Реферат: Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Министерствообразования РФ

ФилиалСПбГМТУ

Севмашвтуз

Кафедра№2

Курсовая работа

по дисциплине
«РЎРїРµС†РёР°Р»СЊРЅС‹Рµ разделы математики»

Тема: «Устойчивость системдифференциальных уравнений»

Студент: Новичков А. А.

Группа: 450

Преподаватель: ПановаЕ. В.

Содержание

Введение. 3

1. Свойства систем  дифференциальных уравнений. 4

1.1. Основные определения. 4

1.2. Траектории автономных систем. 5

1.3. Предельные множества траекторий. 6

1.4. Траектории линейных систем наплоскости. 8

1.5. Линейные однородные системы спериодическими коэффициентами. 10

2.Устойчивость решений систем  дифференциальных уравнений. 12

2.1. Устойчивость по Ляпунову. 12

2.2. Устойчивость линейных однородныхсистем. 14

2.3. Устойчивость периодическихрешений. 17

2.4.Классификация положений равновесия  системы второго порядка. 18

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы. 23

2.6. Устойчивость по первомуприближению. 25

2.7. Экспоненциальная устойчивость. 28

3. Второй метод Ляпунова. 29

3.1. Основные определения. 29

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова. 30

3.3. Устойчивость по первомуприближению. 33

Заключение. 36

Список литературы. 37

Введение.

Решения большинства дифференциальных уравнений и их системне выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решенииконкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе темчасто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенностирешений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимноеповедение решений при различных начальных данных, является ли решениепериодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров.Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений.

Одним из основных вопросов этой теории является вопрос обустойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модельфизической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведенияотдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то естьбудут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений.Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.

Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведениярешений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. Вданной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивостинепрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка,а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости;в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первомуприближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова.

1. Свойства систем
дифференциальных уравнений.1.1. Основные определения.

Пусть /> —непрерывные в области G (n+1)-мерного пространства скалярныефункции.

Определение. Совокупность уравнений

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (1)

называется нормальной системой n дифференциальныхуравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить

/>

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В 

Определение. Решением системы (1) РЅР° интервале (a, b) называетсясовокупность n функций />,непрерывно дифференцируемых РЅР° этом интервале, если РїСЂРё всех />:

1)    />;

2)    />

Задача Коши для системы (1) ставится следующимобразом: найти решение /> системы,определенное в окрестности точки />, котороеудовлетворяет начальным условиям /> …, />, где /> — заданнаяточка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если всефункции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы повсем /> в окрестности точки />.

Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрическихобъекта: интегральная кривая и траектория.

Определение. Если /> — решение системы (1) напромежутке (a, b), то множество точек (x, />), />, (n+1)-мерного пространства называется интегральной РєСЂРёРІРѕР№ решения,Р° множество точек (/>), />, n-мерногопространства называется траекторией решения. Заметим, что РёР· существования иединственности решения задачи Коши интегральные кривые РЅРµ РјРѕРіСѓС‚ пересекатьсяили иметь общих точек, однако траектории РјРѕРіСѓС‚ пересекаться без нарушенияединственности, так как начальная точка определяется n+1координатой. Р’ частности траектория может совпадать СЃ точкой (положениеравновесия).

Система (1) называется автономной, если в правыечасти уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной,если она имеет вид:

/>,

или в матричной форме />                                                                               (1')

РіРґРµ />В />, />.

Фундаментальной матрицей линейной однородной системыназывается матричная функция F(t), определитель которой отличен от нуля и столбцы которойявляются решениями системы: />. Спомощью фундаментальной матрицы F(t) общее решение системы можно записать в виде />. Фундаментальная матрица,обладающая свойством />, называетсянормированной при />. Если /> — нормированная при /> фундаментальная матрица, точастное решение системы записывается в виде />,где /> — начальное при /> значение решения.

1.2. Траектории автономных систем.

Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:/>                   (2)
где функция f(x) определена в />.

Автономные системы обладают тем свойством, что если /> — решение уравнения (2), то/>, />, также решение уравнения(2). Отсюда в частности следует, что решение /> можнозаписать в виде />. В геометрическойинтерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеютобщую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполнеопределяется начальной точкой />, поэтомуможно везде считать />.

Пусть /> —положение равновесия, С‚. Рµ. />. Длятого чтобы точка /> была положениемравновесия, необходимо Рё достаточно, чтобы />.Предположим теперь, что траектория решения /> неявляется положением равновесия, РЅРѕ имеет кратную точку, С‚. Рµ. существуют />, такие, что />. Так как /> — РЅРµ положение равновесия,то />. Поэтому можно считать, что/>В РїСЂРё />. Обозначим />В Рё покажем, что /> — w-периодическая функция.

Действительно, функция /> являетсярешением уравнения (2) при />, причем/>. В силу единственности /> и /> совпадают при всех />. Применяя аналогичноерассуждение к решению />, получим, что /> определено при /> и функции /> и /> совпадают при этих t.Таким образом, можно продолжить /> навсе />, при этом должновыполняться тождество

/>,

то есть /> —периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой РєСЂРёРІРѕР№. Р? зприведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономногоуравнения (2) принадлежит РѕРґРЅРѕРјСѓ РёР· следующих трех типов:

1)    РїРѕР»РѕР¶РµРЅРёРµ равновесия;

2)    Р·Р°РјРєРЅСѓС‚ая траектория, которой соответствует периодическое решениес положительным наименьшим периодом;

3)    С‚раектория без самопересечения, которой соответствуетнепериодическое решение.

1.3. Предельные множества траекторий.

Определение. Точка /> называетсяw-предельной точкойтраектории />, />, если существуетпоследовательность /> такая, что /> при />. Множество W всех w-предельныхточек траектории называется ее w-предельным множеством. Аналогично для траектории /> при /> определяется понятие a-предельнойточки как предела />, а также A-предельногомножества.

Определение. Траектория /> называетсяположительно (отрицательно) устойчивой РїРѕ Лагранжу (РѕР±РѕР·РЅ. />В (/>)), если существует компакт /> такой, что />В РїСЂРё всех />В (/>), РїСЂРё которых /> определена. Р? ными словами,если траектория всегда остается РІ некоторой ограниченной области фазовогопространства.

Можно показать, что предельное множество устойчивой поЛагранжу траектории не пусто, компактно и связно.

Траектория /> называетсяустойчивой РїРѕ Пуассону, если каждая ее точка является a-предельной Рё w-предельной,С‚. Рµ. />.Примером устойчивой РїРѕ Пуассону траектории является состояние равновесия. Еслиже рассматривается траектория, отличная РѕС‚ неподвижной точки, то устойчивой поПуассону РѕРЅР° будет РІ том случае, если обладает свойством возвращаться РІ скольугодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтомуустойчивыми РїРѕ Пуассону Р±СѓРґСѓС‚ циклы Рё квазипериодические траектории(суперпозиция РґРІСѓС… периодических колебаний СЃ несоизмеримыми частотами), Р° такжеболее сложные траектории, возникающие РІ хаотических системах.

Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельныхмножеств РІ случае n = 2.

1. Предельные множества траекторий автономных систем состоятиз целых траекторий.

2. Если траектория содержит по крайней мере одну своюпредельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точкупокоя.

3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, несодержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидноприближается при /> к некоторомуциклу.

4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории /> нет других замкнутыхтраекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от j, спиралевидноприближаются к j при /> или при />.

Пример. Рассмотрим автономную систему при />:

/>

Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввестиполярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения />:

/>

откуда получаем />.

Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеетрешения /> и />. При /> решения /> монотонно убывают от /> до 0, а при /> решения /> монотонно возрастают от /> до бесконечности. Так как />, то отсюда следует, что при/> и /> все траектории системыобразуют спирали, раскручивающиеся от окружности /> кбесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченномвозрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия иодновременно w-предельным множеством для всех траекторий, у которых />. Если />, то w-предельноемножество траектории пусто. Окружность /> являетсязамкнутой траекторией и одновременно a-предельным множеством для всех траекторий, отличных отположения равновесия.

1.4. Траектории линейных систем на плоскости.

Рассмотрим автономную линейную РѕРґРЅРѕСЂРѕРґРЅСѓСЋ систему />В (3) СЃ постояннымикоэффициентами. Будем полагать n = 2 Рё />. Р’ этомпредположении система имеет единственное положение равновесия РІ началекоординат. РЎ помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему(3) Рє РІРёРґСѓ />,

где J — жордановаформа матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют местоследующие случаи:

1) /> вещественны,различны и />. В этом случае />. Параметрические уравнениятраекторий таковы: />. Координатныеполуоси являются траекториями, соответствующими /> или/>. При /> и />

/>.

Картина расположения траекторий при />, имеющая специальноеназвание — узел, изображена на рис. 1а.

2) /> вещественны и />. Полученные в случае узлаформулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом,изображена на рис. 1б.

3) /> комплексно-сопряженные.Пусть />. Р’ преобразовании X = SY/>, РіРґРµ />В Рё /> — линейно независимые собственныевекторы, соответствующие />В Рё />. Так как Рђ вещественна, />В Рё /> можно выбрать комплексно-сопряженными.РўРѕРіРґР° Рё />. Положим />, />, Р° РІ качестве фазовойплоскости возьмем />. Переменная /> связана СЃ РҐ соотношением X = SY == STZ = QZ,РіРґРµ />, />. Следовательно, Q— вещественная неособая матрица. Преобразование РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ Рє РІРёРґСѓ

/>

где матрица коэффициентов образуетвещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярные координаты />,или />, />. Р? меем: />. Отделяя вещественные имнимые части, получим:

/>.

Следовательно, />. При /> траектории образуют спирали(рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При /> все траектории —окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решениясистемы (3) периодические с периодом 2p/b.

4) />.Жорданова форма матрицы Аимеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В 

Решением этой системы будет функция />. В зависимости от формыматрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либозвездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случаесистемы />

/>

Рис.1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы
с периодическими коэффициентами.

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.

Будем рассматривать систему вида />                                                              (4)

РіРґРµ />,Р° матричная функция P(t) удовлетворяет условию P(t + w) = P(t),w>0 привсех />. Такие матричные функциибудем называть периодическими СЃ периодом w или w-периодическими.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4)имеет вид

/>

где G— w-периодическаяматрица, R— постоянная матрица.

Матрица В,определяемая равенством />,называется матрицей монодромии. Для нее справедливо />.Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можнопоказать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромииназывают ту, которая порождается нормированной при /> фундаментальнойматрицей />, то есть />.

Собственные числа /> матрицымонодромии называются мультипликаторами уравнения (4), Р° собственныечисла /> матрицы R— характеристическими показателями. Р? Р· определения R имеем/>, РїСЂРё этом простым мультипликаторамсоответствуют простые характеристические показатели, Р° кратным — характеристическиепоказатели СЃ элементарными делителями той же кратности.

Характеристические показатели определены СЃ точностью РґРѕ />. Р? Р· />В Рё формулы Лиувилля следует,что />.

Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:

Теорема. Число mявляетсямультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевоерешение /> этого уравнения такое, чтопри всех t/>.

Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеетнетривиальное решение периода wтогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равенединице.

Следствие 2. Мультипликатору /> соответствует такназываемое антипериодическое решение /> периода w, С‚. Рµ. />. Отсюда имеем:

/>

Таким образом, /> естьпериодическое решение с периодом />.Аналогично, если /> (p иq — целые, />), то  периодическая система имеет периодическое решение спериодом />.

Пусть />, где /> — матрица из теоремы Флоке,/> — ее жорданова форма. Потеореме Флоке />, или />,        (5)

где /> —фундаментальная матрица, /> — w-периодическаяматрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическимикоэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что и собственныечисла матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейнойсистемы с постоянными коэффициентами.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второгопорядка

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (6)

РіРґРµ /> —w-периодическаявещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называтьмультипликаторы соответствующей линейной системы, С‚. Рµ. системы

/>

с матрицей />. Так как />, то />. Мультипликаторы являютсясобственными числами матрицы

/>,

где /> —решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям /> />,а /> — решение уравнения (6),удовлетворяющее начальным условиям /> />. Пусть /> — характеристическоеуравнение для определения мультипликаторов. Так как />,то оно принимает вид />, где />.

2. Устойчивость решенийсистем
дифференциальных уравнений.2.1. Устойчивость по Ляпунову.

Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону впункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятиеустойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведениясоседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что системапри старте из начальной точки /> порождаеттраекторию />. Рассмотрим другуютраекторию той же системы />,стартовая точка которой близка к />. Еслиобе траектории остаются близкими в любой последующий момент времени, тотраектория /> называется устойчивой поЛяпунову.

Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону иЛяпунову приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории,то всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.

/>

Рис.2. Качественная иллюстрацияустойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону(траектория многократно возвращается в e-окрестность стартовой точки) и поЛяпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)

Рассмотрим уравнение />                                                                                    (1)

где /> ифункция f удовлетворяет в G условиюЛипшица локально:

/> и/>, где /> — константа, не зависящаяот выбора точек /> и />.

Предположим, что уравнение (1) имеет решение />, определенное при />, и что />. Чтобы перейти кисследованию нулевого решения, выполним в (1) замену />. В результате получим уравнение

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (2)

где /> определенав области, содержащей множество />. Этоуравнение называется уравнением в отклонениях. Пусть /> — решение (2) с начальнымиданными />.

Определение. Решение /> уравнения(2) называется устойчивым по Ляпунову, если для />,такое, что при /> />.

Решение /> называетсяасимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует /> такое, что /> при />.

Неустойчивость решения /> означаетследующее: существуют положительное />,последовательность начальных точек /> при />, и последовательностьмоментов времени /> такие, что />.

При исследовании вопроса об устойчивости решений частоприбегают к заменам переменных, позволяющим упростить вид рассматриваемогоуравнения. Сделаем в (2) замену />, гдефункция /> определена при всех /> и непрерывна по z при/> равномерно относительно />, причем />. Пусть уравнение /> однозначно разрешимоотносительно z:/>, где /> определена на множестве /> и непрерывна по y при/> равномерно относительно />. Пусть уравнение (2)заменой /> можно преобразовать вуравнение />.

Лемма. При сделанных предположениях нулевоерешение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво илинеустойчиво тогда и только тогда, когда соответственно устойчиво по Ляпунову,асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение уравнения />.

Пусть уравнение (2) автономно, а его нулевое решениеасимптотически устойчиво. Множество /> называетсяобластью притяжения решения />.

2.2. Устойчивость линейных однородных систем.

Пусть />                                                                                                                   (3)

— вещественная система, /> — ее произвольное решение.Замена />В РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ (3) Рє РІРёРґСѓ />, С‚. Рµ. произвольноерешение уравнения (3) переводится РІ тривиальное решение того же уравнения.Следовательно, РІСЃРµ решения уравнения (3) устойчивы РїРѕ Ляпунову, асимптотическиустойчивы или неустойчивы одновременно. Поэтому можно говорить РѕР± устойчивостиуравнения (3), понимая РїРѕРґ этим устойчивость всех его решений, РІ частноститривиального.

Лемма 1. Пусть /> и/> или />, где /> — неособая при всех /> матрица, ограниченная понорме вместе с обратной />. Тогда /> ограничена, не ограниченаили бесконечно мала по норме при /> тогда итолько тогда, когда /> обладает такимсвойством.

Лемма вытекает из оценки />.

Следствие. Пусть />,/> — нормированная при /> фундаментальная матрицауравнения (3). Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена, не ограниченаили бесконечно мала по норме вместе с />.

Теорема 1. 1) Для того чтобы уравнение (3) былоустойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальныематрицы были ограничены при />. 2) Длятого чтобы уравнение (3) было асимптотически устойчивым, необходимо идостаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были бесконечно малыми при />.

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть /> ограничена на />. Решение /> задается формулой />.                                                                                                    (*)

Так как />,то />. Следовательно, уравнение(3) устойчиво по Ляпунову, так как устойчиво его тривиальное решение.Действительно, если />, то при всех /> />.                                                                                                                                                      (**)

Необходимость. Пустьуравнение (3) устойчиво РїРѕ Ляпунову. РўРѕРіРґР° устойчиво его тривиальное решение, ивыполняется (**). Пусть /> фиксировано.Положим />. Если />, то />. Р? Р· (*) Рё (**) имеем />, С‚. Рµ. /> ограничена. Аналогичнодоказывается ограниченность />, авместе СЃ РЅРёРјРё Рё матрицы />.

2) Достаточность. Пусть /> при />. В силу (*) /> при всех />, что и дает асимптотическуюустойчивость.

Необходимость. Пусть длялюбых /> при />. Положим />. В силу (*) />, следовательно, />. Аналогично доказывается,что />, />, что означает /> при />. Теорема доказана.

Применим теорему 1 к исследованию устойчивости уравнения (3)с постоянной матрицей коэффициентов P. Уравнение (3) в этомслучае имеет фундаментальную матрицу />, />, где /> — жорданова форма матрицы P.По теореме 1, лемме 1 и следствию к ней устойчивость по Ляпунову,асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3) эквивалентнысоответственно ограниченности, бесконечной малости и неограниченности матрицы /> при />. Отсюда получаем следующуютеорему:

Теорема 2. Линейная однородная система спостоянным коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когдасреди собственных чисел матрицы коэффициентов нет таких, вещественные части которыхположительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые, либоимеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда итолько тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов имеютотрицательные вещественные части.

Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условияотрицательности корней характеристического уравнения линейной однороднойсистемы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица),а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическимпризнаком, эквивалентным критерию Гурвица.

Определение. Полином />,где />, />, /> называется полиномомГурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Если полином /> являетсяполиномом Гурвица, то все />.

Составим />-матрицуГурвица вида

/>

Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобыполином /> являлся полиномомГурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональныеминоры его матрицы Гурвица />:

/>

Если степень полинома /> сравнительнобольшая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этомслучае для определения расположения корней полинома /> накомплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотногокритерия Михайлова.

Определение. Пусть />,где />, />, />. Кривая />, /> называется годографомМихайлова функции />.

Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:

Лемма 2. Угол поворота в положительном направленииненулевого вектора /> при /> равен />, где /> — число корней полинома /> с положительнойвещественной частью с учетом их кратностей.

Критерий Михайлова. Для того чтобы полином />, не имеющий чисто мнимыхкорней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворотав положительном направлении вектора /> при /> был бы равен />.

Замечание. Если полином /> естьполином Гурвица степени />, товектор /> монотонно поворачивается вположительном направлении на угол />, то естьгодограф Михайлова, выходя из точки /> положительнойполуоси />, последовательно пересекаетполуоси />, проходя /> квадрантов.

2.3. Устойчивость периодических решений.

Рассмотрим уравнение (3) СЃ периодическими коэффициентами, С‚. Рµ. />, В В В В В В  (4)

РіРґРµ />.РџРѕ формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет РІ рассматриваемом случае фундаментальнуюматрицу />, РіРґРµ /> — неособая w-пери­одическаянепрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе СЃ обратной, /> — жорданова матрица,собственные числа /> которой — характеристическиепоказатели уравнения (4). Р? Р· леммы 1 следует, что характеристические показателииграют РїСЂРё оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа />, РєРѕРіРґР° /> постоянна. Учитывая, что />, РіРґРµ /> — мультипликаторыуравнения, получаем следующий результат:

Теорема 3. Линейная однородная система спериодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда,когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единицепо модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делителиматрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когдамодули всех мультипликаторов меньше единицы.

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

/>

Уравнение будем называть устойчивымпо Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой являетсясоответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения />: />, где />. Поэтому можно сделатьвывод, что при /> обамультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине большеединицы, а при /> мультипликаторыявляются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при /> уравнение /> неустойчиво, а при /> оно устойчиво по Ляпунову,но не асимптотически.

2.4. Классификация положенийравновесия
системы второго порядка.

Р? сследуем РЅР° устойчивость положения равновесия линейнойоднородной системы РґРІСѓС… уравнений СЃ постоянными коэффициентами. Пусть />, РіРґРµ />. Как было показано РІ пункте1.4, тип РѕСЃРѕР±РѕР№ точки такой системы определяется РєРѕСЂРЅСЏРјРё характеристическогоуравнения /> или />. Его РєРѕСЂРЅРё можно найти поформуле

/>.

Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.

1) /> вещественны,различны и /> (/>). Параметрические уравнениятраекторий: />. Положение равновесияназывается узел. Если корни /> положительны(/>), то решения будутнеограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.

Если /> отрицательны(/>), то решения с ростомвремени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будет асимптотическиустойчивым. Особая точка — устойчивый узел.

/>В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В />

2) /> вещественны и /> (/>). В этом случае одна изтраекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченноуменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво.

/>

3) /> комплексно-сопряженные,но не чисто мнимые (/>). Решение вполярных координатах запишется в виде />,где />. Если /> (/>), то спирали будутраскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.

Если /> (/>), то особая точка —устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.

/>В В В В В В В В В В В В В В В В В В />

4) /> (/>). Особая точка — центр,траектории — окружности, то есть положение равновесия является устойчивым, ноне асимптотически.

/>

5) />. Если />, то получаем неустойчивыйузел, либо вырожденный, либо дикритический. Если />,положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

/>В В В В В В В В В  />В В В В В В В В В />

6) Один из корней равен нулю (например />). Траекториями являютсяпрямые, параллельные друг другу. Если />,то получаем прямую неустойчивых особых точек. Если />,то прямая будет содержать устойчивые особые точки.

7) Оба корня равны нулю. Тогда />.Особая точка неустойчива.

Пример. Рассмотрим систему />. Положение равновесиянаходится из уравнения />, или />, откуда />. Следовательно, положениеравновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид:

/>.

Найдем координаты преобразования />,приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду />. Дифференцируя этиуравнения и подставляя в исходную систему, получаем:

/>

откуда с учетом /> />,a — произвольное,/>, g — произвольное.Получаем преобразование />.Определим новое положение осей:

/>

Решение системы /> запишетсяв виде />, а исходной системы отсюда />. Схематическое изображениетраекторий:

/>

Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия втрехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое свещественными коэффициентами, РѕРЅРѕ может иметь три вещественных или одинвещественный Рё РґРІР° комплексно-сопряженных РєРѕСЂРЅСЏ. Р’ зависимости РѕС‚ расположенияэтих корней />В РЅР° плоскости /> возможно 10«РіСЂСѓР±С‹С…» случаев (СЂРёСЃ. 3, 1)-5) Рё 1')-5')) Рё СЂСЏРґ «РІС‹СЂРѕР¶РґРµРЅРЅС‹С…» (СЂРёСЃ. 3, 6)-9)), РєРѕРіРґР° вещественная часть РѕРґРЅРѕРіРѕ РёР· корней равна нулюили вещественной части РЅРµ сопряженного СЃ РЅРёРј РєРѕСЂРЅСЏ. Случаи кратных корней здесьне рассматриваются.

Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показанона рис. 4. Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5)изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.

Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая.Все случаи 1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9)неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.

/>

Рис. 3. Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены />,
светлым — начало координат.

/>

Рис.4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельныециклы.

Рассмотрим автономную двумерную систему

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (5)

где /> —область.

Предположим, что система (5) имеет замкнутую траекторию /> с наименьшим периодом />. Возьмем произвольную точку/> и проведем через неенормаль /> к /> единичной длины. Дляопределенности считаем, что /> направленво внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что /> — начало координат (этогоможно добиться заменой />). Точки нанормали /> определяются единственной координатой/>. В качестве /> берем расстояние от точкинормали до начала координат, если точка лежит снаружи />, и это расстояние, взятое собратным знаком, если она лежит внутри />.

Рассмотрим траектории />,проходящие через точки нормали. Запишем уравнение

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (6)

с неизвестными t, s(r —параметр).

Лемма 3. Существует /> такое, что в области /> уравнение (6) имеетединственное решение />,удовлетворяющее условиям />, причемфункции /> непрерывнодифференцируемы при />.

Доказательство. Так как /> —решение СЃ периодом w, то РїРѕ теореме Рѕ дифференцируемости решения функция /> определена Рё непрерывнодифференцируема РїРѕ t Рё r РІ некоторой окрестности точки />.РўРѕРіРґР° функция /> определена инепрерывно дифференцируема РІ некоторой окрестности точки />. Так как />В w‑периодична, то />. Рассмотрим якобиан />В РІ точке />. Р? меем />. Следовательно, РІ точке />В />,поскольку />В Рё /> — ортогональные векторы.РўРѕРіРґР° утверждение леммы вытекает РёР· теоремы Рѕ неявной функции.

Следствие. Справедлива формула

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />.

Выясним геометрический смысл функций />. Лемма 3 утверждает, что каждаятраектория, пересекающая нормаль /> в точке /> из D-окрестности началакоординат, вновь пересечет ее через промежуток времени /> в точке />. При этом так как функция /> также делает полный оборотвдоль /> при />, то траектория /> также делает полный оборотпри />, оставаясь в малойокрестности />, если D достаточно мало.

/>

Функция /> называетсяфункцией последования.

Определение. Замкнутая траектория /> автономного уравнения (5)называется устойчивым предельным циклом, если существует такое />, что /> является w-предельныммножеством для любой траектории, проходящей через точку из D-окрестности кривой />.

Определение. Замкнутая траектория /> автономного уравнения (5)называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое />, что /> является a-предельныммножеством для любой траектории, проходящей через точку из D-окрестности кривой />.

Так как в реальной действительности время течет вположительном направлении, то на практике реализуются те периодическиедвижения, которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движенияназываются автоколебаниями.

Теорема 4. Пусть />.                                                                        (7)

Если />,то /> является устойчивымпредельным циклом; если />, то /> — неустойчивый предельныйцикл.

Характер приближения соседних траекторий к /> при /> следующий: они приближаютсяк />, образуя бесконечное числовитков спирали, как изнутри, так и снаружи.

/>

2.6. Устойчивость по первому приближению.

Вернемся к рассмотрению уравнения (1), где />. После замены /> получим уравнение (2),которое, используя разложение в ряд Тейлора, запишем в виде

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (8)

РіРґРµ />В РїСЂРё/>.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (9)

Теорема 5. Пусть /> —постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по /> и вещественные частисобственных чисел матрицы /> отрицательны.Тогда решение /> уравнения (8)асимптотически устойчиво.

Теорема 6. Пусть /> —постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по />. Для устойчивости поЛяпунову нулевого решения уравнения (8) необходимо, чтобы вещественные частисобственных чисел матрицы /> были неположительны.

Рассмотрим теперь автономное уравнение (1): />,                                             (10)

где функция /> непрерывно дифференцируемапри />, причем />. Тогда /> является положениемравновесия уравнения (10). После замены /> уравнение(10) принимает вид />, где />, функция /> непрерывно дифференцируемапри /> и

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В РїСЂРё />.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (11)

Р? Р· (11) Рё теорем 5 Рё 6 вытекает следующее утверждение.

Теорема 7. Если все собственные числа матрицы /> имеют отрицательныевещественные части, то положение равновесия /> асимптотическиустойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет положительнуювещественную часть, то оно неустойчиво.

Пример. Рассмотрим систему двух уравнений /> Координаты положенийравновесия определяются из уравнений />.Положения равновесия:

/>

Соответствующие матрицы /> имеют вид

/>,или />.

Собственные числа определяютсяуравнением />. При k четном/>, при k нечетном/>. По теореме 7 при k четномрешения /> асимптотически устойчивы, апри k нечетном неустойчивы.

Предположим теперь, что правая часть уравнения (1) и решение/> периодичны по t содним и тем же периодом w. Тогда в уравнении (8) />,/>. Далее, так как /> равномерно непрерывна накомпакте />, то в силу периодичности /> /> выполняетсяравномерно по />. Поскольку /> — периодическая матрица, тосуществует замена переменных />,                                                                                      (12)

где /> —периодическая с периодом w функция класса />, причем />, переводящая уравнение /> в /> с постоянной матрицей коэффициентов/>, определяемой теоремойФлоке. Следовательно, замена (12) переводит (8) в уравнение

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (13)

причем функция /> определена и непрерывна вобласти вида />. Условие (9) также выполняется.Действительно, /> в силу (9),ограниченности /> и /> и поскольку /> эквивалентно />. При этом, как отмечалось,имеет место равномерность по t.

Согласно лемме из п. 2.1. вопрос об устойчивоститривиального решения уравнения (8) эквивалентен вопросу об устойчивоститривиального решения уравнения (13). Так как />,где /> — собственные числа матрицы/>, а /> — мультипликаторы линейногоуравнения />, называемые такжемультипликаторами периодического решения />,то из теорем 5 и 6 вытекает следующая теорема:

Теорема 8. Если модули всех мультипликаторовпериодического решения периодического уравнения (1) меньше единицы, то эторешение асимптотически устойчиво. Если же модуль хоть одного из мультипликаторовбольше единицы, то оно неустойчиво.

Рассмотрим смешанный случай, когда исследуется устойчивость w-периодическогорешения /> автономного уравнения (10).Дифференцируя тождество />, получаем/>. Следовательно, функция /> является w-периодическим решениемуравнения в вариациях />. Последствию 1 п. 1.5. один из мультипликаторов равен единице. Если средиостальных мультипликаторов имеются такие, модули которых больше единицы, торешение /> неустойчиво по теореме 8. Впротивном случае теорема 8 неприменима.

Теорема 9. (Андронова-Витта) Если /> мультипликаторовпериодического решения уравнения (10) имеют модули, меньшие единицы, то эторешение устойчиво по Ляпунову.

Замечание. Уравнение (10) автономно, поэтому наряду срешением /> имеются и решения />, />, следовательно, решение /> не может бытьасимптотически устойчивым.

2.7. Экспоненциальная устойчивость.

Рассмотрим уравнение (10), в котором />. Обозначим через /> траекторию, проходящуючерез точку /> при />. Предположим, что нулевоерешение (10) асимптотически устойчиво, причем существуют число /> и функция />, /> при /> такие, что /> при />. В этом случае существуютположительные числа /> такие, что при /> справедливо неравенство

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (14)

Если имеет место оценка (14), то говорят, что нулевоерешение экспоненциально асимптотически устойчиво. Например, в условиях теоремы5 нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво. Болеетого, нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчивопри более слабых, чем в теореме 5, ограничениях на нелинейность />. Достаточно, чтобы леваячасть (9) удовлетворяла неравенству />, где /> — собственные числа матрицыA (их вещественные части по условию отрицательны).

Для автономного уравнения (10) из экспоненциальнойустойчивости следует асимптотическая устойчивость, и наоборот. Однако длянеавтономных систем справедливо только первое утверждение.

Для неавтономной системы по формуле (14) вводитсяаналогичное понятие экспоненциальной устойчивости, однако асимптотическаяустойчивость. Кроме того, справедлив следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы линейная система /> была экспоненциально устойчивой,необходимо и достаточно, чтобы существовали две квадратичные формы /> и />, обладающие следующимисвойствами:

1. /> вещественная,симметричная и ограниченная;

2. /> вещественная,симметричная и ограниченная;

3. />;

4. />В (СЃРј.Рї. 3.1).

3. Второй метод Ляпунова.3.1. Основные определения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (1)

РіРґРµ />.Предположим, что G — область единственности Рё /> привсех />, С‚. Рµ. уравнение (1)имеет тривиальное решение />.Рассмотрим РІРѕРїСЂРѕСЃ РѕР± устойчивости этого решения.

Сущность второго метода Ляпунова заключается в исследованииповедения некоторой функции /> какфункции t при замене x на произвольное решение уравнения (1). В дальнейшем используемопределения устойчивости и асимптотической устойчивости, где />.

Под функцией Ляпунова будем понимать любуюнепрерывную функцию /> такую, что /> при всех />. На множестве функцийЛяпунова /> задан линейный оператор D,определяемый формулой

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (2)

/> называетсяпроизводной V в силу уравнения (1). Справедлива формула

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (3)

где /> —решение уравнения (1) с начальными данными />.

Определение. Функция Ляпунова />, не зависящая от t,называется определенно-положительной, если в области G при/> />.Функция Ляпунова /> называетсяопределенно-положительной, если существует определенно-положительная функция /> такая, что />. Функция Ляпунова /> называетсяопределенно-отрицательной, если /> —определенно-положительная функция.

Определение. Функция Ляпунова /> называется положительной,если /> в области G иотрицательной, если /> в G.

Таким образом, функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можно рассматриватьи как положительную, и как отрицательную.

Отметим следующее свойство определенно-положительных иопределенно-отрицательных функций: если />,то />.                                                                               (4)

Р? мпликация />В РІ (4)вытекает непосредственно РёР· определения функций Ляпунова. Чтобы обосноватьимпликацию />, рассмотрим произвольную последовательность/>, />, для которой />В РїСЂРё />. Покажем, что />В РїСЂРё />. Предположим, что этоневерно. РўРѕРіРґР° найдется подпоследовательность /> иположительное число /> такие, что />. Согласно определению />, РіРґРµ /> — определенно-положительнаяфункция. Положим />. Множество /> компактно, поэтому потеореме анализа />, РіРґРµ />, следовательно, />. РўРѕРіРґР° />, что противоречит свойствупоследовательности />.

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова.

Теорема 1. Пусть существуетопределенно-положительная функция Ляпунова />,такая, что DVесть отрицательная функция. Тогда решение /> уравнения (1) устойчивопо Ляпунову.

Доказательство. Пусть e — произвольная положительнаяпостоянная, />. Положим /> при />. Так как V определенно-положительная,то />. По l найдем/> такое, чтобы />. Рассмотрим решение /> при />. Покажем, что

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (5)

Пусть (5) не имеет места. Тогда существует /> такое, что />, а при  />. В силу (3) и условиятеоремы функция /> является при /> невозрастающей функцией t.Так как />, то />, тогда тем более />, что противоречитопределению T и тому, что />. Такимобразом, импликация (5) имеет место, а это и означает по определениюустойчивость решения /> по Ляпунову.Теорема доказана.

Следствие. Если уравнение (1) имеет в области G определенно-положительныйинтеграл, не зависящий от t и уничтожающийся в начале координат, то решение /> устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Пусть существуетопределенно-положительная функция Ляпунова />,такая, что DVопределенно-отрицательная при />.Тогда решение /> уравнения (1) асимптотическиустойчиво.

Доказательство. Условия теоремы 1 выполнены, ирешение /> устойчиво по Ляпунову.Следовательно, существует /> такое,что

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В РїСЂРё />.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (6)

Р? Р· определения асимптотической устойчивости РІ силу (4)заключаем, что достаточно доказать импликацию />В РїСЂРё/>. Р’ силу (3) Рё условия теоремы/> — строго убывающая функция t.

Предположим, что теорема неверна. Тогда

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (7)

Отсюда, РёР· (6) Рё (4) следует, чтопри />В />.РџРѕ условию теоремы />, РіРґРµ /> — определенно-положительнаяфункция. Пусть />. Р? Р· (3) следует,что РїСЂРё всех />В />,что противоречит определенной положительности />.Полученное противоречие доказывает теорему.

В случае когда уравнение автономно, условия теоремы (2)можно ослабить.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) автономно,выполнены условия теоремы 1 и множество /> несодержит целиком полных траекторий уравнения (1), за исключением положенияравновесия />. Тогда решение /> асимптотически устойчиво.

Доказательство. Р? спользуем доказательство теоремы 2РґРѕ формулы (7) включительно. Далее, пусть /> —w-предельнаяточка траектории />. Р? Р· определения w-предельнойточки Рё (7) следует, что />. Попервому свойству предельных множеств (Рї. 1.3.) РІСЃРµ точки траектории /> являются w-предельными длятраектории />. Следовательно, для всех t,РїСЂРё которых определено решение />,/>. Отсюда Рё РёР· (3) следует,что РїСЂРё указанных t />, что противоречитусловию теоремы, так как /> несовпадает СЃ началом координат. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим уравнение движения диссипативнойсистемы с одной степенью свободы />, где /> удовлетворяют условиюЛипшица при />, /> удовлетворяет условию /> при /> и /> при />. Докажем, что положениеравновесия /> асимптотически устойчиво.

Соответствующая система двух уравнений имеет вид

/>.

В качестве функции Ляпунова возьмемполную энергию системы />.

В силу условия /> V —определенно-положительнаяфункция, при этом

/>.

Следовательно, DV —отрицательнаяфункция и множество M — интервал оси абсцисс при />.Так как при /> при />, то множество M несодержит целых траекторий, отличных от положения равновесия />.

По теореме 3 решение /> системыасимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Перейдем к рассмотрению неустойчивости. Пусть /> — функция Ляпунова. Обозначимчерез /> любую связную компонентуоткрытого множества /> с началомкоординат на ее границе.

Теорема 4. Пусть существует функция Ляпунова /> такая, что /> не пусто и при />. Тогда решение /> уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть />.Будем рассматривать решения /> с начальнойточкой />. Достаточно показать, чтодля каждого из этих решений можно указать момент T (длякаждого решения свой) такой, что />.

Пусть это неверно, С‚. Рµ. существует решение />, удовлетворяющее РїСЂРё всех /> неравенству />. Покажем, что траекториярешения /> принадлежит />В РїСЂРё />. Действительно, поопределению />В РѕРЅР° может покинуть область /> только через ту часть ееграницы, РіРґРµ />. РќРѕ это невозможно, так как/>В Рё РїСЂРё возрастании /> функция /> строго возрастает, РїРѕРєР° />, РІ силу (3).

Р? так, доказано, что РїСЂРё />В />В Рё />. Следовательно, РїРѕ условиютеоремы />В РїСЂРё />. Р? нтегрируя (3) РѕС‚ />В РґРѕ />, получаем

/>,

что противоречит ограниченности /> при />. Противоречие доказываеттеорему.

Пример. Рассмотрим уравнение />, где /> — удовлетворяющая условиюЛипшица при /> функция такая, что /> при />. Докажем неустойчивостьрешения />.

Рассмотрим систему />,соответствующую уравнению примера. Р’ качестве функции Ляпунова возьмем />. Р? меем:

/>.

По теореме 4 решение /> системы неустойчиво, что итребовалось доказать.

3.3. Устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (8)

где /> —заданная квадратичная форма.

Лемма 1. Если собственные числа матрицы Aудовлетворяют условию

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />, В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (9)

то уравнение (8) имеетединственное решение />, являющеесяквадратичной формой.

В следующих двух леммах будут построены квадратичные формы,являющиеся функциями Ляпунова для линейного уравнения

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (10)

и удовлетворяющие условиям теорем 2и 4.

Лемма 2. Пусть все собственные числа матрицы Aимеют отрицательные вещественные части, /> — определенно-отрицательнаяквадратичная форма. Тогда уравнение (8) имеет единственное решение />, являющеесяопределенно-положительной квадратичной формой.

Лемма 3. Пусть матрица Aимеет собственные числа сположительными вещественными частями. Тогда можно подобрать /> такое, что существуетединственное решение /> уравнения

/>,

причем если /> — определенно-положительнаяквадратичная форма, то область /> дляквадратичной формы /> непуста.

Докажем теперь теоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотримуравнение (1), у которого

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (11)

где /> удовлетворяетусловию

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (12)

равномерно по />.

Теорема 5 (см. теорему 5 п. 2.6). Если всесобственные числа матрицы Aимеют отрицательные вещественные части и /> удовлетворяет условию (12),то решение /> уравнения (1)асимптотически устойчиво.

Доказательство. Построим функцию Ляпунова,удовлетворяющую условию теоремы 2 для линейного уравнения (10), и покажем, чтоона удовлетворяет условиям теоремы 2 и для уравнения (1).

Пусть /> —квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению

/>.

РџРѕ лемме 2 /> определенно-положительная.Определим ее РїСЂРѕРёР·РІРѕРґРЅСѓСЋ DV РІ силу уравнения (1). Р? Р· (2) Рё (11) имеем: />. Отсюда получаем:

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  />.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В  (13)

Р? Р· (12) следует, что для любого /> можно указать /> такое, что РїСЂРё />В /> выполняется/>. Так как /> — квадратичная форма, то />, />, Рё />. Очевидно также, что />. Р? Р· (13) Рё записанныхнеравенств следует, что />.Следовательно, DV— определенно-отрицательная функция РїСЂРё />В />, если a выбратьпо />. Р? так, выполнены всеусловия теоремы 2, откуда следует, что решение /> уравнения(1) асимптотически устойчиво. Теорема 5 доказана.

Теорема 6. (см. теорему 6 п. 2.6). Если средисобственных чисел матрицы имеются такие, вещественные части которыхположительны, и выполнено условие (12), то решение /> уравнения(1) неустойчиво.

Доказательство. РЎ помощью леммы 3 построимквадратичную форму />, удовлетворяющуюуравнению />, Рё такую, что область /> для функции V непуста.Составим DV РІ силу уравнения (1). Р? меем

/>.

Р? спользуя (12), как Рё придоказательстве теоремы 5, покажем, что если a достаточномало, то РїСЂРё />В /> функция/>. Следовательно, так как вобласти />В />,то РїСЂРё />, /> имеем />. Таким образом, выполненывсе условия теоремы 4, откуда Рё следует, что нулевое решение уравнения (1)неустойчиво. Теорема доказана.

Заключение.РЎРїРёСЃРѕРє литературы.Метод функций Ляпунова РІ анализе динамики систем. РЎР±. статей. РќРѕРІРѕСЃРёР±РёСЂСЃРє: Наука, 1987. Рњ. Р РѕР·Рѕ. Нелинейные колебания Рё теория устойчивости. Рњ.: Наука, 1971. Р‘. Рџ. Демидович. Лекции РїРѕ математический теории устойчивости. Рњ.: Наука, 1967. Р?.. Р“. Петровский. Лекции РїРѕ обыкновенным дифференциальным уравнениям. Рњ.: Наука, 1964. Р®. Рќ. Бибиков. РљСѓСЂСЃ обыкновенных дифференциальных уравнений. Рњ.: Высшая школа, 1991. Р’. Р?.. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Рњ.: Наука, 1975. Кузнецов РЎ.Рџ. Динамический хаос (РєСѓСЂСЃ лекций). Рњ.: Р? Р·Рґ. ФМЛ, 2001.