Реферат: Застосування подвійних інтегралів
а)обчислення площі плоскої фігури;
Площа плоскої області дорівнює. Якщо область визначена нерівностями, то площа дорівнює. Якщо область визначена нерівностями
, то площа дорівнює .
Якщо область у полярних координатах визначена нерівностями, то площа дорівнює
б) обчислення об’ємів;
Об’єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі і яке обмежене знизу областю, що лежить на площині, а зверху поверхнею, яка неперервна в області, знаходиться за формулою. Якщо циліндричне тіло обмежене зверху поверхнею, а знизу поверхнею і проектується на площину в область, то об’єм обчислюється за формулою .
в) обчислення площі поверхні;
Якщо поверхня, яка задана рівнянням, проектується на
площину в область і функції неперервні в цій області, то площу цієї поверхні знаходять за формулою:. Якщо поверхня має рівняння виду, то
, де – проекція поверхні на площину. Якщо поверхня має рівняння виду, то
, де – проекція поверхні на площину .
г) маса плоскої пластини;
Нехай на площині пластина займає замкнену область, в кожній точці якої відома густина, розмірність якої. Маса такої пластини визначиться за формулою
д) центр маси пластини, статичні моменти:
Центр маси пластини обчислюється за формулами,, де, – статичні моменти пластини відносно осей та відповідно. Якщо пластина однорідна, то густина .
е) моменти інерції пластини;
Моменти інерції пластини та, відносно координатних осей і обчислюється за формулами:,. Момент інерції пластини відносно початку координат .
Зауваження: якщо в формулах для обчислення моментів інерції покласти, то одержимо геометричні моменти інерції.
Задача 21. Обчислити площу плоскої фігури, обмежену лініями: .
Розв’язання: Побудуємо плоску фігуру, обмежену заданими лініями. Знайдемо точки перетину ліній, що обмежують фігуру. Для
цього розв’яжемо систему рівнянь:
. Дістанемо та. Фігура знаходиться між двома перпендикулярами: та. В цей час змінюється від до. Запишемо подвійний інтеграл через повторний (випадок I):
= (кв.од.)
Задача 22. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями та .
Розв’язання: Розглянемо восьму частину заданого тіла. Поверхня, яка обмежує її зверху проектується в площину у чверть кола радіуса з центром в точці :
Для обчислення об’єму циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі, яке обмежене знизу поверхнею, а зверху – поверхнею застосовують формулу:
. В нашому випадку, а. Тоді (куб.од).
Маємо (куб.од).
Задача 23. Знайти площу частини конуса, що міститься в середині циліндру .
Розв’язання: Зробимо рисунок поверхні. Площу поверхні обчислимо за формулою:
, де – проекція даної поверхні на
площину. Розв’яжемо рівняння конуса відносно :
. Знайдемо частинні похідні по та :
Область у площині є круг, обмежений колом
Знайдемо підінтегральну функцію:
, тому .
Так як область інтегрування є круг, то перейдемо у полярну систему координат:. Запишемо рівняння кола у полярних координатах:
, .
(кв. од.).
Задача 24. Знайти масу матеріальної пластини, що має форму замкненої області, обмеженої лініями: а густина в кожній точці визначається функцією, неперервною в області .
Розв’язання: Побудуємо область
Маса такої пластини визначається за формулою: .
Маємо .
.
Задача 25. Знайти центр маси однорідної пластини, обмеженої кривою та віссю .
Розв’язання: Зробимо рисунок пластини.
Координати центра маси пластини обчислюється за формулами,, де,,. Так як пластина однорідна, то. В цьому випадку матимемо
.
Обчислимо інтеграли
;
.
Тоді .