Реферат: Волновые уравнения

Вывод уравнения колебания в электрических проводах.

 

 

Электрический ток в проводах характеризуетсявеличиной /> и напряжением /> которые зависят откоординат Х точки провода и от времени t. Рассмотримэлемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе∆Х равно

/>-/>.Это падение напряженияскладывается из омического, равного /> ииндуктивного, равного /> Итак

/>

где R и L–сопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинныпровода. Знак минус взят потому, что ток течёт в направлении, обратномвозрастанию U.Сокращая на ∆Х, получим уравнение

/>

Далее разность токов, выходящего из элемента ∆Х завремя ∆t, будет

/>

Она расходуется на зарядку элемента, равную /> и на утечку через боковуюповерхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную />

Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения

/>

Сократим на />

/>

Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфнымиуравнениями. Составим систему уравнений

/>

Из этой системы уравнений можно получить уравнение,содержащее только искомую функцию/>, иуравнение, содержащее только искомую функцию />.

Продифференцируем  члены уравнения (3) по Х; члены уравнения(2) продифференцируем по t и умножим их на С.

/>

/>

Аналогичным образом получим уравнение для определения />

/>

/>

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) исопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6) переходятв волновые уравнения:

/>

Исходя из физических условий формулируются граничные иначальные условия задачи.

Навоийский Государственный горный институт

Горный факультет

Кафедра «Высшей математики»

 

 

 

 

Волновые уравнения

 

 

 

 

Подготовил: студент 2-го курсагруппы 20-02 ГД

Дерюга А.М.

 

 

 

 

 

Навоий 2004 г.