Реферат: Золотое сечение в природе и искусстве
Автор: Седлинский Игорь Николаевич
Гимназия № 1 г. Апатиты, Мурманская обл.
Четвертаярегиональная научная и инженерная выставка «Будущее Севера»
Мурманск
2002 год
Геометриявладеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое- делениеотрезка в среднем и крайнем отношении.
И.Кеплер
Человекразличает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либопредмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызванкрасотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии изолотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлениюощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разнойвеличины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принципзолотого сечения – высшее проявление структурного и функциональногосовершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Самымизвестным из всех иррациональных чисел, то есть чисел, десятичные разложениякоторых бесконечны и непериодичны, следует считать число p – отношение длины окружности к еедиаметру. Иррациональное число j («фи»)известно не столь широко, но оно выражает фундаментальное отношение, имеющеепочти такой же универсальный характер, как и число p. Сходство между числами p и j этим не исчерпывается: подобно p, j обладаетсвойством возникать в самых неожиданных местах .
Что такое золотая пропорция.
Пустьдлина некоторого отрезка равна А (рис.1), длина его большей части равна Х,тогда (А – Х) – длина меньшей части отрезка. Пусть отношение всего отрезка кбольшей его части равно отношению большей части к меньшей. Составим отношениесогласно допущению: />. (1)
Такоеделение отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка вкрайнем и среднем отношении.
Отпропорции (1) перейдем к равенству A(A-X)=X2. Получаем квадратное уравнение />. Длина отрезка X выражается положительным числом, поэтому из двух корнейвыбираем положительный: />.
Число/> обозначаетсябуквой j или буквой t («тау») в серьезной математике. Не менее важное значение имеетчисло, обратное j, котороеобозначается Ф. Число j — единственноеположительное число, которое обращается в обратное себе при прибавленииединицы.
/>=1/j
Обратимвнимание на удивительную инвариантность золотой пропорции:
/>
Такиезначительные преобразования, как возведение в степень, не смогли уничтожитьсущность этой уникальной пропорции, ее «душу». Следующие соотношения еще раздемонстрируют инвариантность золотой пропорции:
/>
/>
-2-
/>
/> и т.д.
Подобночислу p, Ф можнопредставить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Предельная простотаследующих двух примеров еще раз подчеркивает фундаментальный характер Ф :
Ф =lim 1+/>/>
Ф = lim />
С золотойпропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д. Вэтом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел.Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил,что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф.Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел ипостроив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих(например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), мы обнаружили, что отношение двухпоследовательных членов такого ряда также стремится к числу j: чем дальше мы будем продвигаться отначала ряда, тем лучше будет приближение.
Вдальнейшем увидим, что числа Фибоначчи часто появляются в самых неожиданныхместах, при этом неотступно сопровождая золотую пропорцию.
Золотые фигуры.
Вгеометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причемхарактерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрическиефигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2. Еслис середины стороны квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали полуквадрата, то на ее пересечении с продолженной стороной квадрата получимотрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией.Еще проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике 1:2:/>. Достаточнопровести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе(рис.2), и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией.
Золотоесечение можно увидеть и в пентаграмме — так называли греки звездчатыймногоугольник (рис.3). Он служит символом Пифагорейского союза – религиознойсекты и научной школы по главе с Пифагором, которая проповедовала братскуюлюбовь к друг другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. Наподобных устоях основывались очень многие секты. Но Пифагорийский союз отличалоот других то, что пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа припомощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир,считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводитпротивоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях.Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа ониназывали женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женскогочисла (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такоевнимание к пентаграмме, имеющей 5 углов.
Благоговейноеотношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которыемногое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграммаслужит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гетепроникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой быланачертана пентаграмма. Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызтькончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он смог предстать передФаустом.
Интересно,что стороны пентаграммы, пресекаясь, образуют правильный пятиугольник, вкотором пресечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторонмы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построенияновой пентаграммы. И так далее до бесконечности.
Пентаграммапредставляет собой вместилище золотых пропорций. На рис.3 среди отрезков HJ, EH, EJ, EB отношение каждого последующего к предыдущему равно золотойпропорции. Пентаграмма также содержит золотые треугольники–остроугольные с углами />,/>,/>и тупоугольные с углами />,/>и />.Из рис. 4 видно, что остроугольный треугольник АВС разбивается натри треугольника золотой пропорции. В них стороны равны:AD=1, DB=Ф,BC=AB=Ф+1=Ф2,AC=AE=Ф.
Интересенеще один замечательный треугольник, в котором проявляется золотая пропорция. Вэтом треугольнике углы равны/>, /> и />, а их отношение составляет 5:3:2.В нем отношение большого катета к гипотенузе равно половине золотой пропорцииФ/2. Это отношение отвечает равенству Ф/2 = cos />/>.Отсюда вытекает формула, связывающая золотую пропорцию с числом p:
Ф=/>.
Этапростая и по-своему красивая формула связывает число «пи» с золотой пропорцией.Не свидетельствует ли это о фундаментальности золотой пропорции, о ее родстве стаким универсальным числом, как «пи»? Характерно, что в рассмотренномтреугольнике отношение углов отвечает отношению небольших целых чисел 5, 3 и2, а отношения сторон несоизмеримы.
Множество«золотых» фигур дополняет золотой прямоугольник, отношение сторон которогоравно числу Ф.
Золотойпрямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от него квадрат,сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотойпрямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получатьвсе меньшие и меньшие золотые прямоугольники (рис.5)
Темсамым будет построен пример совершенного квадрируемого прямоугольникабесконечного порядка. Точки, делящие стороны прямоугольников в среднем икрайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся внутрь.Полюс спирали лежит на пересечении пунктирных диагоналей (рис.6). Разумеется,«вращающиеся квадраты», как их принято называть, могут не только закручивать,но и раскручивать спираль. Для этого лишь требуется строить не уменьшающиеся, авсе увеличивающиеся квадраты. Логарифмическая спираль – единственный типспирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Если влогарифмической спирали из центра О провести прямую, то образующиеся отрезкиОА, ОВ, ОС, ОD и т. д., полученные при пересечении прямой с витками спирали,образуют геометрическую прогрессию, то есть ОА/ОВ=ОВ/ОС=ОС/OD=…= m, где m –постоянное число.
Отрезкирадиуса, заключенного между последовательными витками спирали, также образуютпрогрессию с отношением АВ/ВС=ВС/СD=…=n. Частным случаем спирали являетсятакая, которая отвечает значению n, равному Ф, т. е. золотой пропорции. Такаяспираль называется «кривой гармонического возрастания».
Вездесущий филлотаксис.
Характернойчертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гете, которыйбыл не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральностьодним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровеннойсущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходитрост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике,спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно,в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следуетискать на клеточном и молекулярном уровнях.
Исследованияпоказали, что движение протоплазмы в клетке часто спиральное. Рост клеток такжеможет быть спиральным, как показал ученый Кастл. В жидкой среде клеткивстречаются спиральные нити волокон – цитонем. И, наконец, носители информации– молекулы ДНК – также скручены в спираль. Следует отметить, что термин«спираль» не отражает точно строение молекул ДНК; более правильно говорить овинтовом расположении полипептидных цепей в этой молекуле. Во многих другихслучаях, рассмотренных в ботанике, речь также идет, по существу, не о спирали,а о винтовом расположении элементов структуры; к сожалению, термины частосмешивают.
Нетсомнений, что наследственная спиральность является одним из основных свойстворганизмов, она отражает один из существенных признаков живого. На первыйвзгляд кажется, что в кристаллах неорганических веществ спиральность иливинтовая структура отсутствуют. Однако более глубокие исследования показали,что винтовое расположение атомов наблюдается и в некоторых кристаллах ивыражается в образовании так называемых винтовых дислокаций. Такие кристаллысостоят из единственной винтообразной изогнутой атомной плоскости. При каждомобороте вокруг оси эта плоскость поднимается на один шаг винта, равныймежатомному расстоянию. Следует добавить, что кристаллы с такой винтовойструктурой обладают сверхпрочностью. От винтовой структуры молекул ДНК дозакручивания усиков растений – таковы формы проявления спиральности на различныхуровнях организации растений. Отчетливо проявляется эта особенность организациирастений в закономерностях листорасположения.
Существуетнесколько способов листорасположения. В первом листья побега располагаютсястрого один под другим, образуя вертикальные ряды – ортостихи. Условнаяспираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называетсягенетической, или основной спиралью, точнее, винтовой линией и делится на рядлистовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположениелистьев в нем отвечает порядку появления в нем листьев. Проекция на плоскостьлисторасположения позволяет в долях окружности выразить угол расхождениялистьев.
Винтовоерасположение листьев выражают дробью, числитель которой равен числу оборотов постеблю воображаемого винта одного листового цикла, а знаменатель- числулистьев в данном цикле, совпадающему с числом ортостих на стебле. Эта дробьпозволяет рассчитать и угол расхождения листьев.
Оказалось,что каждое растение характеризуется своим листорасположением. Так, у липы,вяза, бука, злаков листорасположение описывается формулой 1/2, у дуба и вишни –2/5, у малины, груши, тополя, барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 ит.д. Нетрудно видеть, что в формулах листорасположения встречаются числаФибоначчи, расположенные через одно.
Посмотримна сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Числотаких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21. Такие же спираливидны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся
как числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолнечника семена также расположены по
-5-
двумспиралям, их число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видимзакономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8,13/21 и т.д. Их отношение в пределе стремится к числу j = 0,61803…
Рассмотреннуюзакономерность расположения листьев, чешуек, семян называют филлотаксисом.
Приизменении формулы листорасположения изменяется и угол расхождения листьев.Формула 1/2 характеризует двурядное расположение листьев под углом />друг от друга.При формуле 1/3 угол между листьями будет />, а при формуле 2/5 — /> и т.д. Впредельном случае, когда отношение чисел в формуле будет отвечать золотойпропорции - 0,38196… угол расхождения листьев станет равным />, который был назван«идеальным» углом, или углом золотой пропорции (/>=Ф2). Установлено, что прирасположении листьев под идеальным углом ни один лист не будет располагатьсяточно над другим, чем создаются лучшие условия для фотосинтеза.
Загадки египетских пирамид.
Всена свете страшится времени. А время страшится пирамид.
Арабскаяпословица
Оегипетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первымевропейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший.Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем внаше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковыхплит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидамистояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.
Средиграндиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараонаХеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находилив ее пропорциях! Число «пи» и золотую пропорцию, число дней в году, расстояниедо Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при расчете этих величин получалисьнеточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнениюдаже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых вгеометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.
Правильнаячетырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрическихфигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость,надежность, устремление вверх.
Очевидно,размеры пирамиды: площадь ее основания и высота — не были выбраны случайно, адолжны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровнезнаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составлялитайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометриипирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.
Методическойошибкой многих исследователей является то, что они использовали размерыпирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовалисьдругой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерныхотношений в пирамидах.
Преждечем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учестьуровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было триединицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, всвою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).
Труднодопустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженнымив долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены вцелых единицах длины – локтях.
Рассмотримразмеры пирамиды Хеопса (рис.7). Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почтиточно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве ибыл определен в 500 локтей.
Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различноот 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются ивсе отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следуетостановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является оченьточная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде непросунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. Впроцессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно:для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ниизмерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления(достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) произошла «усадка»конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они иоказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды сталаменьше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она былапервоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею»,положенную в основу сооружения.
Уголнаклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г.Вайз:он равен />.Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина,отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка ккорню квадратному из золотой пропорции />= 1,27202 и является иррациональнойвеличиной. Поэтому, скорее всего, в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношениеOM/MN,равное />.
Итак,примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды H к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамидыХеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно,имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения ( или должна была иметь попроекту).
Такимобразом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры:сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, чтоапофема боковой грани ON равна 404,5локтя.
Атеперь посмотрим, какие интересные соотношения следуют из этих геометрическихразмеров. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM=1,272=/>; ON/MN=Ф.
Рассмотримтеперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех треугольников и квадратаоснования. Основание треугольника BOC равно500 локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитатьдлину боковых ребер OB и OC. Они равны 475,5 локтя.
Площадьоснования пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв.локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношениеповерхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.
ЕщеГеродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, писал, что площадьквадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой из его боковыхграней. По нашим расчетам, квадрат высоты равен 3182 = 101127 кв. локтей, чтопочти точно отвечает площади боковой грани (101125 кв. локтей).
Многиеисследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамидыпринималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалосьразным: 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различныеподгонки, стали говорить даже о некоем «египетском p», равном 3,16. Если принять высотупирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта величинаочень близка к современному значению числа «пи» (3,14159…).
Интересносравнить два основных отношения, установленных нами при изучении геометрическихпропорций пирамиды: 2H/L=/>и 2L/H=p. Отсюда получаем простую и красивую формулу, связывающую число«пи» и золотую пропорцию: 4/p=/>.
Гениальныесоздатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своихзнаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию иискусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить впирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины – p и Ф со столь поразительной точностью,оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотойпирамиды, выраженных в локтях.
Золотая пропорция в искусстве ДревнейГреции.
Великолепныепамятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первоеместо по праву принадлежит Парфенону.
Всювторую половину V в. до н.э. на Акрополе шло строительствохрамов, пропилей (преддверий), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 годуначались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года дон.э. Для создания гармонической композиции на холме его строители дажеувеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.
Какуказывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном,длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезкизолотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения пропилейотношения массива скалы и храма также соответствуют золотой пропорции. Такимобразом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмовна священном холме.
РазмерыПарфенона хорошо изучены, но приводимые замеры не всегда однозначны. Следуетучесть, о чем сказано ниже, что геометрия архитектуры храма очень непростая – вней почти отсутствуют прямые линии, поэтому определение размеров затруднено.Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1: 2, аплан образует прямоугольник со сторонами 1 и />. Известно, что диагональпрямоугольника 1:2 имеет размер />, следовательно, прямоугольникфасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.
ШиринаПарфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты нескольковарьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно, высота Парфенона 61,8 , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2 , высота перекрытия ифронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100:61,8 = 61,8: 38,2 = 38,2 :23,6 = Ф.
Многиеисследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали инаходили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В работе В.Смоляка,посвященной изучению пропорций Парфенона, установлен закономерный ряд золотыхпропорций. Приняв за единицу ширину торцового фасада храма, Смоляк получилпрогрессию, состоящую из 8 членов ряда: 1: j: j2: j3: j4: j5: j6. Указанным членам ряда отвечают основныепропорции фасада Парфенона (рис.8).
Внекоторых сооружениях древнего мира золотая пропорция выражена не в пропорцияхформы зданий, а в деталях внутренней композиции, даже в числе мест длязрителей. Интересные данные приводит Э.Сороко. Построенный Поликлетом-младшимтеатр был рассчитан на 15 тысяч зрителей. Места для зрителей (театроп) имели 2яруса: первый- 34 ряда мест, а второй – 21 ряд (числа Фибоначчи). Раствор угла, охватывающего пространство между театропом и скемой (пристройка дляпереодевания актеров и хранения реквизита), делит окружность основанияамфитеатра в отношении />: />, что равно 1: 1,618…. Это соотношение углов реализованопрактически во всех античных театрах. Театр Диониса в Афинах трехъярусный.Первый ярус имеет 13 секторов, второй – 21 сектор.
Древниескульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канонкрасоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. “Человеческоетело – лучшая красота на земле”, — утверждал Н.Чернышевский. Эталонами красотычеловеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по правусчитаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона,Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принципзолотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого теларасполагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой пропорциипринято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертныхскульптурных произведений.
Однимиз высших достижений классического греческого искусства может служить статуя“Дорифор”, изваянная Поликлетом. Фигура юноши выражает единство прекрасного идоблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Широкие плечипочти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высотетела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.
Нопроанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Расстояние от подошвыкопьеносца до его колена равна j3, высота шеи вместе с головой — j4, длина шеи до уха — j5, а расстояние от уха до макушки — j6 . Таким образом, в этой статуе мывидим геометрическую прогрессию со знаменателем j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (рис.9).
Такимобразом, золотое сечение – один из основополагающих принципов в искусствеантичной Греции.
Ритмы сердца и мозга.
Равномернобьется сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце какпоршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Предсердиявыполняют роль резервуара, принимающего кровь из вен, а желудочки - насоса,ритмически перекачивающего кровь в артерии. Давление крови изменяется впроцессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке вмомент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков кровяноедавление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здоровогомолодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давлениеснижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического ) к минимальному(диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, т.е. близко к золотойпропорции.
Сердцебьется непрерывно – от рождения человека до его смерти. Его работа должна бытьоптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем.Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. А так какзолотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в живой природе,естественно предположить, что и в работе сердца возможно проявление этогокритерия. Нужны были глубокие исследования, и они были проведены советскимученым В.Д.Цветковым.
Приработе сердца возникает электрический ток, который можно уловить специальнымприбором и получить кривую – электрокардиограмму (ЭКГ) с характерными зубцами,отражающими различные циклы работы сердца. На ЭКГ человека выделяются дваучастка различной длительности, соответствующие систолической и диастолическойдеятельности сердца. В.Цветков установил, что у человека и у другихмлекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которойдлительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся междусобой в пропорции 0,382: 0,618: 1, т.е. в полном соответствии с золотойпропорцией. Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту,для собак – 94, что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя.
ДалееВ.Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382 , адиастолическое – 0,618 от среднего давления крови в аорте. Доля объема левогожелудочка при ударном выбросе крови по отношению к конечнодиастолическомуобъему у десяти видов млекопитающих в состоянии покоя составляет 0,37-0,4 ,что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца вотношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочковоптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.
Мозгчеловека представляет собой сложнейшую самонастраивающуюся систему, основнымназначение которой является регуляция деятельности различных органов человеческоготела, осуществление связи человека с окружающей средой. В составе мозга различают серое и белое вещества. Серое вещество представляет собой скоплениенервных клеток, белое – нервных волокон, отростков этих клеток. Нервная клеткас отростком называется нейроном. Нейроны мозга образуют разнообразные сети,взаимодействующие с помощью электрических сигналов.
Конфигурациинейронных сетей представляют собой колебательные электрические цепи. Различнымсостояниям мозга соответствуют электрические колебания с разными частотами.
Многочисленныеисследования показали, что в мозгу взрослого человека при различных егосостояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменение активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками отодного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют своиспецифические волны электрических колебаний.
Состояниюспокойного бодрствования отвечает наиболее устойчивый a- ритм с частотами колебаний преимущественноот 8 до 13 герц. Это основной ритм электрических колебаний мозга, он появляетсяв детском возрасте и постепенно с возрастом увеличивается с 2-3 до 8-13 гц ввозрасте 8-16 лет. Наиболее медленные колебания с частотой 0,5 –4 гц у D- ритма, характерно для состоянияглубокого сна. Для D- ритма верхняяграничная частота достаточно стабильна и равна 3-4 гц, а пределы нижнейграничной частоты изменяются от 0,2 до 1,5 гц.
Припоявлении неприятности или опасности в мозгу доминирует q — ритм с частотами от 4-7 до 6-8 (поданным различных авторов). Советские ученые-братья Я.и А. Соколовы считают,что наиболее устойчивы для q- ритмаграничные частоты колебаний 4 — 7 гц. Умственной работе отвечает b- ритм с граничными частотами 14-35гц.(по другим данным, диапазон частот этого ритма более широк – от 14 до 100гц).Эмоциональному возбуждению мозга соответствует g- ритм с граничными частотами 35-55 гц. Нетрудно заметить, чтограничные частоты ритмов почти точно отвечают числам Фибоначчи. Отклоненияграничных частот от чисел Фибоначчи находятся в пределах точности эксперимента.Соколовы считают, что существуют еще не обнаруженные опытами r- ритм и s- ритм. Расчеты показали, что у s- ритма пограничные частоты 118 и 225 гц, а у r- ритма - 55 и 118 гц. И здесь очевиднаблизость чисел Фибоначчи.
Исследованияв этой области только начинаются, впереди - открытие самых сокровенных тайнорганизации и работы мозга человека, закономерности его эволюции.
Алгебра музыки.
Вкомпозиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого«кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно нетолько для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшаяточка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционнойчасти, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодииБетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель установил, что вомногих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестоготакта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точкезолотого сечения. По мнению Л.Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъеммелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико. Ихможно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку вгармоническом стиле.
Очевидно,такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важнымэлементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительностьи эстетическую эмоциональность мелодии.
Характерно,что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину отточки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер. По мнениюЛ.Мазеля, это входило в намерения авторов, например, при сочинении скерцо,рондообразных финалов.
Наиболееобширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринятоЛ.Сабанеевым. Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов.По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится«некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчаютсозерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, какправило, по закону золотого сечения.
Понаблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторовобычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений.Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок вразвитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторовнаблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которыхнаблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количествомузыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%),Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%),Шуберта (91%).
Наиболеедетально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотыхсечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаяхстроение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотоесечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричныхчастей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена такжесочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаютсяпроявления золотой пропорции.
Характерно,что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведенияхвысокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частотапроявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценкигениальности музыкальных произведений и их авторов?
Итак,можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композициимузыкального произведения.
Музыка стихов.
Многоев структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Каждыйстих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. Можноожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальныхкомпозиций, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотаяпропорция, и числа Фибоначчи.
Исследованияпоэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно споэзии А.С.Пушкина. Ведь его произведения - образец наиболее выдающихсятворений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзииА.С.Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции – мерила гармонии и красоты.
Дляанализа метрики стихотворений А.С.Пушкина рассмотрены его произведения периода1829-1836 г.г., периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 109стихов. Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116.Однако большие стихотворные формы встречаются редко; число стихотворений сколичеством строк более 60 составило всего 9 штук. Средний размер этихстихотворений составил 88 строк.
Казалосьбы, величина стихотворения, определяемая числом строк, может изменятьсяпроизвольно и непрерывно от самой малой в четыре строки до самых больших.Однако оказалось, что это не так. Размеры стихов распределены совсем неравномерно; выделяются предпочтительные и редко встречающиеся размеры. Награфике распределения стихотворений А.С.Пушкина по числу строк в них отчетливовыделяется несколько максимумов — наиболее встречающихся размеров (рис.10).Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34. Проявляется вполне закономернаятенденция в творческой манере поэта – он явно предпочитает стихотворения,размер которых близок к числам ряда Фибоначчи.
Тольколи стихотворения А.С. Пушкина тяготеют в своих размерах к числам Фибоначчи?
Конечно,нет. И у других поэтов проявляется тяготение размера стихов к 8,13,21 строчкам,но ни у одного из русских поэтов эта тенденция не выражена так отчетливо, как уА.С.Пушкина. Стихотворения В.Брюсова отличаются совершенством своих форм. Инеудивительно, что в их размерности также проявляются числа Фибоначчи. Былопроанализировано 360 стихотворений поэта из его двухтомника; эти стихиохватывали период от 1882 до 1912 года. Только в трех стихотворениях числострок составило 70, 85, 90 (что в среднем близко к числу Фибоначчи 89).Остальные стихотворения содержали значительно меньше строк – от 8 до 36 икрайне редко несколько больше.
Средирассмотренных стихотворений В.Брюсова явно преобладают те, в которых числострочек равно или близко к числам Фибоначчи. Они распределены следующимобразом:
стихотворенияс числом строк 8 25 шт. 7%
- * - 13/>1 77 шт. 21,5% - * - 21/>1 70 шт.19,6% - * - 34/>2 36шт. 10,0%
Общеечисло этих стихотворений составило 208 шт. или 58%. К остальным относятсястихотворения с числом строчек 10, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 31, 32 и т.д. Поэтявно предпочитал стихотворения с числом строк 8, 13/>1, 21/>1 как наиболее оптимальные длявыражения мыслей и чувств.
Обратимсявновь к произведениям А.С.Пушкина. Рассмотрим композицию «Пиковой дамы». Вэтой повести кульминационным моментом является сцена в спальне графини, кудапроник Германн в надежде узнать тайну трех карт, сцена, которая оканчиваетсясмертью графини в повести 853 строки. Кульминационный момент повести – этосмерть графини. Ему отвечает 535 –я строка. Эта строка расположена в повестипочти точно в месте золотого сечения, т.к. 853:535=1,6 .
Повесть«Пиковая дама» состоит из шести глав. Посмотрим, не проявляется ли в композицииглав золотая пропорция? В первой главе золотому сечению отвечает 68 строчка(всего в главе 110 строк). Но ведь это же узловая точка повествования, в нейпереломный момент всей главы: откроет ли Сен — Жермен свою тайну графине!
Втораяглава повести содержит 219 строк. Золотое сечение здесь приходится на 135строку. Но ведь это кульминационный момент главы, Лиза увидела в окне стоящегона улице Германна! Отсюда начался для нее новый отсчет времени, началисьсобытия, определившие всю ее дальнейшую судьбу. А.С.Пушкин совершенно точноопределил это место во второй главе: ведь 219:135 = 1,62.
Третьяглава повести описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведатьу нее тайну трех карт. Это место начинает новый отсчет времени для Германна.Эта ситуация приходится на 131 строку третьей главы, а всего в ней 212 строк. Разделив212 на 131, мы получим точно золотую пропорцию 1,618!
Вчетвертой главе размером 113 строк золотая пропорция приходится на 70 строку.Это также переломный, трагический момент в жизни Лизы.
Впятой главе описано посещение Германна похорон графини. 46 строка пятой главыразделила повествование на две части: первая — похороны графини и вторая – сонГерманна. Эта 46 строка также отвечает золотой пропорции, ведь всего в этойглаве 75 строк (75:46=1,63).
Впоследней главе повести золотая пропорция приходится на 77 строчку, котораязавершает описание первого дня игры Германна в карты и первого его выигрыша.Как видим, и в композиции последней главы повести присутствует золотаяпропорция.
Золотаяпропорция присутствует и в композиции других произведений Пушкина. В рассказе«Станционный смотритель» 377 строк. Кульминационный момент рассказа – этоизвестие о том, что дочь смотрителя уехала с гусаром. Этот момент отражен вофразе, которая является 214 строкой. Здесь почти точное соответствие золотойпропорции.
Вмаленьком рассказе «Гробовщик» всего 229 строк. Со 139 строки начинаетсяописание страшного сна гробовщика. И здесь переломный момент рассказаприходится почти точно на золотую пропорцию (229:1,618=141 строка).
Совпадениекульминационных моментов в произведениях А.С.Пушкина с золотой пропорциейудивительно близкое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонии у него было развитонеобыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великого поэта иписателя.
Заключение.
Рациональные и иррациональные числа являются своеобразными противоположностями. Но природаедина, и ее противоположности не только находятся в противодействии, борьбе, нои в единстве. И не удивительно, что многие иррациональные числа выражаютсячерез совокупность целых чисел. Все три числа:p, e и Ф – связаны между собой простымиотношениями и могут быть выражены в виде пределов бесконечных дробей. Крометого, на примере золотой пропорции показано, что целые числа натурального ряда: 1, 2, 3, … могут быть выражены через иррациональное число Ф. Кроме того,число Ф с любой степенью точности может быть выражено через отношение целыхчисел. Разве эти примеры не свидетельствуют о единстве рационального ииррационального в природе?!
Мытак часто говорим о единстве и борьбе противоположностей, что это понятие сталотривиальным, само собой разумеющимся и не требующим исследования. Может быть,поэтому этот фундаментальный закон природы так мало исследован и углублен и,что характерно, почти совершенно не математизирован. А между тем он достоинсамого пристального изучения и развития – ведь это один из основных, наиболееобщих законов мироздания.
Список литературы
Н.Васютинский “Золотая пропорция” –М.,”Молодая гвардия”, 1990
А.Азевич “Двадцать уроков гармонии” –М., “Школа-Пресс”, 1998
М.Гарднер “Математические головоломки и развлечения” –М., “Мир”, 1971
Д. Пидоу “Геометрия и искусство” – М., “Мир”, 1989
Энциклопедическийсловарь юного математика –М.,1989
Журнал“Квант”, 1973, № 8
Журнал“Математика в школе”, 1994, № 2, № 3
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/