Реферат: Волновые уравнения

Реферат подготовил студент 2-го курса группы 20-02 ГДДерюга А.М.

Навоийский Государственный горный институт

Горный факультет

Кафедра «Высшей математики»

Навоий 2004 г.

Вывод уравнения колебания в электрических проводах.

Электрическийток в проводах характеризуется величиной /> инапряжением /> которые зависят от координатХ точки провода и от времени t. Рассмотрим элементпровода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Хравно

/>-/>.Этопадение напряжения складывается из омического, равного /> и индуктивного, равного /> Итак

/>

гдеR и L –сопротивление икоэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минусвзят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х, получим уравнение

/>

Далееразность токов, выходящего из элемента ∆Х за время ∆t, будет

/>

Онарасходуется на зарядку элемента, равную /> ина утечку через боковую поверхность провода в следствии несовершенстваизоляции, равную />

ЗдесьА- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения

/>

Сократимна />

/>

Уравнения(2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим систему уравнений

/>

Изэтой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только искомуюфункцию/>, и уравнение, содержащеетолько искомую функцию />.

Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по t и умножим их на С.

/>

/>

Аналогичнымобразом получим уравнение для определения />

/>

/>

Еслиможно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:

/>

Исходяиз физических условий формулируются граничные и начальные условия задачи.