Реферат: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Контрольнаяработа

Дисциплина:Высшая математика

Тема: Пределы.Сравнение бесконечно малых величин

Содержание

1. Предел числовой последовательности

2. Предел функции

3. Второй замечательный предел

4. Сравнение бесконечно малых величин

Литература

1. Пределчисловой последовательности

Решение многих математических иприкладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определеннымобразом. Выясним некоторые их свойства.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу /> по какому-то законупоставлено в соответствие вещественное число />,то множество чисел /> называется числовойпоследовательностью.

Исходя из определения 1, видно, чточисловая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов.Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номераих члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться илиуменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще непроявлять какой-либо закономерности.

Определение 1.2. Число /> называетсяпределом числовой последовательности />, еслидля любого числа /> существует такойномер числовой последовательности />,зависящий от />, что для всех номеровчисловой последовательности /> выполняетсяусловие />.

Последовательность, которая имеетпредел, называется сходящейся. В этом случае пишут />.

Очевидно, для выяснения вопроса осходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который былбы основан только на свойствах ее элементов.

Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовойпоследовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся,необходимо и достаточно, чтобы для любого числа /> существовалтакой номер числовой последовательности />,зависящий от />, что для любых двухномеров числовой последовательности /> и />, которые удовлетворяютусловию /> и />, было бы справедливо неравенство/>.

Доказательство. Необходимость. Дано,что числовая последовательность /> сходится,значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел />. Выберем какое-то число />. Тогда, по определениюпредела числовой последовательности, существует такой ее номер />, что для всех номеров /> выполняется неравенство />. Но так как /> произвольно, то будетвыполняться и />. Возьмем двакаких-то номера последовательности /> и />, тогда

/>.

Отсюда следует, что />, то есть необходимостьдоказана.

Достаточность. Дано, что />. Значит, существует такойномер />, что для данного условия /> и />. В частности, если />, а />, то /> или /> при условии, что />. Это значит, что числоваяпоследовательность /> для /> ограничена. Следовательно,по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей /> должнасходиться. Пусть />. Докажем, что /> сходится к /> также.

Возьмем произвольное />. Тогда, согласноопределению предела, существует такой номер />,что для всех /> выполняется неравенство />. С другой стороны, по условиюдано, что у последовательности /> существуеттакой номер />, что для всех /> и /> будет выполняться условие />.

Выберем /> изафиксируем некоторое />. Тогда для всех /> получим:

/>.

Отсюда следует, что />, что и требовалосьдоказать.

Определение 1.3. Числовая последовательность /> называется монотонновозрастающей, если выполняется неравенство />,и монотонно убывающей, если />.

Теорема 1.2. Любая монотонно возрастающаяограниченная сверху числовая последовательность /> имеетпредел.

Аналогичная теорема есть и длямонотонно убывающей числовой последовательности.

2. Пределфункции

При исследовании графиков различныхфункций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции ккакой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также можетпринимать ряд значений, неограниченно приближающихся к некоторой величине.Следовательно, для функции также можно ввести понятие предела.

Определение 2.1. Число />называется пределом функции/> в точке />, если для любого /> существует такое число />, что из условия /> следует, что />.

Данное условие записывается в виде: />. Отметим, что интервалдлины />, который содержит в себеточку />, называется />-окрестностью точки />.

Аналогичным образом вводится понятиепредела функции и при стремлении /> к />. Так же как и в случаечисловой последовательности, для функции существует теорема Коши, котораяопределяет существование у нее предела.

Теорема Коши о существовании предела.Для того чтобы функция />, где />, имела предел /> при />, где />, необходимо и достаточно,чтобы для любого /> существовалотакое число />, что из условия /> вытекало условие />.

Доказательства теоремы приводить небудем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечныевеличины.

Геометрический смысл теоремы Кошизаключается в следующем. Возьмем некоторое />,для которого />. Тогда, согласно теореме, />. Представим данноенеравенство следующим образом: />. Иначеговоря, как только /> станетотличаться от /> меньше, чем на />, сама функция окажется вполосе шириной />, расположеннойна линии />.

/> <td/>

В приведенном определении предела итеореме Коши /> может стремиться к /> произвольным образом.Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны.Для этого вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 2.2. Если /> стремитсяк />, оставаясь все времяменьше его, и при этом /> стремится к />, то это число называетсяпределом функции слева и обозначается />.

Определение 2.3. Если /> стремитсяк />, оставаясь все времябольше его, и при этом /> стремится к />, то это число называетсяпределом функции справа и обозначается />.

Необходимо иметь в виду, что невсегда пределы слева и справа в точке /> равнымежду собой.

3. Второйзамечательный предел

Рассмотрим числовуюпоследовательность />, где />, /> С ростом /> основание степениуменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничегоконкретного о поведении /> сказатьнельзя. Для вычисления /> воспользуемсявыражением для бинома Ньютона:

/>. (0.0.1)

В нашем случае

/>.

Из полученного выражения следует, чтос увеличением /> величина /> растет. Действительно,перейдем от /> к />. Это приведет к тому, чточисло слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенныхв скобки, тоже возрастет, так как />. Ноесли увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то />. Значит, числоваяпоследовательность /> монотонновозрастает.

Докажем теперь, что даннаяпоследовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида /> единицей. Так как />, то

/>.

Кроме того />, />,..., />. Значит,

/>.

В правой части неравенства послецифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма /> первых членов такойпрогрессии равна: />. В нашем случае />. С ростом /> величина /> будет, очевидно, стремитсяк единице. Значит, />, то есть,ограничено сверху.

Итак, мы получили, что />. Но так как /> монотонно возрастающаяпоследовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:

Можно доказать, что данный пределсправедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений />:

/>.

Полученное выражение и называетсявторым замечательным пределом.

Число /> используетсядля введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются />, при этом />.

Следствие 3.1.

/>.

В частности, если />, то />.

Следствие 3.2.

/>.

В частности, если />, то />.

4.Сравнение бесконечно малых величин

Как следует из определения бесконечномалых величин, все они стремятся к нулю, но скорость этого стремления можетбыть различна. Поэтому все бесконечно малые величины можно сравнивать между собой.

Пусть даны две бесконечно малыевеличины /> и /> при />, то есть />, />.

Определение 4.1. Функции /> и/> называются бесконечномалыми величинами одного порядка малости, если />.

Определение 4.4. Функция /> называетсябесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем />, если />.

Определение 4.3. Функция /> называетсябесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем />, если />.

Тот факт, что />, например, имеет болеевысокий порядок малости, чем />, можнообозначить следующим образом: />.

Определение 4.4. Функция /> называетсябесконечно малой величиной />гопорядка малости относительно />, если />.

Определение 4.5. Функции /> и/> называются несравнимымибесконечно малыми величинами, если /> несуществует и не равен />.

Определение 4.6. Две бесконечно малые величины /> и /> называются эквивалентными,если />.

Очевидно, что это частный случайбесконечно малых величин одного порядка малости. Эквивалентные величиныобозначаются следующим образом: />.

Понятие эквивалентности имеетпрактическое приложение. Если/>, тоэто значит, что при достаточном приближении /> к/> на основании теоремы 9.4.1можно написать: />. Иначе говоря, /> или />.

Полученный результат позволяетследствия первого и второго замечательных пределов представить следующимобразом:

/>;

при />.

Данный факт значительно облегчаетвычисление пределов, связанных с первым и вторым замечательными пределами.Докажем объясняющую это теорему.

Теорема 4.1. Предел отношения двух бесконечномалых величин равен пределу отношения эквивалентных им величин.

Доказательство. Пусть даны двебесконечно малые величины /> и /> при />, причем /> и />. Рассмотрим

/>,

что и требовалось доказать.

Следовательно, при вычислениипределов, используя замены сомножителей на эквивалентные им более простыевеличины, можно значительно упрощать выражения.

Рассмотрим теперь теорему, дающуюдостаточно простой признак эквивалентности бесконечно малых величин.

Теорема 4.4. Две бесконечно малые величины /> и /> при /> эквивалентны тогда итолько тогда, когда их разность есть бесконечно малая величина более высокогопорядка малости, чем /> и />.

Доказательство. Обозначим />.

Необходимость. Дано, что />. Рассмотрим

/>,

то есть />.Аналогично доказывается, что />.

Достаточность. Дано, что /> и />. Рассмотрим

/>,

то есть />,что и требовалось доказать.

Рассмотрим еще одну теорему,облегчающую процесс вычисления пределов.

Теорема 4.3. Сумма конечного числа бесконечномалых величин разных порядков малости эквивалентна слагаемому с самым низкимпорядком малости.

Доказательство. Пусть даны бесконечномалые величины />, /> и /> при />, причем />, />, />. Обозначим />. Тогда

/>,

то есть />,что и требовалось доказать.