Реферат: Управление структурой преподавательского состава в университете

Министерство общего ипрофессионального образования

Российской Федерации

Донской ГосударственныйТехнический Университет

кафедра «Высшаяматематика»

_______________________________________________________

Доклад на тему:

“ Управлениеструктурой
преподавательского состава
в университете ”

Выполнил

ГруздевВладимир Викторович

студентгруппы У-3-47

Проверил

БратищевАлександр Васильевич

г. Ростов-на-Дону

2002

Содержание

Содержание. 2

1. Постановка задачи. 2

2. Запасы и потоки. 2

3. Допущения относительнопотоков. 2

4. Основное уравнениепрогнозирования. 2

5. Прогнозирование. 2

6. Управление: сохраняемостьструктур. 2

Заключение. 2

Приложение. 2

Список использованнойлитературы… 2

1. Постановка задачи

В одном американскомуниверситете пришлось иметь дело с задачей, типичной для многих организации взаключительной фазе периода роста. Штат преподавателей был поделен на трикатегории: профессоры, доценты и ассистенты. Хотя общее число штатных местперестало увеличиваться, численность старших должностей продолжало растиотносительно более низких. Трудность состояла не в том, что персонал старшихрангов нежелателен, а в том, что он выше оплачивается. В период застоя в росте ассигнованийперспектива постоянного роста расходов на зарплату поставила передадминистрацией следующие два вопроса. Имеется ли тенденция к продолжению ростарасходов, и если да, то что может быть сделано для его прекращения или, есливозможно, даже снижения расходов.

Наша цель заключается в том,чтобы рассмотреть вопрос о формулировке этой задачи в математическихтерминах, а затем попытаться решить задачу математическими методами.Другими словами, мы собираемся приступить к построению некоторой математическоймодели для системы кадров, которую затем можно использовать для решениявопросов, указанных выше.

2. Запасы и потоки

Центральное место средиколичественных характеристик нашей задачи занимают числа людей в каждом классена данный момент времени — запасы. Будем применять обозначение ni(T)(i = 1, 2, …, k) для записи числа людей в классе i вмомент времени T (на данном этапе нет нужды предполагать, что классы ранжированыпо старшинству). Объемы запасов могут меняться в любое время, однако в данномслучае наибольшее число изменений происходит в конце академического года.Сообразно этому будем аппроксимировать поведение системы, допуская, чтоинтервал между изменениями составляет один год. Таким образом, T выражаетсяв годах и является целым числом.

Размеры запасов изменяютсяиз-за наличия потоков, направленных как в систему, так и изсистемы (набор и увольнение), а также за счет внутренних перемещений (побольшей части за счет перехода сотрудников в класс с повышенной зарплатой).Предположим, что из запаса ni(T) числолюдей nij(T)перемещается в класс j ко времени T + 1 и что ni,k+1(T)человек покидают университет. Тогда запас в классе i в момент T + 1состоят из оставшихся со времени Т плюс вновь прибывшие; последниеобозначаются через n0i(T + 1).В результате соотношение между запасами и потоками записывается следующим образом:

/>,

(1)

еслиопределить /> как число оставшихся вклассе j.

Эти соотношения сами по себедают весьма мало сведений. Их роль заключается в том, чтобы выявить основныеограничения, в которых действует система. Вместе с тем они помогают обратитьвнимание на вопросы, которые необходимо конкретизировать для завершенияпостроения модели. Потоки вызывают изменения в запасах, и потому следуетприступить к выработке допущений относительно того, как происходят перемещения.Если бы имелись какие-либо средства прогнозирования потоков, то можно былопросто вывести размеры запасов на год Т + 1из размеров запасов на год Т и т.д., продвигаясь вперед, насколькопотребуется.

3. Допущения относительнопотоков

При построении моделиставится цель по возможности отразить характеристики реальной системы, которуюэта модель представляет. На данном этапе необходимо, следовательно, обратитьсяк данным о поведении рассматриваемой системы, чтобы изучить возможностьвведения оправданных допущений. Основой всех научных прогнозов являетсяустановление закономерностей, имевших местно в прошлом, дополненное допущениемо том, что эти закономерности в будущем сохранятся. Дальнейшее продвижение врешение задачи возможно лишь после статистического исследования данных по запасами потокам за прошлые годы.

Рассмотрим в первую очередьпотоки, характеризующие повышения в должности. Они управляются некоторойсовокупностью факторов, которые варьируются от одного вида найма к другому.Иногда количество повышений прямо связано с числом образующихся вакансии. Вдругих случаях повышения происходят почти автоматически по достиженииопределенного уровня квалификации. Применительно к университету, которыйупоминался в начале главы, последняя из указанных возможностей ближе кдействительности. Возьмем ее за основу при установлении соотношения междупотоками и запасами, порождающими эти потоки. Это соотношение оказываетсяпростой пропорциональной зависимостью, т.е. отношения nij(T) / ni(T) (i = 1, 2, …, k+1), если отвлечься от статистических колебаний, сутьконстанты. К такой пропорциональной зависимости мы обычно и приходим напрактике, даже в тех случаях, когда функционирование системы наводит на мысль отом, что она могла быть и другой. Впрочем, это обстоятельство всегда требуетпрактической проверки; могут быть выдвинуты и другие допущения, если на тоимеются достаточные причины.

Теперь можно было быприступить к прогнозированию размеров запасов, исходя из пропорциональностимежду nij(T) и ni(T) и используяоценку коэффициента пропорциональности, выведенную из наших данных. Выбравтакой путь, мы должны рассматривать модель как детерминированную. Это могло бы,конечно, оказаться приемлемым для достижения непосредственных целей, поставленныхв данной главе, однако подобный подход не соответствовал бы действительности иввел бы заблуждение при использовании модели для слишком отдаленных периодов.Хотя отношения nij(T) / ni(T) могут не зависеть от Т систематическим образом,тем не менее они, конечно же, будут меняться. Эти изменения могут быть весьмазначительными при малых ni(T), поскольку, например, уход из системы на уровнеотдельных лиц становится в высшей степени непредсказуемым событием.Реалистическая модель, следовательно, должна включать в себя не только регулярныеявления, наблюдаемые в коллективе, но и неопределенности поведения индивидуумов.Теория вероятностей представляет собой ветвь математики, которая дает нам возможностьколичественно оценивать неопределенность, и на этой основе мы будем вводить вмодель элемент вероятностей (или стохастичности). Допустим, что перемещенияпроисходят независимо и что индивидуум в классе i характеризуетсявероятностью pij перехода в класс j в течение года, начиная сданного. Пусть вероятность его ухода составляет wi, тогда, очевидно,

/>, (2)

посколькуиндивидуум должен оставаться в своем классе, переместиться в другой класс иливыбыть совсем. При этом допущении число лиц, переходящих из класса i вкласс j за год, будет случайной величиной с биномиальным распределениемпри заданном начальном запасе ni(T).Тогда ожидаемый поток будет равен ni(T) pij, что соответствует допущению эмпирического характераотносительно того, что потоки пропорциональны запасам.

Оставшийся без рассмотрениявопрос относится к набору. Набор удобнее рассмотреть с двух позиций. Первая —общее число лиц, набираемых в систему, вторая — способ распределения этих лицпо классам. В организации, общее число сотрудников которой фиксировано, как впримере, приведенном в начале доклада, общее число вновь нанимаемых должно бытьравно общему числу выбывающих:

/>. (3)

Распределение нанимаемых лицпо классам обычно вполне фиксировано, поскольку оно определяется потребностямиили политикой организации. Тогда допустим, что доля ri от общего числананимаемых зарезервирована для класса i (i = 1, 2, …, k), причем имеем />.

Собирая эти допущения вместе,получаем, что наша модель в итоге характеризуется:

1) матрицей вероятностей переходов, управляющейперемещениями в системе, эту матрицу обозначим через P = {pij};

2) вектором вероятностей ухода w = (w1, w2, …, wk), связанным с pij уравнением (2);

3) вектором r = (r1, r2, …, rk), определяющим распределение нанимаемых по классам;

4) ограничением />.

4. Основное уравнениепрогнозирования

В соответствии с нашеймоделью запасы следующего года суть случайные величины, и потому их значения немогут быть предсказаны точно. В этих условиях мы обычно используем ожидаемыевеличины случайной переменной в качестве прогноза.

Перейдем к математическиможиданиям в обеих частях уравнения (1) для запасов в год Т. Мы уже отметили,что

/>,

гдечерта над n означает математическое ожидание. Набор в классе j, n0j(T + 1) можно записать как R(T + 1) rj, так что необходимо найти математическое ожидание дляR(T + 1). Имеем /> и из(3) />,

Теперь, следовательно, сподстановкой в (1) получим

/>. (4)

Этиуравнения могут быть кратко записаны в матричной форме, например, как

/>. (5)

Таким образом, если параметрымодели известны, то запас следующего года (т.е. Т + 1) можетбыть найден по запасу текущего года (год Т) путем простого перемноженияматриц. Прогноз на следующий год, />, может быть затем использован в качестве основаниядля прогноза еще на один год вперед, если взять

/> (6)

(мыне можем писать n(T + 1) в правой части,так как эта величина не известна в год Т; поэтому используем ожидаемуювеличину).

Матрица Q относится кособому классу матриц, называемых стохастическими, и представляет всевозможныепереходы от одного класса к другому. Она имеет неотрицательныеэлементы, и суммы всех элементов каждойиз строк равны единице. Подобные матрицы играют основную роль в теории марковскихцепей, и мы можем применить эту теорию для ответа на вопросы о поведении модели.

5. Прогнозирование

Первый вопрос, который былпоставлен относительно структуры преподавательского состава университета,состоял в том, имеется ли тенденция к продолжению роста. На этот вопрос можноответить, используя запись (6). Допустим, что начальные запасы и величиныпараметров таковы:

/>,

гдеклассы перечислены в порядке увеличения уровня квалификации (ассистенты, доценты,профессоры). Вид матрицы Р, представленный выше, вполне типичен.Нули ниже диагонали означают, что движение из более высоких классов в болеенизкие отсутствует; происходят разве лишь переводы в более высокие классы.Вектор ухода говорит о высоком коэффициенте потерь наверху и внизу; наверху —это смерть и уход в отставку, случающиеся чаще, чем в двух нижних классах.Наибольший уровень приема на работу имеет место в нижнем классе.

Построим матрицу Q иполучим структуру классов на 5 и 10 лет вперед с помощью формулы (5). Для этогосоздаем программу для MatLab uspsvu1.m (текст программы приведен вприложении). Результаты выполнения программы:

— матрица />;

— структура классов на 5 лет вперед: />;

— структура классов на 10 лет вперед: />.

Явно наблюдается постоянноухудшающееся состояние, поскольку система приобретает признаки перегруженностивысоких классов. Такое поведение системы зависит, разумеется, от структуры Р,но был взят весьма типичный случай, который, правда, соответствует большимвозможностям для повышения, чем это имеет место во многих организациях. Выводдолжен быть таким, что политики набора и повышений, представленные как rи P, несовместимы с сохранением структуры вида n(0). (Необходимоотметить, что элементы вектора предсказанных численностей классов в общемслучае не будут целыми; это объясняется тем, что здесь оперируют с математическимиожиданиями. Математику известно, что математические ожидания целых чисел,являющихся случайными переменными, сами не обязательно целые, однако припредставлении результатов администрации разговор о дробных значениях числалюдей иногда может подорвать доверие к методу!).

Имея прогноз неблагоприятногосвойства, необходимо знать меру того, насколько все может статьнеблагополучным. В математических терминах — каково предельное состояние n(T)при />? После Т лет будет

/>. (7)

Втеории марковских цепей показывается при весьма общих условиях, которые будутвыполняться в любой разумной постановке задачи о кадрах, что

/>, (8)

где Q∞— стохастическая матрица с одинаковыми строками. Если через q обозначитьобщую строку этой матрицы, то устремляя Т к бесконечности в (7), получаем

n(∞) = n(0)Q∞ = N q, (9)

где N— общий (фиксированный) размер системы. Следовательно, имеется предельнаяструктура, которая не зависит от начальной структуры. Простейший способподсчета q связан с тем, что предельная структура должна удовлетворять условию

n(∞)= n(∞)Q или q = qQ. (10)

Этасистема уравнений является вырожденной, однако если мы опустим одно из уравненийи используем тот факт, что

/>,

тоуравнения могут быть легко решены. Составляем программу для MatLab uspsvu2.m(текст программы приведен в приложении). Были получены следующие результаты длярассматриваемого примера:

/>, />, />.

Как видно, в конечном итоге ситуациястановится очень неблагополучной:

1) превышение численностипрофессоров над ассистентами;

2)возрастание численности профессоров в 3 раза по сравнению с начальным уровнемпри уменьшении численности ассистентов более чем в 2 раза.

В заключении данногопараграфа необходимо подчеркнуть 2 момента,

1) в рассматриваемом примере наибольшее ухудшениеситуации происходит в первые 3-5 лет (см. рис. 1), т.е.достаточно быстро.

2) наличие предельной структуры при данных Р, wи r говорит о том, что вполне возможно, изменяя Р, w и r,добиться выполнения условия n = nQ (т.е сохраняемостиструктуры, начиная с любого года). Об этом подробнее в следующем параграфе.

6. Управление: сохраняемостьструктур

С обнаружением неизбежностироста численности более высоких классов с известной скоростью следующей задачейстановится задача управления ситуацией. Пусть первой ограниченной целью нашихусилий будет удержание системы на том уровне, на котором она находится. Если n— существующая структура, которую хотелось бы сохранить,то она, очевидно, должна удовлетворять условию

n = nQ (11)

В математических терминахзадача управления сводится к нахождению матрицы Q, такой, что соотношение(11) удовлетворяется. В то же время Q является некоторой функцией от Р,w и r, а эти величины не все поддаются управлению. Естественныепотери, например, не находятся под непосредственным контролем администрации, аувольнение является таким моментом, который большинство работодателейпредпочитают избегать. Перевод в более высокий класс находится поднепосредственным контролем администрации, однако нехватка подходящих кандидатурна повышение или политика, направленная на заполнение вакансий путем повышений,могут создать для повышений такую ситуацию, когда они будут ограничены теснымирамками. Вектор приема также является объектом непосредственного управления,однако и здесь снова могут возникнуть ограничения из-за возможностей приглашатьквалифицированных кандидатов или из-за ограничений, связанных с проводимойполитикой.

Математическая задача, скоторой мы столкнулись, состоит, таким образом, в поиске матрицы Q,удовлетворяющей условию (11) и учитывающей все те ограничения, которыеналагаются практически реализуемой политикой на работу системы. Разумеется, можетоказаться вообще невозможным подобрать подходящую политику.

Для иллюстраций решениясделаем довольно простое допущение, которое тем не менее часто соответствуетдействительности. Допустим, что Р и, стало быть, w вообще немогут быть изменены. Все управление, следовательно, должно быть реализованочерез вектор r, который, как мы предполагаем, может изменяться по нашемужеланию при условии

/>. (12)

(Неравенство, связывающее двавектора, должно пониматься как действующее в каждой паре элементов.) В этомслучае поставленная задача может быть решена отысканием такого вектора r,который удовлетворяет условиям (11) и (12). Заметив, что />, легко показать, что

/>, (13)

гдеI – единичная матрица; отметим, что nw’— скаляр. Можно легко убедиться в том, что элементывектора r, получаемого по (13), в сумме дают единицу. Вместе с тем этиэлементы будут все неотрицательны, если

/>. (14)

Таким образом можно легкопроверить, обладает ли определенная структура способностью сохраняться приуправлении наймом.

Такого рода арифметическаяпроверка годится для достижения непосредственной цели, но она непригодна длятого, чтобы прийти к пониманию вопроса о типе структур, которые могутсохраняться. Поэтому мы продолжим поиск характеристик множества структур,которые удовлетворяют условию (14).

Поскольку размеры всейсистемы фиксированы, будем работать в терминах пропорций каждого из классов иопределим их с помощью x = nN-1. Таким образом, будем интересоваться множеством таких х, которыеудовлетворяют условию

/>. (15)

При k = 3можно сделать задачу геометрически наглядной. Вектор х может бытьпредставлен как точка в трехмерном евклидовом пространстве. Каждая такая точкадолжна лежать на плоскости x1 + x2 + x3 = 1 и находитьсяв положительном октанте. Тогда множество всех возможных структур может бытьпредставлено множеством всех точек равностороннего треугольника с вершинами (1,0, 0), (0,1,0) и (0,0,1), показанного на рис. 2.

Неравенство (15) определяетнекоторую область в этом треугольнике, содержащую все структуры, которые могутсохраняться. Если найти границу этой области, то окажется возможнымнепосредственно увидеть, какого рода структуры сохраняются. Это достигаетсяалгебраическим путем представления всякого х, удовлетворяющего условию(15), в виде линейной комбинации (линейной функции с положительнымикоэффициентами, дающими в сумме единицу) фиксированного множества вершин. Врезультате получается, что область сохраняемости является выпуклой оболочкой,определяемой этими вершинами.

Будем рассуждать в терминахпроизвольного k, однако сохраним геометрическую терминологию,использованную для k = 3.

Из (13) для х получаем

/>. (16)

Умножая обе части соотношения(16) на вектор-столбец из единиц, записываемый как I’, находим, что

/>, (17)

гдеэлементы d суть суммы элементов строк матрицы (I – P)-1.Тогда, производя подстановку (17) в (16), получаем

/>, (18)

где ei — вектор, i-я координата которого 1, а остальные координаты —нули.

Пусть

/>,

тогдах можно записать как

/>. (19)

Коэффициенты ai неотрицательны, и их сумма равна единице. следовательно, любая такаяточка х лежит в выпуклой области с вершинами, имеющими координаты

/>,

икаждая такая точка соответствует своему r.

Чтобы проиллюстрироватьвыкладки, возьмем данные примера из предыдущего параграфа:

/>.

Для такой матрицы Рполучаем

/>.

Произведя деление каждойстроки на сумму элементов этой строки, получаем вершины области, содержащейсохраняющиеся структуры

(0; 0; 1), (0; 0.5; 0.5), (0.429; 0.286; 0.286).

Этиточки нанесены на рис. 2, и область, содержащая сохраняющиеся структуры,есть треугольник. Сделаем проверку. Возьмем, например, структуру (0.429; 0.286; 0.286),домножим ее на общий размер системы N = 450: (193.05; 128.7; 128.7)и подставим в (13), тем самым мы найдем управляемый вектор набора r = (1;0; 0). Легко проверяется, что структура (193.05; 128.7; 128.7)сохраняется при заданных P, w и найденном r (воспользовавшись,например, программой uspsvu1.m).

Аналогичный анализ можнопровести для случая, когда управлять можно только долей повышений. В данномслучае мы фиксируем r и w и изучаем влияние изменения элементов Рпри ограничении вида di = 1 – wi для всех i. В случае матрицы Р общеговида задача усложняется тем, что имеется бесконечно много матриц Р,удовлетворяющих условию (11). Однако если рассматривается некоторая простаяиерархия, в которой повышения проводятся только в следующей, более высокийкласс, то Р имеет ненулевые элементы только на главной диагонали и надиагонали над нею. В этом случае существует единственное решение уравнения(11), и множество n, которому соответствует некоторая матрица Р снеотрицательными элементами, представляет область репродуктивности. В отличиеот области, определяемой управлением набором, оказывается, что эта областьвключает структуры с перегруженными более низкими классами. Полученный результатнаводит на мысль, что сохраняемость структуры, перегруженной нижними классами,может быть более успешно реализована путем управления повышением, а не набором.

Заключение

Модель системы кадров,которая составила основу данного доклада, разумеется, является слишкомупрощенной. Составляющие потерь, например, не могут всегда считатьсяпостоянными в пределах одного класса. Все составляющие обнаруживают склонностьк изменениям со временем, и при некоторых условиях достигается возможностьпланирования этих изменений. Одна из наиболее привлекательных особенностей марковскоймодели заключается в том, что она может быть легко настроена на охват обобщенийтакого рода без изменений ее главной структуры. Следовательно, продемонстрированныйв этом докладе подход относится к числу подходов, которые остаются пригоднымипри значительно более общих условиях по сравнению с частными случаями, которыездесь подробно обсуждались.

Выше мы установили различиемежду использованием модели для прогнозирования и для управления. В первомслучае вводимые допущения должны отображать — настолько точно, насколько этовозможно, — реальное поведение системы в недавнем прошлом. При использованиимодели для управления допущения распадаются на две группы. Те допущения,которые относятся к неуправляемым аспектам системы, должны, как и в случае прогнозирования,отражать действительность. Те же, которые относятся к переменным управления, имеютдругой характер: они касаются возможностей администрации и, таким образом,должны основываться на сведениях об организации системы.

Приложение

1) Текст программы uspsvu1.m:

% uspsvu1.m — программапрогнозирования структуры преподавательского

% состава на любоеколичество лет

% Автор: студент ДГТУ группы У-3-47В.В.Груздев < 21.05.02 >

clc;clear;

disp('Вектор запасов на текущийгод');

n=[300 100 50]

disp('Вектор вероятнотей ухода(увольнение или что-либо еще)');

w=[0.2 0.1 0.2]

disp('Вектор, определяющийраспределение нанимаемых по классам');

r=[0.75 0.25 0]