Реферат: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

/>       Приближённоерешение алгебраических и трансцендентных  уравнений

1.Общая постановка задачи. />Найтидействительные корни уравнения />, где /> — алгебраическая илитрансцендентная функция.

Точные методы решенияуравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные,некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решениеданного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:

1) отделение (локализация)корня;

/>2)приближённое вычисление корня до заданной точности.

2.Отделение корня. />/>Отделение действительногокорня уравнения /> — это нахождениеотрезка />, в котором лежит толькоодин корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции(локализации) корня.

/>Наиболее удобным и наглядным является графическийметод отделения корней:

1) строится график функции/>, и определяются абсциссыточек пересечения этого графика с осью />,которые и являются корнями уравнения />;

2) если /> — сложная функция, то еёнадо представить в виде />  так,чтобы легко строились графики функций /> и/>. Так как />, то />. Тогда абсциссы точекпересечения этих графиков и будут корнями уравнения />.

Пример./>Графически отделить кореньуравнения />.

/> <td/> />
Решение. Представим левую часть уравнения в виде />. Получим: Построим графикифункций /> и />.

/>Абсцисса точки пересеченияграфиков находится на отрезке />, значиткорень уравнения />.

3. /> Уточнениекорня.

/> Если искомый кореньуравнения /> отделён, т.е. определёнотрезок />, на котором существуеттолько один действительный корень уравнения, то далее необходимо найтиприближённое значение корня с заданной точностью.

/>Такая задача называетсязадачей уточнения корня.

/>Уточнение корня можнопроизводить различными методами:

/>1) метод половинногоделения (бисекции);

/>2) метод итераций;

/>3) метод хорд (секущих);

/>4) метод касательных(Ньютона);

/>5) комбинированные методы.

/>4. Метод половинногоделения (бисекции).

/>Отрезок изоляции корняможно уменьшить путём деления его пополам.

/>Такой метод можноприменять, если функция /> непрерывнана отрезке /> и на его концах принимаетзначения разных знаков, т.е. выполняется условие /> (1).

/>Разделим отрезок /> пополам точкой />, которая будет приближённымзначением корня />.

/>Для уменьшения погрешностиприближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжаютделить отрезки, содержащие корень, пополам.

/>Из отрезков /> и /> выбирают тот, для котороговыполняется неравенство (1).

/>В нашем случае это отрезок/>, где />.

/>Далее повторяем операциюделения отрезка пополам, т.е. находим /> итак далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность />. Т.е. до тех пор, пока неперестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства/>.

/>Достоинствометода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).

/>Недостатокметода: медленная сходимость результата к заданной точности.

/>Пример.  Решить уравнение   />   методомполовинного деления с точностью до 0,001.

/>Решение./>Известенотрезок изоляции корня /> и заданнаяточность />. По уравнению составимфункцию />.

Найдём значения функции наконцах отрезка: />

/>, />.

Проверим выполнениенеравенства (1): /> — условие выполняется,значит можно применить метод половинного деления.

Найдём середину отрезка /> и вычислим значениефункции в полученной точке:

/>,     />.

Среди значений /> /> и /> выберем два значенияразных знаков, но близких друг к другу. Это /> и/>. Следовательно, изотрезков /> и /> выбираем тот, на концахкоторого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок /> и опять находим серединуотрезка и вычисляем значение функции в этой точке:

/>,  />,  />, /> — заданная точностьрезультата не достигнута, продолжим вычисления.

/>,  />,  />,  />.

/>,  />,  />,  />.

/>,  />,  />,  />.

/>,  />,  />,  />.

/>,  />,  />,  />.

/>,  />,  />,  />.

/>,  />,  />,  />.

/>,  />,  />,  />.

/>,  /> - заданная точность результатадостигнута, значит, нашли приближённое значение корня />.

Ответ: корень уравнения /> с точностью до 0,001.

5.      Методхорд (секущих).

Этот метод применяется прирешении уравнений вида />, если кореньуравнения отделён, т.е. /> ивыполняются условия:

1) />(функция/> принимает значения разныхзнаков на концах отрезка />);

2) производная /> сохраняет знак на отрезке /> (функция /> либо возрастает, либоубывает на отрезке />).

Первое приближение корнянаходится по формуле: />.

Для следующего приближенияиз отрезков /> и /> выбирается тот, на концахкоторого функция /> имеет значенияразных знаков.

Тогда второе приближениевычисляется по формуле:

/>, если /> или />, если />.

Вычисления продолжаются дотех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужнооставить в ответе.

6.      Методкасательных (Ньютона).

Этот метод применяется,если уравнение /> имеет корень />, и выполняются условия:

1) /> (функцияпринимает значения разных знаков на концах отрезка />);

2) производные /> и /> сохраняют знак на отрезке /> (т.е. функция /> либо возрастает, либоубывает на отрезке />, сохраняя приэтом направление выпуклости).

На отрезке /> выбирается такое число />, при котором /> имеет тот же знак, что и />, т. е. выполняется условие/>. Таким образом, выбираетсяточка с абсциссой />, в которойкасательная к кривой /> на отрезке /> пересекает ось />. За точку /> сначала удобно выбиратьодин из концов отрезка.

Первое приближение корняопределяется по формуле: />.

Второе приближение корняопределяется по формуле: />.

Вычисления ведутся досовпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданнойточности /> — до выполнения неравенства/>.

Достоинства метода:простота, быстрота сходимости.

Недостатки метода:вычисление производной и трудность выбора начального положения.

7.      Комбинированныйметод хорд и касательных.

Если выполняются условия:

1) />,

2) /> и/> сохраняют знак на отрезке />,

то приближения корня /> уравнения /> по методу хорд и по методукасательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтомудля быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к.один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, тодостаточно легко получить заданную степень точности корня.

Схема решения уравнения методом хорд икасательных

1. Вычислить значения функции /> и />.

2. Проверить выполнение условия />. Если условие невыполняется, то неправильно выбран отрезок />.

3. Найти производные /> и />.

4. Проверить постоянство знакапроизводных на отрезке />. Если нетпостоянства знака, то неверно выбран отрезок />.

5. Для метода касательных выбираетсяза /> тот из концов отрезка />, в котором выполняетсяусловие />, т.е. /> и /> одного знака.

6. Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: />,

б) по методу хорд: />.

7. Вычисляется первое приближениекорня: />.

8. Проверяется выполнение условия: />, где /> — заданная точность.

Если условие невыполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.

В этом случае отрезокизоляции корня сужается и имеет вид />.Приближённые значения корня находятся по формулам:

/>            и            />.

Вычисления продолжаются дотех пор, пока не будет найдено такое значение />,при котором /> и /> совпадут с точностью />.

Пример. Решить уравнение /> методом хорд и касательныхс точностью 0,001, если известно, что корень уравнения />.

Решение.

1. Вычислим значения функции /> на концах отрезка: />, />.

2. Проверим выполнение условия: /> - условие выполняется.

3. Найдём производные: /> и />/>./>

4. На отрезке /> производные /> и />, т.е. сохраняют знак, следовательно,условие выполняется.

5. Выберем значение /> для метода касательных. Т.к./> и />, то />.

6. Найдём приближения корня:

а) по методукасательных: />

б) по методу хорд: />.

7. Найдём первое приближение корня: />.

8. Проверим выполнение условия: /> - условие не выполняется,значит нужно продолжить вычисления.

9. Отрезок изоляции корня имеет вид: />.

10. Продолжим уточнение корняпо схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:

/>,      />.

11. Проверим условие: /> - выполняется, значитможно продолжить применение метода./>

12. Так как /> и /> на отрезке/>, то для метода касательных:/>.

13. Вычислим значениепроизводной: />.

14. Найдём новые значенияконцов отрезка изоляции:

/>, />.

15. Найдём второе приближениекорня: />.

16. Проверим выполнениеусловия: /> - неравенство неверное,значит необходимо продолжить вычисления.

17. Отрезок изоляции корняимеет вид: />.

18. Вычислим значения функции:

/>,     />.

19. Условие /> - выполняется.

20. Так как /> и /> на />, то для метода касательных/>.

21. Вычислим производную: />.

22. Вычислим: />,

/>.

23. Найдём третье приближениекорня: />.

24. Проверим выполнениенеравенства: /> - условиевыполняется, значит, цель достигнута.

25. Следовательно, /> или /> - приближённое значениекорня с точностью до 0,001.

Ответ: />.

9. Задания для расчётныхработ.

Решить уравнениеметодами:

а) бисекции,

б) хорд и касательных.

еще рефераты
Еще работы по математике