Реферат: Матрицы, действия с ними

Контрольная работа натему:

«Матрицы, действия сними»

1. Историческаясправка

Понятие Матрица(в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли всередине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом(2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработалтеорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил этутеорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическимикоэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современнойматематике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается внаправлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основныхзадач.

2. Раскрытиетемы

Понятие оматрице

Матрица –множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m-строк и n-столбцов. Дляобозначения матрицы используется надпись:

aij, I – номер строки, j – номер столбца.

Элементыматрицы, стоящие на диагонали, идущие из верхнего левого угла называют главнойдиагональю, другую диагональ называют побочной.

/> пример 1.

Элементыглавной диагонали: 1,6,5. Побочной диагонали: 3,6,3. (пример 1)

/> пример 2.

Есликоличество строк m матрицы не равно количеству столбцов n, то матрица называетсяпрямоугольной (пример 2).

Есликоличество столбцов матрицы совпадают с количеством строк, то матрица называетсяквадратной (пример 1).

Количествострок или столбцов в квадратной матрице называются ее порядком.

Если всеэлементы квадратной матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, томатрица называется диагональной (пример 3).

/>пример3

Если все числаглавной диагонали равны единице, то матрица называется единичной (пример 4).

/>пример 4

Если впрямоугольной матрице m*n m=1, то получается матрица-строка (пример 5).

xT = (2 3 5).пример 5.

Если n=1, то получаетсяматрица-столбец (пример 6).

/>пример 6.

Матрицы-строкиматрицы-столбцы называются векторами.

Свойстваматриц:

§ A + (B + C) = (A + B) + C

§ A + B = B + A

§ A(BC) = (AB) C

§ A (B + C) = AB + AC

§ (B + C) A = BA + CA

§ (AT) T= A

§ (A *B) T = BT * AT

Действия сматрицами

1. Сложениематриц

Матрицыодинакового размера можно складывать.

Суммой двухтаких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны суммесоответствующих элементов матриц А и В. Символически будем записывать так:А+В=С.

Пример.

Легко видеть,что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С).

Нулеваяматрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел:А+0=А.

2. Вычитаниематриц.

Разностьюдвух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая, что

С+В=А

Из этогоопределения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующихэлементов матриц А и В.

Обозначаетсяразность матриц А и В так: С=А – В.

Пример.

3.Умножение матриц

Рассмотримправило умножения двух квадратных матриц второго порядка.

Произведениемматрицы А на матрицу В называется матрица С=АВ.

Правилаумножения прямоугольных матриц:

- Умножениематрицы А на матрицу В имеет смысл в том случае, когда число столбцов матрицы Асовпадает с числом строк в матрице В.

- Врезультате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столькострок, сколько строк было в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцовбыло во второй матрице.

4. Умножениематрицы на число

При умноженииматрицы A на число a все числа, составляющиематрицу A, умножаются на числоa.Например, умножим матрицу /> начисло 2. Получим />, т.е. приумножении матрицы на число множитель «вносится» под знак матрицы.

5. Транспонированиематрицы

Транспонированнаяматрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строкна столбцы.

Формально,транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i,j] = A [j, i].

Например,

Свойстватранспонированных матриц

1. (AT)T = A

2.(A + B)T = AT + BT

3.(AB)T = BTAT

4.detA = detAT

Списоклитературы

1. Баврин, Матросов В.Л. Высшаяматематика: Учебник для студентов ВУЗов – М.: 2002.

2. Беллман Р. Введение втеорию матриц. – М.: Мир, 1969