Реферат: Случайные процессы

СибирскийГосударственныйУниверситет Телекоммуникаций и Информатики

Кафедра РТС

Реферат по дисциплине «Теорияэлектрической связи» на тему:

«Случайные процессы».

Выполнил: студент группы …

Принял: Криволапов Геннадий Илларионович

Новосибирск 2002

Содержание:

1.

2.

Случайные процессы и их характеристики.

Детерминированное, т. е. заранее известное сообщение несодержит информации. Поэтому в теории связи источник сообщения следуетрассматривать как устройство, осуществляющее выбор из некоторого множествавозможных сообщений. Каждая конкретная реализация сообщения возникает сопределённой вероятностью, которая в общем случае зависит от того, какиесообщения передавались раньше. Точно так же и посылаемая в канал реализациясигнала является элементом некоторого множества, выбираемого с определённойвероятностью. Множество, на котором задана вероятностная мера, называютансамблем. Ансамбли сообщений и сигналов могут быть конечными (в дискретномслучае) или бесконечными.

Ансамбль <img src="/cache/referats/13029/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> функций времениявляется случайным процессом.

Случайными процессами называются такиепроцессы, которые математически описываются случайными функциями времени.Случайной называется функция, значениякоторой при каждом значении аргумента являются случайными величинами.

Случайная функция времени <img src="/cache/referats/13029/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">, описывающаяслучайный процесс, в результате опытапринимает ту или иную конкретную форму <img src="/cache/referats/13029/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> реализациями случайногопроцесса.

Мгновенные значения случайного процессав фиксированный момент времениtiявляются случайными величинами и называются сечением случайного процесса.

Статистические свойства случайногопроцесса <img src="/cache/referats/13029/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> как множества(ансамбля) реализации <img src="/cache/referats/13029/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> характеризуютсязаконами распределения, аналитическими выражениями которых являются функции распределения.

Для некоторого фиксированного моментавремени tiодномернаяфункция распределения

определяет вероятность того, чтомгновенное значение случайного процесса в этот момент времени примет значение,меньшее или равное X, то есть вероятность того, что <img src="/cache/referats/13029/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1031">.

В общем случае скалярный процесс X(t)полностью задан, если для любого набора моментов времени <img src="/cache/referats/13029/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> и любых значений <img src="/cache/referats/13029/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> можно вычислитьвероятность того, что X(t) принимает в указанные моментывремени значения, не превышающие соответственно <img src="/cache/referats/13029/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

<img src="/cache/referats/13029/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1035">.

Функция <img src="/cache/referats/13029/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> называется n-мернойфункцией распределения вероятности процесса.

Еслисуществует частная производная функции распределения по xi, то можноопределить плотность распределения вероятности. Одномерная плотность распределения вероятностей случайногопроцесса определяется соотношением

<img src="/cache/referats/13029/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1037">.

Аналогично определяются многомерные (n-мерные)функции распределения для совокупности моментов времени t1, t2,..,ti,..,tn, которые более полнохарактеризуют случайный процесс одновременно в nсечениях, обозначаемые как

<img src="/cache/referats/13029/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1038">.

В теории связи наиболее широкоеприменение находят двумерные функции распределения

Во многих практических случаях дляхарактеристики случайных процессов достаточно знать лишь его усредненные,так называемые, числовые характеристики(моментные функции). Наиболее часто используются математическое ожидание (первый начальныймомент), дисперсия (второй центральный момент), ковариационная функция икорреляционная функция.

Простейшей характеристикой случайногопроцесса является его математическое ожидание

которое представляет собой неслучайную функцию времени, около которойразличным образом располагаются отдельные реализации случайного процесса.

Математическое ожидание случайногопроцесса — сигналов электросвязи представляет собой постоянную составляющую.

Дисперсией случайного процессаназывается неслучайная функция времени, значения которой для каждого моментавремени равны математическому ожиданию квадрата отклонения случайного процессаот его математического ожидания

Дисперсия определяет степень разбросазначений случайного процесса около математического ожидания.

Применительно к сигналам электросвязидисперсия является мощностью переменной составляющей на нагрузке 1 Ом иизмеряется в Ваттах.

В качестве характеристики, учитывающейстатистическую связь между значениями случайного процесса в различные моментывремени, используется ковариационная функцияслучайного процесса

<img src="/cache/referats/13029/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1043">,

определяемая как математическое ожидание от произведениязначений случайного процесса в два различных момента времени (в двух сечениях).

На практике чаще используюткорреляционную функцию, которая определяется как математическое ожидание произведения центрированногослучайного процесса в два различных момента времени. Центрированный процесс представляет собой только переменнуюсоставляющую.

Таким образом, числовые характеристикиполучаются путем усреднения соответствующей случайной величины по множеству(ансамблю) ее возможных значений. Операция усреднения по множеству обозначаетсяпрямой горизонтальной чертой сверху.

Важнейшим классом случайных процессов,встречающихся на практике, является класс стационарных случайных процессов.Случайный процесс называетсястационарным в узком смысле, если его многомерная функция распределения (и,следовательно, числовые характеристики) не зависит от начала отсчета времени,т.е. от сдвига всех сечений вправо или влево на один и тот же интервал времени ∆t. При этом оказывается, что одномернаяфункция распределения, математическое ожидание и дисперсия вообще не зависят отвремени:

<img src="/cache/referats/13029/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1046">,

а двухмерная функция распределения и корреляционнаяфункция, и ковариационная функция зависят только от расстояния между сечениями <img src="/cache/referats/13029/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

<img src="/cache/referats/13029/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1049">.

Иногда случайный процесс называютстационарным в широком смысле, если приведенные условия выполняются лишь длячисловых характеристик. Узкое и широкое определения стационарности не тождественны. Случайные процессы, стационарные в узком смысле, всегда стационарны в широкомсмысле, но не наоборот.

Если приведенные выше условия невыполняются, то случайный процесс будет нестационарным. Для нестационарногопроцесса плотность вероятности является функцией времени. При этом со временеммогут изменяться математическое ожидание, дисперсия случайного процесса или тои другое вместе.

Среди стационарных случайных процессовочень важное значение имеют так называемые эргодические процессы, для которых статистическиехарактеристики можно найти усреднением не только по ансамблю реализации, но ипо времени одной реализации продолжительностью Т. При этом числовые характеристики, полученные по однойреализации путем усреднения по времени, с вероятностью, сколь угодно близкой кединице, совпадают с соответствующими числовыми характеристиками, полученнымипутем усреднения по множеству (ансамблю) реализации в один момент времени.Следовательно, для эргодических процессов:

Операция усреднения по времени однойреализации обозначается волнистой линией сверху.

Существует теорема, согласно которойстационарные в узком смысле процессы при достаточно общих предположенияхявляются эргодическими.

Свойство эргодичности стационарныхслучайных процессов имеет большое практическое значение. Для таких процессовлюбая реализация полностью определяетсвойства всего процесса в целом. Это позволяет при определении статистических характеристик случайного процессаограничиться рассмотрением лишь одной реализации достаточно большой длительности, как это и делается в настоящейлабораторной работе при определенииодномерной плотности вероятности.

Если <img src="/cache/referats/13029/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> представляет собой токили напряжение, то <img src="/cache/referats/13029/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> будет являтьсяпеременной составляющей тока или напряжения. Следовательно,

есть полная мощность процесса, aσ²=Р~ – характеризуетмощность переменной составляющей процесса.

Полная мощность процесса равна сумме мощностей переменной и постояннойсоставляющих, т.е.

У любого случайного процесса следует различать кроме мгновенных значений и максимальные значения, которые также являются случайными величинами и характеризуются своими законами распределения. Огибающая случайного процессаопределяется как геометрическое место точек, соответствующих максимальнымзначениям процесса, и обозначается E(t)с плотностьюраспределения вероятностей W(E).

Остановимся коротко на методике практического измерениявременных характеристик случайных процессов.

Математическое ожидание (постояннаясоставляющая) эргодического случайного процесса определяется выражением.Следовательно, измерение <img src="/cache/referats/13029/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> должно сводиться кдостаточно длительному интегрированию реализации процесса и умножению навеличину 1/Т. Очень частооперация интегрирования (т.е. усреднения по времени) осуществляется с помощьюфильтров нижних частот и в частности, интегрирующих RC– цепочек.

<img src="/cache/referats/13029/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1059">.

Дляизмерения полной мощности эргодического случайного процесса в соответствии свыражением

необходимо осуществить операциивозведения в квадрат исследуемого процесса и интегрирования.

Для случайного процесса с ненулевымматематическим ожиданием дисперсия(мощность переменной составляющей) равна

<img src="/cache/referats/13029/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1061">.

В соответствии с этим выражением приизмерении полной мощности случайного процесса можно исключитьпостоянную составляющую и тем самым упростить измерение.

Для измерения ковариационной функциислучайного процесса К(τ) необходимо осуществить операции задержки наразличное время τ <img src="/cache/referats/13029/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1062">τ) в нескольких точках. При этом необходиморасполагать набором перемножителей и линий задержки на фиксированное времязадержки kΔt (чаще всего используют линию задержки сотводами).

Определение одномерной функции распределения вероятностей случайныхпроцессов.

Для эргодических случайных процессов поодной реализации могут быть определены не только числовые характеристики, но ифункция распределения вероятностей Р(τ) илиплотность распределения вероятностей W(x). Функция распределения Р(х) определяется как относительноевремя пребывания одной реализациюдлительностью Т (интервалнаблюдения) ниже уровня x.

Соответственно плотностьвероятности равна

<img src="/cache/referats/13029/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1064">,

где <img src="/cache/referats/13029/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> представляет собойотносительное время пребывания реализации в интервале (х,х+Δх).

Таким образом, аппаратурное определениефункции распределения эргодического процесса по одной реализации основано наизмерении относительного времени пребывания случайного напряжения в интервалезначений от Uдо (U+ ΔU).

При реальных ΔUизмеряется вероятность

<img src="/cache/referats/13029/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1066">,

для различных Uи строитсяраспределение вероятностей в виде гистограммы. Для получения функции плотностивероятностей W(U) необходимо аппроксимировать гистограммунепрерывной кривой или ожидаемымзаконом распределения, пользуясь критериями согласия.

Списокиспользованной литературы:

1.

Методическое указание клабораторной работе «Вероятностные характеристики случайных сигналов».

2.

«Теория передачи сигналов»,А. Г. Зюко, «Радио и связь», 1986.

еще рефераты

Еще работы по радиоэлектронике

Реферат по радиоэлектронике

Фазовый и частотный методы измерения дальности

29 Августа 2013

Реферат по радиоэлектронике

Средства радиоконтроля