Реферат: Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел
Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.
п.1. Понятие кольца.
Определение. Алгебра , где — бинарные операции, — унарная операция, называется кольцом, если выполнены аксиомы.
I. — абелева группа.
1)
2)
3)
4)
II. 1) — ассоциативность умножения.
2) законы дистрибутивности: — левый дистрибутивный закон, — правый дистрибутивный закон.
— называется аддитивной группой кольца.
Определение. Кольцо называется кольцом с единицей , если существует
Определение. Кольцо называется коммутативным, если
Определение. Элементы называются делителями , если
Определение. Кольцо называется областью целостности, если оно обладает свойствами:
Кольцо — коммутативно.
Кольцо с единицей , где .
Кольцо не имеет делителей нуля.
п.2. Примеры колец.
Рассмотрим . Операции — бинарная операция на множестве , операция — унарная операция на множестве , , значит — алгебра. Аксиомы кольца на множестве выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит — кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как и . Это коммутативное кольцо, так как . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.
Пусть — множество целых чётных чисел, — алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.
— проверим, будет ли на множестве — кольцо.
— бинарная операция на множестве .
— бинарная операция на множестве .
— унарная операция на множестве .
Значит — алгебра.
Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как , а на аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит — это кольцо.
. . Кольцо с единицей — это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.
Пусть . Определим операции , ; , .
— бинарные операции на множестве
значит — унарная операция на множестве .
, , значит — алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство — равенство функции: из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от а)б). Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит является кольцом. Это кольцо с единицей . Действительно, (свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как . Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть , , , (нулевая функция). Вычислим (равно нулевой функции). Значит , — делители нуля, значит кольцо — не является областью целостности.
п.3. Простейшие свойства кольца.
Пусть — кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:
.
Доказательство. — абелева группа, имеем
.
Доказательство. — абелева группа, имеем .
, если , если .
Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве .
, если , если .
Доказательство. Следует из свойства 4 групп.
если , если .
Доказательство. Следует из 5 свойства групп.
.
Доказательство. Следует из 6 свойства групп.
.
Доказательство. Докажем, что .
.
Доказательство. Докажем, что рассмотрим сумму . Аналогично доказывается, что .
. Обозначение: .
(правый дистрибутивный закон), (левый дистрибутивный закон).
Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.
.
Доказательство. Вычислим сумму .
п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Дано два кольца и .
Определение. Гомоморфизмом кольца в кольце называется функция и обладающая свойствами:
Другими словами, гомоморфизм колец – это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если — гомоморфизм кольца в , то — гомоморфизм абелевых групп в группу .
Теорема. Пусть и — кольца и , обладающих свойствами:
Тогда — гомоморфизм колец.
Доказательство. Из свойства является гомоморфизмом групп и , поэтому обладает свойствами: , , значит по определению — гомоморфизм колец.
Определение. Отображение называется изоморфизмом кольца на , если обладает свойствами:
— гомоморфизм колец.
— биекция.
Другими словами: изоморфизм – это гомоморфизм, являющийся биекцией.
п.5. Подкольца.
Пусть — кольцо, , .
Определение. Множество — замкнуто относительно операции , если .
Множество — замкнуто относительно операции , если . Множество — замкнуто относительно операции , если .
Теорема. Пусть — кольцо, , , если — замкнуто относительно операции , то — кольцо, которое называется подкольцом, кольца .
Доказательство. — бинарные операции, — унарная операция, так как — замкнутое множество. Так как , то существует , так как — замкнуто относительно операции , то , значит — алгебра, так как аксиомы выполнены на , то они выполнены и на , потому алгебра — кольцо.
Теорема. Пусть — числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.
п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.
Алгебраическая система , где бинарные операции, — унарная операция, , , называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:
I. — кольцо.
Абелева группа
Аддитивная группа
II. Множество — замкнуто относительно операций и алгебраическая система является системой натуральных чисел (системой Пеано).
Для ,
Для ,
Для ,
Для ,
Для ,
Для ,
Аксиома индукции: пусть . Если множество удовлетворяет условиям:
а)
б) , , то
III. Аксиома минимальности.
Если и обладает свойствами:
а)
б) , то .
Теорема 1. О делении с остатком.
| , где . Число называется делимым, — делителем, — частным, — остатком при делении на .
Доказательство. Докажем существование хотя бы одной пары чисел , . Для этого рассмотрим множество . Множество содержит как отрицательные, так и неотрицательные числа, пусть — наименьшее неотрицательное число в , тогда . Докажем, что , предположим противное . Рассмотрим число . противоречие с выбором . Доказано, что , . Докажем единственность чисел и , пусть . , . Докажем, что , предположим противное . Пусть . Имеем противоречие, так как между числами нет чисел, делящихся на . Доказано, что , если , то , а отсюда следует, что . Доказана единственность чисел и .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001