Реферат: Математика для института

ГЛАВА 2

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Разложение функций в тригонометрическийряд Фурье

Исходныеданные :

<img src="/cache/referats/2181/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> (Рис. 1

)

Функция периодическая с периодом <img src="/cache/referats/2181/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> Функция имеет на промежутке <img src="/cache/referats/2181/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> конечное число точекразрыва первого рода.

Сумма ряда в точках функции сходится кзначению самой функции, а в точках разрыва к величине <img src="/cache/referats/2181/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"><img src="/cache/referats/2181/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

Рис. 1

Производная также непрерывна везде, кромеконечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяетусловию разложения в ряд Фурье.

1) F(x) — кусочно-непрерывна на интервале <img src="/cache/referats/2181/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

2) F(x) — кусочно-монотонна.

Так как отсутствует симметрия относительноOY, а также центральная симметрия — то рассматриваемая функция произвольна.

Представление функции рядом Фурье.

Из разложения видим, что при n нечетном <img src="/cache/referats/2181/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> принимает значенияравные 0, и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.

Поэтомуформулу для <img src="/cache/referats/2181/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> можно записать в виде:

(так как <img src="/cache/referats/2181/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

Отдельно рассмотрим случай когда n=1:

Подставим найденные коэффициенты в <img src="/cache/referats/2181/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> получим:

ивообще

Найдем первые пять гармоник для найденногоряда:

1-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

2-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

3-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

4-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

5-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

иобщий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.

Запишем комплексную форму полученногоряда

Для рассматриваемого ряда получаемкоэффициенты (см. теорию)

нопри <img src="/cache/referats/2181/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> не существует,поэтому рассмотрим случай когда n=+1:

<img src="/cache/referats/2181/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1059"><img src="/cache/referats/2181/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> см. разложение выше)

ислучай когда n=-1:

И вообще комплексная форма:

или

или

Разложение четной функции в ряд

Даннуювыше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до <img src="/cache/referats/2181/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> смотри рис.2

Рис.2

поэтомуразложение по косинусу имеет вид:

Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельнорассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:

Наоснове данного разложения запишем функцию в виде ряда:

ивообще

Найдем первые пять гармоник для найденногоряда:

1-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1076">

2-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1078">

3-ягармоника <img src="/cache/referats/2181/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1080">

4-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1082">

5-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1084">

А теперь рассмотрим сумму этих гармоникF(x):

Комплексная форма ряда по косинусам

Для рассматриваемого ряда получаемкоэффициенты (см. гл.1)

нопри <img src="/cache/referats/2181/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> не существует, поэтомурассмотрим случай когда n=+2 :

<img src="/cache/referats/2181/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><img src="/cache/referats/2181/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> см. разложение выше)

ислучай когда n=-2:

И вообще комплексная форма:

или

или

Разложение нечетной функции в ряд

Аналогичным образом поступаем с даннойфункцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до<img src="/cache/referats/2181/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1098"> смотри рис.3

Рис.3

поэтомуразложение по синусам имеет вид:

Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно неучесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.

При n=1:

ипри n=2:

Учитывая данные коэффициенты имеемразложения в виде

ивообще

Найдем первые пять гармоник для данногоразложения:

1-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1107">

2-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1109">

3-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1111">

4-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1113">

5-аягармоника <img src="/cache/referats/2181/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1115">

И просуммировав выше перечисленныегармоники получим график функции F(x)

Вывод:

На основании главы 2, разложение функции втригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложениепо синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима втригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммыпервых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстреек заданному графику достигается при разложении по синусам.

Комплексная форма ряда по синусам

Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:

тогдакомплексный ряд имеет вид:

ГЛАВА 3

ПРЕДСТАВЛЕНИЕФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ

Проверка условий представимости

Данную ранее функцию (см. гл. 2)доопределим на всей прямой от <img src="/cache/referats/2181/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> до <img src="/cache/referats/2181/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1125"> как равнуюнулю(рис.4).

Рис.4

а) f(x)-определенна на R;

б) f(x) возрастает на <img src="/cache/referats/2181/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1127"><img src="/cache/referats/2181/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> — кусочнo-монотонна.

f(x) = const на <img src="/cache/referats/2181/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1129"> и <img src="/cache/referats/2181/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1130">

Интеграл Фурье

В соответствии с теорией (см. гл. 1)найдем a(u) и b(u):

И в конечном варианте интеграл Фурье будетвыглядеть так:

Интеграл Фурье в комплексной форме

Теперь представим интеграл Фурье вкомплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:

атеперь получим интеграл в комплексной форме:

ГЛАВА 4

ПРЕДСТАВЛЕНИЕФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА

Основные сведения

Функцию можно разложить в ортонормированнойсистеме пространства X=[-1,1], причем полиномы получим, если проинтегрируемвыражение:

Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5,… :

......... .

Для представления функции полиномомЛежандра необходимо разложить ее в ряд:

где <img src="/cache/referats/2181/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.

Преобразование функции

Наша первоначальная функция имеет вид (см.рис. 1):

т. к. она расположена на промежутке от 0 до <img src="/cache/referats/2181/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1151"> необходимо произвестизамену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.

Замена:

итогда F(t) примет вид

или

Вычисление коэффициентов ряда

Исходя из выше изложенной формулы длякоэффициентов находим:

Далее вычисление коэффициентов осложнено,поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за однопроверим уже найденные:

Рассмотрим процесс стремления суммыполинома прибавляя поочередно <img src="/cache/referats/2181/image286.gif" v:shapes="_x0000_i1171">

А теперь рассмотрим график суммы пятиполиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):

Рис. 5

т.к.очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.

Вывод:

На основе расчетов гл.2 и гл.4 можнозаключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданнойфункции достигается при разложении функции в ряд.

ГЛАВА 5

ДИСКРЕТНЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Прямое преобразование

Для того, чтобы произвести прямоепреобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично.Поэтому разбиваем отрезок от 0 до <img src="/cache/referats/2181/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> на N=8 частей, так чтобы приращение:

Внашем случае <img src="/cache/referats/2181/image315.gif" v:shapes="_x0000_i1186">k-ыхточках будет:

длянашего случая <img src="/cache/referats/2181/image319.gif" v:shapes="_x0000_i1188">a=0).

Составим табличную функцию:

0.785

1.571

2.356

3.142

3.927

4.712

5.498

0.707

Табл. 1

Прямымдискретным преобразованием Фурье вектора <img src="/cache/referats/2181/image325.gif" v:shapes="_x0000_i1191"><img src="/cache/referats/2181/image327.gif" v:shapes="_x0000_i1192">

<img src="/cache/referats/2181/image329.gif" v:shapes="_x0000_i1193">n=0,1,...,N-1

Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к.очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицыравны нулю).

Составим таблицу по прямому дискретномупреобразованию:

зная,<img src="/cache/referats/2181/image333.gif" v:shapes="_x0000_i1195"><img src="/cache/referats/2181/image335.gif" v:shapes="_x0000_i1196">

2,4

0.4

0.318

0.25

0.106

0.021

0.009

Табл. 2

Амплитудныйспектр <img src="/cache/referats/2181/image347.gif" v:shapes="_x0000_i1203">

Обратное преобразование

Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование-есть функция :

Внашем случаи это:

А теперь найдем модули <img src="/cache/referats/2181/image357.gif" v:shapes="_x0000_i1208"> и составим таблицу пообратным дискретным преобразованиям:

0.785

1.571

2.356

3.142

3.927

4.712

5.498

0.707

0.708

0.707

8e-4

5e-5

5e-4

3e-4

Табл. 3

Изприведенной таблицы видно, что <img src="/cache/referats/2181/image323.gif" v:shapes="_x0000_i1213"> приближенно равно <img src="/cache/referats/2181/image357.gif" v:shapes="_x0000_i1214">

Построим графики используя табл.3, где <img src="/cache/referats/2181/image323.gif" v:shapes="_x0000_i1215">F(k), а <img src="/cache/referats/2181/image357.gif" v:shapes="_x0000_i1216">f(k) рис. 6 :

Рис. 6

Вывод:

На основе проделанных расчетов можнозаключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического рядаФурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразованийФурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратногопреобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведеныправильно.

ГЛАВА 1

РЯДЫИ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Основныесведения

Функцияf(x), определенная на всей числовой осиназывается периодической, еслисуществует такое число <img src="/cache/referats/2181/image365.gif" v:shapes="_x0000_i1218">хвыполняется равенство <img src="/cache/referats/2181/image367.gif" v:shapes="_x0000_i1219">Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функцийпериода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т, то функция f(ax)имеет период <img src="/cache/referats/2181/image369.gif" v:shapes="_x0000_i1220">

3) Если f(x) — периодическая функция периода Т, то равны любые дваинтеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a иb справедливо равенство <img src="/cache/referats/2181/image371.gif" v:shapes="_x0000_i1221">

Тригонометрическийряд. Ряд Фурье

Еслиf(x)разлагается на отрезке <img src="/cache/referats/2181/image373.gif" v:shapes="_x0000_i1222"> в равномерносходящийся тригонометрический ряд:

<img src="/cache/referats/2181/image375.gif" v:shapes="_x0000_i1223"> (1)

, тоэто разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

<img src="/cache/referats/2181/image381.gif" v:shapes="_x0000_i1226"> , где n=1,2,.. .

Тригонометрическийряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а <img src="/cache/referats/2181/image383.gif" v:shapes="_x0000_i1227"> коэффициентами рядаФурье.

Достаточныепризнаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка<img src="/cache/referats/2181/image385.gif" v:shapes="_x0000_i1228"> разрыва функции <img src="/cache/referats/2181/image387.gif" v:shapes="_x0000_i1229"> называют точкойразрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этойфункции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1(Дирихле). Если <img src="/cache/referats/2181/image387.gif" v:shapes="_x0000_i1230"> периодическая спериодом <img src="/cache/referats/2181/image389.gif" v:shapes="_x0000_i1231"> функция непрерывна илиимеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [<img src="/cache/referats/2181/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1232">f(x) монотонна, то ряд Фурье относительнофункции сходится к f(x) в точках непрерывности и ксреднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функцияудовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА2. Если f(x) периодическаяфункция с периодом <img src="/cache/referats/2181/image389.gif" v:shapes="_x0000_i1233"> , которая на отрезке [<img src="/cache/referats/2181/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1234"> f(x) в точках разрыва ксреднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этойтеореме называется кусочно-гладкой).

РядыФурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) — четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) =f(x) .

Тогдадля коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

<img src="/cache/referats/2181/image402.gif" v:shapes="_x0000_i1239"><img src="/cache/referats/2181/image404.gif" v:shapes="_x0000_i1240"> , где n=1,2,.. .

Такимобразом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурьедля четной функции с периодом 2Lвыглядит так:

Пусть теперь f(x) — нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x)= — f(x).

Тогда для коэффициентов ее рядаФурье находим формулы:

<img src="/cache/referats/2181/image408.gif" v:shapes="_x0000_i1242"> , где n=1,2,.. .

Такимобразом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены скосинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f(x)разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке<img src="/cache/referats/2181/image373.gif" v:shapes="_x0000_i1244"> то <img src="/cache/referats/2181/image413.gif" v:shapes="_x0000_i1245">

, где <img src="/cache/referats/2181/image404.gif" v:shapes="_x0000_i1246"><img src="/cache/referats/2181/image415.gif" v:shapes="_x0000_i1247">

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L),получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции,заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо: доопределитьна [b,a+2L] и периодическипродолжить, либо доопределить на [b-2L,a]и периодически продолжить.

РядФурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций <img src="/cache/referats/2181/image421.gif" v:shapes="_x0000_i1250"> непрерывных на отрезке[a,b], называется ортогональнойсистемой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательностипопарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

Система называется ортогональной инормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Статистика

29 Августа 2013

Реферат по математике

Теория игр и принятие решений

20 Июня 2015

Реферат по математике

Основы теории систем и системный анализ

20 Июня 2015

Реферат по математике

Математическая статистика

29 Августа 2013