Реферат: Матрицы и определители

Дисциплина: Высшая математикаТема: Матрицы и определители

Понятие матрицы.

При изучении вопросов, связанных с действием над векторами,а также при изучении систем линейных уравнений приходится иметь дело стаблицами из чисел, которые называются матрицами.

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица изчисел, содержащая /> строк и /> столбцов.

Числа /> и /> называются порядкамиматрицы. Если />, то матрицаназывается квадратной. Для обозначения матрицы пользуются либо вертикальнымидвойными черточками, либо круглыми скобками:

/> или />.

Для краткого обозначения матрицы может быть использована иодна буква, например, />. Кроме того,вместо всей таблицы может быть написано:

/>, где />; />.

Числа /> называютсяэлементами матрицы, /> - номер строки, /> - номер столбца.

Для квадратной матрицы вводится понятие главной и побочнойдиагонали: главная диагональ идет из верхнего левого угла в нижний правый; побочная- из верхнего правого в нижний левый.

Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы.

Дана прямоугольная матрица:

Выделим в этой матрице k произвольных строк и kпроизвольных столбцов (k Ј m, k Ј n).

Определение. Определитель k-го порядка, составленныйиз элементов матрицы A, расположенных на пересечении выделенных строк истолбцов, называется минором k-го порядка матрицы A. Матрица Aимеет C km*C kn миноров k-гопорядка.

Определение. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы A,отличные от нуля. Рангом матрицы A называется наибольший порядокотличных от нуля миноров этой матрицы. Если все элементы матрицы равны нулю, торанг этой матрицы принимают равным нулю.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядоккоторого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы A будем обозначать через r (A). Еслиr (A) = r (B), то матрицы A и B называются эквивалентными.

Полезно иметь ввиду, что ранг матрицы не изменяется отэлементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимаются:

1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующимистроками;

2) перестановка строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующихэлементов другой строки.

Действия над матрицами.

Определение. Две матрица называются равными, если ониимеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение. Суммой двух матриц /> (/>) и /> (/>) одинаковых порядков /> называется матрица /> (/>) того же порядка, элементыкоторой равны />.

На письме это действие может быть записано так: />. Операция сложенияобладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным />; сочетательным />.

Определение. Произведением матрицы /> на число /> называется матрица />, элементы которой равны />.

Умножение матрицы на число может быть записано: /> или />.

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательнымотносительно числового множителя />; распределительнымотносительно суммы матриц />; распределительнымотносительно суммы чисел />.

После первых двух действий необходимо отметить, чтовычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на числоможет быть определено как умножение на обратное число.

Определение. Произведением матрицы /> (/>), имеющей порядок />, на матрицу /> (/>), имеющую порядок />, называется матрица /> (/>), имеющая порядок />, элементы которой равны />, где />.

Записывается это действие так />.Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента />, в произведении /> необходимо попарноперемножить все соответствующие элементы />-ойстроки матрицы /> на элементы />-го столбца матрицы />, а затем все это сложить. Изопределения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобычисло столбцов матрицы /> было равно числустрок матрицы />. Отсюда следует,что одновременно произведение /> и /> существует только лишь втом случае, когда число столбцов /> равночислу строк />, а число столбцов /> равно числу строк />. В этом случае /> и /> будут квадратнымиматрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка,необходимо, чтобы /> и /> были квадратными матрицамиодинакового порядка.

Произведение матриц /> имеетсвойства: сочетательное />; распределительное/>. Перестановочным свойствомв общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь внекоторых случаях.

Среди квадратных матриц необходимо выделить важный классдиагональных матриц.

Определение. Диагональной называется квадратная матрица,все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:

/>.

В том случае, если />,то для любой квадратной матрицы /> порядка/> справедливо />. Действительно, для /> получаем />. Для /> - />. Отсюда, />.

Среди диагональных матриц с равными друг другу элементамиособое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы />, обозначается она — />, у нулевой />, обозначается она — />.

Как было показано />, />. Перемножив эти матрицы,можно убедиться, что />; />. Таким образом, матрицы /> и /> выполняют ту же роль, чтои 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которойравны нулю.

Понятие определителя.

Выше было показано, что матрица — это прямоугольная таблица,составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотримпроизвольную квадратную матрицу порядка /> илипросто />:

/> (3.1.1)

Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связатьвполне определенную численную характеристику.

Определение. Численная характеристика квадратной матрицыназывается ее определителем.

Рассмотрим матрицу первого порядка />.

Определение. Численной характеристикой матрицы первогопорядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента/>.

Обозначается определитель одним из символов />.

Рассмотрим матрицу второго порядка

/>.

Определение. Определителем второго порядка,соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное />.

Обозначается определитель одним из символов

/> (3.1.2)

Очевидно, что для составления определителя второго порядка,необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагоналиматрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Поскольку одна из форм обозначения определителя иобозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то также, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.

После того как рассмотрены определители 1-го и 2-гопорядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этимвведем понятие минора.

Определение. Минором любого элемента /> квадратной матрицы порядка/> называется определительпорядка />, соответствующий тойматрице, которая получается из первоначальной в результате вычеркивания />-ой строки и />-го столбца, на пересечениикоторых стоит элемент />.

Обычно минор элемента /> обозначается/>.

Определение. Определителем порядка />, соответствующим матрицепорядка />, называется число, равное

/>.

Обозначается определитель одним из символов

(3.1 3)

Приведенное выражение представляет собой правило вычисленияопределителя />-го порядка по элементампервой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки,которые являются определителями порядка />.Для /> это правило дает:

/>.

В приведенном правиле вычисления определителя фигурируетлишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель,используя элементы других строк?

Теорема. Каков бы ни был номер строки /> (/>), для определителя />-го порядка справедливаформула

/>,

называемая разложением этого определителя по />-ой строке.

Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равнасумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент />.

Докажем эту теорему для />.В этом случае /> может быть равно только 2,так как /> входит в основноеопределение величины определителя. Итак:

/>.

Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано вопределении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.

Для произвольного /> даннаятеорема доказывается методом математической индукции.

Итак, показано, что определитель может быть разложен полюбой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовавпроизвольный столбец.

Теорема. Каков бы ни был номер столбца /> (/>), для определителя />-го порядка справедливаформула />, называемая разложениемэтого определителя по />-му столбцу.

Докажем теорему для />:

/>.

Данное выражение равно величине определителя, введенной поопределению.

Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисленияопределителя />-го порядка необходимо егоразложить по произвольной строке или столбцу.

В заключение введем еще одно определение.

Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента /> определителя />-го порядка называетсячисло, равное />, котороеобозначается />.

Значит, алгебраическое дополнение отличается отсоответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можновычислить с помощью формул:

/>.

Литература

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, «Высшая школа»,1973.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.,«Наука», 1986.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшаяшкола» изд. 5, 1977.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей иматематической статистике. М., «Высшая школа» изд.2.

6. Баврин И.И. Высшая математика — 1980 г.3

7. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966.

10. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.