Реферат: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
/> Приближённоерешение алгебраических и трансцендентных уравнений
1.Общая постановка задачи. />Найтидействительные корни уравнения />, где /> — алгебраическая илитрансцендентная функция.
Точные методы решенияуравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные,некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).
В общем случае решениеданного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:
1) отделение (локализация)корня;
/>2)приближённое вычисление корня до заданной точности.
2.Отделение корня. />/>Отделение действительногокорня уравнения /> — это нахождениеотрезка />, в котором лежит толькоодин корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции(локализации) корня.
/>Наиболее удобным и наглядным является графическийметод отделения корней:
1) строится график функции/>, и определяются абсциссыточек пересечения этого графика с осью />,которые и являются корнями уравнения />;
2) если /> — сложная функция, то еёнадо представить в виде /> так,чтобы легко строились графики функций /> и/>. Так как />, то />. Тогда абсциссы точекпересечения этих графиков и будут корнями уравнения />.
Пример./>Графически отделить кореньуравнения />.
/> <td/> />Решение. Представим левую часть уравнения в виде />. Получим: Построим графикифункций /> и />.
/>Абсцисса точки пересеченияграфиков находится на отрезке />, значиткорень уравнения />.
3. /> Уточнениекорня.
/> Если искомый кореньуравнения /> отделён, т.е. определёнотрезок />, на котором существуеттолько один действительный корень уравнения, то далее необходимо найтиприближённое значение корня с заданной точностью.
/>Такая задача называетсязадачей уточнения корня.
/>Уточнение корня можнопроизводить различными методами:
/>1) метод половинногоделения (бисекции);
/>2) метод итераций;
/>3) метод хорд (секущих);
/>4) метод касательных(Ньютона);
/>5) комбинированные методы.
/>4. Метод половинногоделения (бисекции).
/>Отрезок изоляции корняможно уменьшить путём деления его пополам.
/>Такой метод можноприменять, если функция /> непрерывнана отрезке /> и на его концах принимаетзначения разных знаков, т.е. выполняется условие /> (1).
/>Разделим отрезок /> пополам точкой />, которая будет приближённымзначением корня />.
/>Для уменьшения погрешностиприближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжаютделить отрезки, содержащие корень, пополам.
/>Из отрезков /> и /> выбирают тот, для котороговыполняется неравенство (1).
/>В нашем случае это отрезок/>, где />.
/>Далее повторяем операциюделения отрезка пополам, т.е. находим /> итак далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность />. Т.е. до тех пор, пока неперестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства/>.
/>Достоинствометода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).
/>Недостатокметода: медленная сходимость результата к заданной точности.
/>Пример. Решить уравнение /> методомполовинного деления с точностью до 0,001.
/>Решение./>Известенотрезок изоляции корня /> и заданнаяточность />. По уравнению составимфункцию />.
Найдём значения функции наконцах отрезка: />
/>, />.
Проверим выполнениенеравенства (1): /> — условие выполняется,значит можно применить метод половинного деления.
Найдём середину отрезка /> и вычислим значениефункции в полученной точке:
/>, />.
Среди значений /> /> и /> выберем два значенияразных знаков, но близких друг к другу. Это /> и/>. Следовательно, изотрезков /> и /> выбираем тот, на концахкоторого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок /> и опять находим серединуотрезка и вычисляем значение функции в этой точке:
/>, />, />, /> — заданная точностьрезультата не достигнута, продолжим вычисления.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, /> - заданная точность результатадостигнута, значит, нашли приближённое значение корня />.
Ответ: корень уравнения /> с точностью до 0,001.
5. Методхорд (секущих).Этот метод применяется прирешении уравнений вида />, если кореньуравнения отделён, т.е. /> ивыполняются условия:
1) />(функция/> принимает значения разныхзнаков на концах отрезка />);
2) производная /> сохраняет знак на отрезке /> (функция /> либо возрастает, либоубывает на отрезке />).
Первое приближение корнянаходится по формуле: />.
Для следующего приближенияиз отрезков /> и /> выбирается тот, на концахкоторого функция /> имеет значенияразных знаков.
Тогда второе приближениевычисляется по формуле:
/>, если /> или />, если />.
Вычисления продолжаются дотех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужнооставить в ответе.
6. Методкасательных (Ньютона).Этот метод применяется,если уравнение /> имеет корень />, и выполняются условия:
1) /> (функцияпринимает значения разных знаков на концах отрезка />);
2) производные /> и /> сохраняют знак на отрезке /> (т.е. функция /> либо возрастает, либоубывает на отрезке />, сохраняя приэтом направление выпуклости).
На отрезке /> выбирается такое число />, при котором /> имеет тот же знак, что и />, т. е. выполняется условие/>. Таким образом, выбираетсяточка с абсциссой />, в которойкасательная к кривой /> на отрезке /> пересекает ось />. За точку /> сначала удобно выбиратьодин из концов отрезка.
Первое приближение корняопределяется по формуле: />.
Второе приближение корняопределяется по формуле: />.
Вычисления ведутся досовпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданнойточности /> — до выполнения неравенства/>.
Достоинства метода:простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода:вычисление производной и трудность выбора начального положения.
7. Комбинированныйметод хорд и касательных.Если выполняются условия:
1) />,
2) /> и/> сохраняют знак на отрезке />,
то приближения корня /> уравнения /> по методу хорд и по методукасательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтомудля быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к.один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, тодостаточно легко получить заданную степень точности корня.
Схема решения уравнения методом хорд икасательных1. Вычислить значения функции /> и />.
2. Проверить выполнение условия />. Если условие невыполняется, то неправильно выбран отрезок />.
3. Найти производные /> и />.
4. Проверить постоянство знакапроизводных на отрезке />. Если нетпостоянства знака, то неверно выбран отрезок />.
5. Для метода касательных выбираетсяза /> тот из концов отрезка />, в котором выполняетсяусловие />, т.е. /> и /> одного знака.
6. Приближения корней находятся:
а) по методу касательных: />,
б) по методу хорд: />.
7. Вычисляется первое приближениекорня: />.
8. Проверяется выполнение условия: />, где /> — заданная точность.
Если условие невыполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезокизоляции корня сужается и имеет вид />.Приближённые значения корня находятся по формулам:
/> и />.
Вычисления продолжаются дотех пор, пока не будет найдено такое значение />,при котором /> и /> совпадут с точностью />.
Пример. Решить уравнение /> методом хорд и касательныхс точностью 0,001, если известно, что корень уравнения />.Решение.
1. Вычислим значения функции /> на концах отрезка: />, />.
2. Проверим выполнение условия: /> - условие выполняется.
3. Найдём производные: /> и />/>./>
4. На отрезке /> производные /> и />, т.е. сохраняют знак, следовательно,условие выполняется.
5. Выберем значение /> для метода касательных. Т.к./> и />, то />.
6. Найдём приближения корня:
а) по методукасательных: />
б) по методу хорд: />.
7. Найдём первое приближение корня: />.
8. Проверим выполнение условия: /> - условие не выполняется,значит нужно продолжить вычисления.
9. Отрезок изоляции корня имеет вид: />.
10. Продолжим уточнение корняпо схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:
/>, />.
11. Проверим условие: /> - выполняется, значитможно продолжить применение метода./>
12. Так как /> и /> на отрезке/>, то для метода касательных:/>.
13. Вычислим значениепроизводной: />.
14. Найдём новые значенияконцов отрезка изоляции:
/>, />.
15. Найдём второе приближениекорня: />.
16. Проверим выполнениеусловия: /> - неравенство неверное,значит необходимо продолжить вычисления.
17. Отрезок изоляции корняимеет вид: />.
18. Вычислим значения функции:
/>, />.
19. Условие /> - выполняется.
20. Так как /> и /> на />, то для метода касательных/>.
21. Вычислим производную: />.
22. Вычислим: />,
/>.
23. Найдём третье приближениекорня: />.
24. Проверим выполнениенеравенства: /> - условиевыполняется, значит, цель достигнута.
25. Следовательно, /> или /> - приближённое значениекорня с точностью до 0,001.
Ответ: />.
9. Задания для расчётныхработ.
Решить уравнениеметодами:
а) бисекции,
б) хорд и касательных.