Реферат: Интегралы, зависящие от параметра

9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:

. (28)

Предполагается, что интеграл в правой части существует как интеграл Римана. Переменная у называется параметром.

Теорема 15. Если функция непрерывна на замкнутом прямоугольнике, то функция непрерывна на отрезке .

‰ Пусть — произвольная точка на отрезке, функция, непрерывная на прямоугольнике П, равномерно непрерывна на нем (по теореме Кантора). Из равномерной непрерывности следует, что и для и такого, что выполняется. Тогда

.

Таким образом, получаем, что для, удовлетворяющему условию существует предел, т.е. непрерывна на. <

Следствие. Если непрерывна на П, то выполняется равенство:

.

Доказательство следует из теоремы 15 и из теоремы для заданной на области П и интегрируемой на. (см. «Вычисление двойного интеграла»).

Теорема 16. Если функция и её частные производные непрерывны на прямоугольнике П, то функция непрерывно дифференцируема на отрезке и

или ,

т.е. интеграл (40), зависящий от параметра, можно дифференцировать по параметру.

‰ Пусть,. В силу следствия к теореме 27 имеем

.

Получаем, что .

Тогда по правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом будет:

,

причём в силу теоремы 27 непрерывна на. <

Следствие. Пусть и непрерывны на П, а функции и дифференцируемы на отрезке, причём и для. Тогда справедлива формула

.

Эта формула называется формулой дифференцирования интеграла с переменными пределами интегрирования.

‰ Рассмотрим функцию,. Запишем её как сложную функцию, где, и найдём как производную сложной функции у:

.

Так как

;

;

,

то, подставляя полученные выражения для производных в формулу для вычисления, получаем доказываемую формулу. ■

9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве. Будем рассматривать интегралы вида:

. (29)

Пусть несобственный интеграл (29) сходится. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится на отрезке .

Легко увидеть из признака Коши для несобственных интегралов, что интеграл (29) сходится в том и только в том случае, когда существует предел. Это означает, что для такое, что для выполняется

Определение 5.Несобственный интеграл (29) называется равномерно сходящимся на, если для такое, что выполняется .

Таким образом, в отличие от определения простой сходимости требуется, чтобы число В было зависящим только от и не зависит и не зависит от у.

Теорема 17. (Признак Вейерштрасса). Пусть:

1) функция интегрируема по Риману по переменной х на любом отрезке ;

2) функция определена на промежутке, причём для; (30)

3) интеграл сходится,

тогда несобственный интеграл (29) сходится абсолютно и равномерно на .

‰ По признаку сравнения для несобственных интегралов в силу (30) несобственный интеграл (29) сходится абсолютно.

Из сходимости интеграла (29) следует, что такое, что для выполняется. В силу (30) имеем

для и .

Следовательно, несобственный интеграл (29) сходится равномерно на. <

Теорема 18. Пусть функция непрерывна на множестве и интеграл (29) сходится равномерно на. Тогда функция непрерывна на .

‰ Пусть — произвольная точка, т.е.. Тогда

. (31)

В силу равномерной сходимости несобственного интеграла (29) для такое, что для

,

тогда

. (32)

Фиксируем некоторое. Функция непрерывна на прямоугольнике, следовательно, по теореме Кантора она равномерно непрерывна на П, т.е. такое, что для выполняется. Отсюда следует, что

. (33)

Из (31), (32), (33) следует, что

, при .

Следовательно, непрерывна в произвольной точке. ■

Теорема 19. Пусть непрерывна на множестве и интеграл (29) сходится равномерно на. Тогда

.

ÿ Пусть, тогда в силу следствия к теореме 15 имеем

. (34)

Из равномерной сходимости интеграла (29) следует, что для, что при и получаем

и тогда

.

Следовательно,

. (35)

Переходя в равенстве (34) к пределу при, в силу (35) получим:

. <

Теорема 20. Пусть функция, частная производная и интеграл (29) непрерывны на, а интеграл — сходится равномерно на. Тогда функция непрерывно дифференцируема на и справедлива формула: .

□ Пусть,. В силу теоремы 19, имеем

.

Таким образом,. Отсюда следует, что

.

В силу теоремы 18, производная непрерывна на . <

Пример 16. Вычислить, .

Решение. Будем считать b — фиксированной величиной, а a — параметром. Обозначим, тогда. Легко проверить, что интеграл сходится для. Пусть ,.

Интеграл, т.е. сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость по параметру a интеграла на отрезке . В этом случае несобственный интеграл можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла

при .

Тогда . Так как, то. Таким образом, получаем

.

Контрольные вопросы

1. Что такое интегральная сумма? Составьте интегральную сумму функции, соответствующую разбиению области на прямоугольники и выбору левых верхних вершин этих прямоугольников в качестве промежуточных точек.

2. Что называется диаметром ограниченного множества точек? Чему равен диаметр: а) квадрата со стороной 1; б) области, ограниченной эллипсом ?

3.Дайте определение предела интегральных сумм и двойного интеграла. Докажите, что неограниченная в области функция не интегрируема в этой области.

4.Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность двойных интегралов.

5.Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для двойного интеграла, аналогичную теореме для определенного интеграла.

6.Сведите двойной интеграл к повторному двумя способами, если G – круг, ограниченный окружностью .

7. Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле.

8.Дайте определение предела интегральных сумм и тройного интеграла. Докажите, что неограниченная в пространственной области функция не интегрируема в этой области.

9.Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность тройных интегралов.

10.Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для тройного интеграла.

11.Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному, в котором внутренний интеграл является определенным интегралом.

12.Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам. Вычислите якобиан перехода. Что представляют собой координатные поверхности,, и координатные линии ?

13.Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к сферическим координатам. Вычислите якобиан перехода. Что представляет собой координатные поверхности,, и координатные линии ?

14.Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла первого рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла первого рода.

15.Зависит ли от направления обхода кривой: а) криволинейный интеграл первого рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма?

16.Для криволинейного интеграла первого рода сформулируйте: а) свойства линейности и аддитивности; б) теорему об оценке модуля интеграла; в) теорему о формуле среднего значения.

17.Зависит ли от направления обхода кривой криволинейный интеграл второго рода. Какое направление обхода замкнутой кривой принимают за положительное?

18.Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла второго рода и сведении его к определенному интегралу. Напишите соответствующие формулы для: а) плоской кривой заданной параметрически, в декартовых координатах; б) пространственной кривой, заданной параметрически.

19.Какая связь между криволинейными интегралами первого и второго рода?

20.Сформулируйте свойства линейности и аддитивности криволинейных интегралов второго рода.

21.Дайте определение поверхностного интеграла первого рода.

22.Напишите формулу вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла для явно заданной поверхности.

23.Каким характеристическим свойством обладает двусторонняя поверхность; односторонняя поверхность?

24.Сформулируйте определение поверхностных интегралов второго рода. Как они обозначаются?

25.Зависят ли от ориентации поверхности:

а) поверхностный интеграл первого рода и его интегральные суммы;

б) поверхностный интеграл второго рода?

26.Какая область называется простой? Является ли простой областью: а) шар; б) параллелепипед,,; в) тетраэдр,,,? Ответы обоснуйте.

27.Напишите формулу Остроградского-Гаусса и сформулируйте условия, при которых эта формула справедлива.

28.Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, покажите что объем области, ограниченной кусочно гладкой поверхностью, можно вычислить по формуле

,

где интеграл берется по внешней стороне .

29.Какой интеграл называется зависящим от параметра. Теорема о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра.

30.Сформулируйте теорему о дифференцировании собственного интеграла, зависящего от параметра. Следствие.

31.Какой несобственный интеграл называется зависящим от параметра. Определение равномерной сходимости.

32.Сформулируйте признак Вейерштрасса для несобственного интеграла, зависящего от параметра.

33.Сформулируйте теорему о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра.