Реферат: Комплексные числа в планиметрии
--PAGE_BREAK--Решение. Требуется доказать: <img width=«343» height=«24» src=«ref-1_749354462-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076"> Запишем левую часть, воспользовавшись формулами (2) и (4а), и убедимся в том, что она равна правой.Задача5.Доказать, что расстояние от вершины С треугольника АВС до точкиD, симметричной центру описанной окружности относительно прямой АВ, вычисляется по формуле |CD|2=R2+|AC|2+|BC|2-|AB|2, где R
-радиус описанной окружности. (Рис.5)
Решение. Точка Mявляется серединой АВ, так как центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.
Точка М — середина ОD(по условию).
Тогда, <img width=«309» height=«87» src=«ref-1_749355001-652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">. Воспользуемся этим равенством, формулами (2) и (4а) и убедимся в справедливости |CD|2=R2+|AC|2+|BC|2-|AB|2.
<img width=«551» height=«243» src=«ref-1_749355653-1244.coolpic» v:shapes="_x0000_s1056">
<img width=«84» height=«24» src=«ref-1_749356897-313.coolpic» v:shapes="_x0000_s1057"><img width=«153» height=«74» src=«ref-1_749357210-900.coolpic» v:shapes="_x0000_s1058"><img width=«64» height=«135» src=«ref-1_749358110-998.coolpic» v:shapes="_x0000_s1059"> B B
<img width=«213» height=«160» src=«ref-1_749359108-2614.coolpic» v:shapes="_x0000_s1065 _x0000_s1064 _x0000_s1063"> <img width=«23» height=«112» src=«ref-1_749361722-804.coolpic» v:shapes="_x0000_s1061 _x0000_s1062">
<img width=«83» height=«29» src=«ref-1_749362526-543.coolpic» v:shapes="_x0000_s1066"><img width=«11» height=«6» src=«ref-1_749363069-243.coolpic» v:shapes="_x0000_s1067"> N
<img width=«139» height=«51» src=«ref-1_749363312-752.coolpic» v:shapes="_x0000_s1068"><img width=«187» height=«98» src=«ref-1_749364064-953.coolpic» v:shapes="_x0000_s1069"> P
<img width=«92» height=«67» src=«ref-1_749365017-709.coolpic» v:shapes="_x0000_s1070"> A
<img width=«219» height=«35» src=«ref-1_749365726-635.coolpic» v:shapes="_x0000_s1071">
C
A M C
Рис. 4 Рис. 5
Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек
ОПР:
Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b).Векторы <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_749366361-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078"> и<img width=«27» height=«24» src=«ref-1_749366583-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> сонаправлены тогда и только тогда, когда arg
a
=
arg
b, т. е. при arg
а —
arg
b
=
arg
<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_749366805-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">
=0(при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя!).
Очевидно также, что эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, еслиarg a — arg b=arg<img width=«53» height=«41» src=«ref-1_749367021-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">
.
Комплексные числа с аргументами0, <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_749367275-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">,<img width=«27» height=«15» src=«ref-1_749367470-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">являются действительными. ТЕОРЕМА (Критерий коллинеарности точек О, А, В): Для того чтобы точки А(а) и В(b
)были коллинеарны с начальной точкой О, необходимо и достаточно, чтобы частное <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_749366805-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> было действительным числом, т. е.
<img width=«45» height=«41» src=«ref-1_749367886-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> или <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_749368163-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"> (6)
Действительно, так как в этом случае число <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_749368419-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> действительное (k
=
<img width=«15» height=«21» src=«ref-1_749368693-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">
),то критерий(6) эквивалентен такому:
<img width=«125» height=«24» src=«ref-1_749368895-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">. (7)
Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).
ОПР: Векторы <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_749369225-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> и <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_749369443-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> коллинеарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а—b и с—d, коллинеарны с началом О.
Замечание:
1. На основании(6) имеем:
<img width=«280» height=«27» src=«ref-1_749369661-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">; (8)
2. Если точки А, В, С,D принадлежат единичной окружности <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_749370180-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">=l, то
<img width=«179» height=«41» src=«ref-1_749370377-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">,и поэтому условие(8) принимает вид:
<img width=«136» height=«27» src=«ref-1_749370805-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> ; (9)
3. Коллинеарность точек A
, В, Схарактеризуется коллинеарностью векторов <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_749371158-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> и <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_749371375-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">. Используя(8), получаем:
<img width=«172» height=«24» src=«ref-1_749371592-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">. (10)
Это критерий принадлежности точек A
,
B
, Содной прямой. Его можно представить в симметричном виде
<img width=«219» height=«24» src=«ref-1_749371982-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> (11)
Если точки Aи Bпринадлежат единичной окружности <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_749370180-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">=l, то <img width=«88» height=«41» src=«ref-1_749372614-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">, и поэтому каждое из соотношений(10) и(11) преобразуется (после сокращения на (а-b
)в такое:
<img width=«101» height=«19» src=«ref-1_749372926-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> (12)
Точки А иВ фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозначив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений(10), (11), (12) будет уравнением прямой АВ:
<img width=«193» height=«24» src=«ref-1_749373211-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">
, (10а)
<img width=«99» height=«19» src=«ref-1_749373619-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">
. (12a)
В частности, прямая ОА имеет уравнение <img width=«56» height=«17» src=«ref-1_749373891-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">
Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что
<img width=«283» height=«55» src=«ref-1_749374128-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">
Комплексные числа с аргументами <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_749374799-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> и<img width=«29» height=«41» src=«ref-1_749375025-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">— являются чисто мнимыми.
Поэтому,
<img width=«143» height=«52» src=«ref-1_749375248-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">
или
<img width=«156» height=«30» src=«ref-1_749375678-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> (13)
Отрезки АВ и CDперпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а—bи с—dперпендикулярны. В силу(13) имеем:
<img width=«307» height=«35» src=«ref-1_749376070-658.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> (14)
В частности, когда точки А, В, С,D принадлежат единичной окружности <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_749370180-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">=l,то зависимость(14) упрощается:
<img width=«163» height=«30» src=«ref-1_749376925-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> (15)
Выведем уравнение касательной к единичной окружности <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_749370180-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">=lв ее точке
P
(р). Если М(z) — произвольная точка этой касательной, то <img width=«69» height=«19» src=«ref-1_749377515-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">
и обратно. На основании(14) имеем:
<img width=«156» height=«21» src=«ref-1_749377773-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">
или
<img width=«95» height=«21» src=«ref-1_749378130-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">.
Поскольку <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_749378422-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">, то уравнение касательной становится таким:
<img width=«77» height=«21» src=«ref-1_749378652-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">. (16)
Это частный случай уравнения(12a) при а=b
=р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.
Задача1.Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD
единичной окружности<img width=«20» height=«16» src=«ref-1_749370180-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">=l,если точки А, В, С, Dлежат на этой окружности и имеют соответственно комплексные координаты а, b
, с,
d
.
Пользуясь уравнением (12а), получаем систему
<img width=«107» height=«48» src=«ref-1_749379120-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">
из которой почленным вычитанием находим:
<img width=«133» height=«41» src=«ref-1_749379498-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> (17)
В том частном случае, когда хорды АВ и CDперпендикулярны, в силу (15) ab
=-
cd
,и поэтому результат(17) приводится к виду
<img width=«147» height=«41» src=«ref-1_749379912-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
откуда
<img width=«136» height=«41» src=«ref-1_749380307-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> (18)
В этом случае точка пересечения определяется только тремя точками A, В, С, так как <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_749380665-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
, и, значит,
<img width=«144» height=«41» src=«ref-1_749380929-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> (19)
3адача2.Найти комплексную координату точки пересечения касательных в точках A
(а)и B(b) единичной окружности<img width=«20» height=«16» src=«ref-1_749370180-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">=l. Для искомой координаты zимеем систему
<img width=«89» height=«51» src=«ref-1_749381519-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">
из которой находим:
<img width=«85» height=«41» src=«ref-1_749381887-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">
Поскольку <img width=«95» height=«41» src=«ref-1_749382259-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> то получаем окончательно:
<img width=«69» height=«41» src=«ref-1_749382567-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">
или <img width=«93» height=«41» src=«ref-1_749382875-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> (20)
Покажем теперь метод комплексных чисел в действии, применяя его к доказательству классических теорем элементарной геометрии.
Теорема Ньютона
. Вописанном около окружности четырехугольнике середины диагоналей коллинеарны, с центром окружности.
<img width=«346» height=«135» src=«ref-1_749383206-18199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">
Доказательство.Примем центр окружности за начало, полагая ее радиус равным единице. Обозначим точки касания сторон данного четырехугольника AoBoCoDoчерез А, В, С,D (в круговом порядке) (рис.4). Пусть М иN — середины диагоналей АoСoи BoDoсоответственно. Тогда согласно(20) точки Аo, Вo, Сo, Doбудут иметь соответственно комплексные координаты:
<img width=«305» height=«41» src=«ref-1_749401405-687.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">
где a, b, c, d– комплексные координаты точек A, B, C, D.
Поэтому
<img width=«413» height=«41» src=«ref-1_749402092-801.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">
Вычисляем <img width=«129» height=«44» src=«ref-1_749402893-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> Поскольку <img width=«95» height=«41» src=«ref-1_749403374-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"><img width=«96» height=«41» src=«ref-1_749403682-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">то непосредственно видно, что<img width=«56» height=«41» src=«ref-1_749403990-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">На основании(6) точки О, М,N коллинеарны.
Теорема Гаусса.Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно в точках А1, B1, C1, то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 коллинеарны(рис.5).
Доказательство.Используя(11), запишем условия коллинеарности троек точек АВ1С, СА1В, ВС1А, A1B1C1:
<img width=«255» height=«104» src=«ref-1_749404276-1176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> (21)
Если М, N
,
P
—середины отрезков AA
1
,
BB
1
,
CC
1
,то предстоит показать, что
<img width=«236» height=«21» src=«ref-1_749405452-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> (22)
Так как <img width=«285» height=«41» src=«ref-1_749405908-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> то доказываемое равенство(22) эквивалентно такому:
<img width=«505» height=«24» src=«ref-1_749406466-708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">
или после перемножения:
<img width=«324» height=«75» src=«ref-1_749407174-1164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> (23)
Теперь легко видеть то, что(23) получается почленным сложением равенств(21). Доказательство закончено.
продолжение
--PAGE_BREAK--Теорема Паскаля
.Точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.
Доказательство.Пусть в окружность вписан шестиугольник ABCDEFи <img width=«361» height=«21» src=«ref-1_749408338-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> (рис.6). Примем центр окружности за нулевую точку плоскости, а ее радиус — за единицу длины. Тогда согласно(17) имеем:
<img width=«392» height=«44» src=«ref-1_749408915-816.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">
Вычисляем
<img width=«284» height=«44» src=«ref-1_749409731-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">
ианалогично
<img width=«289» height=«44» src=«ref-1_749410402-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">
Далее находим:
<img width=«171» height=«44» src=«ref-1_749411081-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">
Поскольку числа <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_749430355-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> равны соответственно<img width=«109» height=«44» src=«ref-1_749430669-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">, то устная проверка обнаруживает, что найденное выражение совпадает со своим сопряженным, т. е. является действительным числом. Это означает коллинеарность точек М, N
, Р.
Teope
м
a
M
онжа
.Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпендикулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.
Доказательство.Серединные перпендикуляры к сторонам четырёхугольника ABCDпересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М(z
)серединного перпендикуляра к [AB] число <img width=«85» height=«60» src=«ref-1_749431026-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">чисто мнимое.
В частности, приz=0 оно равно<img width=«71» height=«44» src=«ref-1_749431382-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">.Для каждой точки N
(
z
) прямой, проходящей через середину стороны CDперпендикулярно (AB), число<img width=«87» height=«60» src=«ref-1_749431726-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z=<img width=«108» height=«41» src=«ref-1_749432080-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> оно равно<img width=«59» height=«44» src=«ref-1_749432417-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">т. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой
<img width=«108» height=«41» src=«ref-1_749432080-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b,с,d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е.
Решим ещё несколько основных планиметрических задач.
3адача3.Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.
Решение.Требуется доказать: <img width=«301» height=«24» src=«ref-1_749433074-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">
Запишем <img width=«68» height=«19» src=«ref-1_749433579-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> используя (15): <img width=«77» height=«19» src=«ref-1_749433827-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">. Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A
,
B
,
C
,
D
принадлежат окружности <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_749434081-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, приходим к выводу, что <img width=«312» height=«24» src=«ref-1_749434316-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">
3адача4.Доказать, что если средние линии MP
,
NQчетырехугольника ABCDравны, то его диагонали AC
иBD перпендикулярны и обратно.
Решение. Требуется доказать: <img width=«168» height=«21» src=«ref-1_749434827-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">.
(a)<img width=«425» height=«24» src=«ref-1_749435212-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> так как
<img width=«356» height=«41» src=«ref-1_749435895-614.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> , cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим: <img width=«235» height=«23» src=«ref-1_749436509-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> но это и есть условие того, что <img width=«68» height=«19» src=«ref-1_749433579-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">(см. 14).
Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности
Условимся обозначать символом <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_749437184-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> положительно ориентированный угол, на который надо повернуть вектор <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_749371158-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">, чтобы он стал сонаправлен
<img width=«182» height=«157» src=«ref-1_749437860-9289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
с вектором<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"><img width=«27» height=«24» src=«ref-1_749447318-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">. Если <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_749447538-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"><img width=«39» height=«21» src=«ref-1_749447749-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> и<img width=«67» height=«25» src=«ref-1_749447966-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, то точкам Р и Qсоответствуют комплексные числа b—а и d—c(рис.7) и
<img width=«351» height=«41» src=«ref-1_749448224-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> (24)
Эта формула в применении к положительно ориентированному треугольнику АВС дает:
<img width=«209» height=«41» src=«ref-1_749448858-496.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"><img width=«107» height=«41» src=«ref-1_749449354-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> (25)
Если z=r(<img width=«27» height=«15» src=«ref-1_749449693-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"><img width=«76» height=«21» src=«ref-1_749449890-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> , то <img width=«140» height=«21» src=«ref-1_749450165-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> Отсюда
<img width=«96» height=«44» src=«ref-1_749450501-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"><img width=«97» height=«44» src=«ref-1_749450829-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> (26)
Тогда <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_749451499-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"><img width=«356» height=«83» src=«ref-1_749451781-884.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> так как<img width=«163» height=«24» src=«ref-1_749453003-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
Итак,
<img width=«325» height=«44» src=«ref-1_749453388-687.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> (27)
Аналогично находим:
<img width=«317» height=«44» src=«ref-1_749454075-686.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">. (28)
Выведем формулу для площади Sположительно ориентированного треугольника АВС:
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"><img width=«495» height=«41» src=«ref-1_749455099-773.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> <img width=«249» height=«41» src=«ref-1_749456041-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">
или
<img width=«247» height=«41» src=«ref-1_749456547-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> (29)
что можно записать в виде определителя третьего порядка:
<img width=«109» height=«76» src=«ref-1_749457054-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> (30)
Если треугольник АВС вписан в окружность <img width=«41» height=«17» src=«ref-1_749457445-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, то формула(29) преобразуется к виду
<img width=«172» height=«41» src=«ref-1_749457655-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">. (31)
Для площади Sположительно ориентированного четырехугольника ABCDимеем:
<img width=«463» height=«41» src=«ref-1_749458110-740.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> (32)
Если четырехугольникABCD вписан в окружность zz==l, то(32) принимает вид:
<img width=«197» height=«41» src=«ref-1_749458850-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> (33)
Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окружности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.
Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.
Возьмем четыре произвольные точки A
, В, С,
Dсоответственно с комплексными координатами а, b,c,d. Комплексное число
<img width=«217» height=«44» src=«ref-1_749459354-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
(34)
называется двойным отношением точек A, В, С,D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.
Теорема.Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.
Доказательство.Если точки А, В, С,D коллинеарны, то отношения<img width=«39» height=«41» src=«ref-1_749459937-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> и <img width=«41» height=«41» src=«ref-1_749460187-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">действительные числа (см. условие(10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение(34). Если точки А, В, С,D лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:
1) точки С иD находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;
2) точки С иD находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.
В первом случае ориентированные углы ВСА и BDAравны, во втором случае <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">ВСА+<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">АDВ= ±<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_749460846-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">, т. е. <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">ВСА-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">ВСА= ±<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_749460846-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">. В обоих случаях разность <img width=«185» height=«25» src=«ref-1_749461626-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> равна нулю или ±<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_749460846-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">. Но поскольку согласно (24) эта разность равна
<img width=«316» height=«41» src=«ref-1_749462210-688.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
то <img width=«16» height=«13» src=«ref-1_749462898-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> — действительное число.
Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если<img width=«40» height=«41» src=«ref-1_749463092-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"> действительное число, то и <img width=«41» height=«41» src=«ref-1_749460187-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> действительное число. Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, Dколлинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число <img width=«39» height=«41» src=«ref-1_749459937-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> комплексное, то и число<img width=«41» height=«41» src=«ref-1_749460187-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В,D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношениевещественно, то
<img width=«313» height=«49» src=«ref-1_749464646-690.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
Следовательно, либо <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">BCA
=<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">
BDA
,либо <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">ВСА—<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">ВD
А=±<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_749460846-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">, т.е. <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">ВСА+<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749460454-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">
ADB
=±<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_749460846-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.В первом случае отрезок АВ из точек С иD виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBDравна ±<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_749460846-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">, и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.
Задача1.В окружности проведены три параллельные хорды <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_749467094-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые <img width=«101» height=«23» src=«ref-1_749467397-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ.
Решение.Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A
1
,
B
1
,
C
1комплексные числа <img width=«99» height=«23» src=«ref-1_749467734-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">Тогда по условию(9) параллельности хорд имеем <img width=«104» height=«23» src=«ref-1_749468043-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> Следует доказать, что <img width=«275» height=«25» src=«ref-1_749468328-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> (рис.8).
Первое равенство эквивалентно такому: <img width=«157» height=«45» src=«ref-1_749468848-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">
Или
<img width=«163» height=«47» src=«ref-1_749469296-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">
т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число
<img width=«235» height=«47» src=«ref-1_749469813-691.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">
равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.
Задача2.На плоскости даны четыре окружности <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_749470504-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">так, что окружности <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_749470788-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> и <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_749470988-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> пересекаются в точках <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_749471192-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> и<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_749471397-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">;окружности <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_749470988-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_749471808-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> пересекаются в точках <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_749472010-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">и <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_749472221-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">, окружности <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_749471808-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> и <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_749472636-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">—в точках <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_749472840-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_749473048-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> и окружности<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_749472636-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_749470788-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> — в точках <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_749473661-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> и <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_749473871-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">. Доказать, что если точки <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_749474083-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">лежат на одной окружности или прямой, то и точки <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_749474554-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> также лежат на одной
<img width=«219» height=«189» src=«ref-1_749474849-15125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> <img width=«230» height=«188» src=«ref-1_749489974-15923.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">
окружности или прямой (рис.9).
продолжение
--PAGE_BREAK--Решение.Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:
<img width=«305» height=«93» src=«ref-1_749505897-1205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">
Поэтому будет действительным и число
<img width=«313» height=«80» src=«ref-1_749507102-1043.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">
Следовательно, из вещественности двойного отношения <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_749508145-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> вытекает вещественность и двойного отношения <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_749508446-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">.
Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник
ОПР:Треугольники АВС и <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">подобны и одинаково ориентированы (подобие первого рода), если только <img width=«219» height=«23» src=«ref-1_749508989-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> и <img width=«147» height=«23» src=«ref-1_749509411-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">
(углы ориентированные).
Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так:
<img width=«411» height=«47» src=«ref-1_749509775-693.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">
Два равенства <img width=«123» height=«47» src=«ref-1_749510468-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> и <img width=«145» height=«47» src=«ref-1_749510841-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> эквивалентны одному <img width=«105» height=«47» src=«ref-1_749511267-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> или
<img width=«141» height=«43» src=«ref-1_749511627-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> (35)
где <img width=«27» height=«13» src=«ref-1_749512033-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> комплексное число, <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_749512229-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">коэффициент подобия.
Если, в частности,<img width=«15» height=«13» src=«ref-1_749512433-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> — число действительное, то <img width=«165» height=«43» src=«ref-1_749512622-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">и на основании признака(8) будет<img width=«93» height=«23» src=«ref-1_749513030-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">. По такой же причине <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_749513333-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">и<img width=«93» height=«23» src=«ref-1_749513640-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">. Следовательно, треугольники <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_749513944-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> и <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> гомотетичны.
Соотношение(35) — необходимый н достаточный признак того, что треугольники АВС и <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> являются подобнымии одинаково ориентированными. Ему можно придать симметричный вид:
<img width=«211» height=«23» src=«ref-1_749514657-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> (36)
или
<img width=«92» height=«79» src=«ref-1_749515087-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">. (37)
ОПР. Треугольники АВС и <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">подобны и противоположно ориентированы (подобие второго рода), <img width=«21» height=«15» src=«ref-1_749515701-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"><img width=«200» height=«23» src=«ref-1_749515899-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> и <img width=«156» height=«23» src=«ref-1_749516296-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">. Последнее равенство дает:
<img width=«237» height=«47» src=«ref-1_749516664-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">
Два равенства
<img width=«127» height=«47» src=«ref-1_749517190-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> и <img width=«148» height=«47» src=«ref-1_749517587-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">
эквивалентны одному
<img width=«109» height=«47» src=«ref-1_749518019-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">
или
<img width=«141» height=«43» src=«ref-1_749518395-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> (38)
где <img width=«15» height=«13» src=«ref-1_749512433-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> — комплексное число, <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_749519003-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">-коэффициент подобия.
Соотношение(38) есть необходимый и достаточный признак того, что треугольники АВС и<img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> подобны и ориентированы противоположно. Его можно записать в симметричной форме:
<img width=«213» height=«23» src=«ref-1_749519475-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> (39)
или же так:
<img width=«96» height=«79» src=«ref-1_749519907-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> (40)
Если<img width=«45» height=«21» src=«ref-1_749520279-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">, то треугольники АВС и <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">будут равны (конгруэнтны).
Тогда соотношения(35) и(38) становятся признаками равенства треугольников соответственно одинаковой и противоположной ориентации.
Рассмотренные признаки подобия треугольников позволяют обосновать простой способ построение произведения и частного двух комплексных чисел. Пусть даны точки <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_749520738-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> с комплексными координатами <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_749520980-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> и требуется построить точку М с координатой z
=
ab
.Тогда, очевидно, <img width=«89» height=«41» src=«ref-1_749521206-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">. Это равенство говорит о том, что треугольники ОЕА и ОВМ подобны и одинаково ориентированы. Отсюда и вытекает способ построения точки М, соответствующей произведению ab (рис.10).
Обратно: если даны точки М иА соответственно с координатамиab и a, то точка В, соответствующая частному этих чисел строится на основании тех, же подобных треугольников.
Следует обратить внимание на один важный частный случай. Если |а|=1, то точка М будет образом точки В при повороте около нулевой точки на угол<img width=«64» height=«17» src=«ref-1_749521529-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">. Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник АВС был подобен ориентированному треугольнику BCA
,то треугольник АВС необходимо будет правильным. Поэтому из условия(36) получаем необходимое и достаточное условие того, чтобы треугольник АВС был правильным
<img width=«180» height=«24» src=«ref-1_749521778-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> (41)
или
<img width=«212» height=«24» src=«ref-1_749522171-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> (42)
Введем в употребление комплексное число<img width=«147» height=«41» src=«ref-1_749522568-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> являющееся одним из корней уравнения<img width=«47» height=«21» src=«ref-1_749522966-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">(Формула для нахождения корней -<img width=«324» height=«41» src=«ref-1_749523183-657.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">) Другие два корня которого равны1 и<img width=«261» height=«41» src=«ref-1_749523840-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_749437474-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">. По теореме Виета для кубического уравнения <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_749524527-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> имеем<img width=«93» height=«21» src=«ref-1_749524763-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> Это легко проверить и непосредственно. Тогда равенство(41) будет эквивалентно такому:
<img width=«195» height=«188» src=«ref-1_749525040-13417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> <img width=«285» height=«187» src=«ref-1_749538457-11242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">
<img width=«215» height=«24» src=«ref-1_749549699-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">
или после умножения первого трехчлена на <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_749550123-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">:
<img width=«212» height=«24» src=«ref-1_749550330-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">. (43)
Итак, для того чтобы треугольник АВС был правильным, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из равенств:
<img width=«109» height=«21» src=«ref-1_749550752-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> (44)
или же
<img width=«113» height=«21» src=«ref-1_749551044-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> (45)
Оказывается, первое из этих равенств соответствует только тому случаю, когда треугольник АВС ориентирован положительно, а второе выполняется лишь при отрицательной его ориентации. В самом деле, так как умножению на <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_749551334-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> отвечает поворот на <img width=«28» height=«41» src=«ref-1_749551526-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">, то при положительной ориентации треугольника <img width=«208» height=«21» src=«ref-1_749551770-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">(рис.11), откуда <img width=«215» height=«21» src=«ref-1_749552151-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">и поэтому<img width=«209» height=«24» src=«ref-1_749552543-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">
Аналогично проверяется выполнение равенства(45) для отрицательно ориентированного правильного треугольника АВС. Очевидно, одновременно равенства(44) и(45) выполняться не могут.
Если правильный треугольник АВС вписан в окружность<img width=«41» height=«17» src=«ref-1_749457445-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">, то при его положительной ориентации <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_749553153-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">и <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_749553378-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">, а при отрицательной ориентации <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_749553612-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">и <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_749553843-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">Поэтому каждое из условий(44) и(45) принимает вид:
<img width=«87» height=«19» src=«ref-1_749554085-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> (46)
Задача1.Доказать, что треугольник<img width=«53» height=«27» src=«ref-1_749554343-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">, стороны которого принадлежат касательным в вершинах треугольника АВС к его описанной окружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях <img width=«73» height=«23» src=«ref-1_749554588-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">высот треугольника АВС.
Решение.Принимаем описанную окружность за единичную <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_749554868-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> Руководствуясь формулами(20) и(19), получаем:
<img width=«447» height=«85» src=«ref-1_749555079-1176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">
Проверяем выполнимость признака(35):
<img width=«293» height=«47» src=«ref-1_749556255-645.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">
причем<img width=«44» height=«15» src=«ref-1_749556900-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">, т. е. <img width=«15» height=«13» src=«ref-1_749512433-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">-действительное число. Значит, треугольники <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">и <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_749557552-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> гомотетичны.
3
адача2.Два равных одинаково ориентированных треугольника АВС и <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> вписаны в одну окружность. Доказать, что треугольник с вершинами в точках пересечения прямых ВС и<img width=«33» height=«23» src=«ref-1_749558058-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">, СА и<img width=«33» height=«23» src=«ref-1_749558283-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">, ABи <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_749558510-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">подобен данным треугольникам.
Решение.Придадим окружности уравнение <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_749558737-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">. Вершины. треугольника <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_749508744-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> служат образами вершин треугольника АВС при повороте на некоторый угол <img width=«44» height=«17» src=«ref-1_749559197-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_749559428-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">. Поэтому <img width=«179» height=«23» src=«ref-1_749559645-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> Если<img width=«68» height=«23» src=«ref-1_749560019-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">— точки пересечения прямых ВС и <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_749560295-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> СА и <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_749560527-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> АВ и <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_749558510-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> соответственно, то на основании(17) <img width=«239» height=«44» src=«ref-1_749560987-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> откуда <img width=«77» height=«41» src=«ref-1_749561582-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"> Аналогично <img width=«77» height=«41» src=«ref-1_749561888-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> <img width=«76» height=«41» src=«ref-1_749562196-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">
Осталось проверить условие(17): <img width=«221» height=«23» src=«ref-1_749562502-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> что делается непосредственной подстановкой.
3
адача3.Доказать, что середины отрезков, соединяющих соответственные вершины двух равных и противоположно ориентированных треугольников, коллинеарны.
Решение. Для доказательства данной задачи воспользуемся:
1) Формулой (38),- необходимое и достаточное условие равенства двух противоположно ориентированных треугольников ABCи <img width=«51» height=«23» src=«ref-1_749562934-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364"> <img width=«105» height=«47» src=«ref-1_749563187-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">;
2) Формулой (4а) для точек M
,
N
,
P: <img width=«293» height=«41» src=«ref-1_749563547-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> (из условия задачи);
3) Формулой (11),- коллинеарности точек M
,
N
,
P: <img width=«245» height=«21» src=«ref-1_749564115-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">
Теперь простой проверкой убеждаемся в том, что из 1)<img width=«15» height=«13» src=«ref-1_749564573-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">2) <img width=«21» height=«15» src=«ref-1_749564761-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> 3).
ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное число<img width=«65» height=«20» src=«ref-1_749564953-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">. Из равенств <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_749564953-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> и <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_749565457-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> однозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплексные числа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_749565707-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_749565897-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">:
<img width=«189» height=«41» src=«ref-1_749566087-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> (1)
Поэтому комплексные числаz и<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_749565897-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> называются сопряженными комплексными координатами этой точки.
Формулы(1) позволяют осуществить переход от уравнения геометрической фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.
Геометрический смысл уравнения <img width=«97» height=«19» src=«ref-1_749566699-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">
Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные координаты которых удовлетворяют уравнению
<img width=«97» height=«19» src=«ref-1_749566699-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> (2)
Сначала выделим особый случай, когда с=0. Тогда имеем систему относительно <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_749567265-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_749565897-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">
<img width=«87» height=«49» src=«ref-1_749567645-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">
второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряженным числам. Уравнивая коэффициенты при <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_749565897-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">, путем вычитания второго уравнения из первого получаем:
<img width=«105» height=«23» src=«ref-1_749568227-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">
Если <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_749568537-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">, т.е. <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_749568783-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">, то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения <img width=«75» height=«19» src=«ref-1_749569016-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"> будет единственное число z=0. При <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_749569278-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387"> уравнение <img width=«75» height=«19» src=«ref-1_749569016-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388"> напишем в виде <img width=«63» height=«41» src=«ref-1_749569768-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">. Модули левой и правой частей равны. Необходимо, чтобы <img width=«164» height=«41» src=«ref-1_749570025-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">, откуда <img width=«128» height=«41» src=«ref-1_749570427-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">. Этому условию удовлетворяет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом <img width=«107» height=«41» src=«ref-1_749570798-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392"> к действительной оси (рис.1). Так, уравнением
<img width=«75» height=«19» src=«ref-1_749569016-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> (3)
задается прямая при <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_749569278-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> и точка <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_749581169-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> при <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_749568783-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">.
Пусть теперь <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_749581616-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">. Свободный член уравнения(2) можно всегда сделать действительным числом путем умножения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_749581838-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399"> Тогда имеем систему:
<img width=«112» height=«49» src=«ref-1_749582072-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">
из которой получаем: <img width=«156» height=«23» src=«ref-1_749582503-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">. Рассмотрим возможные случаи.
Если <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749582876-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">, то <img width=«76» height=«41» src=«ref-1_749583100-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> и подстановкой в исходное уравнение получаем: <img width=«153» height=«41» src=«ref-1_749583405-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> или <img width=«172» height=«23» src=«ref-1_749583827-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">.
При <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_749584200-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406"> его решение единственно:
<img width=«91» height=«41» src=«ref-1_749584435-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">
При <img width=«144» height=«23» src=«ref-1_749584795-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> решений нет.
Если <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">, то <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_749585372-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410"> и <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_749585594-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">, т. е. <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_749569278-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">. В этом случае уравнением (2) при <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_749586066-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> прямая. В самом деле, возьмем точку <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_749586265-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> и вектор <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_749366583-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"> точки В(b
)и рассмотрим множество точек М(z), для каждой из которых (MQ
)<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_749586777-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">(
OB
):
<img width=«180» height=«41» src=«ref-1_749586954-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"> (4)
Очевидно, это множество есть прямая. При <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> и <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_749586066-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"> уравнение(4) эквивалентно уравнению(2).
Таким образом, при <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> и <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_749586066-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> уравнение(2) есть уравнение прямой, которая проходит через точку<img width=«61» height=«41» src=«ref-1_749586265-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> перпендикулярно вектору <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_749588544-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">.
Наконец, отметим случай, когда <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">, но <img width=«37» height=«17» src=«ref-1_749589020-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">. Тогда система
<img width=«109» height=«49» src=«ref-1_749589233-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">
приводит к противоречию: <img width=«216» height=«23» src=«ref-1_749589662-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">, т.е. <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_749586066-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">.
Подведем итоги. Уравнением <img width=«97» height=«19» src=«ref-1_749566699-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">, в котором хотя бы один из коэффициентов aиb отличен от нуля, задается:
1)прямая при |а|=|b
|, с=0, а также при <img width=«80» height=«23» src=«ref-1_749590566-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">;
2)единственная точка при <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_749568783-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">;
3) пустое множество в иных случаях, т. е. при |a
|= |
b
|, <img width=«80» height=«23» src=«ref-1_749591053-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">,а также при <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">, <img width=«37» height=«17» src=«ref-1_749589020-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">.
Достигнув поставленной цели, возвратимся снова к системе:
<img width=«109» height=«49» src=«ref-1_749589233-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">
не налагая ограничений на коэффициенты а, b
, с,кроме того, что aи b
не равны нулю одновременно. Уравнивая коэффициенты при <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_749565897-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">, приходим к уравнению <img width=«143» height=«23» src=«ref-1_749592378-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">, которое:
а) имеет единственное решение при <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_749568537-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">;
б) имеет бесконечное множество решений при <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_749585594-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> и <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_749593219-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">;
в) не имеет решений при <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_749585594-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> и <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_749593704-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">.
Отсюда и на основании результата предыдущих исследований получаем, что уравнение <img width=«97» height=«19» src=«ref-1_749566699-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> определяет:
а) единственную точку при <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_749568537-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">
б) прямую при <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_749585594-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> и <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_749593219-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">;
в) пустое множество при <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_749585594-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"> и <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_749593704-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">.
Уравнение
<img width=«137» height=«21» src=«ref-1_749595448-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">
(5)
прямой в сопряженных комплексных координатах будем называть приведенным уравнением прямой.
Две прямые. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая т задана приведенным уравнением <img width=«141» height=«23» src=«ref-1_749595769-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">. Так как она перпендикулярна вектору <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_749596106-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">, то вектор <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_749596361-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452"> будет ей параллелен (рис.2). Следовательно, ориентированный угол от оси х до прямой т равен аргументу числа ai
:
<img width=«152» height=«41» src=«ref-1_749605719-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">. (6)
Положительно ориентированный угол<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_749606100-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> от прямой <img width=«117» height=«23» src=«ref-1_749606314-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456"> до прямой <img width=«120» height=«23» src=«ref-1_749606635-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> равен углу между их направляющими векторами <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_749606971-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> и <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_749607181-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">:
<img width=«143» height=«47» src=«ref-1_749607393-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">. (7)
Формулы(6) и(7) позволяют находить соответствующие углы с точностью до слагаемого <img width=«16» height=«13» src=«ref-1_749460846-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">.
Из формулы(7) вытекает критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_749607994-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> и <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_749608201-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">. В самом деле,<img width=«92» height=«47» src=«ref-1_749608412-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> чисто мнимое число. Это значит, что <img width=«149» height=«47» src=«ref-1_749608766-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">, или
<img width=«148» height=«47» src=«ref-1_749609177-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">. (8)
При<img width=«41» height=«19» src=«ref-1_749609549-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> или<img width=«45» height=«17» src=«ref-1_749609789-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> получаем:
<img width=«135» height=«47» src=«ref-1_749610027-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">. (9)
Если прямая <img width=«99» height=«19» src=«ref-1_749610441-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> проходит через точку <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_749610730-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">, то <img width=«113» height=«24» src=«ref-1_749610995-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> и ее уравнение можно написать в виде:
<img width=«169» height=«24» src=«ref-1_749611315-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473"> (10)
В силу условия(8) перпендикулярности для прямой, перпендикулярной данной, коэффициентами при, zи <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_749565897-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> будут соответственно числа а и <img width=«27» height=«16» src=«ref-1_749611881-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">. Поэтому на основании уравнения(10) получаем уравнение
<img width=«169» height=«24» src=«ref-1_749612077-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476"> (11)
прямой, проходящей через точку <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_749610730-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"> перпендикулярно прямой <img width=«99» height=«19» src=«ref-1_749610441-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">.Решение системы
<img width=«176» height=«51» src=«ref-1_749613005-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">
дает координату
<img width=«121» height=«43» src=«ref-1_749613513-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> (12)
основания M
1перпендикуляра, опущенного из точки <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_749610730-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> на прямую <img width=«99» height=«19» src=«ref-1_749610441-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">.
Так как расстояние dот точки Mэтой прямой равно<img width=«60» height=«24» src=«ref-1_749614439-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">, то
<img width=«193» height=«45» src=«ref-1_749614698-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">. (13)
Геометрический смысл, уравнения <img width=«127» height=«19» src=«ref-1_749615154-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">
Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центру S
(
s
)и радиусу R:
<img width=«131» height=«24» src=«ref-1_749615466-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> (14)
Пусть дано уравнение
<img width=«127» height=«19» src=«ref-1_749615154-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">
, (15)
в котором на комплексные коэффициенты а, b
, сне накладывается заранее никаких условий. Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. С этой целью удобно представить его в эквивалентном виде:
<img width=«153» height=«21» src=«ref-1_749616113-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">. (16)
Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b
, с.
1.Сравнивая уравнение(16) с уравнением(14) окружности, приходим к выводу, что уравнение(16), а значит, и уравнение(15) задают окружность тогда и только тогда, когда <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> и ab
—
с-действительное число. Так как в этом случае <img width=«100» height=«19» src=«ref-1_749616691-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">, то с должно быть действительным числом.
Итак, уравнение
<img width=«217» height=«23» src=«ref-1_749616962-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">
(17)
есть уравнение окружности с центром s
=-
bи радиусом <img width=«85» height=«24» src=«ref-1_749617367-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">.
2.При <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">и с=abуравнению(16) удовлетворяет единственная точка s
=-
b
.В частности, этот случай имеет место при а=b
=с=0. Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением <img width=«124» height=«23» src=«ref-1_749617872-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494"> задается окружность с центром s
=-
b
нулевого радиуса.
3.Если <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">, <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_749586066-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">, но <img width=«47» height=«20» src=«ref-1_749618631-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">, то <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_749618870-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498"> — чисто мнимое число. Полагаем <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_749619128-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">, тогда(16) можно записать так:
<img width=«141» height=«24» src=«ref-1_749619424-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">. (18)
Уравнению(18) не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом значении z
. Говорят, что это уравнение есть уравнение окружности мнимого радиуса iR
с действительным центром S, имеющим комплексную координатуs
=-
b
.
4.Когда <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749585151-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">, но <img width=«37» height=«17» src=«ref-1_749589020-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">, уравнение(16) противоречиво: левая часть его действительна, а правая нет. В этом случае оно не задает никакого геометрического образа (даже мнимого!).
5.Осталось рассмотреть случай, когда <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749582876-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">. Тогда из уравнения(15) вычтем уравнение <img width=«131» height=«20» src=«ref-1_749620442-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">
, получающееся из(15) переходом к сопряженным комплексным числам. Получаем:
<img width=«201» height=«23» src=«ref-1_749620757-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">,
откуда
<img width=«135» height=«41» src=«ref-1_749621165-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">
Выполняя эту подстановку в уравнение(15), приводим его к виду
<img width=«289» height=«24» src=«ref-1_749621548-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">. (19)
При <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_749582876-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> уравнения(15) и(19) равносильны. В зависимости от того, отличен от нуля или равен нулю дискриминант
<img width=«288» height=«24» src=«ref-1_749622261-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">
квадратного уравнения(19), оно будет определять две различные (действительные!) или две совпавшие точки. При D
=совпавшие точки имеют комплексную координату
<img width=«128» height=«44» src=«ref-1_749622778-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">
В частности, при c
=
abкак уравнение(16), так и уравнение(19) дает пару точек z
1
=-
bи<img width=«56» height=«23» src=«ref-1_749623181-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">.
Итак, уравнением(15) задается либо окружность (действительная, мнимая, нулевого радиуса), либо две точки (различные или же совпавшие), либо пустое множество точек.
Рассмотрим одну замечательную пару окружностей.
Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Тогда, очевидно, касательная к одной из ортогональных окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Для того чтобы окружности (A
,
R
)и (В, r
)были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы|AB|2=R2+r2 , или
<img width=«165» height=«24» src=«ref-1_749623412-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">. (20)
Если окружности заданы уравнениями
<img width=«216» height=«24» src=«ref-1_749623791-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">
и
<img width=«224» height=«24» src=«ref-1_749624187-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">
то <img width=«303» height=«25» src=«ref-1_749624610-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">, и поэтому критерий(20) их ортогональности трансформируется так:
<img width=«132» height=«24» src=«ref-1_749625117-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> (21)
Решение задач
Задача 1.Хорды АВ и PQокружности пересекаются в точке С. Найти множество точек М пересечения прямых АР и BQ
,если точки А, В, С постоянны, а точки Р и Qпробегают данную окружность (рис.3).
продолжение
--PAGE_BREAK--