Реферат: Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи

Министерство образования и науки

Республики Казахстан

Казахско — Американский Университет

Факультет «Прикладных наук»

СРС

Тема: Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теориисвязи.

Студент:

Группа:ФПН (РРТ)-5с

Проверил:.

Дата:

Подпись:

Алматы, 2005

Примеры задачоптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи.

Приводимые ниже две задачиоптимизации типичны; такого видапроблемы часто возникают при разработке новых систем и устройств связи. Первая из них связана свопросом о наиболее эффективном использовании заданного частотного диапазона

при наличии шума с неравномерным спектром; вторая -с выборомформы импульсного сигнала, обладающего минимально возможной полосой частот ипотому наиболее адекватного работе по полосно-ограниченному каналу связи. Обеэти задачи имеют самостоятельный интерес; вместе с тем они могутрассматриваться как достаточно простые упражнения по практическомуприменению вариационного исчисления.

Экстремальная задача, связанная с пропускной способностью

канала связи [24]

Максимальное количество информации, которое может быть передано за единицу времени по каналу связи сполосой частот f1<f<f2 присколь угодно малой вероятности ошибки, определяется (согласно К. Шеннону) формулой

(3.17)

где s(f) и n(f) —функции спектральной плотности мощности полезного сигнала и шума соответственно [24, 25].

Если спектральныеплотности мощности сигнала и шума являютсячастотно-независимыми в полосе [f1, f2), то получается еще более известное выражение

где <img src="/cache/referats/20539/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> полная мощность сигнала;

<img src="/cache/referats/20539/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> (3.18)

— полная мощность шума.

Поставим задачу оботыскании спектра плотности мощности полезногосигнала s{f), прикотором (при фиксированной полноймощности сигнала РС = Р и заданной спектральной плотности мощности шума n(f)скорость передачи информации была бымаксимальной. Таким образом, максимум функционала

(3.19)

При дополнительном условии

<img src="/cache/referats/20539/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> (3.20)

Используя терминологию предыдущего раздела, можно говорить что поставленная задача являетсяизопериметрической со свободнымиконцами, причем подынтегральные выражения в (3.19) и (3.20) не содержат функции s'(f).

Составив в соответствии сметодом множителей Лагранжа вспомогательный функционал типа

<img src="/cache/referats/20539/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> (3.21)

выпишем для него уравнение Эйлера

откуда

<img src="/cache/referats/20539/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> (3.22)

Подставляя (3.22) в (3.20) и учитывая обозначение (3.18),

находим значение <img src="/cache/referats/20539/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

Окончательно оптимальная форма спектра плотности мощности сигнала определяется из выражения

<img src="/cache/referats/20539/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> (3.23)

Как видно, оптимальныйспектр плотности мощности сигнала дополняетспектр плотности мощности шума до константы. Другими словами, энергию передатчика целесообразно распределять в рабочем диапазоне частот неравномерно,направляя ее в основном в те участки, где мощность шума мала.

Этот вывод представляет несомненный практический интерес, однако он, может быть, сделан поспешно, ведьне доказано, что на экстремали (3.23)действительно достигается минимум. Впрочем, из замечания (3.4) офункционалах, не содержащих производной неизвестной функции (см. § 3.3),немедленно вытекает обоснование того факта, что на функции (3.22) в самом деле реализуется экстремумфункционала (3.21), а вместе с ним ифункционала (3.19) при условии (3.20). Этотэкстремум может быть только максимумом, ибо, приближая s(f) впроизвольно малом, но конечном подынтервале интервала (f1,f2) кфункции n(f), взятойс обратным знаком (s(f) <img src="/cache/referats/20539/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1036">n(f)), можносделать значение функционала (3.19) меньшим любого наперед заданного числа.

В связи с записьюприближенного равенства (s(f)<img src="/cache/referats/20539/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> -n(f)), целесообразнонапомнить, что по физическому смыслу функции s(f) и n(f) неотрицательны.Решая поставленную задачу формально,мы нигде не вводили условия s(f)≥0, поэтому формула (3.23)действительно дает решение поставленной задачи с учетом физическихограничений, если во всех точках интервала (f1,f2) выполняется неравенство

<img src="/cache/referats/20539/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> (3.24)

Однако неравенство (3.24)может оказаться нарушенным: этообстоятельство сигнализирует о том, что математическая задачамаксимизации пропускной способности канала R[s(f)] была поставлена некорректно и, чтобы исправить положение, следует к условию (3.20) присоединить условие

S(f)>0. (3.25)

На решениях задачподобного типа мы останавливаться небудем, хотя описанным в [3] методом односторонней вариации успешно решают и такие задачи.

Задача об отыскании импульса с минимальной эффективной

шириной спектра

Как правило, передачаинформации по каналам связи осуществляетсяв строго ограниченном частотном диапазоне: вне этого диапазона так называемые «внеполосные» излучения не должны превышать некоторую заданнуюсуществующими нормами величину. Припередаче данных занимаемая полоса частотопределяется во многом формой сигнала-переносчика, поэтому представляет существенный интерес отысканиеформы сигналов конечнойпродолжительности, обладающих минимально возможной полосой частот [15].

Сказанное, однако, нуждается в некотором разъяснении. Обозначиминтересующий нас сигнал-переносчик длительности Т черезy(t),0≤t≤TТогда его спектр

<img src="/cache/referats/20539/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1039">(3.26)

Преобразование Фурьесигнала конечной продолжительности(3.26) определяет спектр Y(ω),который является функцией комплексного

переменного ω=<img src="/cache/referats/20539/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1040">плоскости<img src="/cache/referats/20539/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1041">целыми).

Известно, что целыефункции могут обращаться в 0 лишь визолированных точках и никогда на множествах точек, у которых, как говорят математики, «мера большенуля». Примером таких множеств могутслужить отрезок действительной илимнимой оси комплексной плоскости, круг или совокупность фигур на этой плоскости, действительная полуось

рис.3.11

и т. д. Практически этоозначает, что спектры сигналов конечной продолжительности обладаютбесконечной протяженностью и,следовательно, принципиально неустранимыми внеполосными излучениями. Спектр прямоугольного импульса y(t)=1,0≤t≤T, является в достаточной степени типичным (рис.3.11). Другими словами, не существуетчастотного диапазона<img src="/cache/referats/20539/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1044">, внутри которогопоместился бы целиком спектр прямоугольного(да и любого другого) импульса. Вместе с тем ясно, что внеполосные излучения в зависимости от формыимпульса могут обладать большей или меньшей интенсивностью.

Существуют различныеспособы оценки внеполосных излучений.Пожалуй, наиболее распространенный из них — энергетический, при котором интенсивность внеполосных излученийхарактеризуется величиной <img src="/cache/referats/20539/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1045">низкочастотногорабочего диапазона частот критерий (<img src="/cache/referats/20539/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> запишем в виде

<img src="/cache/referats/20539/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> <span Arial",«sans-serif»;letter-spacing:-.2pt">(3.27)

Задаче минимизации величины <img src="/cache/referats/20539/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> посвящена значительнаялитература [26]. Отметим, что для минимизацииотношения (3.27) переходят обычно киной, эквивалентной, задаче. Полагая

<img src="/cache/referats/20539/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1050">(3.28)

решают вопрос о максимизации энергии импульса y(t) в рабочей полосе частот <img src="/cache/referats/20539/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

<span Arial",«sans-serif»;letter-spacing: -.25pt"> (3.29)

Напомним, что в силу теоремы Рэлея Парсеваля справедливо следующее равенство для энергии сигнала:

3.30

поэтому условие (3.28) эквивалентно следующему:

3.31

Вариационную задачумаксимизации (3.29) при условии (3.31)сводят к решению так называемого интегрального уравнения [22] относительнонеизвестной функции y{t). Изложениедостигнутых здесь интересных и важных результатов требует, однако, использования достаточно сложного математического аппарата. В связи с этим используемдругой подход к минимизациивнеполосных излучений, для чего введемпонятие об эффективной ширине спектра, аналогичноедисперсии распределения вероятностей. Попытаемся перенестихарактеристики законов распределения вероятностейслучайных величин на спектры сигналов. Предполагая, что выполняется условие (3.28), будем рассматривать неотрицательную функцию

как плотностьраспределения вероятностей p(<img src="/cache/referats/20539/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1053">случайнойвеличины. Так как модуль спектра произвольного вещественного сигнала является четной функцией частоты (см. § 1.2, свойство 1), т. е.

то среднее значение этойслучайной величины равно нулю:

а ее дисперсия

3.23

Положительную величину <img src="/cache/referats/20539/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> назовем эффективнойшириной
спектра сигнала y(t),0≤t≤T, и поставим вопрос о минимизации<img src="/cache/referats/20539/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1058">, или, что эквивалентно,минимизации <img src="/cache/referats/20539/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1059">
в качестве дополнительногоусловия примем

равенство (3.28), которое отражает известное свойство интеграла от плотности распределения вероятностей (онравен единице). В дальнейшем, однако,будет удобнее использовать эквивалентное (3.28) равенство (3.31).

Здесь уместно напомнить,что дисперсия характеризует степень сосредоточенностиплотности p(<img src="/cache/referats/20539/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1060">Чем меньше дисперсия,тем более «узким» является график функции p(<img src="/cache/referats/20539/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1061">. В принципе этафункция в пределе при <img src="/cache/referats/20539/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1062">переходит в5-функцию (для сигналов y(t) конечнойпродолжительности последнееневозможно). Это обстоятельство и обосновывает применениетеоретико-вероятностного критерия — дисперсиик оценке ширины полосы частот, занимаемой сигналом y(t).

Выражение (3.32)преобразуем таким образом, чтобы представитьего как функционал от y(t). Дляэтого проведем следующиевспомогательные рассуждения, относящиеся к формуле обратного преобразования Фурье:

<img src="/cache/referats/20539/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> (3.33)

Продифференцируем обе части равенства (3.33) по t:

<img src="/cache/referats/20539/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> (3.34)

Применим теперь теоремуРэлея—Парсеваля к сигналу y’(t),0≤t≤T,. С учетом (3.34) получим

<img src="/cache/referats/20539/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> (3.35)

Сравнив равенства (3.32) и (3.35), запишем

Для минимизациифункционала (3.36) при ограничении (3.31)составим вспомогательный функционал

<img src="/cache/referats/20539/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> (3.37)

Сделаем упрощающеепредположение (оно облегчит, как мы увидим, проверку достаточных условийминимизации): импульс y(t) обладаетчетной симметрией относительно середины отрезка [О, T] — точки t=T/2. Тогда задачу минимизации

функционала (3.37) можно заменить задачей минимизации функционала

при условии

<img src="/cache/referats/20539/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> (3.39)

Правый конец отрезка [О, Т/2] будем считать свободным, т. е. предполагать, что у{Т/2) может приниматьлюбые значения. Что касается левогокрая интервала — точки t= 0 (равно каки симметричной относительно центра точки t=T), тоздесь определенно можно сказать, что y(0)=0,(3.40) хотя в самой постановке задачи нет никакихуказаний относительно поведения y(t) на концах. Однако одно важное обстоятельство с необходимостью приводит к условию(3.40). Дело в том, что для сходимости интеграла

а значит, и существования конечной величины <img src="/cache/referats/20539/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> (см. (3.32)) требуется, чтобы функция <img src="/cache/referats/20539/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1072">при<img src="/cache/referats/20539/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1073">y(t), <img src="/cache/referats/20539/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1074">, имеет разрывы,его спектр убывает на бесконечности как<img src="/cache/referats/20539/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1075">набесконечности как<img src="/cache/referats/20539/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1076">непрерывную первую производную, то характер убывания спектра при <img src="/cache/referats/20539/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1077"><img src="/cache/referats/20539/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> т. д. [22]. Внашем случае для сходимости интеграла (3.31) достаточно потребовать, чтобы квадрат модуля спектра <img src="/cache/referats/20539/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1079">как 1/|<img src="/cache/referats/20539/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1080">4 при <img src="/cache/referats/20539/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> <img src="/cache/referats/20539/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> 1/|<img src="/cache/referats/20539/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1083"><img src="/cache/referats/20539/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1084">). Это означает, что импульс <img src="/cache/referats/20539/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> должен бытьнепрерывным.

Но из непрерывности функции следует равенствопределов слева и справа в любой точкеее области определения. Например, налевом краю области определения для непрерывного сигнала y(t) справедливо равенство

y(t-0) = y(t+ 0), t=0.

Так как вне отрезка <img src="/cache/referats/20539/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> функция y(t) считается равной 0, справедливость условия (3.40) очевидна. Что касается свободного конца t=T/2, то в силу теоремы 3.3 о подвижных концах(см. § 3.2) применительно к функционалу (3.38) можем записать соответствующее ограничение

<img src="/cache/referats/20539/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1088"><img src="/cache/referats/20539/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1089">,

или

<img src="/cache/referats/20539/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> (3.42)

Уравнение Эйлера для функционала (3.38) фактически уже рассматривалосьнами в близкой задаче примера 3.1,оно имеет вид

y”+λy=0, а его решение, содержащее две произвольные постоянные,-

Воспользовавшись (3.40), запишем

<img src="/cache/referats/20539/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1092">.

Таким образом,<img src="/cache/referats/20539/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1093">

Для определения <img src="/cache/referats/20539/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> воспользуемся условием (3.42) (с учетом того, что с1= 0):

откуда

<img src="/cache/referats/20539/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> (3.43) Следовательно,

<img src="/cache/referats/20539/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1097"> (3.44)

где с2 ицелое число kпока не определены. Отыскание амплитуды с2 не представляет труда и может быть легко осуществлено с помощью подстановки (3.44) в условиенормировки энергии импульса y{t) (3.39).

Несколько сложнее найтичисло k. Чтобы выделить из семейства экстремалей (3.44) кривую, которая действительно соответствуетминимуму функционала (3.38), обратимся к достаточным условиям сильного минимума, приведенным в § 3.3. Условие «а»выполнено, ибо все кривые семейства (3.44) — экстремали. Для проверки условия «б» составим дифференциальное уравнение Якоби (3.16), которое в данномслучае принимает вид

т. е. совпадает по формес уравнением Эйлера рассматриваемой задачи.Его общее решение

<img src="/cache/referats/20539/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1099">а решение, обращающееся в 0 на левом конце,

<img src="/cache/referats/20539/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> (3.45)

Для выполнения условия ”б” необходимо, чтобы функция <img src="/cache/referats/20539/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> не обращалась в нольни в одной точке отрезка (0, Т/2), кроме точки t=0. легко проверить, что среди всехзначений <img src="/cache/referats/20539/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> удовлетворяющих (3,43),только случаи k=0 и k= -1

удовлетворяют этомуусловию. Более «высокочастотные»

(k=1, ±2, ±3, ...) синусоиды (3.45)

обладают дополнительныминулями на

отрезке (0, T/2). Подставив k=0 в (3.44), получим единственную
кривую, на которой может бытьреализован минимум (3.38),
<img src="/cache/referats/20539/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1103">(3.46)

— полуволну синуса1.Чтобы доказать, что (3.46) действительно является решением нашей задачи, покажем, что выполняется и последний (третий) пункт «в» достаточныхусловий. Действительно,

Определение константы с2, как ужеговорилось, не вызывает затруднений, онаравна<img src="/cache/referats/20539/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1105">. График импульса с минимальной эффективной шириной спектра показан на рис. 3.12.

В заключение разъясним, вчем трудность исследования функционала(3.37), в котором y(t) рассматриваетсяна всем отрезке [0, Т ].Разумеется, уравнения Эйлера и Якоби, а также их решения имели бы тот же самый вид, который описан выше. Но добиться успеха с помощью пункта «б»достаточных условий, которыми мывоспользовались, по-видимому, оказалось бы невозможным. Действительно, условиеЯкоби не выполняется, так как решениеуравнения Якоби (3.45) в точке t=Tравно 0 в случае k= 0: ио= 0 при k= 0. Значит, не существует ни одного целого числа k, при котором пункт «б» был бы выполнен. И хотя при этом не нарушается необходимое условие Якоби (см. замечание 3.3 вконце § 3.3), вопрос о том,реализуется ли минимум функционала (3.37) на какой-либо из кривых (3.44), остается открытым.

Замечание 3.5. Задачаминимизации полосы частот, занимаемойимпульсным сигналом при использовании энергетического критерия (I(формула (3.27)), также приводит к импульсу округлой формы, напоминающему сигнал рис.3.12. Однако в этом случае формаоптимальной функции y(t) оказываетсязависящей не только от длительности Г, но и от ширины интервалаконцентрации энергии (0,<img src="/cache/referats/20539/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1106"> <img src="/cache/referats/20539/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1107">T [26].

еще рефераты

Еще работы по радиоэлектронике

Реферат по радиоэлектронике

Схемы управления тиристорами

29 Августа 2013

Реферат по радиоэлектронике

Ультразвук и измерения дальности

29 Августа 2013

Реферат по радиоэлектронике

Методы распознавания в СТЗ

29 Августа 2013

Реферат по радиоэлектронике

Элементная база радиоэлектронной аппаратуры-1 (Контрольная)

29 Августа 2013