Реферат: Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсоваяработа

“Моделирование распределения потенциала

в МДП-структуре”

Исполнитель: студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель: старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1998г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель — - — - — - — - — - — - — - — - — -- 3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХМЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностныхсхем для решения

уравнения Пуассона и для граничных условий

раздела сред

Уравнение Пуассона — - — - — -- — - — - — - — - — - — - — - - 5

Граничные условия раздела сред — - — - — - — - — - — - — - — - — - — - — - 8

Общий алгоритм численогорешения задачи

Метод установления — - — - — -- — - — - — - — - — - — - — - - 10

Метод переменных направлений - — - — - — - — - — - — - — - — - — - — - - 13

Построение разностных схем — - — - — - — - — - — - — -- — - — - — - - 16

ПРИЛОЖЕНИЕ — - — - — - — -- — - — - — - — - — -

ЛИТЕРАТУРА — - — - — - — - — - — - — - — - — - -

Математическая модель распределения потенциала вМДП-структуре

Математическая модель

Пусть j(x,y) — функция, описывающая распределение потенциала вполупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяетуравнению Лапласа:

d2j + d2j = 0

dx2 dy2

а в области полупроводника(прямоугольник ABGH) — уравнению Пуассона:

d2j + d2j = 0

dx2 dy2

где

q - элементарный заряд e;

enn -диэлектрическаяпроницаемость кремния;

Nd(x,y) -распределение концентрации донорскойпримеси в подложке ;

Na(x,y) -распределение концентрации акцепторнойпримеси в подложке;

e0 -диэлектрическая постоянная

Область окисла

Область полупроводника

0 D E

B G

C F

A H

Рис.1.

На контактах прибора заданоусловие Дирихле:

j| BC = Uu

j| DE = Uз

j| FG = Uc

j| AH = Un

На боковых сторонахполупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условияНеймана вытекающее из симметричностиструктуры

относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:

dj =0 dj =0

dy AB dy GH

На боковых сторонах окисла так же задаетсяоднородное условие Неймана

означающее что в направлении оси OY отсутствуеттечение электрического

тока:

dj =0 dj =0

dy DC dy EF

На границе раздела структурыокисел- полупроводник ставится условие

сопряжения :

j| -0 = j|+0

eok Ex |-0 - enn Ex |+0 = — Qss

где Qss -плотность поверхностного заряда;

eok -диэлектрическаяпроницаемость окисла кремния;

enn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .

Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либополупроводника либо окисла кремния. Здесь первое условиеозначает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред авторое — указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величинойповерхностного заряда на границе раздела.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХМЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использованиеразностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред

Уравнение Пуассона

В области {(x,y) : 0 < x < Lx , 0 < y < Ly } вводится сетка

W={(x,y): 0 < i < M1, 0 < j < M2}

x0=0, y0=0, xM1 = Lx, yM2 = Ly

xi+1= xi + hi+1 , yj+1= yj+ rj+1

i = 0,...,M1-1 j = 0,...,M2-1

Рис.2.

yj yj+1/2 yj+1

xi-1

xi- 1/2

xi+1/2

hi+1

xi+1

yj-1 yj-1/2

Потоковые точки:

xi+½ = xi + hi+1, i = 0,1,...,M1-1

yj+½ = yj + rj+1, j = 0,1,...,M2-1

Обозначим :

U(xi,yj)= Uij

I(xi+½,yj)= Ii+½,j

I(xi,yj+½)= Ii,j+½

Проинтегрируем уравнениеПуассона:

Dj = — q (Nd + Na)

<img src="/cache/referats/1255/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067">e0en

Q(x,y)

по области:

Vij = { (x,y) : xi- ½ < x < xi+½ , yj-½ < y < yj+½ }

xi+ ½ yj+ ½ xi+½ yj+ ½

ò ò Dj dxdy = ò ò Q(x,y)dxdy

xi- ½ yj-½ xi- ½ yj-½

Отсюда:

yj+½ xi+½

ò(Ex(xi+½,y) — Ex(xi-½,y) )dx + ò(Ey(x,yj+½) — Ey(x,yj-½))dy=

yj-½ xi-½

xi+ ½ yj+ ½

= ò ò Q(x,y)dxdy

xi- ½ yj-½

Здесь:

Ex(x,y)= - dj(x,y)

dx (*)

Ey(x,y)= - dj(x,y)

x у-компонентывектора напряженности электрического поля Е.

Предположим при

yj-½ < y < yj- ½ Ex(xi +½,yj) = Ei+ ½ ,j = const

yj-½ < y < yj- ½ Ex(xi — ½ ,yj)= Ei- ½ ,j = const (**)

xi-½ < x < xi+½ Ey(xi, yj + ½) = Ei,j+ ½ = const

<img src="/cache/referats/1255/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089">xi-½ < x < xi+½ Ey(xi, yj-½ ) = Ei,j — ½ = const

xi- ½ < x < xi+ ½

yj-½ < y < yj+½ -Q(x,y) = Qij =const

Тогда

(Ex)i+½ ,j — (Ex)i -½ ,j r*j + (Ey)ij+½ - (Ey)ij-½ h*i = Qijh*i r*j

где h*i =hi — hi+1 , r*j = rj — rj+1

2 2

Теперь Еi+½ ,j выражаем через значение j(x,y)в узлах сетки:

xi+1

òEx(x,yj)dx = — ji+1,j — jij

из (**) при y=yj:

(Ex)i+½ ,j = - ji+1j — jij

hi+1

Анологично :

(Ey)i,j+½= — jij+1 — jij

rj+1

Отсюда:

(Dj)ij = 1 j i+1,j — j ij - j i j — j i-1,j + 1 j i j+1 — j ij - j ij — j ij-1 =

h*i hi+1 hi r*j rj+1 rj

= Ndij + Naij

Граничные условия разделасред

Рис.3.

yj+1/2 yj+1

x-1

h-1

x-1/2

x1/2

yj-1 yj-1/2

rj+1

SiO2

Si y

Для области V0j

yj+ ½ x½

ene0ò(Ex(x½ ,y) — E+x(0,y))dy + ene0ò (Ey(x,yj+½) — Ey(x,j- ½ ))dx =

yj- ½ 0

x½ yj+½

= q ò ò (Nd + Na)dxdy

0 yj-½

Для области V`0j

yj+ ½ x½

ene0ò(E-x(0,y)- Ex(x -½,y))dy + ene0ò (Ey(x,yj+½)- Ey(x,j-½))dx = 0

yj- ½ 0

где E+x(0,y) и E-x(0,y) -предельные значения х компоненты вектора

Есо стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая

условия:

ene0dj + - e1e0dj - = -Qss

dx dx

имеем

yj+½ x½

ò (ene0Ex(x½,y) — e1e0Ex(x-½,y) — Qss(y))dy + ene0ò (Ey(x,yj+½)+ Ey(x,yj-½))dx +

yj-½ 0

0 x½ yj+½

+ e1e0ò (Ey(x,yj+½)- Ey(x,yj-½))dx = q ò ò (Nd + Na)dxdy

x-½ 0 yj-½

Сделав относительно Ex и Ey предположенияанологичные (**) положив Qss(y) = Qss= const при yj-½ < y < yj+½ и учитывая условия :

j+ = j- dj + = dj-

dy dy

“+”- состороны кремния

“-“ — состороны окисла

Получим :

ene0(Ex)½,j - e1e0(Ex)-½,j - Qss r*j + ene0h1 + e1e0h-1 . (Ey)0,j+½ - (Ey)0,j-½ =

2 2

= q(Nd0j — Na0j) h1r*j

что можно записать :

1 ene0jij -j0j — e1e0 j0j — jij + ene0h1 + e1e0h-1 j0,j+1 - j0j - j0j — j0,j-1 =

h* h1 h-1 2h*r*j rj+1 rj

= — q ( Nd0j — Na0j). h1 - Qss

2 h* h*

где h* = h1 + h-1

Общий алгоритм численогорешения задачи

Метод установления

Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задачматематической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватриваютпоследнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчёткоторых оказывается проще, чем прямой расчёт равновесного состояния.

Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма длявычисления решения задачи Дирихле:

LxxUmn + LyyUmn = j(xm,yn) (1)

Umn|г = Y(smn) m,n =1,2,...,M-1

аппроксимирующийдифференциальную задачу Дирихле:

d2U + d2U = j(x,y) 0<=x <=1

dx2 dy2 (2)

U|г = Y(s) 0<=y <=1

Вслучае задачи (1) удаётсяпровести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощьюконечных рядов Фурье.

Способыточного решения задачи (1)выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейнойграницей, например, метод исключения Гаусса, при сколько-нибудь больших истановится неудобным и не применяются.

Решение U(x,y) Задачи (2) можно понимать как не зависящую отвремени температуру в точке (x,y)пластинки, находящейся в теплолвом равновесии. Функция j(x,y) и Y(s) означаютвтаком случае соответственно распределения источников тела и температуру награнице.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла:

dV = d2V + d2V — j(x,y)

dt dx2 dy2

V|г = Y(s) (3)

V(x,y,0) = Y0(x,y)

где j и Y те жечто и в задаче (2), а Y0(x,y) — произвольная.

Поскольку источники теплп j(x,y) и температура на границе Y(s) не зависит от времени, тоестественно, что и решение V(x,y,t) стечением времени будет менятся всё медленнее, распределение температур V(x,y,t) в пределе при t àOO превращается в равновесноераспределение тмператур U(x,y), описываемоезадачей (2). Поэтому вместостационарной задачи (2) можно решатьнестационарную задачу (3) до тоговремени t, пока её решение перестаётменятся в пределах интересующей нас точности. В этом состоит идеал решения стационарных задачметодом установления.

В соответствии с этим вместо задачи (2) решается задача (3),а вместо разностной схемы (1) длязадачи (2) рассмотрим и составим триразличные разностные схемы для задачи (3).

Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему:

Up+1mn — Upmn = LxxUpmn +LyyUpmn — j(xm,yn)

Up+1mn|г = Y(smn) (4)

U0mn = Y0xm,yn)

Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему:

Up+1mn — Upmn = LxxUp+1mn+ LyyUp+1mn — j(xm,yn)

Up+1mn|г = Y(smn) (5)

U0mn = Y0(xm,yn)

и исследуем схему применениянаправлений

U’mn — Upmn = 1 [ LxxU’mn + LyyUpmn - j(xm,yn)]

t 2

Up+1mn — U’mn = 1 [ LxxU’mn + LyyUp+1mn - j(xm,yn)]

t 2 (6)

Up+1mn|г = U’mn|г = Y(smn)

U0mn = Y0(xm,yn)

Будем считать, что Y0(xm,yn) по уже известному Up={Upmn} длясхемы (4) оссуществляется по уже явным формулам.

Вычисление Up+1 = {Up+1mn} посхеме (5) требует решения задачи :

LxxUp+1mn + LyyUp+1mn — Up+1mn = j(xm,yn) — Upmn

t t (7)

Up+1mn|г = Y(smn)

Вычисление Up+1 = {Up+1mn} по ужеизвестным Up= {Upmn} по схеме (6) осуществляется прогонками внаправлении оси OX для вычисления решений {U’mn} одномерныхзадач при каждом фиксированом n, азатем прогонками в направлнии оси OY для вычисления решений {Up+1mn} одномерныхзадач при каждом фиксированом m.

Для каждой из двух разностных схем (4)и (6) рассмотрим разность для счётапогрешностеи вычислений:

epmn = Upmn — Umn

междусеточной функцией Up = {Upmn} и точным решением U = {Umn} задачи (1).

Решение {Umn} задачи (1) удовлетворяет уравнениям:

Upmn — Umn = LxxUmn — j(xm,yn)

Umn|г = Y(smn)

U0mn = Umn

Вычитая эти равенства из (4)почленно, получим для погрешности epmn следующую разностную задачу:

ep+1mn — epmn = Lxxepmn + Lyyepmn

ep+1mn|г = 0 (9)

e0mn = Y0(xm,yn) — Umn

Сеточная функция epmn при каждом p (p=0,1,...) обращается в ноль награнице Г.

Метод переменных направлений

Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности:

<img src="/cache/referats/1255/image019.gif" v:shapes="_x0000_s1038">dU = LU + f(x,t) , xÎG02, tÎ[0,t0]

U|г = m(x,t) (1)

U(x,0) = U0(x)

<img src="/cache/referats/1255/image022.gif" v:shapes="_x0000_s1049">LU = LU = (L1 +L2)U , где LaU = d2U , a=1,2

dx2

Область G0a =G0= {0<= xa <=la, a=1,2} -прямоугольник со сторонами l1 и l2, Г — граница G0= G0+ Г.

В G0построилиравномерную по xa сетку vh с шагами h1 = l1/N1, h2 = l2/N2. Пусть nh — граница сеточной области wh, содержащая все узлы насторонах прямоугольника, кроме его вершин, vh = wh + nh.

Оператор La заменим разностным оператором La:

<img src="/cache/referats/1255/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1085">Lay = yxaxa , L = L1 + L2

В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждомслое приводит к разностной краевой задаче вида:

Aiyi-1 — Ciyi + Biyi+1 = -F , i=1,...,N-1

y0=m1 (2)

yn=mN

Ai> 0, Bi > 0, Ci > Ai + Bi

которая решается методомпрогонки.

Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку vh можно представить как совокупность узлов,расположенных на строках i2=0,1,2,...,N2, или как совокупность узлов расположенных настолбцах i1=1,2,...,N1. Всегоимеется N1+1 столбцови N2+1 строк.Число узлов в каждой строке равно N1+1, а в каждом столбце N2+1 — узлов.

Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2) методом прогонки при фиксированом i2(или i1), тодля отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки,понадобится О(N1N2) арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методови состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решениюодномерных задач вида (2) вдольстрок и вдоль столбцов.

<img src="/cache/referats/1255/image020.gif" v:shapes="_x0000_s1094">Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t), т.е. с y = yn и y` = yn+1 вводитсяпромежуточное значение y = yn+½, которое можно формально рассматривать как значениепри t =tn+½ = tn+½ . Переход от слоя n на слой n+1 совершается в два этапа сшагами 0.5t .

<img src="/cache/referats/1255/image020.gif" v:shapes="_x0000_s1039">yn+½ — yn = L1yn+½ + L2yn + jn (3)

0.5t

yn+1 — yn+½ = L1yn+½ + L2yn+1 + jn (4)

0.5t

Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = xi сетки vh и для всех t=th > 0.

Первая схема неявная по направлению х1 и явная по х2,вторая схема явная по х1и неявная по х2. Куравнениям (3),(4) надо добавитьначальные условия:

y(x,0)= U0(x) , xÎvh (5)

и разностно краевые условия,например, в виде:

yn+1 = mn+1 при i1=0, i2=N2 (6)

yn+½ = m при i1=0, i2=N1 (7)

где m = 1 (mn+1 + mn) — t L2(mn+1 — mn) (8)

2 4

Т.о., разностная краевая задача (3)-(8)соответствует задаче (1).Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:

2 y — L1 y = F , F = 2 y + L2 y + j

t t (9)

2y` — L2 y` = F’ , F = 2 y + L1 y + j

t t

Введём обозначения:

xi = (i1h1, i2h2)

F = Fi1,i2

y = yi1,i2

при этом, если в уравненииодин из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2),т.е.:

<img src="/cache/referats/1255/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1215">1<img src="/cache/referats/1255/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1061"> yi1-1 - 2 1 + 1 yi1 + 1 yi1+1 = — Fi1

<img src="/cache/referats/1255/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1224">h21 h21 t h21

i1 = 1,...,N1-1 (10)

<img src="/cache/referats/1255/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1234">y =m при i1 = 0,N1

1<img src="/cache/referats/1255/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1062"> y`i2-1 - 2 1 + 1 y`i2 + 1 y`i2+1 = — Fi2

h22 h22 t h22

<img src="/cache/referats/1255/image030.gif" v:shapes="_x0000_s1108 _x0000_s1109 _x0000_s1110 _x0000_s1111">i2 = 1,...,N2-1 (11)

y` = m` при i2 = 0,N2

Пусть задано у=уn. Тогдавычисляем òF, затем методом прогонки вдоль строк i2=1,...,N2-1 решаемзадачу (10) и определим y’ во всех узлах сетки wh, после чего вычисляем F ирешаем задачу (11) вдоль столбцов i1=1,...,N1-1,определяя y`=yn+1. Припереходе от слоя n+1 к слою n+2 процедура повторяется, т.е. происходит всё времячередование направлений.

Построение разностных схем

Для каждой области МДП — структуры построим консервативную разностнуюсхему, учитывая при этом заданные условия.

Разобьём данную МДП — структуру на несколько областей следующим образом:

L M N

III

Рис.4

<img src="/cache/referats/1255/image032.gif" v:shapes="_x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172"><img src="/cache/referats/1255/image030.gif" v:shapes="_x0000_s1174 _x0000_s1175 _x0000_s1176 _x0000_s1177">I : jk0,y = Un

t . jk+½i-1,y + 1 + t + t . jk+½ij — t . jk+½i+1y = Yij

2h*ihi 2h*ihi+1 2h*i2hi 2h*ihi+1

jk1,y = Un

где Yij = jkij + t (Lyjkij + f kij )

<img src="/cache/referats/1255/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1203 _x0000_s1204 _x0000_s1205 _x0000_s1206"><img src="/cache/referats/1255/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1211 _x0000_s1212 _x0000_s1213 _x0000_s1214">2

<img src="/cache/referats/1255/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1225 _x0000_s1226 _x0000_s1227 _x0000_s1228">Ly = 1 jkij+1 — jkij - jkij — jkij-1

<img src="/cache/referats/1255/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1216 _x0000_s1217 _x0000_s1218 _x0000_s1219"><img src="/cache/referats/1255/image035.gif" v:shapes="_x0000_s1220 _x0000_s1221 _x0000_s1222 _x0000_s1223"> r*j rj+1 rj

II: jij=U3

<img src="/cache/referats/1255/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1239 _x0000_s1240 _x0000_s1241 _x0000_s1242"> t . jk+½i-1,j + 1 + t + t . jk+½ij — t jk+½i+1,j =

2h*ihi 2h*ihi+1 2h*ihi 2h*ihi+1

= jkij + t Lyjkij

2 , 0 < i <k0-1 L< j <M

eok . jk+½i-1,j + — enn - eok . jk+½ij + en . jk+½i+1,j = Y*ij , i=k0

h*i-1 h*hi h*hi-1 h*ihi

t . jk+½i-1,j + 1 + t + t . jk+½ij — t . jk+½i+1,j =

2h*ihi 2h*ihi 2h*ihi 2h*ihi+1

= jkij + t Lyjkij - f kij ,k0+1< i < k1

jk1,j = Un

...

<img src="/cache/referats/1255/image035.gif" v:shapes="_x0000_s1247 _x0000_s1248 _x0000_s1249 _x0000_s1250"><img src="/cache/referats/1255/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1243 _x0000_s1244 _x0000_s1245 _x0000_s1246">III : jk0,j =Uc

t . jk+½i-1,j + 1 + t + t . jk+½ij — t jk+½i+1,j =

2h*ihi 2h*ihi+1 2h*ihi 2h*ihi+1

= jkij + t Ly (jkij - f kij ), M+1 < j < N

jk1,j = Un

Разностные схемы (I)-(III)

еще рефераты

Еще работы по радиоэлектронике

Реферат по радиоэлектронике

Расчет редуктора приборного типа

29 Августа 2013

Реферат по радиоэлектронике

МОП-транзисторы