Реферат: Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДНЕПРОПЕТРОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПГД И ТМО

/>


НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ

            ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРОСТОЙГЕОМЕТРИЧЕСКО ФОРМЫ»

ВЫПОЛНИЛА: СТ. ГР. МТ-98-1

                         ДАЦЕНКО И. Н.

ДНЕПРОПЕТРОВСК

-2001-

Постановки задач о теплообмене между твердым телом илинекоторой системой и окружающей средой рассматрива­ются с точки зрениясоотношений причина—следствие. При этом к причинным характеристикамтеплообменного процесса в теле (сис­теме) в соответствии с принятой модельюотнесем граничные усло­вия и их параметры, начальные условия, теплофизическиесвойст­ва, внутренние источники тепла и проводимости, а также геометри­ческиехарактеристики тела или системы. Тогда следствием будет то или иноетепловое состояние, определяемое температурным полем исследуемого объекта.

Установление причинно — следственных связей составляетцель прямых задач теплообмена. Наоборот, если по определенной ин­формациио температурном поле требуется восстановить причин­ные характеристики, то имеемту или иную постановку  обратной задачи теплообмена.

Постановки обратных задач, в отличие от прямых, несоответ­ствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя об­ратить ходтеплообменного процесса и тем более изменитьтечение времени. Таким образом, можно говорить о физической некоррект­ностипостановки обратной задачи. Естественно, что при математи­ческой формализацииона проявляется уже как математическая некорректность (чаще всегонеустойчивость решения) и обратные задачи представляют собой типичный примернекорректно постав­ленных задач в теории теплообмена.

        Граничная ОЗТ — восстановление тепловых условий на гра­нице тела. Кэтому типу задач отнесем также задачу, связанную с продолжением решенияуравнения теплопроводности от некоторой границы, где одновременно заданытемпература Т( х*, т) и плот­ность теплового потока q( х*,т);    

 Организация охлаждения конструкции камер сгоранияявляется одним из важнейших вопросов проектирования и по сравнению с другимитипами тепловых машин усложняется тем, что тепловые процессы протекают привысоких температурах />К и давлениях. Таккак высокотемпературные продукты сгорания движутся по камере с очень большойскоростью, то резко возрастают коэффициент конвективной теплоотдачи от горячихпродуктов сгорания к стенкам камеры и конвективные тепловые потоки  />, доходящие в критическомсечении сопла до 23,26 — 69,78/>/>. Кроме того, теплообмен вконструкции характеризуется высоким уровнем радиации в камере, что приводит кбольшим лучистым тепловым потокам  />  /13/.

   Вследствие мощных суммарных конвективных и лучистых тепловых потоков в стенкекамеры температура ее может достигать значений превышающих (1000 — 1500/>С. Величина этих потоковопределяется значениями режимных параметров, составом продуктов сгорания в ядрегазового потока и в пристеночном слое, а также температурой внутреннейповерхности конструкции. Из-за изменения диаметра проточной части по длинетеплопровод от продуктов сгорания оказывается неравномерным. Неравномернымявляется также распределение температуры по периметру, обусловленное изменениемсостава продуктов сгорания.

    Коэффициент теплоотдачи от продуктов сгоранияопределяется с учетом совместного воздействия конвективного и лучистоготеплового потоков в соответствующем сечении конструкции узла по значениямпараметров (давление, состав и температура продуктов сгорания в ядре газовогопотока и в пристеночном слое) на установившемся режиме эксплуатации /13/.

    Время выхода рассматриваемых конструкций на установившийся тепловой режимсоизмеримо и может оказаться даже большим времени их работы при эксплуатации. Вэтих условиях задача определения теплового состояния в период работы сводится красчету прогрева их под воздействием высокотемпературных продуктов сгорания /1,2/.

Рассмотрим следующую схему корпуса камеры сгорания.

На поверхности в сечении располагается по две точкизамера, расположенных в диаметрально противоположных точках периметра корпуса.

Всечении I — I корпуса сопла можно представить в виде однослойной неограниченнойпластины, двухслойной — сечение II — II (Рис.1).

Расчетныесхемы элементов конструкции представлены на рисунке/> 2и 3.

/> /> /> /> /> <td/>

/>

  /> /> />

                     

        

/>/>Обратная тепловая задача для пластины формулируетсяследующим образом. Требуется по замерам температуры />  итеплового потока /> к пластине(рис.2) при X = 0 найти изменения температуры и теплового потока на поверхностиX = 1.

   Решение обратной тепловой задачи в такой постановке целесообразно построить сиспользованием решения задачи Коши /3/./>

   В пространстве переменных   /> задананекоторая   гладкая     поверхность  Г.   С каждой точкой /> связывается некотороенаправление />, некасательное  Г.

/> <td/> />
    В окрестности поверхности  Г  требуетсянайти решение уравнения.

/>/>                                                                                            

/> <td/> />
 удовлетворяющего условиям Коши

/>/>     />           />  />

/>      />           />                    

     />                                                                                                     

где/> />  -безразмерные время и координата.

   Нетрудно убедиться, что решение задачи (1), (2), записанное в виде:

      

                />/>                                                       (3)                                                                        

иявляется искомым /10/.

   Утверждения о существовании решения (3), об аналитичности этого решения и егоединственности в классе аналитических функций составляют содержание известнойклассической теоремы Коши — Ковалевской /11/.

   Решение (13) при заданных   />   и   />  позволяет найти искомыеизменения температуры  /> и тепловогопотока /> Однако в такойинтерпретации решения (3), где функции />/> известныиз эксперимента  с некоторой заданной погрешностью, необходимо учитывать и тотфакт, что вычисление операторов дифференцирования  />/>   неустойчивок возмущениям в исходных данных /12/.

Такимобразом, имеем типичную некорректную задачу, для построения устойчивого решениякоторой необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.

Сохранимв решении (3) конечное число слагаемых  N. Введем обозначения

 

/>                 />                                                                                                                    (4)                                                                                       

   Интегрируя (4) получим систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода:

                 

/>/>             /> ,                                                                          (5)                                                          

где k =1, 2,…, N.                               

   Соотношения для теплового потока в (3) записывается аналогично. В дальнейшембудем считать, что на поверхности  X = 0 теплосъем отсутствует, то есть стенкатеплоизолирована. Тогда решение (3) с учетом обозначений (4) записывается ввиде

 

                 />                                                (6)

   Таким образом, граничные условия при X = 1 восстанавливаются соотношением (6),в котором функции  />  находятся  изрешения интегральных уравнений (5)

                 />                                                                                (7)

                                                    

гдеправая часть задается приближенно, то есть

                 />

Здесь/> - числовой параметр,характеризующий погрешность правой части уравнения (7).

   Задача (7) является, в общем случаи некорректно поставленной /12/. Наиболеераспространенным в настоящее время эффективным регуляризующим алгоритмом для еерешения является алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова/12/.

                  />                                                              (8)

Споследующим выбором параметра регуляризации /> потак называемому принципу невязки.

   Например, если /> - какая — либоэкстремаль функционала (8), реализующая его глобальный минимум при заданном /> и фиксированном />, то числовой параметр  определяется из условия

                  />      />                                                                                            (9)

   Регуляризующий алгоритм (7) — (9) подробно изучен в /12/ и обладаетустойчивостью к малым возмущениям правой части (7).

   Правая часть уравнения (7) при решении формировалась следующим образом. Функция  /> характеризующая изменениетемпературы поверхности, задавалась таблицей.  Начальные условия для  />  />1, 2, …, N-1) находились изсоотношения  /3/:

                  />                                                                                                     (10)

где, /> - распределениетемпературы, заданное в начальный момент времени. Откуда для равномерногораспределения температуры в начальный  момент времени имеет

                 />        />1, 2, …,N-1                                                                                    (11)

Из анализа теплофизических игеометрических характеристик конструкции камеры сгорания следует возможностьпредставления системы пластин теплового отношения  (рис.1) в виде пластины изтеплозащитного покрытия и оболочки, которую можно рассматривать как тепловуюемкость. Это дает возможность воспользоваться для построения решения обратнойтепловой задачи для заданного узла решением задачи Коши (3). В системекоординат, представленной на Рис.1, поверхность при X = 0 будем считатьтеплоизолированной, то есть

                                     />                                                                                                  (12)                                              

  

     Кроме этого предположим, системапластин в начальный момент времени прогрета равномерно и, следовательно,начальные условия  для функции  /> имеютвид (11).

     При сделанных  выше предположенияхусловия Коши (12) для этой задачи имеют вид

                                               

/>/>                                    />/>

                                       />                                                            (13)

     

 />Где                     

 

                                      />          />

     Подставляя значение />  из условия (2) в решениезадачи Коши (3) получим

                  

                                     />                                                                            (14)    

где      

/>                                         />                                  

     Таким образом, решение этой задачиимеет вид

                                                                                                                                                   

    />                                               (15)

                                                                                                                                         

где /> намзадана, а функции  />  (n=1,2, …, N)  определяются изрешения                                                              интегральных уравнений Вольтерра первого рода (5) методом регуляризации

(7) — (9).

     Следовательно, искомые величины/> />определяютсяиз решения (4)  с использованием регуляризирующего алгоритма (7) — (9).

    

                      Методнаименьших квадратов.

Пусть функция /> заданана /> своими значениями в точках />. Рассмотрим совокупностьфункций

                                        />             />                                            (16)

линейно независимых на />.

Будем отыскивать линейную комбинацию этих функций

                           />                                                 (17)

так, чтобы сумма квадратов ее отклонений от заданных значений /> функции в узлах /> имела бы наименьшеевозможное значение, то есть величина

                                            />                                                                       (18)

принимала бы минимальное значение.

Заметим, что упомянутая сумма является функцией коэффициентов

                                              />.                                                                                  (19)

Поэтому для решения нашей задачи воспользуемся известным приемомдифференциального исчисления, а именно: найдем частные производные функции />по всем переменным иприравняем их нулю:

                 />

где

                                   />

Отсюда видим, что метод наименьших квадратов приводит к необходимостирешать систему алгебраических уравнений

                                   />                 />.                                                 (20)

Можно доказать, что если среди точек /> нетсовпадающих и />, то определительсистемы (20) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственноерешение (19). Подставив его в (17), найдем искомый обобщенный многочлен />, те есть многочлен,обладающий минимальным квадратичным отклонением />.Заметим, что при m = n коэффициенты (19) можно определить из условий />  />причем в этом случае  Ф = 0.Следовательно, мы приходим здесь к рассмотренной ранее задаче интерполирования.

Функции />,  />   , как известно, образуютсистему Чебушева на любом сегменте и могут быть использованы для практическойреализации описанного метода.

Легко видеть, что коэффициенты и свободные членысистемы (20) в этом случае представим как

                          />                                                                            (21)

                          />                  />     />                    (22)

Заметим здесь, что матрица />  являетсясимметричной /> и положительноопределенной, так как квадратичная форма /> неотрицательнадля любых значений переменных /> причем /> только при /> Действительно,

                           />

 

  Пустьзадана система алгебраических уравнений

                                

                                     />                                                                                             (23)

где/> - невырожденная квадратная матрица m –го порядка, а /> и  /> - вектор – столбцы, согласованные в размерностьюматрицы А.

Выделяют два класса методов решения таких систем:прямые и итерационные.

Прямые методы основаны на разложении матрицы А впроизведении более простых матриц (диагональных, треугольных, ортогональных). Вэтом случае исходная система уравнений (23) распадается на несколько болеепростых систем, решаемых последовательно. Если при этом все вычисленияпроизводить без округлений, то через вполне определенное заранее известноеконечное число шагов получится точное решение системы (23).

Поэтомуих называют также точными. Альтернативой для указанных методов являютсяитерационные алгоритмы, в которых решение находится как предел при  />  последовательныхприближений /> ,  где /> - номер итераций.

/>Зависимоститемпературы поверхности и экспериментальной температуры от времени, а такжетеплового потока и коэффициента теплоотдачи представлены на рисунках 4, 5, 6 ,7и 8 соответственно.

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Т, К

  /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> /> /> <td/> /> /> /> /> /> />

/>

  /> /> /> <td/> /> /> /> /> <td/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

               Рис. 8. Температура поверхности и экспериментальная температура

                                             для двухслойной пластины  точки 2.

 

В реальных условиях измеряемые температуры (то естьисходные данные для обратной тепловой задачи) являются случайными величинамииз-за дефектов производства, технологии изготовления, загрязнения поверхности,погрешности измерения и обработки экспериментальной информации. Влияниепогрешностей исходной информации на решение обратной задачи теплопроводностиоценивалось с помощью метода статистических испытаний Монте – Карло / 5-8 /.Анализ результата статистического моделирования решения обратной задачипозволяет установить коридор ошибок искомых граничных условий.

Одним из методов решения ОЗТявляется метод статистических испытаний Монте –Карло, который заключается встатистическом моде­лировании аналитических решений ОЗТ с учетом случайногохаракте­ра исходных данных /121/.

В методе Монте-Карло основнымявляется случайная выборка исходных данных /24/. В данной работе для этогонеобходим источ­ник случайных чисел.

Введем для исходных данных обозначение

                  />                                                                                                          (24)

где /> — математическое ожидание  j – гопараметра в точках. Ошибку /> представимв виде

                  />=/>                                                                                                              (25)

где/>  - максимально возможнаяпогрешность,

      />   - функция возмущения, вобщем случае различная во всех точках.

      Функция возмущения имеет вид /> привозмущении по нормальному закону распределения плотностей вероятностей прииспользовании правила «трех сигм»; /> -случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическиможиданием m = 0  и  дисперсией Д = 1.

       Используя метод Монте –Карло можно исследовать влияние по­грешности исходной информации(геометрические размеры, место уста­новки температурного датчика,теплофизические характеристики, измерения и обработки экспериментальнойтемпературы внутренних точек тела) на решение ОЗТ. Коридор ошибоквосстановленного решения мож­но определить по результатам статистическойобработки полученных реализации. Кроме того, процедура Монте – Карло позволяетрассматри­вать влияние каждой входной величины на решение ОЗТ. Найденные та­кимпутем статистические характеристики решения ОЗТ можно исполь­зовать для того,чтобы направить инженерные усилия на уменьшение именно тех случайных вариаций,которые наиболее сильно сказывают­ся на решении ОЗТ.                         

Проведенные расчеты дляоднослойной пластины показали, что погрешность в задании экспериментальнойтемпературы до 5% вызывает максимальные отклонения температуры поверхности до10% на временном интервале 0 — 55 сек, а на остальном временном участке до 5%.

Максимальные отклонения  теплового потока на тех жевременных интервалах составляют соотственно 20% и 10%.

     Проведенные расчеты  для двухслойнойпластины показали, что погрешность в задании экспериментальной температуры до5% вызывает максимальные отклонения температуры до 10% на временном интервале 0- 50 сек, а на остальном временном участке до 5%. Максимальные отклонениятеплового потока на тех же временных интервалах составляют соответственно 20% и10%.

                                   

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.    АлифановО.В. Обратные задачи теплообмена. – М: Машиностроение, 1988. – 280 с.

2.    АлифановО.В., Артюхин Е.А., Румянцев С.Я. Экспериментальные методы решения некорректныхзадач. – М.: Наука, 1988. – 288 с.

3.    ВеселовскийВ.Б., Лазученков Н.М, Швачич С.В. Обработка и интерпретация результатовнестационарных экспериментов при исследовании процессов тепло – и массообмена// Прикладные вопросы аэродинамики летательных аппаратов. Киев: Наук. думка,1984. – С. 138 – 140.

4.   Веселовский В.Б. Решение задачнестационарной теплопроводности для многослойных  теплозащитных покрытий //Прикладные вопросы аэродинамики. – Киев: Наук. думка, 1987. – с. 95 – 100.

5.    ВеселовскийВ. Б. Нелинейные задачи теплопроводности для со­ставных элементов конструкций// Прикладные задачи гидродинамики и тепломассообмена в энергетическихустановках. – Киев: Наук. думка, 1989. – С. 113 – 117.

6.    ВеселовскийВ.Б. Нестационарное температурное поле составных элементов конструкций //Математические методы тепломассопереноса. – Днепропетровск: ДГУ, 1986, с. 107–110.

7.   Веселовский В.Б. Решение прямыхзадач теплопроводности для многослойных пластин и построение алгоритмоввосстановления граничных условий // Тезисы докладов 2 — ой Республиканскогосимпозиума по дифференциальным и интегральным уравнениям. – Одесса: Одесский ун– т, 1978. – с. 43 – 44.

8.    ВеселовскийВ.Б. Тепловы режимы составных элементов конструкции летательных аппаратов //Тепломассообмен – ММФ – Минск: ИТМО АНБ, 1996, — том IX (Вычислительныйэксперимент в задачах тепломассообмена и теплопередачи).

      С. 37 – 41.

9.    КоваленкоН.Д., Шмукин А.А., Гужва М.И., Махин В.В. Неста­ционарные тепловые           процессы в энергетических установках ле­тательных аппаратов. – Киев: Наук.думка, 1988. – 224 с.

еще рефераты
Еще работы по теплотехнике