {(x; y)Î

R2 : x = x, y = f(x), xÎ[c, d] }.

В этом случае роль параметравыполняет аргумент x.Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j соответсвенно.

Кривизна плоской кривой.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотреныпонятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгоеопределение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данномпункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.

Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой наинтервале (a,b).Определим длину дуги кривой.

Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, …, Mi-1, Mi…, Mn-1, M.

Соединив взятые точки отрезками,получим ломаную линию M0M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этойломаной линии через Pn.

Длиной дуги M0M называется предел (обозначим его через s), к которому стремитсядлина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1 Mi, если этотпредел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M.<img src="/cache/referats/19139/image002.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1038">

Найдём выражение дифференциаладуги.

Пусть имеется на плоскостикривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированнаяточка кривой. Обозначим через sдлину дуги M0M (рис.<img src="/cache/referats/19139/image004.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1027">3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т.е. s естьфункция x.Найдём производную sпо x.

Дадим x приращение D

x. Тогда дуга s получит приращение Ds = дл. ÈMM1. Пусть <img src="/cache/referats/19139/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> — хорда, стягивающаяэту дугу. Для того чтобы найти <img src="/cache/referats/19139/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> поступим следующим образом:

Из D

MM1Q находим <img src="/cache/referats/19139/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">Dx)2+(Dy)2. Умножим и разделим левую часть наDs2:

Разделим все члены равенства на D

x2:

Найдём предел левой и правойчастей при D

x®0.Учитывая, что <img src="/cache/referats/19139/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> и <img src="/cache/referats/19139/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> получим <img src="/cache/referats/19139/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

Для дифференциала дугиполучим следующее выражение:

Мы получили выражение дифференциаладуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и втом случае, когда кривая задана параметрически:

и выражение принимает вид: <img src="/cache/referats/19139/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

Кривизна

Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление.Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этойлинии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутостиили искривлённости линии.

Пусть мы имеем кривую, которая непересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведёмкасательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначимчерез a

угол, образованный этими касательными, или –точнее — угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В(рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности внекоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг,имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис.5,4).

Полной характеристикойизогнутости кривой будет отношение угла смежности к длинесоответствующей дуги.

Определение 4. Средней кривизной Кср дуги È

АВназывается отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняякривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, длякривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равнасредней кривизне дуги А1В1, хотя длиныэтих дуг равны между собой.<img src="/cache/referats/19139/image036.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">

Отметим, что вблизи различных точек криваяискривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённостиданной линии в непосредственной близости к данной точке А, введёмпонятие кривизны в данной точке.

Определение5. Кривизной Калиниив данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ,когда длина этой дуги стремится к нулю:

Вычисление кривизны

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любойеё точке M(x, y). При этом будем предполагать,что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторуюпроизводную.

Проведём касательные к кривой в точках M и M1с абсциссами x и x+D

x и обозначим через j и j+Dj углы наклона этих касательных (рис.7).<img src="/cache/referats/19139/image040.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1035">

Длину дуги È

M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначимчерез s; тогда Ds = ÈM0M1 - ÈM0M, а½Ds½= ÈMM1. Как видно из (рис. 7), уголсмежности, соответствующий дуге ÈMM1 равен абсолютной величине разности углов j и j+Dj,то есть равен ½Dj½.

Согласно определениюсредней кривизны кривой на участке È

MM1 имеем <img src="/cache/referats/19139/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти пределполученного выражения при условии, что длина дуги È

MM1 стремитсяк нулю: <img src="/cache/referats/19139/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Так как величины j

и s зависят от x, то, следовательно, j можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что этафункция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

Для вычисления <img src="/cache/referats/19139/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> воспользуемся формулойдифференцирования функции, заданной параметрически: <img src="/cache/referats/19139/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

Чтобы выразить производную <img src="/cache/referats/19139/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> через функцию y=f(x), заметим, что <img src="/cache/referats/19139/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> и, следовательно <img src="/cache/referats/19139/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

Дифференцируя по x последнееравенство, получаем <img src="/cache/referats/19139/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1051">.

И так как <img src="/cache/referats/19139/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

<img src="/cache/referats/19139/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> и окончательно, таккак <img src="/cache/referats/19139/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

Следовательно, в любой точке кривой, где существует инепрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая заданапараметрически: x=j

(t), y=y(t). Тогда

Подставляя полученные выражения вформулу 3, получаем

<img src="/cache/referats/19139/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1058">.

Вычислениекривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнениемвида r

= f(q).Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = r cosq, y = r sinq.

Если в эти формулы подставитьвместо r

его выражение через q, то есть f(q), то получим

x = f(q

) cos q, y = f(q) sin q

Последние уравнения можнорассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q

Тогда<img src="/cache/referats/19139/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1059">, <img src="/cache/referats/19139/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1060">

Подставляя последние выражения вформулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярныхкоординатах:

Радиус и круг кривизны

Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линиив данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии врассматриваемой точке: R = 1/K, или

Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ),направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС,равный радиусу Rкривизны кривой в точке М.

Точка С называется центром кривизны данной кривой с центромв точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизныданной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точкекривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы,определяющие координаты центра кривизны.

Пусть кривая заданауравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты a

и b центра кривизны, соответствующего этойточке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

Так как точка C(a

, b) лежит на нормали, то её координаты должныудовлетворять уравнению <img src="/cache/referats/19139/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1066">

Далее, точка C(a

, b) находится от точки М на расстоянии,равном радиусу кривизны R:

Решив совместно уравнения * определим a

, b:

и так как <img src="/cache/referats/19139/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> то

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дуетбрать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!<0. Если y!!>0, то в этой точке кривая вогнута и,следовательно, b

>y (рис. 9) и поэтомуследует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ½y!!½=y!!,формулы координат центра запишем в следующем виде:

<img src="/cache/referats/19139/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> <img src="/cache/referats/19139/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> (1)

Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и вслучае y!!<0.

Параметрическое задание кривой

Если кривая задана параметрически: x = j

(t), y = y(t), то координаты центра кривизны можнополучить из формул *, подставляя в нихвместо y!и y!!их выражения через параметр:

Тогда

<img src="/cache/referats/19139/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> <img src="/cache/referats/19139/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> (2)

Эволюта и эвольвента

Если в точке M1(x, y)данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполнеопределённый центр кривизны C1(a

, b). Совокупность всех центров кривизны данной линииобразует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению кпервой.

По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентойили инволютой (или развёрткой). Дадим определение.

Определение 8. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L1, а сама линия L относительно своей эволютыназывается эвольвентой.

Если данная кривая определяется уравнением y=f(x), то уравнения (1)можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этихуравнений параметр x, получим непосредственнуюзависимость между текущими координатами эволюты a

и b.Если же кривая задана параметрически x = j(t), y = y(t), то уравнеия (2) даютпараметрические уравнеия эволюты.Свойства эволюты

Теорема 1. Нормаль к данной кривой являетсякасательной к её эволюте.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте,определяемой параметрическими уравнениями (1), равен <img src="/cache/referats/19139/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> В силу уравнений(1)

<img src="/cache/referats/19139/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> (4)

Получаем соотношение

Но y! есть угловойкоэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому изполученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к её эволюте в соответствующейточке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательнойк эволюте.

Теорема 2. Если нанекотором участке M1M2 кривойрадиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты наданном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращениюрадиуса кривизны данной кривой.

Доказательство.

Так как <img src="/cache/referats/19139/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> где ds — дифференциал длины дуги эволюты; отсюда

Подставляя сюда выражения (3) и (4) получим

<img src="/cache/referats/19139/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> (4)

Так как <img src="/cache/referats/19139/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1088">, то <img src="/cache/referats/19139/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1089">.

Дифференцируя по x обе части этогоравенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на <img src="/cache/referats/19139/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1091">, получим

Возведём в квадрат полученноеравенство:

<img src="/cache/referats/19139/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> (5), и сравниваяравенства (4), (5) находим

<img src="/cache/referats/19139/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> , откуда <img src="/cache/referats/19139/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

По условию <img src="/cache/referats/19139/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> не меняет знак (R только возрастает илитолько убывает), следовательно, и <img src="/cache/referats/19139/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1097"> не меняет знак. Пустьдля определённости <img src="/cache/referats/19139/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1098"><img src="/cache/referats/19139/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1099"><img src="/cache/referats/19139/image159.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1039"> Следовательно, <img src="/cache/referats/19139/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1100">

Пусть точка M1 имеет абсциссу x1, а M2 – абсциссу x2.

Применим теорему Коши кфункциям s(x) и R(x) на отрезке [x1, x2]:

Где x

— число, заключённое между x1 и x2 .

Введёмобозначения(рис. ): S(x2) = s2, s(x1)= s1, R(x2)=R2, R(x1)=R1

Тогда <img src="/cache/referats/19139/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> Но это значит, что <img src="/cache/referats/19139/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1103">

Доказательство при возрастаниирадиуса кривизны аналогично.

Если кривая задана параметрически,то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.

Укажем без доказательства приёмыприближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.

1). Каждая нормаль к эвольвентеявляется касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалейэвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей кэвольвенте L, тоогибающая их линия и будет эволютой L! (рис.11 ).<img src="/cache/referats/19139/image169.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1040">

2). Если гибкую нерастяжимуюнить, обтягивающую заданную выпуклую линию L! развёртывать, сохраняяпостоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещёразвёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольженияпрямой линии по данной линии L!;Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L!. Отсюда следует, чтоданная эволюта L! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любаяданная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

следует, что данная эволюта L! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любаяданная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

В качестве заключения рассмотримприменение эвольвенты в технике.

В технике эвольвенту окружностиприменяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковыеповерхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осямивращения, проходящими через точки O1 и O2 (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линияконтакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит черезточку К. Тогда в точке К нормали КМ1 и КМ2 к эвольвентам Э1 и Э2будут лежать на отрезке М1М2 общей касательной кокружностям радиусов R1и R2соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами).При вращении колёс точка К перемещается вдоль отрезка М1М2(новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) дотех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления.Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникаетзацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещаетсявдоль отрезка М1М2.

Если угловая скорость w

2ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость w2R2 движенияточки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна иугловая скорость w1=w2R2/R1ведомогоколеса. Таким образом, эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращенияведомого колеса и постоянство передаточного отношения w1/w2= R2/R1 зубчатой передачи.Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O1O2, вызванные неизбежнымипогрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение,если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могутвойти в зацепление.

Эвольвентное зацеплениепредложено математиком Л. Эилером.

Примеры

1. Найдёмкривизну параболы y = x2 в любой её точке.

Имеем: <img src="/cache/referats/19139/image173.gif" v:shapes="_x0

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Пирамиды

29 Августа 2013

Реферат по математике

Тезис Геделя. Теорема Черча

29 Августа 2013