Реферат: Мнимые числа
“Помимо и дажепротив воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляютсяна выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от ихупотребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.
Автор: СоловьевАлексей 12а.
Древнегреческиематематики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенноскладывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III векеАрхимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как />. Наряду снатуральными числами применяли дроби — числа, составленные из целого числадолей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет дон. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результатизмерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношениятаких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил,что “… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челомявляется гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесеноткрытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадратанесоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробейнедостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эратеоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощьюопыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важнымэтапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел — это былосделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числаприменяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший ужеправила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые,которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можнобыло единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке былоустановлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный кореньизвлекать нельзя: нет такого числа />, чтобы />.
В XVI веке всвязи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекатьквадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубическихуравнений вида /> кубические и квадратные корни: />./>
Эта формулабезотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень(/>), а еслионо имеет три действительных корня (/>), то под знаком квадратного корняоказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет черезневозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искалиформулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX вековдоказал, что буквенное уравнение пятой степени /> нельзя решить алгебраически;точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощьюшести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведениев степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа(Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4,нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степениимеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которыхмогут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке(основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX вековупомянутая теорема была доказана Гауссом.
Итальянскийалгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Онпоказал, что система уравнений />, не имеющая решений во множестведействительных чисел, имеет решения вида />, />, нужно толькоусловиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры исчитать что />.Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистическиотрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самомделе, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудьвеличины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книгаитальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правилаарифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из нихкубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французскийматематик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л.Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire(мнимый) для обозначения числа /> (мнимой единицы). Этот символвошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексныечисла” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus)означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.Образующих единое целое.
В течение XVII векапродолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности датьим геометрическое обоснование.
Постепенноразвивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII вековбыла построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любыхкомплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.Муавра (1707): />/>.С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов исинусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: />, котораясвязывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулыЛ. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что />.Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, тоесть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII векафранцузский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже незатрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решениялинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такиеуравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки всопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применялкомплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века спомощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладныезадачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не былострого логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученыйП. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — тольконаведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтвержденияпрямыми доказательствами.
“Никто ведь несомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимымиколичествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифынелепых количеств” Л. Карно.
В конце XVIII века, вначале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексныхчисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо другот друга предложили изобразить комплексное число /> точкой /> на координатной плоскости. Позднееоказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором />,идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение ивычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор/> можнозадавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом />, /> и число z принимает вид/>,который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называютмодулем комплексного числа z и обозначают />. Число /> называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим,что если />,значение ArgZ не определено, а при /> оноопределено с точностью до кратного />. Упомянутая ранее формула Эйлерапозволяет записать число z в виде /> (показательная форма комплексного числа).
Геометрическоеистолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные сфункцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Стало ясно, чтокомплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами,которые изображаются векторами />на плоскости: при изучении теченияжидкости, задач теории упругости.
После созданиятеории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел- чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида />, где />, построил в 1843 годуирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правиладействия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако ихумножение не обладает свойством коммутативности (переместительности):например, />,а />.Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишьупоминаю об их существовании.
Большой вклад вразвитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советскиеученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш иМ. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров- к проблемам квантовой теории поля.
Список литературы
“Энциклопедическийсловарь юного математика”
“Школьный словарьиностранных слов”
“Справочник поэлементарной математике” М. Я Выгодский
Для подготовкиданной работы были использованы материалы с сайтаwww.ed.vseved.ru/