Реферат: Правильные многогранники

Определение правильного многогранника.

Определение. Многогранникназывается правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные другдругу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковоечисло ребер; 4) все его двугранные равны.

Примером правильногомногогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани– равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углыкуба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.

Возникает вопрос: сколькосуществует различных типов правильных многогранников?

Пять типов правильных многогранников.

Рассмотрим произвольныйправильный многогранник М, у которого В вершин, Р ребер и Гграней. По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется равенство:

В- Р + Г = 2. (1)

Пусть каждая грань данногомногогранника содержит m ребер (сторон), и вкаждой вершине сходятся n ребер. Очевидно,

/>m/>,n/>. (2)

Так как у многогранника Ввершин, и каждой из которых сходятся n ребер, тополучаем n/> ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника,поэтому в произведение n/> каждоеребро войдет дважды. Значит у многогранника имеется /> различныхребер. Тогда

/>= Р /> В = />. (3)

Далее, в каждой гранимногогранника М содержится m ребер, а числограней равно Г. Так как каждое ребро принадлежит двум смежным граням, то число различных ребер многогранника равно />.Тогда

/>=Р />Г=/>. (4)

Из (1), (3), (4) получаем /> - Р + /> = 2, откуда

/> + /> = /> + /> > />. (5)

Таким образом, имеем

Из неравенств 3/> и 3/> следует, что гранямиправильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либоправильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем вслучаях m = n = 4; m = 4, n = 5;m = 5, n = 4; m= n = 5 приходим к противоречию с условием />. Поэтому остаютсявозможными пять случаев: 1) m = n= 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m= 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5.

Рассмотрим каждый из этихслучаев, используя соотношения (5), (4) и (3).

1) m =n = 3 (каждая грань многогранника –правильный треугольник. Это – известный нам правильный тетраэдр(«тетраэдр» означает четырехгранник)./>/>

2) m =4, n = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершинесходятся три ребра). Имеем

/>Р= 12; В = /> 8; Г = /> 6.

Получаем правильный шестигранник,у которого каждая грань – квадрат. Этот многогранник называется правильнымгексаэдром и является кубом («гексаэдр» — шестигранник), любойпараллелепипед – гексаэдр.

/>/> 3) m = 3, n = 4 (каждая грань–правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем

/> Р= 12; В = />=6; Г = />=8.

Получаем правильныйвосьмигранник, у которого каждая грань – правильный треугольник. Этотмногогранник называется правильным октаэдром («октаэдр» --восьмигранник).

/>/>

4) m = 5, n =3 (каждая грань – правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся триребра). Имеем:

/>Р= 30; В = />= 20; Г = />= 12.

Получаем правильныйдвенадцатигранник, у которого каждая грань – правильный пятиугольник. Этотмногогранник называется правильным додекаэдром («додекаэдр»-- двенадцатигранник).

/>/>

5) m =3,n = 5 (каждая грань – правильныйтреугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем

/> Р= 30; В = />=12; Г = />= 20.

Получаем правильныйдвадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром («икосаэдр»- двадцатигранник).

/>/>

Таким образом, мы получилиследующую теорему.

Теорема. Существует пять различных ( сточностью до подобия) типов

правильных многогранников: правильныйтетраэдр, правильный гексаэдр

(куб), правильный октаэдр, правильныйдодекаэдр и правильный икосаэдр.

К этому заключению можно прийтинесколько иначе.

Действительно, если граньправильного многогранника – правильный треугольник, и в одной вершине сходятся k ребер, т.е. все плоский углывыпуклого k-гранного угла равны />, то />. Следовательно, натуральноечисло k может принимать значения: 3;4;5. приэтом Г = />, Р = />. На основании теоремыЭйлера имеем: В+/>-/>= 2 или В />( 6 – k ) = 12. Тогда

при k = 3 получаем: В = 4, Г = 4, Р = 6 (правильный тетраэдр);\

при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр);

при k = 5 получаем: В = 12, Г= 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).

Если грань правильногомногогранника – правильный четырехугольник, то />.Этому условию соответствует единственное натуральное число k= 3. Тогда: Г = /> , Р= />; В + /> - /> = 2 или />. Значит, В = 8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр).

Если гранью правильногомногогранника является правильный пятиугольник, то />.Этому условию соответствует тоже только k = 3 и Г = />; Р = />. Аналогично предыдущимвычислениям получаем: />и В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр).

Начиная с правильныхшестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника,плоские углы становятся не меньше />, и уже k = 3 их сумма становится не менее />, что невозможно.Следовательно, существует всего пять видов правильных многогранников.

На рисунках изображены разверсткикаждого из пяти правильных многогранников.

Правильный тетраэдр

/>/>/>

Правильный октаэдр

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>

Правильный гексаэдр

/>/>

Правильный икосаэдр

/>/>

Правильный додекаэдр

/>/>/>/>

Некоторые свойства правильныхмногогранников приведены в следующей таблице.

Вид грани

Плоский угол

при вершине

Вид многогранного

угла при вершине

Сумма плоских

углов при вершине

В Р Г Название многогранника

Правильный

треугольник

3-гранный

4 6 4 Правильный тетраэдр

Правильный

треугольник

4-гранный

6 12 8 Правильный октаэдр

Правильный

треугольник

5-гранный

12 30 20 Правильный икосаэдр Квадрат

3-гранный

8 12 6

Правильный

гексаэдр (куб)

Правильный

пятиугольник

3-гранный

/>ё

20 30 12

Правильный

додекаэдр

У каждого из правильныхмногогранников, помимо уже указанных, нас чаще всего будут интересовать:

1. Величина его двугранного углапри ребре (при длине ребра a).

2. Площадь его полной поверхности(при длине ребра a).

3. Его объем (при длине ребра a).

4. Радиус описанной около негосферы (при длине ребра a).

5. Радиус вписанной в него сферы(при длине ребра a).

6. Радиус сферы, касающихся всехего ребер (при длине ребра a).

Наиболее просто решается вопрос овычислении площади полной поверхности правильного многогранника; она равна Г/>, где Г – количество гранейправильного многогранника, а />-площадь одной грани.

Напомним, sin /> = />, чтодает нам возможность записать в радикалах: ctg />=/>. Учитывая это составляемтаблицы:

а) для площади грани правильногомногогранника

Вид грани Длина стороны Длина апофемы грани Площадь грани Правильный треугольник

0,5/>

Квадрат

0,5a

Правильный пятиугольник

б) для площади полной поверхностиправильного многогранника

Вид многогранника Вид граней Количество граней Площадь полной поверхности Правильный тетраэдр Правильный треугольник 4

Правильный октаэдр Правильный треугольник 8

/>/>

Правильный икосаэдр Правильный треугольник 20

Правильный гексаэдр (куб) Квадрат 6

6a/>

Правильный додекаэдр Правильный пятиугольник 12

Теперь перейдем к вычислениювеличины двугранного угла /> правильногомногогранника при его ребре. Для правильного тетраэдра и куба вы легко найдетевеличину этого угла.

В правильном додекаэдре всеплоские углы его граней равны />,поэтому, применив теорему косинусов для трехгранных углов к любому трехгранномууглу данного додекаэдра при его вершине, получим: cos/>, откуда

/>.

На изображенном правильномоктаэдре ABCDMF вы можетеубедиться, что двугранный угол /> приребре октаэдра равен 2arctg/>.

Для нахождения величины двугранногоугла /> при ребре правильногоикосаэдра можно рассмотреть трехгранный угол ABCD при вершине А: его плоские углы ВАС и CADравный /> , а третий плоский угол BAD, против которого лежит двугранный угол B(AC)D = />, равен /> (BCDMF – правильный пятиугольник). По теореме косинусов длятрехгранного угла ABCD имеем: />. Учитывая, что />, получаем />, откуда />. Таким образом, двугранныйугол /> при ребре икосаэдра равен />.

/>/>

Итак, получаем следующую таблицувеличин двугранных углов при ребрах правильных многогранников.

Вид многогранника Величина двугранного угла при ребре Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр

Правильный гексаэдр (куб)

Правильный додекаэдр

Правильный икосаэдр

Прежде чем находить объем того илииного правильного многогранника, сначала проведем рассуждения о том, как можнонайти объем правильных многогранников в общем виде.

Попытайтесь сначала доказать, чтоесли центр каждой грани любого правильного многогранника провести прямую,перпендикулярную плоскости этой грани, то все проведенные прямые пересекутся внекоторой одной точке О, удаленной от всех граней данного многогранникана одно и тоже расстояние, которое обозначим r. Точка Оокажется центром сферы, вписанной в данный многогранник, а r– ее радиусом. Соединив полученную точку О со всеми вершинами данногомногогранника, мы разобьем его на Г равных между собой пирамид (Г—число гранейправильного многогранника): основаниями образованных пирамид равны r. Тогда объем данного многогранника равен сумме объемоввсех этих пирамид. Так как многогранник правильный, то его объем V можно найти по формуле:

(1)

Остается найти длину радиуса r. Для этого, соединив точку О с серединой Кребра многогранника, попробуйте убедиться, что наклонная КО к гранимногогранника, содержащей ребро, составляет с плоскостью этой грани угол,равный половине величины /> двугранногоугла при этом ребре многогранника; проекция же наклонной КО на плоскостьэтой грани принадлежит ее апофеме и равна радиусу вписанной в нее окружности.Тогда

(2)
где p—полупериметр грани. Тогда из (1) и (2)получаем общую для всех правильных многогранников формулу вычисления ихобъемов:

/>.

Эта формула совершенно не нужнадля нахождения объемов куба, правильных тетраэдра и октаэдра, но позволяетдовольно легко находить объемы правильных икосаэдра и додекаэдра.

Вид многогранника Объем многогранника Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр

Куб

Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр

Министерство образования РФ г. Янаул

по геометрии на тему «Правильные многогранники».

Выполнил: Хабибьянов Д.Р.

Проверила: Нургаянова Т.С.

2004 год.

еще рефераты

Еще работы по математике