Реферат: Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
Міністерствоосвіти та науки України
Дніпропетровськийнаціональний університет
/>
Механіко-математичнийфакультет
Кафедрадиференційних рівнянь
/>ВипускнароботаПобудоварозв’язку задачі Гурса
длятелеграфного рівняння методом Рімана
Виконав: студент гр.МЕ-97-2 Керівник: проф. Остапенко В.О.
Коленкін О.О.
“___” _________2001.______
Допущено дозахисту: Рецензент: доц. Грішин В.Б.
Завідувач кафедроюПоляков М.В.
“___”_________2001._______ “ ___” _________2001.______
Дніпропетровськ.
2001
Зміст.
Реферат… 4
The summary… 5
Вступ… 6
§1. Постановка задачі.… 8
§2. Приведення до канонічного вигляду гіперболічногорівняння другого порядку з двома незалежними змінними. Характеристики.… 9
§3. Формула Остроградського-Гаусса.… 12
§4. Існування та єдиність розв’язку задачі Гурса.… 13
§5. Спряжені диференційні оператори.… 19
§6. Побудова розв’язку.… 21
§7. Деякі приклади на знаходження фунції Рімана.… 25
Висновок.… 31
Список використованої літератури:… 32
/>/>/>/>/>Реферат
Сторінок:31, рисунків: 2, джерел: 4.
Ключеві слова: рівняння гіперболічного типу,характеристики, задача Гурса, метод послідовних наближень, спряжений оператор,формула Гріна, функція Рімана.
Мета роботи: в даній роботі необхідно ознайомитисьз методом отримання розв’язку задачі Гурса для телеграфного рівняння (1.1) з початковими умовами (1.2); довестиіснування та єдиність цього розв’язку;навести приклади та вказати області вживання цього методу у прикладних науках.
/>/>/>The summary.
/>/>/>Inthe given operation some questions, concerning equations in partial derivativesof the second order with two explanatory variables of hyperbolic type areconsidered. The algorithm of coercion to a canonical form of these equations isshown, definition of characteristics is given. The method of construction ofsolution of Gourses problemfor the telegraphic equation is stated. Existence and uniqueness of solution ofGourses problem is proved. Somequestions concerning of conjugate differential operators, in particular, areconsidered is obtained the important formula (Green's formula) on which usage Rimahn’s method leans. Auxiliaryfunction (Rimahn’s function (6.4)) is entered.The number of examples on finding of this function is given.
/>/>/>/>/>Вступ/>/>/>У світі, який нас оточує,відбувається багато різних процесів – фізичні, хімічні, біологічні та інші. Длявивчання цих процесів будують математичні моделі. Велика кількість задачзводиться до рівнянь у частинних похідних. Великий інтерес являє собоюзнаходження розв’яків длясистем рівнянь, які підпорядковуються тим або іншим додатковим умовам. Цідодаткові умови, як правило, являють собою задання невідомих функцій та деякихїхніх похідних на межі області, в якої шукається розв’язок, або складаються у тому, що невідомимфункціям предписується той або інший характер властивості. В загальному випадкуці додаткові умови називаються граничними умовами. Задачі на відшукання розв’язків системи рівнянь участинних похідних, підлеглих вказаним додатковим умовам, в загальному випадкуназиваються граничними задачами. />/>/>Прикладом граничної задачіможе бути задача Гурса. Граничні задачі Гурса використовують для описанняпроцесів сорбції, десорбції, сушки, процесів каталітичних хімічних реакцій тадеяких інших процесів.
Німецькимматематиком Ріманом (17.09.1826 – 30.07.1866) був пропонований важливий методінтегрування рівняння (1.1), який базується на використанні формули Гріна(5.2). Цей метод дозволяє виразити в явному вигляді шукаємий розв’язок задачі Гурса через граничні умови (1.2).
Робота складається з вступу, заключення та семи параграфів. Зробимокоротенький огляд кожного параграфу.
В §1 цієї роботи наведена постановка задачі Гурса. На рисунку 1показана область D, в якійнеобхідно знайти розв’язок цієїзадачі.
§2 присвячен деяким загальним питанням рівнянь у частинних похідних.Показан алгоритм приведення до канонічного вигляду гіперболічного рівняння участинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними. Дано означенняхарактеристик.
§3 є допоміжним параграфом. У ньому наведено формулу перетворенняповерхневих інтегралів у об’ємні(3.2).
В §4 методом послідовних наближень доводиться існування та єдиність розв’язку задачі Гурса.
§5 торкається питання спряжених диференційних операторів. Показано, щовираз vLu – uMv, де Mv – оператор, спряжений до Lu, можна зобразити як суму частинних похіднихвід деякіх виразів. Отримана формула Гріна (5.2).
§6 є основним параграфом в даній роботі. У ньому викладен метод Рімана.Шляхом введеня допоміжної функції (функції Рімана (6.4)) отримано розв’язок задачі Гурса у явному вигляді.
В §7 наведено деякі приклади знаходження функції Рімана.
/> />/>/>§1. Постановка задачі.
Нехайдано рівняння
/> (1.1)
Треба знайти розв’язок цього рівняння в області D(рис. 1)
/>
якщо задані крайові умови
u(x0, t) = j(t);
u(x, t0) = y(x), (1.2)
при цьому функції j(t) та y(x) ддиференцьовані, та задовільнюють умовіспряження
j(t0) = y(x0).
Така задача називається задачею з даними на характкристиках, абозадачею Гурса.
/>
/>/>/>/>/>D
Рис. 1
/>/>/>/>/>§2.Приведення до канонічноговигляду/>/>/>/>/>гіперболічногорівняння другого порядку/>/>/>/>/>здвома незалежними змінними. Характеристики.
Розглянеморівняння другого порядку з двома незалежними змінними
/>, (2.1)
де коефіцієнти А, Вта С – функції від x та y, які мають неперервні похідні до другого порядку включно у області WÌ R. За допомогою перетворення змінних
x = j(х, у), h = y(х, у),
яке припускаєобернене перетворення, ми отримуємо нове рівняння, еквівалентне рівнянню (2.1).При цьому будемо мати
/>
(2.2)
підставляючи значенняпохідних з(2.2) в (2.1), будемо мати:
/>, (2.3)
де
/>,
а функція /> незалежить від других похідних. Замітимо, що якщо рівняння (2.1) було лінійно, той рівняння (2.3) буде лінійним.
Рівняння (2.1) пов’язано з рівнянням:
Аdy2+2Вdydx+Сdx2=0 (2.4)яке має назву рівнянням характеристичнихзмінних, а його інтеграли – характеристиками для рівняння (2.1).
<p/>(2.5)
Нехайj(x,y)=const є загальнимінтегралом рівняння (2.4), тоді покладемо x=j(x,y) і коефіцієнт /> буде дорівнювати нулю, якщоy(x,y)= const другий, відміннийвід першого інтеграл, то заміною h=y(x,y) ми доб’ємось, щоб />=0.
Як видно з формули(2.5), рівняння (2.4) може мати різні розв’язки, один розв’язок або не матирозв’язків взагалі в залежності від знаку В2–АС.
Рівняння (2.1) у деякій точці М(x,y) будемо називати:
1) рівнянням гіперболічного типу, якщо В2–АС>0;
2)рівнянням параболічного типу, якщо В2–АС=0;
3)рівнянням параболічного типу, якщо В2–АС<0.
Відмітимо, що при довільній заміні змінних (2.2)виконується рівність
/>
тобтопри будь – якому перетворенні змінних, у якого якобіан відмінний від нуля, типрівняння (2.1) не змінюється.
Розглянемовипадок, коли рівняння (2.1) має гіперболічний тип у деякій області GÌW. У цій областіхарактеристичне рівняння має два різних загальних інтеграла j(x,y)=const та y(x,y)=const.
Зробимо замінуописану вище: x=j(x,y) та h=y(x,y), отримаємо:
/>
/> (2.6)
де/>
Рівняння (2.6) називається канонічною формою рівняньгіпер-болічного типу. Покажемо, що характеристиками рівняння (2.6) будуть прямі,паралельні координатним осям, тобто x = const, h = const.
Для (2.6) рівнянням характеристичних змінних буде
dxdh = 0.
Звідки будемо мати
x= const, h = const.
/>/>/>/>/>§3.ФормулаОстроградського-Гаусса.Нехай P(x, y, z),Q(x, y, z) и R(x, y, z) – три функциї змінних x, y, z, які задані уобласті D’ и мають в ній неперервні похідні першогопорядку по x, по y та по z.
Розглянемо у D’деяку замкнену поверхню S, яка складається зскінченного числа кусків з неперервно змінюючеюся на них дотичною площиною.
Таку поверхню називаютькусочно-гладкою. Ми будемо, крім того, вважати, що прямі, паралельнікоординатним осям, зустрічають її або у скінченному числі точок, або маютьзагальним цілий відрізок.
Розглянемо інтеграл
/>, (3.1)
де через cos(nx),cos(ny), cos(nz) обозначені косінуси кутов, які складені внутрішньою нормаллюдо поверхні S з осями координат, а dS – додатній елемент поверхні. користуючисьвекторними позначеннями, ми можемо вважати P, Q, R компонентами деякоговектора, який позначимо літерою Т. Тоді
P cos(nx) + Q cos(ny) + Rcos(nz) = Tn,
де Tn –проєкція вектора Т на напрям внутрішньої нормалі.
Класична теорема зінтегрального счислення дозволяє перейти від поверхневого інтегралу (3.1) дооб’ємного, расповсюдженого наобласть D, обмежену гладкою поверхнею S (яка задовольняє всім обмеженням, якібуло наведено вище). Ми будемо мати:
/>
або у векторних позначеннях
/> (3.2)
где dvозначає диференціал об’єму, а
/>.
Приведена нами формула справедливау більш загальних припущеннях відносно S. Зокрема, формула(3.2) має місце для будь-якій кусочно – гладкої поверхні S, яка обмежує деякуобласть D.
/>/>/>/>/>§4.Існування та єдиністьрозв’язку/>/>/>/>/>задачіГурса.Розглянемонайпростішу задачу з даними на характеристиках
/> (4.1)
Додатковіумови даються на прямих x = 0 та t = 0, які, як було доведено вище, є характеристикамирівняння (4.1). Будемо вважати, що функції j(x) таy(t) диференцюємі та задовольняють умовіспряжіння j(0) = y(0). Інтегруючи послідовно по x та по t рівняння (4.1), отримуємо:
/>
/>
або
/> (4.2)
Такимчином, для найпростішого рівняння, яке не містить перших похідних /> та шукаємої функції, розв’язок представляється у явному аналітичномувигляді (4.2). З формули (4.2) безпосередньо слідує єдиність та існування розв’язку поставленої задачі.
Перейдемодо розв’язку лінійного рівняннягіперболічного типу
/> (4.3)
при додаткових умовахна характеристиках x = 0, t = 0
u(x, 0) = j(x),
u(0, t) = y(t), (4.4)
деj(x) та y(t) задовільнюютьвимогам диференцюємості та спряження. Коефіцієнти a, b та c будемо вважатинеперервними функціями x та t.
Формула (4.3) показує, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційномурівнянню
/> (4.5)
Для доведенняіснування та єдиності розв’язку рівняння (4.5) скористаємось методом послідовних наближень.Виберемо в якості нульового наближення функцію
u(x, t) = 0.
Тоді(4.5) дає для послідовних наближень слідуючі вирази:
/> (4.6)
Зауважимо,що
/> (4.7)
Доведеморівномірну збіжність послідовностей
{un(x, t)}, />, />.
Дляцього розглянемо різниці
/>
/>
/>
/>
/>
/>
НехайМ – верхня межа абсолютних величин коефіцієнтів a(x,t),
b(x, t), c(x, t) та H – верхня межаабсолютних величин z0= u1(x, t) та її похідних
|z0| < H, />/>
при зміні x та t всередині деякого квадрату (0 £ x £ L, 0 £ t £ L). Побудуємомажорантні оцінки для функцій /> Очевидно, що
/>
Припустимо, що маютьмісце рекурентні оцінки
/>
де К > 0 – деяке стале число, значення якогонаведемо нижче. Користуючись ціми оцінками та формулою для (n+1)-го наближення після деяких спрощінь, які посилюють нерівність, маємо:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
де
K = L + 2.
Вправих частинах цих нерівностей з точністю до множників пропорційності стоятьзагальні члени розкладання функції е2KLM. Ці оцінки показують, що послідовності функцій
/>
збігаються рівномірнодо граничних функцій, котрі ми зазначимо
/>
Переходячи до границіпід знаком інтегралу у формулах (4.6) та (4.7), будемо мати:
/>
Звідсивипливають рівності
/>
/>,
які дозволяютьвстановити, що функція u(x, t)задовільнює інтегро-диференційному рівнянню
/> (4.5)
а такождиференційному рівнянню (4.3), що перевіряється безпосереднім диференціюваннямрівняння (4.5) по x та по t. Функція
/> задовільнюєтакож додатковим умовам.
Доведемотепер єдиність розв’язку задачі(4.3)-(4.4). Припустимо існування двох розв’язків u1(x, t) та u2(x, t). Отримуємо для їх різниці
U(x, t) = u1(x, t) – u2(x,t)
одноріднеінтегро-диференційне рівняння
/>
Позначаючи далі черезH1 верхню межуабсолютних величин
/>, />, />
для 0 £ x £ L, 0 £ t £ L та повторюючи оцінки, які було проведено для функцій zn(x,t), переконуємось у справедливості нерівності
/>
для будь-якогозначення n. Звідси і випливає
U(x, t) º 0 або u1(x,t) º u2(x, t),
що і доводитьєдиність розв’язку задачі Гурса.
/>/>/>/>/>§5.Спряжені диференційніоператори.
Розглянемолінійний диференційний оператор 2-го порядку
/>,
де Aij,Bi и C є двічі диференцюємими функціями x1,x2,…,xn.
Назвем оператор
/>
спряженим з оператором Lu.
Якщо оператор Lспівпадає з спряженим йому оператором M, то такийоператор називають самоспряженим.
Розглянемо різницю
/>.
При отриманні цього виразу мидодали суму
/>,
але вона дорівнює нулю, так щозначення виразу не змінилося.
Одже, вираз vLu –uMv являє собою суму частинних похідних по xiвід деяких виразів Pi, тобто
/>,
де
/>.
Розглянемо тепер деякий n-мірний об’єм W, який обмежений кусочно-гладкою поверхнею S.
Користуючись формулою Остроградського-Гауса(3.2), будемо мати
/>, (5.1)
де cos(nx1),cos(nx2),… — направляючі косінуси внутрешньої нормалі до S.
Формула (5.1)носить назву формули Гріна.
Розглянемо рівняння (1.1).Оператори Lu, Mv, а також функції P1та P2 будуть мати вигляд:
/>
При цьому формула Гріна дає(нормаль внутрішня)
/> (5.2)
/>/>/>/>/>§6.Побудова розв’язку.Будуватирозв’язок будемо методом Рімана,який полягає на використовуванні формули Гріна та дає рішення задачі (1.1)через граничні умови (1.2).
Нехайнам потрібно знайти значення функції u у деякійточці М області (x > x0, t > t0)з координатами (x1, t1).
Проведемочерез точку М (рис. 2) з координатами (x1, t1) дві прямі, які паралельні координатним осям. Нехай точка P(x0, t1) – це точка перети-ну прямих x = x0та t = t1, а точка Q(x1, t0) – точка перетину прямих
x = x1та t = t0. Прямі х = х0, х = х1,t = t0, t = t1 як було показанораніше, є характеристиками рівняння (1.1). Область W буде являти собою прямокутникMPRQ. У цій області ми можемозастосувати метод Рімана для знаходження розв’язку.
Якщовраховувати, що обіг області Wвідбувається проти годинни-кової стрілки, так що обігаєма площа завждизалишається зліва, формулу (5.2) можна записати у вигляді
/> (5.2’)
З рисунку 2бачимо, що при цьому
dx = cos(nt)dS,
dt = — cos(nx)dS.
Заумови u(x0, t) = j(t) отримуємо:
/>= 0; />= j’(t).
Заумови u(x, t0) = y(x), отримуємо:
/>= 0; />= y’(x).
/>
Рис. 2
Якщозастосувати формулу (5.2’) допрямокутника MPRQ, враховуючи, щона характеристиках QM та PR змінюється лише t, а нахарактерис-тиках MP та RQ змінюється лише x, будемо мати:
/> (6.1)
Перетворимокожен з інтегралів, який стоїть у правій частині (6.1):
/> (6.2.1)
/> (6.2.2)
/> (6.2.3)
/> (6.2.4)
Нехай тепер v(x, t, x1, t1) – деякафункція, яка задовільнює умовам:
Mv =0, (6.4)
/>, />.
Прицьому
v(x1, t1, x1,t1) = 1,
/> (6.5)
Розв’язок v(x, t, x1,t1) однорідного спряженого рівняння (6.4), якийзадовільнює умовам (6.5), називається функцією Рімана. Ця функція не залежитьвід початкових даних (1.2), та для неї точка (x, t) грає роль аргументу, а точка (x1,t1) – роль параметру. Існування та єдиністьтакої функції v було доказано методом послідовнихнаближень.
Оскількина прямій MP t = t1, а напрямій QM x = x1, то останні члени у формулах (6.2.1) та (6.2.2) обертаються в нуль, і миотримаємо:
/>
/>.
Формулу(6.1) тепер можна записати у вигляді:
/>
Приводячиподібні, та враховуючи, що v(x1, t1,x1, t1) = 1, u(x0,t) = j(t),u(x, t0) = y(x) та; />= y’(x), маємо:
/>
Звідкизнаходимо розв’язок нашої задачі
/> (6.6)
Як ми бачимо,формула (6.6) дозволяє у явному вигляді написати розв’язок данної задачі, оскільки точку М(x1,t1) ми вибрали довільно.
/>/>/>/>/>§7.Деякі приклади назнаходження фунції Рімана.Приклад 1.
Знайдемо функціюРімана для рівняння
/>. (7.1)
Зробивши замінузмінних
/>
рівняння(7.1) приводиться до канонічного вигляду
/>
прицьому будемо мати a = 0, b = -.
Звернемосятепер до відшукання фунції Рімана v(x, h, x1, h1). Згідно загальної теорії, вонаповинна задовольняти спряженому рівнянню
/> (7.2)
таумовам на характеристиках, які проходять через точку (x1, h1):
/> (7.3)
неважковконатися, що функція
/>
задовільнюєяк рівнянню (7.2), так і умовам (7.3), слід, це і є шукана функція Рімана.
Приклад2.
Знайдемофункцію Рімана для рівняння
/>(x > 0) (7.4)
приведеморівняння (7.4) до канонічного вигляду, для чого складемо рівняння характерстик
xdt2 – dx2 = 0
це рівняння маєдва різних інтеграла
+ = C1, — = C1,
слід,треба ввести нові змінні x та h за формулами
x = +, h = — (x >0)
приєднаємодо цих рівностей ще одну залежність
/>
тодірівняння (7.4) перетвориться до канонічного вигляду:
/>
прицьому будемо мати a = 0, b = 0.
Длявідшукання функії Рімана нам потрібно знайти частинний розв’язок спряженого рівняння
/> (7.5)
якийзадовольняв би слідуючим умовам на характеристиках, проведених через точку (x1, h1)
/> (7.6)
Будемошукати розв’язок рівняння (7.1) у вигляді v = G(s), де
s =.
Тодідля G(s) ми отримаємо слідуюче рівняння:
s(1-s)G’’(s) + (1-2s)G’(s) — G(s) = 0
Церівняння частинним випадком гіпер геометрічного рівняння Гаусса
s(1-s)y’’ + [g — (1 + a + b)s]y’- aby = 0
приa = b =, g = 1.
РівнянняГаусса припускає частинний розв’язок у вигляді гіпергеометрічного ряду
/>
якийзбігається абсолютно при |s| < 1.
Звідкиясно, що взявши
v = G(s) = F/>= 1 + />
ми задовільним рівнянню (7.5) та усмовам (7.6). Слід, функція
/>
і єфункцією Рімана.
Приклад3.
Знайдемофункцію Рімана для телеграфного рівняння
/>
якщоввести нову функцію u(x, t) поклавши
/> (7.7)
торівняння (7.7) більш просту форму
/>, (7.8)
де a =, b = .
Задопомогою заміни змінних
x = (x + at), h = (x — at)
приведеморівняння (7.8) до канонічного вигляду
/>
при цьому маємо a = b = 0.
ФункціяРімана повинна задовільнювати спряженому рівнянню
/>, (7.9)
тана характеристиках x = x1, h = h1 дорівнює одиниці.
Будемошукати розв’язок рівняння (7.9) увигляді
/>.
Підставившицей вираз та пізначивши через l корінь />, знайдемо, щофункція v задовільнює звичайному диференційномурівнянню
G’’(l) + G’(l)+G(l)=0,
Лінійнонезалежними розв’язками якого єфункція Бесселя нульового порядку
/>
тафункція Неймана N0(l), основноювластивістю якої є />, слід, вона не може бути шуканою функцією.
Тобто,якщо взяти
v = J0(l)
отримаємо розв’язок рівняння(7.9), який обертається на характерис-тиках x = x1, h = h1 у одиницю, оскільки тут l = 0.
Такимчином, функція Рімана знайдена, вона має вигляд:
/>.
/>/>/>/>/>Висновок.
В даній роботі розглянуто задачу Гурса для телеграфногорівняння. Було доведено, що розв’язокцієї задачі існує та що він єдиний. Завдяки використанню метода Рімана миотримали цей розв’язок у явномувигляді. На прикладах ми показали, що знаходження функції Рімана зводиться дорозв’язання звичайнихдиференйійних рівнянь, таких як рівняння Бесселя або гіпергеометричногорівняння Гаусса.
/>/>/>/>/>Списоквикористованої літератури:
1. КошляковН. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производныхматематической физики. «Высшая школа». Москва. 1970 г.
2. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. «Высшая школа». Москва. 1964 г.
3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. «Наука». Москва. 1964 г.
4. ТихоновА.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. «Наука». Москва. 1977 г.