Реферат: Методичні вказівки до виконання розрахунко роботи "дослідження за допомогою еом коливань системи з одним ступенем вільності"
Міністерство транспорту України
Дніпропетровський державний технічний університет
залізничного транспорту
Кафедра “Теоретична механіка “
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВОЇ
РОБОТИ“ДОСЛІДЖЕННЯ ЗА ДОПОМОГОЮЕОМ КОЛИВАНЬ СИСТЕМИ З ОДНИМ
СТУПЕНЕМ ВІЛЬНОСТІ ”
Вільні коливання та вимушені коливання точкипри негармонічному збуренні
Частина ІІ
Укладачі: Л. А. Манашкін
Л. Г. Маслєєва
Д. Б. Астраханцев
А.Ю. Журавльов
Для студентів других курсів
спеціальностей : 7.092107,
7.100501, 7.092202, 7.090603,
7.092203, 7.100502
Дніпропетровськ 2001
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Зміст.
Вступ.......................................................................................................
Постановка задачі Складання диференціального рівняння вимушених коливань механічної системи Визначення амплітудно- та фозово- частотних характеристик системи Розкладання функції <img src="/cache/referats/9306/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили Дослідження вимушених коливань механічної системи.<span Times New Roman"">
Визначення (за допомогою ЕОМ)“точного” рішення диференціального рівняння. Аналіз рішення.<span Times New Roman"">
Підбір (за допомогою ЕОМ)раціональної кількості гармонік <img src="/cache/referats/9306/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> в розкладенні функції <img src="/cache/referats/9306/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><span Times New Roman"">
Побудова аналітичного рішеннядиференціального рівняння. Підбір раціональної кількості гармонік <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> в розкладенні функції <img src="/cache/referats/9306/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1029">Стисла характеристика програми <img src="/cache/referats/9306/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> Порядок підготовки вихідних даних для виконання розрахунку на ЕОМ. Схеми механічних систем та розрахункові дані до них. Перелік літератури.<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Вступ.
Друга частинарозрахункової роботи по дослідженню коливань системи з одним ступенем вільностівключає задачу про дослідження малих вимушених коливань системи тіл з пружнимиелементами (пружинами) при дії на одне з тіл системи періодичної збурюючої силинегармонічного типу. Рішення задачі зводиться до визначення закону руху системи(в узагальнених координатах) при нульових початкових умовах. При цьомувикористовується як аналітичний метод рішення задачі, так і метод численногоінтегрування диференціального рівняння руху системи з використаннямперсональної ЕОМ.
Методичні вказівки містять приклад виконаннярозрахункової роботи. Тут приведені також стисла характеристика програми <img src="/cache/referats/9306/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1031">
Виконання розрахункової роботи складається ізслідуючи етапів:
-<span Times New Roman"">
складання диференціальногорівняння руху механічної системи (в узагальнених координатах);-<span Times New Roman"">
виконання розрахунку на ЕОМ;-<span Times New Roman"">
визначення аналітичногорішення;-<span Times New Roman"">
зіставлення результатіврозрахунків на ЕОМ і аналітичного рішення.<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Постановка задачі
Методику дослідження малих коливань системи при дії негармонічноїперіодичної сили <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> розглянемо нанаступному прикладі.
Механічна система, що зображена на рис.1, складається з трьох тіл масою<img src="/cache/referats/9306/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><img src="/cache/referats/9306/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/9306/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><img src="/cache/referats/9306/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/9306/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1037"><img src="/cache/referats/9306/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> та <img src="/cache/referats/9306/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1039"><img src="/cache/referats/9306/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1040"><img src="/cache/referats/9306/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1041"><img src="/cache/referats/9306/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1042"><img src="/cache/referats/9306/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1043">
Така механічна система має один ступінь вільності.
Нехайрух системи викликається періодичною збурюючи силою <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> ) з параметрами <img src="/cache/referats/9306/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1045"><img src="/cache/referats/9306/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1046"><img src="/cache/referats/9306/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> -амплітуда збурюючой сили, <img src="/cache/referats/9306/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> і <img src="/cache/referats/9306/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1049">
Будемовважати, що рух системи починається із положення статичної рівноваги.
Розрахункипроведемо у наступному порядку:
1.1.<span Times New Roman"">
За допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду складемо рівняння руху механічноїсистеми. За узагальнену приймемо координату, яка визначає положення тіла 1відносно його положення статичної рівноваги: <img src="/cache/referats/9306/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1050"><img src="/cache/referats/9306/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> в’язкого опору рухупідберемо із умови [ ], щоб вільніколивання системи згасали до 0,1 початкової амплітуди за час <img src="/cache/referats/9306/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1052">Початковіумови задачі візьмемо нульовими, так як рух системи починається із положеннястатичної рівноваги:
1.2.<span Times New Roman"">
Визначимо (за допомогою ЕОМ)амплітудно-частотну (АЧХ) та фазово-частотну (ФЧХ) характеристики системи.1.3.<span Times New Roman"">
Розкладемо функцію <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> в ряд Фур’є івизначимо (за допомогою ЕОМ) параметри гармонік в розкладенні.1.4.<span Times New Roman"">
Визначимо (за допомогою ЕОМ)рішення <img src="/cache/referats/9306/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> диференціальногорівняння руху механичної системи для випадку, коли збурююча сила <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> задаєтьсякусочно-лінійною функцією (“точне”рішення).<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Розглянемотакож випадок, коли сила <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> задається сумою <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> гармонік. При цьомувстановимо, при якому раціональному значенні <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1058"><img src="/cache/referats/9306/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> функція <img src="/cache/referats/9306/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> визначається з 5%точністю (по відношенню до “точного рішення”).
Проаналізуємохарактер коливального процесу при різних значеннях <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1061"><<img src="/cache/referats/9306/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
1.5.<span Times New Roman"">
Користуючись АЧХ и ФЧХ системита знайденими параметрами гармонік у розкладенні сили <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1063"><img src="/cache/referats/9306/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> диференціального рівняння, руху механічної системи.При цьому встановимо, при якому раціональне значені <img src="/cache/referats/9306/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> аналітичнерішення визначається з 5% точністю по відношенню до “точного” рішення.
Співставленнярішень будемо проводити для контрольного моменту часу <img src="/cache/referats/9306/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1066"><img src="/cache/referats/9306/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1067">
2.<span Times New Roman"">
Складання диференціальногорівняння вимушених коливань механічної системи.Рівняння вимушених коливань заданоїмеханічної системи (рис.1) складемо за допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду:
<img src="/cache/referats/9306/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> ( )
де <img src="/cache/referats/9306/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> і <img src="/cache/referats/9306/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> — узагальненакоордината та швидкість, <img src="/cache/referats/9306/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> і <img src="/cache/referats/9306/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> — кінетична іпотенціальна енергії системи відповідно, <img src="/cache/referats/9306/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> — функція розсіювання,<img src="/cache/referats/9306/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> — узагальненанепотенціальна сила.
Складемо вираз кінетичної енергії системи в їїдовільному положенні, враховуючи, що тіло 1 виконує поступальний рух, а тіла 2і 3 – обертальний рух; при цьому швидкості усіх тіл виразимо черезузагальнену швидкість <img src="/cache/referats/9306/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1075">
<img src="/cache/referats/9306/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1076">
<img src="/cache/referats/9306/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1077"> <img src="/cache/referats/9306/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> <img src="/cache/referats/9306/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> <img src="/cache/referats/9306/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1080">
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;color:black; mso-ansi-language:UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA"><img src="/cache/referats/9306/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1081"><img src="/cache/referats/9306/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1082">
У виразі <img src="/cache/referats/9306/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> та <img src="/cache/referats/9306/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> — моменти інерції тіл2 і 3 відносно центральної осі.
Позначимо коефіцієнт <img src="/cache/referats/9306/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1085"><img src="/cache/referats/9306/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1086"><img src="/cache/referats/9306/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> — зведена масасистеми. Тоді:
<img src="/cache/referats/9306/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1088"><img src="/cache/referats/9306/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><img src="/cache/referats/9306/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> ( )
Складемо вираз потенціальноїенергії системи: <img src="/cache/referats/9306/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1091"><img src="/cache/referats/9306/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> — потенціальна енергіясил ваги, а <img src="/cache/referats/9306/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> — потенціальна енергіясил пружності, що діють на тіла системи.
Обчислемо потенціальну енергію системи в їїдовільному положенні як роботу потенціальних сил на переміщенні системи іздовільного положення в положення статичної рівноваги:
<img src="/cache/referats/9306/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1094">
<img src="/cache/referats/9306/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1095">
де <img src="/cache/referats/9306/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1096"><img src="/cache/referats/9306/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1097"> <img src="/cache/referats/9306/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1098"> <img src="/cache/referats/9306/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1099">
тут <img src="/cache/referats/9306/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1100"><img src="/cache/referats/9306/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> — статичні подовженняпружин; <img src="/cache/referats/9306/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1102"><img src="/cache/referats/9306/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1103"> — зміна довжини відповідноїпружини при відхиленні системи від стану статичної рівноваги; <img src="/cache/referats/9306/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1104"><img src="/cache/referats/9306/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> — подовження пружини вдовільному положенні системи.
Врахуємо, що <img src="/cache/referats/9306/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1106"><img src="/cache/referats/9306/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1107"><img src="/cache/referats/9306/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1108"><img src="/cache/referats/9306/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1109">
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Вираз потенціальної енергії системи та її похідної мають вигляд:
<img src="/cache/referats/9306/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1110">
<img src="/cache/referats/9306/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1111">
При рівновазі системи (<img src="/cache/referats/9306/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1112">
<img src="/cache/referats/9306/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1113"><img src="/cache/referats/9306/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1114">
Тоді вираз потенціальної енергіїсистеми приймає вигляд:
<img src="/cache/referats/9306/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1115"><img src="/cache/referats/9306/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> ( )
де <img src="/cache/referats/9306/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1117"><img src="/cache/referats/9306/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1118">
Функцію розсіювання <img src="/cache/referats/9306/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> будемо вважатизалежною від узагальненої швидкості <img src="/cache/referats/9306/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1120">
<img src="/cache/referats/9306/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1121">
де <img src="/cache/referats/9306/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1122"> — коефіцієнт в’язкості(дисипативний коефіцієнт).
До непотенціальних сил, що діютьна систему, відноситься тільки збурююча сила <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1123"><img src="/cache/referats/9306/image163.gif" v:shapes="_x0000_i1124">
<img src="/cache/referats/9306/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1125">
Візьмемо відповідні похідні іскладемо рівняння Лагранжа для заданої системи:
<img src="/cache/referats/9306/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1126"><img src="/cache/referats/9306/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1127"><img src="/cache/referats/9306/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1128"><img src="/cache/referats/9306/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1129"><img src="/cache/referats/9306/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1130"><img src="/cache/referats/9306/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1131"><img src="/cache/referats/9306/image177.gif" v:shapes="_x0000_i1132">
<img src="/cache/referats/9306/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1133"><img src="/cache/referats/9306/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1134">
<img src="/cache/referats/9306/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1135"><img src="/cache/referats/9306/image183.gif" v:shapes="_x0000_i1136">
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA"><img src="/cache/referats/9306/image185.gif" v:shapes="_x0000_i1137"><img src="/cache/referats/9306/image187.gif" v:shapes="_x0000_i1138">
<img src="/cache/referats/9306/image185.gif" v:shapes="_x0000_i1139"><img src="/cache/referats/9306/image189.gif" v:shapes="_x0000_i1140">
<img src="/cache/referats/9306/image185.gif" v:shapes="_x0000_i1141"><img src="/cache/referats/9306/image191.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> ( )
де <img src="/cache/referats/9306/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1143"> і <img src="/cache/referats/9306/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1144">
Диференціальне рівняння ( ) представляє собою неодноріднедиференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненої координати <img src="/cache/referats/9306/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1145">
Рішення задачі про дослідження вимушених коливаньсистеми зводиться до рішення цього диференціального рівняння при заданихпочаткових умовах задачі. Оскільки у розглянутому випадку рух системипочинається із стану статичної рівноваги, то початкові умови будуть нульовими:
при <img src="/cache/referats/9306/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1146"><img src="/cache/referats/9306/image199.gif" v:shapes="_x0000_i1147"><img src="/cache/referats/9306/image201.gif" v:shapes="_x0000_i1148"> ( )
Як відомо, аналітичне рішення рівняння ( ) складається із суми двох рішень <img src="/cache/referats/9306/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> <img src="/cache/referats/9306/image205.gif" v:shapes="_x0000_i1150"><img src="/cache/referats/9306/image207.gif" v:shapes="_x0000_i1151"><img src="/cache/referats/9306/image209.gif" v:shapes="_x0000_i1152">
Слід зауважити, що рішення <img src="/cache/referats/9306/image207.gif" v:shapes="_x0000_i1153"> в даному випадку (привідповідному підборі коефіцієнта <img src="/cache/referats/9306/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1154"><img src="/cache/referats/9306/image211.gif" v:shapes="_x0000_i1155"><img src="/cache/referats/9306/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1156"> <img src="/cache/referats/9306/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1157">
Визначимо чисельні значення параметрів системи такоефіцієнтів в рівнянні ( ):
<img src="/cache/referats/9306/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1158"><img src="/cache/referats/9306/image219.gif" v:shapes="_x0000_i1159"><img src="/cache/referats/9306/image221.gif" v:shapes="_x0000_i1160">
<img src="/cache/referats/9306/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1161"><img src="/cache/referats/9306/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1162"><img src="/cache/referats/9306/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1163">.м –1;
<img src="/cache/referats/9306/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1164"><img src="/cache/referats/9306/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1165">–1; <img src="/cache/referats/9306/image227.gif" v:shapes="_x0000_i1166"><img src="/cache/referats/9306/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1167">
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA"><img src="/cache/referats/9306/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1168"><img src="/cache/referats/9306/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1169"><img src="/cache/referats/9306/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1170"><img src="/cache/referats/9306/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1171">.с.м –1;
<img src="/cache/referats/9306/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1172"><img src="/cache/referats/9306/image240.gif" v:shapes="_x0000_i1173">с–1.
Для перевірки вірності визначення коефіцієнту <img src="/cache/referats/9306/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1174"> рекомендуєтьсяпідрахувати значення співмножника <img src="/cache/referats/9306/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> в рішенні <img src="/cache/referats/9306/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1176"> при <img src="/cache/referats/9306/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1177">.0,861 = 4,31с:
<img src="/cache/referats/9306/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1178">
Таке значення співмножника (наближене до нуля) врішенні <img src="/cache/referats/9306/image207.gif" v:shapes="_x0000_i1179"><img src="/cache/referats/9306/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1180"> знайдено вірно.
3.<span Times New Roman"">
Визначення амплітудних- тафазово-частотних характеристик системи.
Шляхомвиведення, за допомогою ЕОМ, для заданої механічної системи з параметрами <img src="/cache/referats/9306/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1181"><img src="/cache/referats/9306/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1182">.м –1;<img src="/cache/referats/9306/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1183"> 0,456кН.с.м–1 получимо (шляхом введення надрукарський пристрій – принтер) амплітудно- та фазово-частотніх характеристикисистеми та приведемо їх на рис.2 і рис.3 (відповідно).
4.<span Times New Roman"">
Розкладання функції F(t)в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили.
Розкладемо функцію <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> в ряд Фур’є:
<img src="/cache/referats/9306/image250.gif" v:shapes="_x0000_i1185"> ( )
де <img src="/cache/referats/9306/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1186"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1187">
Визначимо (за допомогою ЕОМ)параметри гармонік: амплітуди <img src="/cache/referats/9306/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1188">, частоти <img src="/cache/referats/9306/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1189"> та початкової фази <img src="/cache/referats/9306/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1190">
Для заданої сили “прямокутного” типу з параметрами <img src="/cache/referats/9306/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1191"><img src="/cache/referats/9306/image263.gif" v:shapes="_x0000_i1192"> значення параметрівгармонік наведені у табл.1.
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Таблиця1.
Номер гармоніки,
<img src="/cache/referats/9306/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1193">
<img src="/cache/referats/9306/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1194">
кН
<img src="/cache/referats/9306/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1195">
<img src="/cache/referats/9306/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1196">
<img src="/cache/referats/9306/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1197">
рад.
1
0,764
2
2
0,255
6
3
0,153
10
4
0,109
14
5
0,085
18
5.<span Times New Roman"">
Дослідження вимушених коливань механічної системи.
5.1.<span Times New Roman"">
Визначення (задопомогою ЕОМ) “точного” рішення диференціального рівняння. Аналіз рішення.Визначимо за допомогою ЕОМ “точне” рішення <img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1198"> диференціальногорівняння для випадку, коли сила <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1199"> представлена однієюгармонікою (<img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1200"><img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1201"> для відповіднихвипадків виводяться на екран ЕОМ. Перед виводом графіків на друкарськийпристрій їх треба “промасштабувати”, тобто получити рішення на заданомувідрізку інтегрування 0<img src="/cache/referats/9306/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1202"><img src="/cache/referats/9306/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1203"> рекомендуєтьсязадавати рівним 8<img src="/cache/referats/9306/image273.gif" v:shapes="_x0000_i1204"><img src="/cache/referats/9306/image275.gif" v:shapes="_x0000_i1205"><img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1206"> для заданої механічноїсистеми. Лінія 1 відображає “точне” рішення, а лінія 2 – рішення у випадку <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1207"><img src="/cache/referats/9306/image276.gif" v:shapes="_x0000_i1208">
Із графіків видно, що функції <img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1209"> получаютьсяперіодичними, тобто рух механічної системи получається періодичним-коливальним.І в першому, і в другому випадку при <img src="/cache/referats/9306/image278.gif" v:shapes="_x0000_i1210"><img src="/cache/referats/9306/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1211"> явно виражені двічастоти – одна дорівнює <img src="/cache/referats/9306/image281.gif" v:shapes="_x0000_i1212"> (див. лінію 2 длявипадку <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1213"><img src="/cache/referats/9306/image283.gif" v:shapes="_x0000_i1214"><img src="/cache/referats/9306/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1215">) значення <img src="/cache/referats/9306/image285.gif" v:shapes="_x0000_i1216"><img src="/cache/referats/9306/image287.gif" v:shapes="_x0000_i1217"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1218">
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;color:black; mso-ansi-language:UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">5.2.<span Times New Roman"">
Підбір (задопомогою ЕОМ) раціональної кількості гармонік <img src="/cache/referats/9306/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1219"> в розкладанні функції <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1220">Визначимо (за допомогою ЕОМ) функції <img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1221"> для випадків <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1222"><img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1223"> для “точного” рішення,а лініями 2 – графіки тих же функцій для випадків <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1224"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1225"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1226"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1227"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1228"><img src="/cache/referats/9306/image290.gif" v:shapes="_x0000_i1229"> практично невідрізняється від “точного” рішення.
Значення відповідних функції при <img src="/cache/referats/9306/image283.gif" v:shapes="_x0000_i1230"><img src="/cache/referats/9306/image293.gif" v:shapes="_x0000_i1231"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1232"><img src="/cache/referats/9306/image295.gif" v:shapes="_x0000_i1233"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1234"><img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1235"><span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; color:black;mso-ansi-language:UK;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">D
= 5,7%, а при <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1236"><span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;color:black;mso-ansi-language:UK; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D= 3,7%.За одержаним результатам можназробити висновок, що для отримання рішення <img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1237"> з 5% точністюдостатньо взяти кількість гармонік <img src="/cache/referats/9306/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1238">= 3 в розкладенні збурюючої сили <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1239"> в ряд Фур’є.
5.3.<span Times New Roman"">
Побудова аналітичного рішеннядиференціального рівняння. Підбірраціональної кількості гармонік <img src="/cache/referats/9306/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1240"> в розкладанні функції <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1241">Побудуємоаналітичне рішення диференціального рівняння ( ), представивши збурюючу силу <img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1242"> розкладенням вряд Фур’є:
<img src="/cache/referats/9306/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1243">
Врахуемо, що при <img src="/cache/referats/9306/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1244"> рішення <img src="/cache/referats/9306/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1245"> практично згасає. Тодідля цих моментів часу:
<img src="/cache/referats/9306/image300.gif" v:shapes="_x0000_i1246"><img src="/cache/referats/9306/image302.gif" v:shapes="_x0000_i1247"> ( ).
Відмітимо, що рішення <img src="/cache/referats/9306/image304.gif" v:shapes="_x0000_i1248"> змінюється з частотою <img src="/cache/referats/9306/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1249">
Користуючисьданими табл. 1 та графіками АЧХ і ФЧХ системи, визначимо значення коефіцієнтадинамічності <img src="/cache/referats/9306/image307.gif" v:shapes="_x0000_i1250"> та зсувуфаз <img src="/cache/referats/9306/image309.gif" v:shapes="_x0000_i1251"> для <img src="/cache/referats/9306/image311.gif" v:shapes="_x0000_i1252">
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">гармонік(<img src="/cache/referats/9306/image313.gif" v:shapes="_x0000_i1253"><img src="/cache/referats/9306/image315.gif" v:shapes="_x0000_i1254"><img src="/cache/referats/9306/image317.gif" v:shapes="_x0000_i1255">, що відповідають цим гармонікам.
Значення знайдених величинзведемо у табл. 2.
Таблиця 2.
Номер гармоніки, <img src="/cache/referats/9306/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1256">
<img src="/cache/referats/9306/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1257">-1
<img src="/cache/referats/9306/image320.gif" v:shapes="_x0000_i1258">
<img src="/cache/referats/9306/image307.gif" v:shapes="_x0000_i1259">
<img src="/cache/referats/9306/image323.gif" v:shapes="_x0000_i1260">
<img src="/cache/referats/9306/image325.gif" v:shapes="_x0000_i1261">
<img src="/cache/referats/9306/image309.gif" v:shapes="_x0000_i1262">
1
2
0,274
1,08
0,0562
0,0607
0,088
2
6
0,823
2,63
0,0188
0,0497
0,076
3
10
1,37
1,06
0,0113
0,012
3,09
4
14
1,92
0,366
0,008
0,0029
3,09
5
18
2,47
0,195
0,006
0,0012
3,09
Із табл. 2 випливає, щовизначальними є амплітуди <img src="/cache/referats/9306/image325.gif" v:shapes="_x0000_i1263"> коливаньпершої (<img src="/cache/referats/9306/image327.gif" v:shapes="_x0000_i1264">та другої (<img src="/cache/referats/9306/image329.gif" v:shapes="_x0000_i1265">гармоніки в рішенні <img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1266">, значення цих амплітуд одногопорядку; амплітуди третьої гармоніки (<img src="/cache/referats/9306/image331.gif" v:shapes="_x0000_i1267"><img src="/cache/referats/9306/image333.gif" v:shapes="_x0000_i1268"><img src="/cache/referats/9306/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1269"> в рішенні <img src="/cache/referats/9306/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1270">
Обмежимося значенням <img src="/cache/referats/9306/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1271"><img src="/cache/referats/9306/image290.gif" v:shapes="_x0000_i1272"> для випадку усталенихвимушених коливань (<img src="/cache/referats/9306/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1273"><img src="/cache/referats/9306/image336.gif" v:shapes="_x0000_i1274"><img src="/cache/referats/9306/image290.gif" v:shapes="_x0000_i1275"> має вигляд:
<img src="/cache/referats/9306/image338.gif" v:shapes="_x0000_i1276">
=<img src="/cache/referats/9306/image340.gif" v:shapes="_x0000_i1277"> (м).
Знайдемо значення узагальненоїкоординати <img src="/cache/referats/9306/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1278"> в момент часу <img src="/cache/referats/9306/image283.gif" v:shapes="_x0000_i1279">
<img src="/cache/referats/9306/image344.gif" v:shapes="_x0000_i1280">
<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:UK;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D
= 4,2%.Ізрозрахунків випливає, що визначальними є значення рішення для перших двохгармонік. При <img src="/cache/referats/9306/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1281">= 3аналітичне рішення <img src="/cache/referats/9306/image346.gif" v:shapes="_x0000_i1282"> добре збігається з“точним” рішенням на ЕОМ (відхилення рішення не перевищує <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D
= 5%).<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: UK;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">6.<span Times New Roman"">
Стисла характеристикапрограми <img src="/cache/referats/9306/image348.gif" v:shapes="_x0000_i1283">Если надо– gardemarin@rambler.ru