Реферат: Пирамиды

МОУ «Средняя образовательная школасела Чёрный Яр»

Реферат

«Пирамиды»

Выполнила:

Черёмина А.

ученица 11 Акл.

Руководитель:

Халяпина Л.А.

<st1:metricconverter ProductID=«2005 г» w:st=«on»>2005 г</st1:metricconverter>.

Содержание

Введение

Значимость пирамиды в моем познании

Основная часть:

1. Исторические сведенияо пирамиде

2. Различные трактовкиопределения пирамиды

3. Основные элементы

4. Сечения пирамиды

5. Виды пирамид

·

правильнаяпирамида

·

усеченнаяпирамида

6. Площадь пирамиды

7. Измерение объема

8. Тетраэдр – простейшаяпирамида

·

основныеэлементы

·

видытетраэдров

·

свойстватетраэдра

9.Задачи

10.Решение задач

Заключение

Списокиспользованной литературы

<img src="/cache/referats/19648/image002.jpg" v:shapes="_x0000_s1068">Введение

Египетские пирамиды –одно из семи чудес света.… Как загадочны эти фигуры! Сколько тайн хранят они всебе! С самого детства я задумывалась об этом. Они манили меня к себе своейтаинственностью. Когда я пошла в десятый класс, мы начали изучатьстереометрические фигуры и, конечно, затронули тему «Пирамида». Мне стало оченьинтересно, и я решила изучить свойства этой необычной фигуры немного подробнее,ведь тема «Пирамиды» затрагивает глубокие аспекты современных научных дисциплини является одной из наиболее актуальных для пытливых умов современных ученых. Пирамидыпредставляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов.Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя нестоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количествовопросов, которыми сейчас задается наука.

<img src="/cache/referats/19648/image004.jpg" v:shapes="_x0000_s1069">Пирамиды, несмотря на свою древность,могут многому нас научить. Исследованием пирамид с использованием новейшихприборов занимались американцы, японцы. Пирамиды снимали со спутников.Американская станция «Маринер»' передала фотографии с Марса, накоторых изображены такие же пирамиды, что наводит на мысль об их внеземномпроисхождении. Так что же такое пирамиды?

Исторические сведения о пирамиде

Усыпальницы египетскихфараонов. Крупнейшие из них — пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе вдревности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в которомуже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости,обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшимкультовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождествостраны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы всвободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствуето том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени)уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особыхкультовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.

Пирамиды выстроены налевом — западном берегу Нила (Запад — царство мертвых) и возвышались над всемгородом мертвых — бесчисленными гробницами, пирамидами, храмами.

Самая большая из трех —пирамида Хеопса (зодчий Хемиун, 27 в. до н. э.). Ее высота была изначально <st1:metricconverter ProductID=«147 м» w:st=«on»>147 м</st1:metricconverter>, а длина стороныоснования — <st1:metricconverter ProductID=«232 м» w:st=«on»>232 м</st1:metricconverter>.Для ее сооружения потребовалось 2 млн. 300 тыс. огромных каменных блоков,средний вес которых 2,5 т. Плиты не скреплялись строительным раствором, лишьчрезвычайно точная подгонка удерживает их. В древности пирамиды были облицованыотполированными плитами белого известняка, вершины их были покрыты меднымилистами, сверкавшими на солнце (известняковую обшивку сохранила только пирамидаХеопса, покрытие других пирамид арабы использовали при строительстве Белоймечети в Каире).

Близ пирамиды Хефренавозвышается одна из крупнейших статуй древности и нашего времени — высеченнаяиз скалы фигура лежащего сфинкса с портретными чертами самого фараона Хефрена.

Великие пирамиды былиокружены рядом небольших усыпальниц жен фараонов и их приближенных. В такиекомплексы обязательно входили святилища Верхнего и Нижнего Египта, большиедворы для проведения праздника хеб-су, заупокойные храмы, служители которыхдолжны были поддерживать культ умершего царя. Пространство вокруг пирамиды,окруженное стенами, посредством длинного крытого перехода соединялось с храмомна берегу Нила, где встречали тело фараона и начинались погребальные церемонии.

Все пирамиды точносориентированы по сторонам света, что свидетельствует о высоком уровнеастрономических знаний древних египтян, расчет углов наклона граней совершеннобезукоризнен. В пирамиде Хеопса угол наклона таков, что высота пирамиды равнарадиусу воображаемой окружности, в которую вписано основание пирамиды.

Замечательной инженернойнаходкой древних зодчих и строителей было сооружение в толще каменной кладкинад погребальной камерой пяти разгрузочных камер, с помощью которых удалосьснять и равномерно распределить колоссальную нагрузку на ее перекрытия. Помимокамер в пирамиде есть и другие пустоты — коридоры, проходы и галереи, входы вкоторые были тщательно замурованы и замаскированы. Тем не менее захоронения впирамидах были разграблены, видимо, довольно скоро после погребения фараонов.Воры хорошо знали все ловушки, так что они, скорее всего, были связаны либо состроителями, либо со жрецами, осуществлявшими захоронения.

Сооружения в Эль-Гизесвоей грандиозностью и видимой бесполезностью поражали воображение уже вдревности, что лучше всего передает арабская пословица: «Все на свете боитсявремени, но время боится пирамид».

Различные трактовкиопределения пирамиды

ПирамидуЕвклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые отодной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Этоопределение подвергалось критике уже в древности, например, Героном,предложившим следующее определение пирамиды:это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, иоснованием которой служит многоугольник. Важнейшим недостатком этогоопределения является использование неопределенного понятия основания. Тейлоропределил пирамиду как многогранник, укоторого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в“Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в однойточке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”. Послеэтой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра являетсяявно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вотеще одно определение, которое фигурировало в учебниках XIXвека: пирамида — телесный угол, пересеченный плоскостью.

Чаще всего учащиесясталкиваются со следующим определением, которое я считаю самым объективным:

Пирамидойназывается многогранник, который состоит из плоского многоугольника, – основания пирамиды, точки, не лежащей вплоскости основания, – вершины пирамидыи всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Поверхность пирамидысостоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань –треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащейстороной – сторона основания пирамиды.

Высотой пирамидыназывается перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды наплоскость основания.

<img src="/cache/referats/19648/image008.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1073">У пирамиды, изображенной на рис. 1,основание – многоугольник ABCD, вершина пирамиды – S, боковые ребра – SA, SB, SC, SD, боковые грани – ∆ASB, ∆BSC, ∆CSD, ∆ASD, высота SO.

Чтобы получить пирамиду,достаточно какой-нибудь многогранный угол Sпересечь произвольной плоскостью ABCDи взять отсеченную часть SABCD(рис. 2).

Диагональные сечения пирамиды

Сечения пирамидыплоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники(рис. 3). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечение плоскостями, проходящими через дванесоседних боковых ребра пирамиды.

Плоскость, проведеннаячерез вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью (рис. 4).

<img src="/cache/referats/19648/image012.jpg" v:shapes="_x0000_i1027">∆CEF– сечение пирамиды SABCD

<img src="/cache/referats/19648/image014.jpg" v:shapes="_x0000_i1028">∆SDB– диагональное сечение пирамиды SABCD

Сечение пирамиды плоскостью сзаданным следом gна плоскости

1. Проведем прямую CD, CD×g≡ F, Fє (SCD)

<img src="/cache/referats/19648/image016.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1106">2. Рассмотрим грань SCD. Проведем прямую FE, получим точки пересечения с ребрамипирамиды: SD×FE≡ Hи SC×FH≡ G

3. Проведем прямую AD. Найдем точку пересечения ADсо следом g,

AD×g≡ K

4. Теперь уже в грани SADпоявились две точки Kи H. Проведем прямую KH, она пересекает ребро SAв точке L: KH×SA≡ L

5. Проведем прямую AB, найдем пересечение с прямой g:

g×AB≡ M

6. В грани получились дветочки Mи L. Получаем прямую ML. Находим пересечение с ребром SB: CB×ML≡ N

7. Соединим Nи G. Сечение GHLNпостроено (рис. 5).

Правильная пирамида

Определение: Пирамида называется правильной, если ееоснованием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется вцентр основания.

Очевидно, у правильнойпирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани – равныеравнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды,проведенная из ее вершины, называется апофемой.

<img src="/cache/referats/19648/image018.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1077">Пусть SABCDE– правильная пятиугольная пирамида (рис.6). Тогда по определению ее основание ABCDE– правильный плоский пятиугольник;центр основания пирамиды O– основание высоты пирамиды SO.

Высота боковой граниправильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

Например, SK– апофема правильной пирамиды.

При повороте вокругпрямой OSна 360˚/5 правильный многоугольник ABCDEкаждый раз совместится с собой,тогда совместится с собой и пирамида. Значит, прямая, на которой лежит высотаправильной n-угольной пирамиды, есть ее ось симметрии n-го порядка.

Отсюда следует, что управильной пирамиды:

1.

боковые ребра равны

2.

боковые грани равны

3.

апофемы равны

4.

двугранные углы при основании равны

5.

двугранные углы при боковых ребрахравны

6.

каждая точка высоты равноудалена отвсех вершин основания

7.

каждая точка высоты равноудалена отвсех боковых граней

Теорема: Если в пирамиде все боковые ребра равны, товершина проектируется в центр описанной около основания окружности.

<img src="/cache/referats/19648/image020.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1078">Дано: SABCDE– правильная пирамида (рис. 7); SA= SB= SC= SD= SE; SO<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1029">ABCDE

Доказать: O– Центр описанной окружности

Доказательство: S– точка, равноудаленная от всех вершинмногоугольника ABCDE.

Т.к наклонные равны,значит и проекции будут равны → O– центр окружности, описанной околомногоугольника.

Теорема: Если в пирамиде все двугранные углы приосновании равны, то вершина проектируется в центр вписанной в основаниеокружности.

<img src="/cache/referats/19648/image024.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1079">Дано: SABCDE– правильная пирамида (рис. 8); <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1030">AB= <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1031">BC= <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1032">CD= <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1033">DE= <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1034">AE; SO<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">ABCDE

Доказать: O– центр вписанной окружности

Доказательство:

Проведем OK<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1036">AB, OL<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1037">BC, OM<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1038">CD, ON<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1039">ED, OP<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1040">AE, тогда по теореме о трех перпендикулярах SK<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1041">AB, SL<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1042">BC, SM<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1043">CD, SN<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1044">ED, SP<img src="/cache/referats/19648/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1045">AE, значит, <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1046">SKO, <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1047">SLO, <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1048">SMO, <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1049">SNO, <img src="/cache/referats/19648/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1050">SPO– линейные углы двугранных углов при основании пирамиды. Поусловию двугранные углы равны, значит и соответствующие линейные углы будутравны. Поэтому ∆SKO= ∆SLO= ∆SMO= ∆SNO= ∆SPOкак прямоугольные треугольники, вкоторых катет SOобщий, а острые углы равны. Из равенства треугольников следует, что OK= OL= OM= ON= OP→ точка Oравноудалена от всех сторонмногоугольника ABCDE. Значит, она – центр вписанной окружности.

Теорема доказана.

Симметрияправильной пирамиды

1. Плоскости симметрии: при четномчисле сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковыеребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащихбоковых граней (рис. 9).

2. Ось симметрии: при четном числесторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамидыи центр основания (рис. 10).

Усеченная пирамида

(*)Теорема:

Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основаниюотсекает подобную пирамиду.

Доказательство:

Пусть S– вершина пирамиды, A– вершина основания и A1– точка пересечения секущей плоскости с боковымребром SA(рис. 11). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии (фр. homothetie греч. homos равный, одинаковый,общий + thetos расположенный) относительно вершины Sс коэффициентом гомотетии:

<img src="/cache/referats/19648/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1034">k= SA1/SA

При этой гомотетииплоскость основания переходит в параллельную плоскость, а следовательно, всяпирамида – в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия естьпреобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидойподобной данной. Теорема доказана.

По теореме (*) плоскость,параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра,отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собоймногогранник, который называется усеченнойпирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях,называются основаниями; остальныеграни называются боковыми гранями.Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарнопараллельны, поэтому боковые грани – трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудьточки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью,проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в однойграни, называется диагональным.

Например, многогранник ABCDA1B1C1D1– усеченная пирамида (рис. 12). Плоский многоугольникABCDEи сечение A1B1C1D1– основания усеченной пирамиды. Трапеции A1E1EA, E1D1DE, C1D1DC, B1C1CB, A1B1BA– боковые грани. HH1– высота. E1C1CE– диагональное сечение усеченнойпирамиды.

Теорема: Если пирамида пересечена плоскостью,параллельной основанию, то:

1.

боковые ребра и высота пирамидыделятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2.

Сечение – это многоугольник, подобныйоснованию;

3.

Площади сечения и основания относятсякак квадраты их расстояний от вершины;

Следствие: Площадь сечения параллельного основаниюпирамиды – квадратная функция расстояния его плоскости от вершины (илиоснования) пирамиды.

Чтобы построить усеченнуюпирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение,параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю частьстирают.

Правильная усеченная пирамида

Усеченная пирамиданазывается правильной, если она составляетчасть правильной пирамиды (рис. 13).

Высота боковой граниправильной усеченной пирамиды называется апофемой.

Например, KK1– апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO1называется осьюправильной усеченной пирамиды.

Площадь пирамиды

Боковая поверхностьправильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Доказательство:

Если сторона основания а,число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:

a∙l∙n/2=a∙n∙l/2=pl/2

где l– апофема, а p– периметр основания пирамиды.Теорема доказана.

Эта формула читается так:

<img src="/cache/referats/19648/image039.gif" v:shapes="_x0000_s1045">Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половинепроизведения периметра основания на апофему пирамиды.

Sбок = pl/2

<img src="/cache/referats/19648/image040.gif" v:shapes="_x0000_s1031">Площадь полной поверхности пирамидывычисляется по формуле:

Sполн= Sбок + Sосн

Если пирамида неправильная, то ее боковая поверхность будетравна сумме площадей ее боковых граней.

Площадь боковой и полнойповерхности усеченной пирамиды

Теорема: Площадь боковой поверхности правильнойусеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований наапофему.

Дано: n-угольная правильная усеченнаяпирамида, l– апофема, pи p1–периметры оснований.

Доказать: Sбок = ½(p+p1) ∙l

Доказательство: Вправильной усеченной пирамиде все боковые грани – равные между собой трапеции.Пусть основания трапеции aи a1, ее высота k, тогда Sгр. = ½(a+ a1)∙l, таких граней n,

следовательно, Sбок= n½ (a+ a1) l= ½ (na+ na1)∙l, т.е. Sбок = ½ (p+p1)∙l

Теорема доказана.

Измерение объема пирамиды

<img src="/cache/referats/19648/image042.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1086">Пусть SABC– треугольная пирамида с вершиной Sи основанием ABC. Дополним эту пирамиду до треугольнойпризмы с тем же основанием и высотой (рис. 14). Эта призма составлена из трехпирамид: данной пирамиды SABCDи еще двух треугольных пирамид SCC1B1и SCBB1.

У второй и третьейпирамид равные основания – ∆CC1B1и ∆B1BCи общая высота, проведенная из вершиныS. Поэтому у нихравные объемы.

У первой и третьейпирамид тоже равные основания – ∆SABи ∆BB1Cи совпадающие высоты, проведенные извершины C. Поэтому у них тоже равные объемы.

Значит, все три пирамидыимеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, тообъемы пирамид равны SH/3.

Итак, объем любой треугольной пирамиды равен однойтрети произведения площади основания на высоту:

V= 1/3∙SH

Пусть теперь имеем любую,не обязательно треугольную пирамиду. Разобьем ее основание на треугольники∆1, ∆2, …∆n. Пирамиды, у которых основаниямиявляются эти треугольники, а вершинами – вершина данной пирамиды, составляютданную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих еепирамид. Т.к. все они имеют ту же высоту H, что и данная пирамида, то объем ееравен:

V= 1/3∙H∙ (S1+ S2+ …Sn) = 1/3∙SH

<img src="/cache/referats/19648/image043.gif" v:shapes="_x0000_s1054">Итак, объем любойпирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

V= 1/3∙SH

Объем усеченной пирамиды

Теорема: Объем усеченной пирамиды равен V= h/3∙(S+S1+√SS1)

<img src="/cache/referats/19648/image045.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1087">Дано: ABCDA1B1C1D1– усеченная пирамида (рис. 15), Sи S1 – площади оснований, h– высота.

Доказать: V = h/3∙(<st1:place w:st=«on»>S+S1</st1:place>+√SS1)

Доказательство: Вусеченной пирамиде площадь сечения плоскостью, параллельной основанию, естьквадратная функция от расстояния сечения до этого основания. Значит, применимаформула Симпсона:

(1) V= h/6∙(Sн+ 4Sc+ Sв)

Sн = S, Sв = S1.Найдем Sc.

Пусть A2B2C2D2– среднее сечение. Примем AB= a, A1B1= a1, A2B2= x. Основания и среднее сечение – подобные многоугольники, ипотому

S : Sc : S1 = a2 : x2: a12

отсюда

(2) a: x: a1 = √S: √Sc: √S1

AA1B1B– трапеция, x– ее средняя линия, значит,

(3) = (a+ a1)/2

Из (2) следует, что a= m√S, x= m√Sc, a1= m√S1, где m– общая мера. Подставим эти значения в (3):

m√Sc= (m√S+ m√S1)/2, значит, √Sc= (√S+ √S1)/2

Sc= (√S+ √S1)2/4.

Подставим значения Sн, Sви Scв (1):

V = h/6∙[S + (√S + √S1)2+ S1] = h/6[S + S + 2√SS1 + S1 + S1],т.е.

<img src="/cache/referats/19648/image046.gif" v:shapes="_x0000_s1041">V = h/3∙(<st1:place w:st=«on»>S+S1</st1:place>+√SS1)

Тетраэдр

Изо всех рассмотренныхпирамид наибольший интерес у меня проявляется к простейшей пирамиде, называемойтетраэдром. Я постараюсь более подробно рассмотреть тетраэдр и его свойства.

Слово«тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra– «четыре» и hedra– «основание, грань». Тетраэдр ABCDзадается четырьмя своими вершинами –точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра – четыре треугольника;ребер у тетраэдра шесть. В отличие от произвольной пирамиды (n– угольной пирамиды, n≥4) в качестве основаниятетраэдра может быть выбрана любая его грань.

Как треугольник –простейший многоугольник, так тетраэдр, или треугольная пирамида – простейшиймногогранник. Геометрия тетраэдра ничуть не менее богата, чем геометрия егоплоского собрата – треугольника, многие свойства которого в преображенном видемы находим у тетраэдра. Немало общего имеет тетраэдр с четырехугольником – ведьу обоих по четыре вершины.

Треугольники принятоклассифицировать по степени их симметричности: правильные или равносторонниетреугольники имеют три оси симметрии, равнобедренные – одну. Самый симметричныйтетраэдр правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками. Он имеет6 плоскостей симметрии – они проходят через каждое ребро перпендикулярнопротиволежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через серединыпротиволежащих ребер. Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е.тетраэдры с равными гранями – 3 оси симметрии). Правильная пирамида переходитсама в себя при поворотах вокруг высоты на 120˚и 240˚, атакже при симметриях относительно плоскостей, проходящих через ось и боковыеребра. По сложившейся не очень логичной традиции, термин «правильный тетраэдр»обозначает частный случай правильной треугольной пирамиды – тетраэдр, укоторого все ребра равны, т.е. все грани – равносторонние треугольники. Такойтетраэдр обладает наибольшим набором самосовмещений. Имеется 12 поворотов,переводящих его в себя, 6 симметрий относительно плоскостей и еще 6 движений,сочетающих поворот с симметрией.

Правильный тетраэдр – нечто иное, как «стереометрический близнец» самого симметричного треугольника –правильного.

Тетраэдр и сферы

Любойтреугольник имеет единственную вписанную и описанную окружности. Точно также улюбого тетраэдра есть единственная вписанная (касающаяся всех граней) иединственная описанная (проходящая через все вершины) сферы. Доказательстваэтих свойств повторяют соответствующие планиметрические: центр вписанной сферыравноудален от всех вершин и лежит на пересечении перпендикуляров,восстановленных к граням из центров их описанных окружностей (т.е. четыре перпендикулярапересекаются в одной точке). Но кроме граней и вершин тетраэдр имеет еще иребра. Возникает вопрос: можно ли провести сферу, касающуюся всех его шестиребер (ее называют полувписанной; рис. 16)?

…Иногда.Здесь тетраэдр ведет себя, как четырехугольник, и условия существованияполувписанной сферы повторяет признак описанного четырехугольника: такая сфера существует тогда и только тогда,когда суммы длин каждой пары противоположных ребер тетраэдра равны между собой:

AB+ CD = AC + BD = AD + BC

<img src="/cache/referats/19648/image054.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1089">Тетраэдры, имеющие полувписаннуюсферу, называются каркасными. По сутидела, это все тот же планиметрический признак, но примененный кпространственным четырехугольникам – в данном случае четырехугольникам,образованным двумя парами противоположных ребер тетраэдра. Но еще большиенеожиданности обнаруживаются при исследовании вневписанных сфер тетраэдра, т.е.сфер, касающихся плоскостей всех четырех его граней, но лежащих вне тетраэдра.Как известно, у любого треугольника имеется три вневписанные окружности.Плоскости граней тетраэдра разбивают пространство на 15 областей (рис. 17). Кроме четырех трехгранных углов,примыкающих к вершинам, остальные 11 областей ограничены всеми четырьмяплоскостями. Внутри тетраэдра, а также внутри четырех «постаментов» – областей,примыкающих к граням, – сфера, касающаяся всех плоскостей, всегда есть. А вот сшестью областями, примыкающими к ребрам и по форме напоминающими четырехскатныекрыши или чердаки, дело обстоит сложнее. Оказывается, из двух «чердаков» припротивоположных ребрах только у одного может быть вписанная сфера. Такимобразом, у правильного тетраэдра – а у него все «чердаки» одинаковы –«чердачных» сфер вообще нет, иначе они присутствовали бы во всех «чердаках».Итак, тетраэдр имеет не менее четырех и не более семи вневписанных сфер, причемвсе промежуточные случаи возможны.

Медианы тетраэдра

<img src="/cache/referats/19648/image056.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1090">Для любого тетраэдра справедливаналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, в которой ониделятся в отношении 2:1. Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра исередины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке – в центроиде тетраэдра.

Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины сцентроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаютсяв одной точке Mиделятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин (рис. 18).

Черезту же точку проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие серединыпротивоположных ребер тетраэдра, причем они делятся точкой Mпополам.

Центроидтетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс,помещенных в его вершины, – обстоятельство, которое можно использовать длядоказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказатьс помощью следующей полезной конструкции.

<img src="/cache/referats/19648/image058.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1091">Проведем через каждое ребро тетраэдраплоскость, параллельную противоположному ребру (рис. 19). Получим три парыпараллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра.Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер –их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр Oпараллелепипеда и делятся импополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях гранейпараллелепипеда и также проходят через точку O.

Ортоцентрический и прямоугольныйтетраэдры

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Тезис Геделя. Теорема Черча

29 Августа 2013

Реферат по математике

Роль математики в современном естествознании

29 Августа 2013

Реферат по математике

Описанные и вписанные окружности

29 Августа 2013

Реферат по математике

Правильные многогранники

29 Августа 2013