Реферат: Кривые второго порядка

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кривые второго порядка

СОДЕРЖАНИЕ

1 Окружность. Эллипс

2Гипербола

3Парабола

4 Литература

1 Окружность. Эллипс

При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и увходят в них
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведениех·у(степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: /> – урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R;/>– уравнение гиперболы, /> – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть /> – центр
окружности. R– радиус окружности. Пусть /> – произвольная точка окружности. Следовательно, />= = />

/>(1)

(1) – уравнение окружности радиуса Rc центром в точке с координатами />

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а >0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с >0.

Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем /> т. е. /> – межфокусное расстояние эллипса.

Пусть /> – произвольная точка эллипса. Величины />/> называются фокальными радиусами точки М эллипса.

По определению эллипса: r1 + r2 = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

/>(2)

Умножим (2) на />

/>(3)

Сложим уравнения (2) и (3):

/>(4)

Возведем (4) в квадрат:

Пусть />

/>(5)

(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке />

Числа а и /> называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > />, если а < />, то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = />, то эллипс превращается в окружность.

Точки />, /> называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: />

Так как />

/>(6)

Эксцентриситетом эллипса e называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

/>(7)

Следовательно, /> причем /> когда /> т. е. имеем окружность.

При /> стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.

Выразим фокальные радиусы точки /> через эксцентриситет. Из (4):

/>(8)

Из (3): />

Значит, подставив координаты точки /> эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.

Прямые /> называются директрисами эллипса.

/>– левая директриса,

/> – правая директриса.

Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:

/>(9)

т. е. отношение расстояния ri от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию di от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

2 Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек /> той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина />меньшая, чем расстояние между фокусами />

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем /> т. е. /> Заметим, что />

--PAGE_BREAK--

Пусть /> – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, /> – фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы:

где />

Следовательно,

/>(10)

Умножим (10) на

/>(11)

Сложим уравнения (10) и (11):

/>(12)

Возведем (12) в квадрат:

Пусть />

(13)

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение гиперболы с центром в точке />

Числа aи b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

Точки /> называются вершинами гиперболы.

Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид

/>(14)

то фокусы гиперболы находятся на оси Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

Так как />, то />(15)

Как и в случае с эллипсом,эксцентриситетом гиперболы /> называется отношение межфокусного расстояния /> к длине действительной оси />:

/>(16)

Следовательно, />

Выразим фокальные радиусы точки /> через эксцентриситет. Из (12)

/>(17)

Прямые />называются директрисами гиперболы.

/> – левая директриса,

/> – правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса

/>(18)

т. е. отношение расстояния /> от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию /> от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые

/>(19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить) />

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так /> – эксцентриситет, /> – уравнения директрис.

3 Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Построим уравнение параболы.

Пусть ось Оx проходит через фокус Fпараболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p– расстояние между фокусом и директрисой. Тогда />, а уравнение директрисы />.

Число p– называется фокальным параметром параболы.

Пусть /> – произвольная точка параболы. Пусть /> – фокальный радиус точки M. d– расстояние от точки М до директрисы. Тогда />

По определению параболы />. Следовательно

Возведем это уравнение в квадрат

/>/>

(20)

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

Так как для параболы />, а для эллипса и гиперболы />, то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

х2= 2q y(21)

продолжение
--PAGE_BREAK--

Фокус этой параболы находится в точке />. Уравнение ее директрисы />. Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой />.

Если q> 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1

Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

х2 + у2 – 4х + 6у – 3 = 0.

Решение.

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х2 + у2 – 4х + 6у – 3 = (х2 – 4х + 4) – 4 + (у2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

Þ (х – 2)2 + (у + 3)2 = 16.

Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

ПРИМЕР 2

Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4; />) и имеет эксцентриситет />. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид />/>

Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению

Фокусы находятся на оси Ох, следовательно

Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а2 и в2:

/>/>

Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:

Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, />, />.

Þ r1 = а + eх = />= 8 – 3 = 5,

r2 = а – eх = />= 8 + 3 = 11.

ПРИМЕР 3

Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.

Решение.

Пусть М(х, у). Тогда çMNú= 2 çMFú, çMNú= ç–4 – xú, çMFú= = />, Þç– (4 + х)ú= />.

Возведем в квадрат: (4 + х)2 = 4 ((х + 1)2 + у2),

16 + 8х + х2 = (х2 + 2х + 1 + у2) · 4 = 4х2 + 8х + 4 + 4у2,

3х2+ 4у2= 12 Þ/>Þ/>.

Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.

ПРИМЕР 4

Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса />.

Решение.

Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.

Следовательно, /> Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F1(–с; 0) = (–4; 0), F2(4; 0).

Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)

/>,

причем F1(–5; 0), F2(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с1 = 5. Найдем а1 и в1.

Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а1 = с = 4. Следовательно:

/>.

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид

ПРИМЕР 5

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Решение.

Пусть точка М (х, у) – принадлежит данному множеству точек.

Следовательно çFMú= çNMú , çFMú== />, çNMú= 2 – у, Þ2 – у= />.

Возведем в квадрат:

– парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох.

у= 0 Þ/>Þ/>Þх1= 0; х2= 4.

Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).

ÞВершина параболы будет в точке с абсциссой х= 2 Þ/>= = 2 – 1 = 1, т. е.

Вершиной параболы будет точка (2; 1).

ПРИМЕР 6