Реферат: Цифровая обработка сигналов

ВВЕДЕНИЕ

В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ

СИГНАЛОВ

Содержание.

1. Дискретные сигналы

1.1. Дискретизация непрерывных сигналов

1.2. Связь спектров дискретных и непрерывных сигналов

1.3. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретныхсигналов

1.4. Z — преобразование

1.5. Основные теоремы Z — преобразования

1.6. Дискретное преобразование Фурье

2. Дискретные цепи

2.1. Разностное уравнение и дискретная цепь

2.2. Передаточная функция дискретной цепи

2.3. Общие свойства передаточной функции

2.4. Частотные характеристики

2.5. Импульсная характеристика. Свертка.

2.6. Круговая свертка

2.7. Энергия дискретного сигнала. Корреляция иэнергетический спектр

2.8. Расчет энергии сигнала в дискретной цепи

2.9. Секционирование

3. Цифровые фильтры

3.1. Цифровая система обработки сигналов

3.2. Расчет не рекурсивных ЦФ общего вида

3.3. Схема и характеристики фильтров с линейной фазой

3.4. Общие свойства фильтров с линейной фазой

3.5. Расчет ЦФ с линейной фазой. Метод взвешивания.

3.6. Метод частотной выборки

3.7. Расчет рекурсивных фильтров. Метод билинейногопреобразования

4. Эффекты конечной разрядности и их учет.

4.1. Шум квантования и шумовая модель

4.2. Расчет шумов квантования

4.3. Влияние структуры ЦФ на шум квантования

4.4. Квантование коэффициентов. Расчет разрядности.

4.5. Чувствительность

4.6. Масштабирование сигнала в цепи

4.7. Динамический диапазон ЦФ

4.8. Предельные циклы

5. Восстановление непрерывного сигнала

5.1. Характеристики ЦАП

5.2. Погрешности восстановления

Литература

Обсуждены основные положения теории дискретныхсигналов и способы их обработки. Рассмотрены особенности цифровой реализациидискретных систем. Изложены методы расчета цифровых фильтров, получившиенаибольшее распространение.

Эффектыконечной разрядности ЦФ и их учет рассмотрены применительно к системам с фиксированнойзапятой. Погрешности дискретизации и восстановления обсуждены на уровне необходимомдля понимания вопроса.

Для технических факультетов.

1. Дискретные сигналы.

1.1 Дискретизация непрерывных сигналов.

Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с заменынепрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которойприменяются такие обозначения

x(nT), x(n), xn, {x0; x1; x2; … } .

Дискретизацияосуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис.1.1).

Дискретнаяпоследовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатойфункции X(nT). Частота переключения электронного ключа fд и шагдискретизации T связаны формулой

fд = 1 / T . (1.1)

Дискретнаяпоследовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный(аналоговый) сигнал следующим образом

x(nT) = x(t)/>d(t — nT), (1.2)

где d(t) — дискретная d — функция(Рис. 1.2, а),

/>d(t — nT) — последовательность d — функций(Рис. 1.2, б).

Погрешность,возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценитьсравнивая спектры этих сигналов.

1.2. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.

Исходноевыражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующимобразом

X(jw)=/>x(nT) e-jwtdt =/>x(t)/>d(t- nT) e-jwtdt .

Периодическуюпоследовательность d — функцийздесь можно разложить в ряд Фурье

/>d(t — nT) =/>,

гдес учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов

/>,поскольку Fd(jw) = 1

После замены в исходном выражении периодическойпоследовательности d — функций ее разложением в ряд Фурье получим

X(jw)=/>x(t)(/>) e-jwtdt =/>x(t)/>e-jwtdt .

Учитываяздесь теорему смещения спектров, т.е. :

еслиf(t) ®F(jw),то f(t)/>®F[j(w±w0)],

последнееравенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектровдискретного X(jw) и аналоговогоXa(jw) сигналов

X(jw) =/>Xa[j(w -/>)] . (1.3)

Наосновании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделатьследующие выводы :

1. Спектр дискретного сигнала состоитиз суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительнодруга по оси частот на величину равную частоте дискретизации wд

2. Спектры аналогового и дискретногосигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5wд;0,5wд],если удовлетворяется неравенство

wв Ј 0,5wд, (1.4)

гдеwв — верхняя частота спектра аналогового сигнала.

Равенствов (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте wд.

1. Смежные спектры Xa(jw) в (1.3)частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этомслучае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналоговогосигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.

2. Аналоговый сигнал можновосстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота срезакоторого wс =0,5wд.Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходеФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, есливыполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается сискажениями, обусловленными ошибками наложения.

Выборчастоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1.4). если частота wв неизвестна, то выбор из wдопределяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбираетсяприближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался беззаметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.

1.3 Преобразование Фурье и Лапласа для дискретныхсигналов.

Длядискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить.Действительно, поскольку

топосле перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид

Здесьприменяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчетасовмещается с началом действия дискретного сигнала.

ФормулыФурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде, поэтому послезамены X(nT) ® X(nT) / Tпреобразование Фурье принимает окончательный вид

/> (1.5)

ФормулыЛапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1.5) после обобщениячастоты на всю плоскость комплексного переменного, то есть jw ® P = d + jw

/> (1.6)

1.4. Z — преобразование.

Эффективностьчастотного анализа дискретных сигналов существенно возрастает, если заменитьпреобразование Лапласа Z — преобразованием. В этом случае изображение сигналаX(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной P = d + jw, заменяется Z — изображением сигнала X(Z), которое является рациональной функцией переменной Z= x + jy.

ФормулыZ — преобразования получаются из формулы Лапласа (1.6) заменой переменных

epT = Z . (1.7)

Подстановка(1.7) и ее производной

dZ / dp = TepT

в(1.6) приводит к формулам прямого и обратного Z — преобразования

/> (1.8)

Точкина мнимой оси комплексного переменного p = d +jw, то есть точкиp = jw, определяютреально частотные характеристики сигнала. Мнимой оси соответствует на плоскостиZ единичная окружность, так как в этом случае согласно (1.7)

Z = ejwT = /> (1.9)

Поэтомунепрерывному росту переменной на мнимой оси плоскости p = d + jw, соответствуетмногократный обход единичной окружности на плоскости z = x + jy (Рис. 1.4).Этим фактом объясняется, в частности, то обстоятельство, что интегрирование вформуле обратного z — преобразования (1.8) осуществляется вдоль единичнойокружности плоскости z взамен интегрирования вдоль прямой параллельной мнимойплоскости p.

Учитываявышеизложенное и формулы (1.7), (1.9) можно утверждать, что левая полуплоскостьпеременного p = d + jw отображается наплоскость единичного круга переменного z = x + jy, правая полуплоскость — наплоскость z за пределами единичного круга.

Подстановка(1.9) в z — изображение сигнала приводит к спектру этого сигнала, подстановка(1.7) дает изображение по Лапласу.

Пример.Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотностисигнала x(nT) = {a; b} (Рис. 1.5, а).

Решение.

Z- изображение сигнала согласно (1.8)

X(Z) =/>x(nT) Z-n= x(0T) Z-0 + x(1T) Z-1 = a + bZ-1

Отсюдаподстановкой (1.9) определяем спектр сигнала

X(jw) = a + be-jwT.

Графикимодуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б наинтервале частот [0; wд].

Внеинтервала частот [0; wд]частотные зависимости повторяются с периодом wд.

1.5 Основные теоремы Z — преобразования.

Перечислимбез доказательства теоремы z — преобразования, которые потребуются в последующихразделах.

1. Теорема линейности.

Если x(nT) = ax1(nT) + bx2(nT) ,

тоX(Z) = a X1(Z) + bX2(Z).

2. Теорема запаздывания.

Если x(nT) = x1(nT — QT) ,

то X(Z) = X1(Z) Z-Q.

3. Теорема о свертке сигналов.

Если X(nT) = />x1(kT)x2(nT — kT) ,

то X(Z) = X1(Z) X2(Z).

4. Теорема об умножении сигналов.

Если x(nT) = x1(nT) x2(nT) ,

то X(Z) = />X1(V)X2(/>) V-1dV,

где V, Z — переменные на плоскости Z.

5. Теорема энергий (равенствоПарсеваля).

/>x2(nT) =/>X(Z)X(Z-1) Z-1 dZ.

Z- преобразование дискретных сигналов имеет значение равное значениюпреобразования Лапласа непрерывных сигналов.

1.6. Дискретное преобразование Фурье.

Еслисигнал ограничен во времени значением tu, а его спектр — частотой wв,то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов N как во временной,так и в частотной областях (Рис. 1.7, а, б) :

N = tu/T — во временной области, где T =1/fд ,

N = fд/f1 — в частотной области,где f1 = 1/tu .

Дискретномусигналу соответствует периодический спектр, дискретному спектру будет соответствоватьпериодический сигнал. В этом случае отсчеты X(nT) = {X0; X1; … XN-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательностиX(jkw1),период, который равен wд.Соответственно, отчеты X(jkw1) ={X0; X1; … XN-1} являются коэффициентамиряда Фурье периодической последовательности X(nT), период, который равен tu.

Связьотсчетов сигнала и спектра устанавливается формулами дискретного преобразованияФурье (ДПФ). Формулы ДПФ следуют из формул Фурье для дискретных сигналов (1.5),если непрерывную переменную w заменитьдискретной переменной kw1,то есть

w ® kw1, dw ® w1.

Послезамены переменной в (1.5) получим

X(jkw1) =/>x(nT)/>,

x(nT) =/>/>X(jkw1)/>.

Отсюдапосле подстановки w1 = wд/N,T = 2p/wдформулы ДПФ принимают окончательный вид

X(jkw1) =/>x(nT)/> — прямое ДПФ ,

x(nT) =/>X(jkw1)/> — обратное ДПФ (1.10)

Сигналс ограниченным спектром имеет, строго говоря, бесконечную протяженность во времении, соответственно бесконечное число отсчетов и непрерывный спектр. Спектростанется непрерывным, если число отсчетов сигнала ограничить конечным числомN. Формулы (1.10) в этом случае будут выражать связь между N отсчетамидискретного сигнала и N отсчетами его непрерывного спектра, который можнополностью восстановить по его отсчетам.

Пример. Определить отсчеты спектра сигнала на Рис.1.5, а.

Здесь N = 2 поэтому X(jkw1) =/>x(nT) e-jpkn следовательно

X(j0w1)=/>x(nT)e-j0 = x(0T)+ x(1T) = a + b

X(j1w1)=/>x(nT)e-jpn= x(0T) e-j0 + x(1T) e-jp = a — b

график отсчетов спектра приведен на Рис. 1.5, б, где w1 = wд/N =0,5wд.

Сигналс конечным числом отсчетов N имеет спектр, который повторяет с конечной погрешностьюспектр сигнала с бесконечным числом отсчетов: спектры совпадают на отсчетныхчастотах kw1 иотличаются на других частотах. Отличие спектров тем меньше, чем больше N. Всамом деле, реальные сигналы обладают конечной энергией и, следовательно,начиная с некоторого номера отсчета остальными номерами можно пренебречь ввидуих малости, что не окажет заметного влияния на спектр сигнала.

Пример.Осуществить дискретизацию экспоненциального импульса X(t) = Ae-at = 1 e-10t и сравнить спектры исходного идискретного сигналов.

Решение.

Графиксигнала X(t) представлен на Рис. 1.8

ПустьT = 0,02с. В этом случае плавным соединением отсчетов сигнала (штриховая линияна Рис. 1.8) сигнал восстанавливается удовлетворительно хотя заметны искаженияв окрестности точки t = 0, поэтому ошибки наложения будут некоторым образомвлиять на спектральные характеристики.

Пусть tu = 0,4с. В этом случае

N = tu/T = 20.

Расчетспектра по формуле прямого ДПФ в точке w = 0 (k = 0)запишется так

X(j0w1) =1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 05488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 +0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0,09072 + 0,07427 + 0,06081 + 0,04979 + 0,04076 +0,03337 + 0,02732 + 0,02237 = 5,41

Истинноезначение спектра в точке w = 0 можноопределить зная спектр аналогового экспоненциального импульса

Xa(jw) =/>, следовательно Xa(j0)=/>= 0,1.

чтобысравнить спектры дискретного и непрерывного сигналов, дискретный спектр необходимоденормировать умножением на T, так как формулы Фурье для дискретных сигналовприменяются в нормированном виде. Поэтому

X(jow1) =5,41 T = 5,42Ч0,02 = 0,1082.

Такимобразом совпадение спектров Xa(jw) и X(jw) в точке w = 0 вполнеудовлетворительное. Некоторая неточность объясняется влиянием ошибок наложения.

Уместнозаметить, что выбор шага дискретизации достаточно контролировать в точках максимальнойкрутизны исходной функции X(t). В рассмотренном примере такой точкой является моментвремени t = 0.

Взаключение отметим, что формулы ДПФ упрощают расчетные процедуры по взаимномупреобразованию сигналов и их спектров, что особенно важно для техническихсистем, функционирующих В реальном масштабе времени. В этих случаях применяетсяалгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), основанный на формулах ДПФ.Ускоренная процедура расчетов по алгоритму БПФ достигается за счет исключенияповторных арифметических операций, характерных для расчетов по формулам ДПФ.

2. Дискретные цепи.

2.1 Разностное уравнение и дискретная цепь.

Непрерывныйсигнал на входе линейной системы x(t) и соответствующий сигнал y(t) на выходесвязаны дифференциальным уравнением. Замена непрерывной переменной t надискретную переменную nT приводит к замене дифференциального уравненияразностным уравнением. Каноническая форма разностного уравнения общего вида,учитывающая в явном виде наличие в системе как прямых, так и обратных связей,запишется так

y(nT) =/>am x(nT- mT) +/>y(nT -/>), (2.1)

где (M + 1) — число прямых связей,

Z — число обратных связей,

m, />, n — целые положительные числа.

Аналитическиеметоды решения разностных уравнений во многом повторяют методы решениядифференциальных уравнений и позволяют получить решение в общем виде, пригодномдля анализа работы дискретной системы. Численные методы решения приводят крезультату в виде числовой последовательности, поэтому разностное уравнение вэтом случае воспринимается как алгоритм функционирования дискретной системы,пригодной для программирования на ЭВМ работы такой системы.

Системаработа которой описывается разностными уравнениями, является дискретной так какона способна воздействовать только на отсчеты сигнала. Дискретная система идискретная цепь осуществляет, согласно (2.1) следующие операции над дискретнымисигналами.

1. Сдвиг (запаздывание) на целоечисло интервалов T

2. Умножение на некоторый коэффициентam или b/>

3. Сложение сигналов.

Перечисленныеоперации образуют полный базис, в котором можно реализовать заданное воздействиена сигнал.

Наборуопераций базиса соответствует набор типов элементов дискретной цепи: элементыпамяти (задержки), умножители и сумматоры.

Каноническаясхема дискретной цепи общего вида, соответствующая разностному уравнению (2.1),приведена на Рис. 2.1.

Разностноеуравнение с постоянными коэффициентами am, b/> описывает линейнуюдискретную цепь. Разностное уравнение с коэффициентами, зависящими от уровняотсчетов дискретного сигнала, описывает нелинейную дискретную цепь.

Разностноеуравнение составляется непосредственно по схеме цепи, учитывая возможные путипрохождения сигнала, или по системным характеристикам цепи.

Пример.Составить разностное уравнение цепи, схема которой приведена на Рис. 2.2, а.

Решение.

Здесьимеется три пути прохождения сигнала от входа до выхода цепи, по которымсигналы проходят и затем складываются в сумматоре. Поэтому разностное уравнениеимеет вид

y(nT) = 0,5 x(nT) — 0,7 x(nT — T) + 0,35 x(nT — 2T).

Пример.Определить y(nT) (Рис. 2.2, б), если x(nT) = {1,0; 0,5}.

Решение.

Разностноеуравнение цепи y(nT) = 0,5 x(nT — T) + 0,1 x(nT) численное решение разностногоуравнения :

n=0; y (0T) = 0,5 x(-T) + 0,1 x(0T) = 0,1;

n=1; y (1T) = 0,5 x(0T) + 0,1 x(1T) = 0,55;

n=2; y (2T) = 0,5 x(1T) + 0,1 x(2T) = 0,25;

n=3; y (3T) = 0,5 x(2T) + 0,1 x(3T) = 0.

Следовательно y(nT) = {0,1; 0,55; 0,25}.

Графики сигналов x(nT) и y(nT) приведены на рис(2.3, а, б).

Пример.Определить сигнал на выходе цепи (рис 2.2, в), если y(nT)={0,1; 0,1}.

Решение.

Цепь содержит обратную связь (ОС), поэтому сигнал на выходе цепи формируется как сигнал со стороны входа, так и со стороны выхода.

y(nT) = 0,4 x(nT-T) - 0,08y(nT-T)

n=0 y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0

n=1 y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4

n=2 y(0T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = 0,368 и т.д. ...

Следовательно y(nT) = {0; 0,4; 0,368; ...}.

В данном случае за счет циркуляции сигнала по цепи ОСвыходной сигнал состоит из бесконечного числа отсчетов.

Дискретная цепь, содержащая ОС, называетсярекурсивной. Дискретная цепь без ОС называется нерекурсивной.

2.2 Передаточная функция дискретной цепи.

Заменасигналов в разностном уравнении (2.1) на Z — изображения этих сигналов

/>, />

приводитк алгебраизации разностного уравнения

/>.

Алгебраизацияосуществляется применением теорем линейности и запаздывания.

Переход в область Z — изображений позволяет ввестипонятие передаточной функции дискретной цепи H(Z), которая определяется какотношение Z — изображения сигнала на выходе цепи к Z — изображению сигнала навходе цепи. Поэтому, учитывая алгебраическую форму разностного уравнения общеговида, можно записать общий вид передаточной функции дискретной цепи

/>. (2.3)

Отсюда,в частности, для нерекурсивной цепи

/>. (2.4)

Если нерекурсивная цепь состоит всего из одногоэлемента запаздывания, то />,

чтонаходит своё отражение в обозначении элементов памяти на схемах дискретныхцепей.

Передаточная функция конкретной цепи формируется попередаточным функциям её элементов согласно общих правил линейных цепей. Вчастности, для цепи содержащей ОС применяется известная формула

/>, (2.5)

где /> - передаточная функция цепи

прямого прохождения сигнала,

/> - предаточная функция цепи ОС.

Пример. Оперделить передаточную функцию цепи на рис. (2.4, а).

Решение.

/>, где />, />.

Пример. Определить передаточную функцию нарис.(2.4, б).

Решение.

/>,

где /> -передаточная функция рекурсивной части схемы,

/> -передаточная функция нерекурсивной части цепи.

Поизвестной передаточной функции можно легко определить разностное уравнениецепи.

Пример.Составить разностное уравнение цепи на рис.(2.2, в).

Решение.

Здесь />.

Поэтому />.

Отсюда />.

Следовательнопереходя к оригиналам: y(nT)= 0,4 x(nT-T) — 0,08 y(nT-T).

2.3 Общие свойства передаточной функции.

Критерий устойчивости дискретной цепи совпадает скритерием устойчивости аналоговой цепи: полюсы передаточной функции должнырасполагаться в левой полуплоскости комплексного переменного />, что оответствует положениюполюсов в пределах единичного круга плоскости

z = x + jy.

Передаточная функция цепи общего вида записывается, согласно(2.3), следующим образом:

/>, (2.6)

гдезнаки слагаемых учитываются в коэффицентах ai, bj, приэтом b0=1.

Свойства передаточной функции цепи общего вида удобносформулировать в виде требований физической реализуемости рациональной функцииот Z: любая рациональная функция от Z может быть реализована в видепередаточной функции устойчивой дискретной цепи с точностью до множителя H0ЧHQ,если эта функция удовлетворяет требованиям:

1. коэффициенты ai, bj — вещественные числа,

2. корни уравнения V(Z)=0, т.е.полюсы H(Z), расположены в пределах единичного круга плоскости Z.

Множитель H0ЧZQучитывает постоянное усиление сигнала H0и постоянный сдвиг сигналапо оси времени на величину QT.

2.4 Частотные характеристики.

Комплекспередаточной функции дискретной цепи

определяетчастотные характиристики цепи

/>-АЧХ, /> - ФЧХ.

Наосновании (2.6) комплекс передаточной функции общего вида запишется так

/>.

Отсюдаформулы АЧХ и ФЧХ

/>, (2.7)

/>, (2.8)

Частотные характеристики дискретной цепи являются периодическимифункциями. Период повторения равен частоте дискретезации wд.

Частотные характеристики принято нормировать по осичастот к частоте дискретезации

/> , (2.9)

где W — нормированная частота.

В расчетах с приенением ЭВМ нормирование по частотестановится необходимостью.

Пример. Определить частотные характеристики цепи,передаточная функция которой

H(Z) = a0+ a1ЧZ-1.

Решение.

Комплекс передаточной функции: H(jw) = a0+ a1e-jwT.

сучетом нормирования по частоте: wT = 2p Ч W.

Поэтому

H(jw) = a0+ a1e-j2pW = a0+ a1 cos 2pW — ja1 sin 2pW .

ФормулыАЧХ и ФЧХ

H(W) =/>, j(W) = — arctg/>.

графикиАЧХ и ФЧХ для положительных значений a0и a1 при условииa0> a1приведены на рис.(2.5, а, б.)

Логарифмическиймасштаб АЧХ — ослабление А:

/>; />. (2.10)

Нули передаточной функции могут распологаться в любойточке плоскости Z. Если нули расположены в пределах единичного круга, тохарактеристики АЧХ и ФЧХ такой цепи связаны преобразованием Гильберта иоднозначно могут быть определены одна через другую. Такая цепь называется цепьюминимально-фазового типа. Если хотябы один нуль появляется за пределами единичногокруга, то цепь относится к цепи нелинейно-фазового типа, для которогопреобразование Гильберта неприменимо.

2.5 Импульсная характеристика. Свертка.

Передаточная функция характеризует цепь в частотнойобласти. Во временной области цепь характеризуется импульсной характеристикой h(nT). Импульсная характеристика дискретной цепи представляет собой реакциюцепи на дискретную d — функцию.Импульсная харакетеристика и передаточная функция являются системнымихарактеристиками и связаны между собой формулами Z — преобразования. Поэтомуимпульсную реакцию можно рассматривать как некоторый сигнал, а передаточнуюфункцию H(Z) — Z — изображение этого сигнала.

Передаточная функция является основной характеристикойпри проектировании, если нормы заданы относитеольно частотных характеритиксистемы. Соответственно, основной характеристикой является импульснаяхарактеристика, если нормы заданы во временной обрасти.

Импульсную характеристику можно определитьнепосредственно по схеме как реакцию цепи на d — функцию, илирешением разностного уравнения цепи, полагая, x(nT) = d (t).

Пример.Определить импульсную реакцию цепи, схема которой приведена на рис.2.6, б.

Решение.

Разностноеуравнение цепи y(nT)=0,4 x(nT-T) — 0,08 y(nT-T).

Решение разностного уравнения в численном виде приусловии, что x(nT)=d(t)

n=0; y(0T) = 0,4 x(-T) — 0,08 y(-T) = 0;

n=1; y(1T) = 0,4 x(0T) — 0,08 y(0T) = 0,4;

n=2; y(2T) = 0,4 x(1T) — 0,08 y(1T) = -0,032;

n=3; y(3T) = 0,4 x(2T) — 0,08 y(2T) = 0,00256; и т.д. ...

Отсюда h(nT) = {0; 0,4; -0,032; 0.00256; ...}

Дляустойчивой цепи отсчеты импульсной реакции с течением времени стремятся кнулю.

Импульснуюхарактеристику можно определить по известной передаточной функции, применяя

а. обратное Z-преобразование,

б. теорему разложения,

в. теорему запаздывания к результатам деления полиномачислителя на полином знаменателя.

Последнийиз перечисленных способов относится к численным методам решения поставленной задачи.

Пример. Определить импульсную характеристику цепи нарис.(2.6, б) по передаточной функции.

Решение.

ЗдесьH(Z) =/>.

Разделим числитель назнаменатель

Применяя к результату деления теорему запаздывания,получаем

h(nT) = {0; 0,4; -0,032; 0.00256; ...}

Сравнивая результат с расчетами по разностномууравнению в предидущем примере, можно убедиться в достоверности расчетныхпроцедур.

Предлагается определить самостоятельно импульснуюреакцию цепи на рис.(2.6, а), применяя последовательно оба рассмотренныхметода.

В соответствии сопределением передаточной функции, Z — изображение сигнала на выходе цепи можноопределите как произведение Z — изображения сигнала на входе цепи ипередаточной функции цепи:

Y(Z) = X(Z)ЧH(Z). (2.11)

Отсюда,по теореме о свертке, свертка входного сигнала с импульсной характеристикойдает сигнал на выходе цепи

y(nT) =/>x(kT)Чh(nT — kT) =/>h(kT)Чx(nT — kT). (2.12)

Определение выходного сигнала по формуле сверткинаходит применение не только в расчетных процедурах, но и в качестве алгоритмафункционирования технических систем.

Пример.

Определить сигнал на выходе цепи, схема которойприведена на рис.(2.6, б), если x(nT) = {1,0; 0,5}.

Решение.

Здесь h(nT) = {0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...}

Расчёт по (2.12)

n=0: y(0T) = h(0T)x(0T) = 0;

n=1: y(1T) = h(0T)x(1T) + h(1T) x(0T) = 0,4;

n=2: y(2T)= h(0T)x(2T) + h(1T) x(1T) + h(2T) x(0T) =0,168;

Таким образом y(nT) = { 0; 0,4; 0,168;… }.

В техническихсистемах вместо линейной свертки (2.12) чаще применяется круговая или циклическаясвертка .

2.6 Круговая свёртка .

Реальным сигналам соответствуют числовыепоследовательности конечной длины. Конечную числовую последовательность можнопродолжить по оси времени путём периодического повторения и получить периодическуючисловую последовательность. Периодической числовой последовательностисоответствует спектр в виде периодической числовой последовательности. Обе последовательностиимеют одинаковый период N и связаны формулами ДПФ.

Замена реальных последовательностей периодическимипозволяет повысить эффективность использования вычислительной техникиприменительно к дискретным сигналам (скоростная свёртка, БПФ и др. )

Свёрткапериодических последовательностей называется круговой и определяется наинтервале равном одному периоду.

y(nT) =/>x(kT)Чh(nT — kT), (2.13)

Линейная и круговаясвёртки дают одинаковый результат, если соответствующим образом выбрать вкруговой свёртке размер исходных последовательностей. Дело в том, что свёрткаконечных последовательностей приводит к последовательности, размер которой Nпревышает длину каждой из исходных последовательностей и, по определению, равен

N = N1 + N2 — 1, (2.14)

где N1 — длина последовательности x(nT),

N2 — длина последовательности h(nT).

Поэтомузамена исходной последовательности на периодическую выполняется с такимрасчётом, чтобы длина периода получилась равной N, добавляя с этой целью нули вкачестве недостающих элементов.

Пример.

Вычислить круговую свёртку по данным примера впараграфе 2.4.

Решение.

Здесь, пренебрегая малыми значениями отсчётовпредставим импульсную реакцию в виде конечной числовой последовательности h(nT)={0; 0,4; -0,032}.

Отсюда,поскольку x(nT) = {1,0; 0,5}, с учётом (2.14)

N1 = 2,N2 = 3,N = 4.

Следовательноисходные числовые последовательности запишутся так

x(nT) = {1,0; 0,5; 0; 0}, h(nT) ={0; 0,4; -0,032; 0}.

Отсюда,применяя (2.13), получаем

n=0: y(0T) = x(0T)h(0T) + x(1T)h(-1T) + x(2T)h(-2T) + x(3T)h(-3T) =0;

n=1: y(1T) = x(0T)h(1T) + x(1T)h(0T) + x(2T)h(-1T) + x(3T)h(-2T) =0,4;

n=2: y(0T) = x(0T)h(2T) + x(1T)h(1T) + x(2T)h(0T) + x(3T)h(-1T) =0,168;

n=3: y(0T) = x(0T)h(3T) + x(1T)h(2T) + x(2T)h(1T) + x(3T)h(0T) =-0,016;

Следовательно y(nT)= {0; 0,4; 0,168; -0,016}, чтосовпадает с расчётами по линейной свёртке в примере параграфа 2.4.

Графики периодических числовых последовательностейx(nT), h(nT), y(nT) приведены на рис.(2.7).

К периодическим числовым последовательностям,полученным изложенным выше способом, можно применить ДПФ, перемножитьрезультаты и после выполнения обратного ДПФ получить последовательность y(nT),совпадающую с результатами расчётов по круговой свёртке.

2.7. Энергия дискретного сигнала.

Корреляция и энергетический спектр.

В качестве энергии дискретного сигнала принята мера

Wx =/>x2(nT), (2.15)

соответственнов частотной области, согласно равенству Парсеваля,

Wx =/>X2(w)dw =/>X(jw)X*(jw)d(jw), (2.16)

где X(jw) = X(w)ejj(w) — спектр сигнала x(nT),

X*(jw) = X(w)e-jj(w) — спектр x(-nT) в соответствии с теоремой о спектреинверсного сигнала,

X2(w) = X(jw)ЧX*(jw) = Sx(jw) — энергетическийспектр сигнала x(nT).

На рис.(2.8) показан в качестве примера сигнал x(nT) иего инверсная копия x(-nT) для некоторого частного случая

Энергетический спектр выражает среднюю мощностьсигнала x(nT), приходящуюся на узкую полосу частот в окрестности переменной w.

Во временной области энергетическому спектрусоответствует свертка инверных сигналов, что определяет корреляционную функциюSx(nT) сигнала x(nT).

/>. (2.17)

Согласно (2.17) и (2.15) корреляционная функция вточке n = 0 равна энергии сигнала, т. е.

/> (2.18)

Для периодических дискретных сигналовкорреляционная функция и энергетический спектр связаны формулами ДПФ

/>. (2.19)

Отсюдаполучаются расчётные формулы энергии периодических дискретныхпоследовательностей

/>, (2.20)

чтосоответствует равенству Парсеваля для дискретных периодических сигналов.Корреляционная функция таких сигналов определяется по формуле круговой свёртки

/>.

Расчет энергии дискретного сигнала можно выполнить принеобходимости, применяя равенство Парсеваля относительно Z — изображенийсигнала и его инверсной копии (теорема энергий)

/>, (2.21)

где /> - Z — изображение корреляционной функции.

Умесно заметить, что применительно к случайнымсигналам корреляционная функция чаще определяется формулой с весовым множителем/>, т.е.

/>,

соответственнодля энергетического спектра

/>,

чтоприводит к результату, при котором среднее значение случайной величины сростом N сходится к постоянной величине.

Свертка сигнала с инверсной копией другого сигналаназывается взаимной корреляцией этих сигналов.

2.8 Расчёт энергии сигнала в дискретной цепи.

В любой точке дискретной цепи энергию сигнала можновычислить по известному сигналу или по корреляционной функции сигнала в этойточке. Корреляционную функцию сигнала в некоторой точке цепи можно определитьне только по известному сигналу, но и по известной корреляционной функциивходного сигнала и импульсной реакции

/>,(2.22)

где /> -корреляционная функция сигнала на входе цепи,

/> -корреляционная функция импулсного отклика в данной точке,

/> -условный знак свёртки.

Докажем равенство (2.22).

/>.

Вэтом выражении в силу линейности цепи сигналы можно сочетать различнымиспособами. Поэтому

/>,

чтодоказывает справедливость (2.22). Следовательно

/>. (2.23)

Автокорреляционная функция является чётной функцией,поэтому применяя круговую свёртку (2.22), периоды /> и/> необходимо выровнять стаким расчетом, чтобы сохранить чётный характер этих функций.

Пример. Определить энергию сигнала на выходе цепи,если

x(nT) = {0,5; 0,5}, h(nT) = {1,0; 0,5}.

Решение.

1. Расчет во временной области.

Определяемсигнал на выходе цепи по формуле круговой свёртки

Отсюда/>.

2. Расчёт в частотной области.

Вначаленеобходимо определить отсчёты спектра сигнала по формуле прямого ДПФ

/>.

Отсюда,согласно равенству Парсеваля,

/>.

3. Расчёт по формуле (2.23).

Определяемкорреляционные функции /> и />.

Следовательно,/>.

увеличиваяпериод /> и /> до N=5, получаем

/>, />.

На рис.(2.9, а) показана периодическаяпоследовательность /> до увеличенияпериода, на рис. (2.9, б) — после увеличения периода .

Согласно (2.22)

/>.

Отсюда />.

В заключении рассмотрим важный часный случайприменения формулы (2.23).

Для случайных сигналов с нулевым средним

/>, (2.24)

где /> -дисперсия случайного сигнала x(nT).

Отсюда,учитывая (2.23),

/>.

Следовательно

/>, (2.25)

Формула (2.25) применяется, в частности, для расчёташумов квантования в цифровых цепях .

2.9 Секционирование.

Реальные сигналы могут иметь значительнуюпротяжённость во времени, поэтому обработка таких сигналов на ЭВМосуществляется посекционно. Расчёты по каждой секции /> выполняются по формулекруговой свёртки

/>,

где h(nT) — импульсная характеристика, определяющаяспособ обработки сигнала .

Каждая секция /> совмещаетсяс предидущей секцией с учётом сдвига между секциями входного сигнала .

Применяются два основных метода секционирования: методперекрытия с суммированием и метод перекрытия с накоплением.

1. Метод перекрытия с суммированием.

Сигналx(nT) разбивается на секции длиной L. Отсюда/>-длина секции />, /> - длина секции />, /> - длина /> .

Длина секции /> большедлины секции /> на />. Поэтому смежные секции выходногосигнала /> перекрываются на интерваледлиной />. На интервале перекрытиянеобходимо выполнить арифметические операции по суммированию отсчётов.

2. Метод перекрытия с накоплением.

Сигналx(nT) разбивается на секции длиной L. Затем каждая секция наращивается слеваучастком предидущей секции длиной /> .Поэтому

/> -длина />, /> - длина />, /> - длина />.

Искусственное удлинение каждой секции приводит к тому,что первые и последние /> отсчётов секции /> являются ложными и поэтомуотбрасываются. Оставшиеся L отсчётов каждой секции, являются истинными, поэтомусмежные секции /> совмещаются безперекрытия и без зазора.

Пример. Осуществить посекционную обработку сигнала

x(nT) = { 1,0; 0,5 }, если h(nT)= { 1,0; 0,5 }.

Решение.

Применимметод перекрытия с накоплением.

Пусть L = 1. Отсюда />;

/>,поэтому после искусственного удлинения секций:

/>.

Выравниваемпериоды сигналов для применения круговой свёртки:

N= N1 + N2 — 1 = 3. Следовательно x0(nT)= {0; 0,4; 0}, x1(nT)= {0,4; 0,8; 0}, x2(nT)= {0,8; 0; 0} Послесвёртки по каждой секции и отбрасывания /> отсчётовполучаем: /> отсюда

y(nT)={0,4; 1,0; 0,4}.

Метод перекрытия с накоплением получилпреимущественное распространение, поскольку здесь не требуется проведениядополнительных арифметичкских операций после обработки каждой секции.

3. Цифровые фильтры.

3.1 Цифровая система обработки сигналов.

Обработка дискретных сигналов осуществляется какправило в цифровой форме: каждому отсчёту ставится в соответствие двоичноекодовое слово и, в результате, действия над отсчётами заменяются на действиянад кодовыми словами. Таким образом дискретная цепь становится цифровой цепью,цифровым фильтром (ЦФ). Перевод отсчётов в двоичные кодовые слова происходит ваналогово-цифровом преобразователе (АЦП). На выходе ЦФ (рис.3.1) осуществляетсяобратная операция: кодовые слова в цифро-аналоговом преобразователепревращаются в отсчёты дискретного сигнала и, наконец, на выходе,синтезирующего фильтра (СФ) формируется обработанный аналоговый сигнал.

Дискретная и цифровая цепи описываются одинаковымиуравнениями. Отличие состоит в приближённом характере представления отсчётовсигнала кодовыми словами конечной размерности (ошибки квантования). Поэтомусигнал на выходе цифровой цепи отличается от идеального варианта на величинупогрешности квантования.

Цифровая техника позволяет получить высокое качествообработки сигналов несмотря на ошибки квантования: ошибки (шумы) квантованияможно привести в норму увеличением разрядности кодовых слов. Рациональные способыконструирования цифровой цепи также способствуют минимизации уровня шумовквантования.

Расчёт цифровой цепи по заданным требованиям к еёхарактеристикам имеет ряд принципиальных особенностей в зависимости от наличияобратной связи. Эти особенности являются следствием конечной длины импульсногоотклика нерекурсивного ЦФ.

Поэтомунерекурсивные фильтры содержат большое число элементов цепи, но вместе с темимеют целый ряд важных достоинств: нерекурсивные ЦФ всегда устойчивы, позволяютстроить фильтры с минимальной линейной фазой, отличаются простой настройкой. Сучётом изложенного становятся понятны причины, по которым методы расчётанерекурсивных ЦФ и рекурсивных цифровых фильтров принято рассматриватьотдельно.

3.2 Расчёт нерекурсивных ЦФ общего вида.

Цель расчёта нерекурсивных цифровых фильтров (рис.3.2, а) заключается в расчёте значений коэффицентов /> иих числа N по допускам на системные характеристики, а так же в расчёте разрядностикодовых слов и выборе оптимального динамического диапазона ЦФ по нормам напомехозащищённость сигнала и вероятность перегрузки системы, что определяетсяэффектами конечной разрядности кодовых слов.

Требования к системным характеристикам чаще задаютсотносительно одной из них: импульсной или частотной. Поэтому различают расчётЦФ во временной области и расчёт ЦФ в частотной области.

Расчёт ЦФ во временной области.

Требуемая импульсная характеристика в общем случаеимеет бесконечную протяжённость во времени. Поэтому вначале необходимо задатьсяконечным числом N первых отсчётов требуемой импульсной характеристики

/>.

Оставшиесяотсчёты по причине их малости отбрасывают и определяют погрешность приближения,которую можно оценить, например, по среднеквадратичному критерию близости.

Коэффициенты фильтра /> принимаютсяравными соответствующим отсчётам требуемой импульсной характеристики. Послерасчёта разрядности коэффицентов, шумов квантования и масштабирующихкоэффицентов остаётся оценить погрешность реализованной импульснойхарактеристики по отношению к требуемой и принять решение о необходимостиповторного расчёта.

Расчёт ЦФ в частотной области.

Вначале необходимо продолжить требуемую частотнуюхарактеристику на диапазон [0,5wд; wд] поправилам комплексно-сопряжённой симметрии (рис. 3.2, б), что определяетсявещественным характером импульсного отклика. По характеристикам следуетопределить N комплексных частотных отсчётов

/>,

гдечисло N выбирается ориентировачно с таким расчётом, чтобы плавным соединениемточек /> и /> требуемые кривыевосстановились без заметных искажений.

Расчёт коэффицентов фильтра выполняется по формулеобратного ДПФ

/> (3.1)

Затем необходимо расчитать реализованные частотныехарактеристики по формулам, которые следуют из выражения для передаточнойфункции фильтра.

/>,или />. (3.2)

Остаётсясравнить требуемые и реализованные характеристики и принять решение онеобходимости повторного расчёта.

Расчёты по учёту эффектов конечной разности кодовыхслов остаются

прежними.

3.3. Схемы и характеристики фильтров с линейной фазой

Нерекурсивный фильтр позволяет получить четную илинечетную импульсную характеристику и, как результат, линейную ФЧХ илипроизвольной АЧХ, что следует из теоремы о спектре четных и нечетных сигналов:спектр фаз четных и нечетных сигналов является линейным.

Фильтры с четными импульсными характеристикаминазываются симметричными, с нечетными — антисимметричными. Каждый из отмеченныхтипов фильтров имеет свои особенности в зависимости от четности числа отводовN, что удобно рассмотреть на конкретных примерах.

Симметричные фильтры с нечетным N.

На рис. 3.3, а приведена схема и импульснаяхарактеристика симметричного фильтра для случая N=5. Передаточная функция такойцепи:

H(Z) = a2 + a1Z-1+ a0Z-2 + a1Z-3 + a2Z-4= Z-2 [a0+ a1 (Z + Z-1) + a2(Z2 + Z-2)]

Отсюда, после подстановки Z = e jwT и с учетом формулы Эйлера

H (jw) = e -j2wT (a0+ 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT)

следовательно, формулы АЧХ и ФЧХ

H(w) = a0+ 2a1 cos wT + 2a2cos2wT,j(w) = -2wT

График АЧХ и графики поясняющие характер АЧХ — cos wT, cos 2wT — приведены нарис. 3.4, а.

Симметричные фильтры с четным N.

На рис. 3.3, б приведены схема и импульсная характеристикасимметричного фильтра для случая N=4. Передаточная функция фильтра

H(Z) = a2 + a1Z-1+ a1Z-2 + a2Z-3 = Z-1,5[a1 (Z0,5 + Z-0,5) + a2 (Z1,5+ Z-1,5)]

Отсюда H (jw) = e -j1,5wT (2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos1,5wT)

Соответствующие формулы АЧХ и ФЧХ

H(w) = 2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5wT, j(w) = -1,5wT

Характер АЧХ и поясняющие графики — на рис. 3.4, б.

Антисимметричные фильтры с нечетным N.

На рис. 3.5, а приведены схема и импульснаяхарактеристика антисимметричного фильтра для случая N=5.

Передаточная функция фильтра

H(Z) = a2 + a1Z-1 +0Z-2 — a1Z-3 — a2Z-4 = Z-2[a1 (Z — Z-1) + a2 (Z2 — Z-2)]

отсюда H(jw)= e -j2wT j(2a1sin wT+ 2a2 sin2wT)

Поэтому формулы АЧХ и ФЧХ

H(w)= 2a1 sin wT+ 2a2 sin 2wT,j(w)= />-2wT

Характер АЧХ и поясняющие графики — на рис. 3.6, f.

Антисимметричные фильтры с четным N.

Схема и импульсная характеристика для случая N=4приведены на рис. 3.5, б. Передаточная функция

H(Z) = a2 + a1Z-1 — a1Z-2 — a2Z-3 = Z-1,5[a1 (Z0,5 — Z-0,5) + a2 (Z1,5 — Z-1,5)]

Отсюда

H (jw)= e -j1,5wT j(2a1sin 0,5 wT+ 2a2sin 1,5wT)

Формулы АЧХ и ФЧХ

H(w)= 2a1 sin 0,5 wT+ 2a2 sin 1,5wT,j(w)= />-1,5wT

Характер АЧХ и поясняющие графики — на рис. 3.6, б.

3.4 Общие свойства фильтров с линейной фазой

Анализ рассмотренных вариантов фильтров с линейнойфазой позволяет сделать выводы общего характера.

1. Симметричные фильтры.

H(0) № 0, j(w) = -/>wT (3.3)

а. Если N — нечетное, то АЧХ — четная функция

H(w) = а0+ 2 />аm cos mwT (3.4)

Применяется при условии H(0,5wд) № 0

б. Если N — четное, то АЧХ — нечетная функция

H(w) = 2 />аm cos [(m — 0,5)wT] (3.5)

Применяется при условии H(0,5wд) =0

2. Антисимметричные фильтры

H(0) = 0, j(w) = />-/>wT (3.6)

а. Если N — нечетное, то АЧХ — нечетная функция

H(w) = 2 />аm sin m wT (3.7)

Применяется при условии H(0,5wд) =0

б. Если N — четное, то АЧХ — четная функция

H(w) = 2 />аm sin [(m — 0,5)wT] (3.8)

Применяется при условии H(0,5wд) № 0

На рис. 3.7, а, б приведены графики, поясняющиеотмеченные выше свойства.

Если требуемая передаточная функция имеет в качествемножителя мнимую единицу, то применяются исключительно антисимметричныефильтры. Например, передаточная функция дифференциатора или интегратора

H(jw) = jw, H(jw) = 1 / jw

В этом случае условия

Н(0) = 0, или H(0,5wд) =0, или H(0,5wд) № 0

при необходимости следует воспроизвести искусственно.

3.5. Расчет ЦФ с линейной фазой. Метод взвешивания.

Расчет фильтров с линейной фазой начинается с выборатипа фильтра (симметричный, антисимметричный) и четности N в соответствии собщими свойствами фильтров с линейной фазой и требуемой АЧХ.

а. Если Н(0) № 0, то фильтрсимметричный. Отсюда:

N — нечетное, если H(0,5wд) № 0

N — четное, если H(0,5wд) =0

б. Если Н(0) = 0, то фильтр антисимметричный. Отсюда:

N — нечетное, если H(0,5wд) =0

N — четное, если H(0,5wд) № 0

После выбора типа фильтра и четности N необходимопродолжить требуемую АЧХ на диапазон [0,5wд;<sub/>wд] всоответствие с графиками на Рис. 3.7, а, б. Выбор расчетной формулы для ФЧХ,т.е. (3.3) или (3.6), определяется типом фильтра.

После выполненных процедур расчет фильтраосуществляется по общим правилам расчета не рекурсивных ЦФ.

Пример. Рассчитать ФНЧ с линейной фазой по следующимисходным данным:

ПП ® [0; 200] Гц,переходная область ® [200; 300] Гц.

Решение

Выбираем fд = 800 Гц. Отсюда посленормирования частот W = />

ПП ® [0; 0,25], ПН ® [0,375; 0,5].

Здесь Н(0) № 0, поэтомуфильтр симметричный.

H(0,5wд) =0, поэтому N — четное.

Следовательно, требуемую АЧХ необходимо продолжить надиапазон [0,5wд;<sub/>wд]нечетным образом (Рис. 3.8, а).

Расчет начинается с выбора величины N.

Пусть N = 8. Отсюда интервал между выборками W1 = />= 0,125.

Формула для ФЧХ (3.3): j(w) = -/>wT .Отсюда

j (W) = -7pW, или длячастот выборки j (kW1) =-7pW1,

Отсчеты АЧХ — по требуемой АЧХ на графике Рис. 3.8, а.

Следовательно, комплексные частотные отсчеты:

Н(jkW1) ={1e j0; 1e -j0,875p; 1e -j1,75p; 0; 0;0; -1e -j5,25p; -1e -j6,125p }

Отсюда расчет импульсной характеристики по формулеобр. ДПФ

h (nT) = />H (jkW1)e j (2p/N) kn =

={0,065;-0,165; 0,025; 0,53; 0,53; 0,025; -0,165; 0,065}

что соответствует схеме фильтра на Рис. 3.8, б

Расчетная формула АЧХ такого типа фильтра — (3.5).

Поэтому Н(W) = 1,06 cos pW + 0,05 cos 3pW — 0,33 cos 5pW + 0,13 cos 7pW

Результаты расчета реализованной АЧХ приведены награфике Рис. 3.8, а (штриховая линия).

В окрестности точек разрыва требуемой АЧХ (в данномпримере это частоты 0,25 и 0,75) отклонение от нормы реализованныххарактеристик получается значительным вследствие влияния эффекта Гиббса.Ослабить влияние эффекта Гиббса удается введением весовой функции (методвзвешивания) к импульсной характеристике.

Новая импульсная характеристика формируется поправилу:

h' (nT) = W (nt) * h (nT)

Где W (nT) — весовая функция или «сглаживающееокно».

Находят применение различные типы окон, например«окно» Хэмминга:

W(nT) = 0,54 + 0,46 cos [2p />], (3.9)

где n= 0, 1, 2,… (N — 1)

Для рассматриваемого примера

W (nT) = {0,08; 0,244; 0,64; 0,96; 0,96; 0,64; 0,244;0,08}

h' (nT) = {0,005; -0,04; 0,016; 0,51; 0,51; 0,016;-0,04; 0,005}

Отсюда новые коэффициенты фильтра и новая передаточнаяфункция

H'(Z) = 0,005 — 0,04Z-1 + 0,016Z-2+ 0,51Z-3 + 0,51Z-4 + 0,016Z-5 — 0,04Z-6+

+ 0,005Z-7

График АЧХ с учетом сглаживающего окна приведен наРис. 3.9. Расчетная функция получена из формулы для Н'(Z) после подстановки

Z = ejwT = ej2pW.

Сравнивая реализованные АЧХ на Рис. 3.8, а и Рис. 3.9,можно убедиться в улучшении качества аппроксимации требуемой АЧХ при введении«окна».

С ростом N положительный эффект от применения«сглаживающего окна» возрастает.

В рассмотренном примере нормы на отклонениереализованной АЧХ от требуемой не заданы. Если эти нормы не выполняются, то…(строчка ксерокопии не влезла)

3.6. Метод частотной выборки

Коэффициенты не рекурсивного ЦФ (Рис. 3.2, а)соответствуют отсчетам импульсной характеристики. Схему не рекурсивного ЦФможно преобразовать таким образом, чтобы коэффициенты фильтра соответствовалиотсчетам другой системной характеристики — передаточной функции. Новая схема ЦФявляется основой конструирования фильтров по методу частотной выборки.

3.6.1 Схема фильтра.

Схема фильтра формируется по результатам эквивалентныхпреобразований передаточной функции не рекурсивного ЦФ

H(Z) = />an Z-n

где в соответствии с формулой обратного ДПФ

an = h (nT) = />H(jkw1)ej(2p/N)kn

следовательно

Н(Z) = /> H (jkw1)ej(2p/N)knZ-n = /> (ej(2p/N)knZ-1)n

Применяя здесь формулу суммы N первых членовгеометрической прогрессии

получаем

H(Z) = />= P(Z) /> (3.10)

где

P(Z) = 1 — dZ-N, Fk(Z) = 1 / (1- bkZ-1), d = ej2pk, bk = e j2pk/N (3.11)

Схема фильтра, соответствующего (3.10), приведена наРис. 3.10, а. Схемы звеньев фильтра, соответствующих (3.11), приведены на Рис.3.10, б.

Схема фильтра на рис. 3.10 применяется с учетомпоправок, обусловленных особенностями расположения нулей и полюсов передаточнойфункции.

Нули и полюсы H(Z) (3.10), т.е. корни уравнений

1- ej2pkZ-N = 0, 1 — e j2pk/NZ-1 = 0

Расположены на единичной окружности плоскости Z вточках

Zk = e j2pk/N

и взаимно компенсируется. Но компенсация получаетсянеполной по причине конечной разрядности кодовых слов, что приводит к скачкамчастотной характеристики фильтра и, более того, не исключена вероятностьсамовозбуждения цепи. Поэтому рекомендуется смещать точки Zk внутрьединичного круга на малую величину, т.е.

Zk = e -aT/Ne j2pk/N,гдеaТ < 10-5

что соответствует коэффициентам фильтра

d = e-aT ej2pk, bk = e-aT ej2pk/N (3.12)

Небольшая поправка коэффициентов фильтра (3.12)практически не отразится на характеристиках фильтра.

3.6.2 Частотная характеристика фильтра

Частотная характеристика фильтра по методу частотнойвыборки получается подстановкой

Z = ejwT, />

в (3.10). Отсюда, с учетом формулы Эйлера,

H(jw)= /> />

следовательно

/> (3.13)

что соответствует ряду Котельникова для спектровдискретных сигналов. Таким образом, частотную характеристику не рекурсивного ЦФможно представить как в форме ряда Фурье, так и в форме ряда Котельникова.

Каждая из отсчетных функций в (3.13)

/> (3.14)

на частоте w = kw1принимает значение частотной выборки H(jkw1);остальные отсчетные функции на этой частоте обращаются в нуль. На графике Рис.3.11 показана в качестве примера некоторая АЧХ и ее составляющие — равносмещенные отсчетные функции для случая N=8, где отсчетные функциипредставлены главным лепестком, кроме модуля отсчетной функции при К=0, котораяизображена полностью.

С учетом вышеизложенного становится понятным, чторегулировка частотных отсчетов фильтра по методу частотной выборки являетсявзаимонезависимой подобно взаимонезависимой регулировке отсчетов импульснойхарактеристики не рекурсивного ЦФ по схеме на Рис. 3.2, а.

Расчет фильтра начинается с ориентировочного выборавеличины N. Коэффициенты фильтра приравнивают к соответствующим отсчетамтребуемой частотной характеристики. Особый случай имеет место в точках разрывахарактеристики: отсчеты, расположенные в окрестности точек разрыва, т.е. впереходной области, необходимо выбирать с таким расчетом, чтобы получитьудовлетворительное приближение реализованной характеристики к требуемой вдиапазоне частот, прилегающем к переходной области. Наиболее часто в переходнуюобласть попадает 1 или 2 отсчетных частоты. В этом случае удовлетворительныйрезультат аппроксимации можно получить простым подбором модуля отсчетов впереходной области.

После проверочного расчета частотных характеристик поформуле 3.10 или 3.13 принимается решение о необходимости повторного расчета.

3.6.3. Схема фильтра с вещественными отводами

Реализация фильтров по схеме на Рис. 3.10, а сопряженас некоторыми особенностями, обусловленными комплексным характером коэффициентовв отводах. Поэтому на практике получил распространение еще один вариант схемытакого фильтра, отличающийся вещественным характером коэффициентов.

Фильтр с вещественными коэффициентами получается засчет объединения каждой пары отводов с индексами К и (N-K), которая являетсякомплексно-сопряженной по причине комплексно-сопряженной симметрии частотныххарактеристик фильтра относительно частоты 0,5wд. Врезультате

/> (3.15)

где a0k= cos jk, a1k = -bk cos (jk — qk), b1k = -2bk cos qk, b2k = b2k

Схема вещественного отвода, соответствующего (3.15),приведена на Рис. 3.12.

Завершая обсуждение фильтра с частотной выборкойследует отметить еще одно важное качество таких фильтров: в схеме отсутствуютзвенья, соответствующие нулевым значениям требуемой АЧХ. В результате,например, схема частотно-селективного фильтра существенно упрощается, сохраняяпри этом возможность получения линейной фазы.

3.7. Расчет рекурсивных фильтров. Метод билинейногопреобразования.

Методы расчета рекурсивных ЦФ можно разделить напрямые и косвенные. Прямые методы предполагают расчет непосредственно рекурсивногоЦФ, косвенные используют в качестве промежуточного этапа расчет аналоговогофильтра (АФ).

К числу косвенных методов относится метод билинейногопреобразования, основанный на таком преобразовании частот, при которомчастотная ось сжимается до конечных размеров. Формула частотного преобразования

/> или/>

где w — реальнаячастота, т.е. частота проектируемого ЦФ, />-расчетная частота, т.е. частота вспомогательного АФ, />, /> — соответствующиекомплексные частоты.

На рис. 3.13, а приведен график зависимости расчетнойчастоты от реальной частоты, на Рис. 3.13, б — пример соответствия кривых АЧХфильтров АФ и ЦФ.

Связь комплексных переменных вспомогательного АФ иреального ЦФ, т.е. /> и Z определяетсяравенством

/> (3.17)

Формула (3.17) получается подстановкой в (3.16) Z = epT.В результате

Перечислим последовательность этапов расчета ЦФметодом билинейного преобразования.

1. Перевести требуемые характеристики и нормы ЦФ всоответствующие требования к АФ, применяя формулу

2. Рассчитать передаточную функцию АФ />, применяя методы расчетааналоговых фильтров.

3. Определить передаточную функцию ЦФ H(Z) поизвестной />

4. Построить схему ЦФ по H(Z).

5. Выполнить необходимые расчеты по учету эффектовконечной разрядности.

Пример. Рассчитать рекурсивный ЦФ нижних частотметодом билинейного преобразования по следующим исходным данным:

ПП ® [0; 200] Гц,перех. область ® [200; 300] Гц,DА= 3 дБ, Аmin = 15 дБ.

Решение

Выбираем fд = 800 Гц.

Контрольные частоты для перевода норм ЦФ в нормы АФ:0; 200 Гц; 300 Гц.

Расчетная формула для преобразования частот

В результате

f = 0 ® />® Wн = 0

f = 200 Гц ® />1600 ® Wн = 1

f = 300 Гц ® />3840 ® Wн =2,4

где Wн = /> - нормированная частотаФНЧ,

/>=1600 — частота среза ФНЧ.

Основная формула расчета АФ

В данном случае достаточно ограничитьсяаппроксимирующим полиномом Баттерворта второго порядка. Поэтому, учитывая чтоЕ=1 для DА = 3 дБ,получаем

следовательно />

Отсюда полюсы Н(рн): рн 1,2 =-0,707 ± j 0,707,

что соответствует нормированной передаточной функции

Подставляя здесь

/>,

получаем денормированную передаточную функцию АФ

После подстановки здесь (3.17), получаем передаточнуюфункцию рекурсивного ЦФ

Что соответствует схеме рекурсивного ЦФ, приведеннойна Рис. 3.14, а.

Уместно напомнить, что схему цепи по дробнойпередаточной функции от Z удобно строить в 2 этапа: вначале строится нерекурсивная часть, соответствующая числителю Н(Z), затем каскадно с ней — рекурсивная часть, соответствующая дроби, в числителе которой — единица.

График реализованной АЧХ приведен на рис. 3.14, б.

Нелинейная зависимость частотного преобразования(3.16) определяет как недостатки, так и достоинства метода билинейногопреобразования. Недостаток в том, что наклонные участки частотнойхарактеристики изменяют свой наклон тем больше, чем выше частота. Поэтому,например, линейная фаза после преобразования (3.16) становится нелинейной. Достоинствоопределяется отсутствием ошибок наложения при переходе АФ ® ЦФ, чтопозволяет получить высокие уровни ослабления в ПН при конструированиичастотно-селективных фильтров.

4. Эффекты конечной разрядности и их учет.

4.1. Шум квантования и шумовая модель.

Отсчеты сигнала на входе цифровой системы квантуются кближайшему из разрешенных уровней. Расстояния между смежными уровнями равношагу квантования D. Шагквантования и разрядность кодовых слов связаны соотношением

D = 2-b (4.1)

где b — разрядность кодовых слов.

Значение младшего разряда кодовых слов численно равношагу квантования.

Разность истинного и квантованного числа называетсяошибкой квантования. Ошибка квантования е(n) определяется неравенствами:

/>-при округлении чисел,

/>-при усечении чисел. (4.2)

На выходе цифровой системы ошибки квантованиявоспринимаются в виде шума, который называется шумом квантования.

Цифровые умножители наравне с АЦП являются источникамишума квантования; на выходе умножителей длину кодовых слов приходитсяограничивать, т.к. разрядность результата перемножения кодовых слов возрастаети равна сумме разрядностей множимого и множителя.

Расчет уровня шума квантования осуществляется пошумовой модели, которая отличается от исходной цепи наличием источников шумаквантования на выходе АЦП и каждого из умножителей.

На Рис. 4.1, а приведена в качестве примера шумоваямодель цифровой цепи, схема которой показана на Рис. 4.1, б. Обозначения дляисточников шума:

e0(n) — источник шума от АЦП

ei(n) — источник шума от каждого из Zмножителей.

4.2. Расчет шумов квантования

Уровень шума квантования можно оценить, например, повеличине максимума шума, т.е. оценка шума по условию наихудшего случая, или повеличине усредненной энергии шума, т.е. вероятностная оценка шума.

4.2.1. Расчет максимума шума

Шум квантования на выходе цепи от i-го источника шумаопределяется по формуле свертки

где ei(n) — шум на выходе i-го источникашума,

hi (n) — импульсная характеристика участкацепи от i-го источника шума до выхода цепи.

Максимум шума Еi получается в этомвыражении при условии выполнения равенств в формулах (4.2) и совпадении знаковei (k) и hi (n-k). В результате

/> -при округлении чисел,

/> -при усечении чисел.

Максимум шума на выходе цепи Е от всех источников шумаопределяется суммой максимумов, т.е. наихудший случай, от всех источников шума

/> (4.3)

где D0/2- максимум шума на выходе АЦП при округлении чисел,

D/2 — максимумшума на выходе каждого из Z умножителей при округлении чисел или условииодинаковой разрядности всех умножителей.

Оценка шума по максимуму приводит к значительномупревышению расчетного уровня шума по отношению к реальному. Поэтому чащеприменяется вероятностная оценка шума.

4.2.2. Расчет усредненной энергии шума.

Шум квантования имеет характер случайнойпоследовательности типа «белый шум». Поэтому дисперсия шума на выходецепи согласно (2.24), (2.25) определяется формулой

/>,

где />-дисперсия шума на выходе i-го источника шума. Учитывая характер шума, дисперсияшума на выходе источника будет определяться известными формулами:

/>-при округлении чисел

/>-при усечении чисел (4.4)

Следовательно, при округлении чисел

Дисперсия шума от всех источников на выходе цепи, приусловии отсутствия корреляции между источниками шума, определяется суммойдисперсий шума от всех источников

/> (4.5)

где />-дисперсия шума на выходе АЦП при округлении чисел.

/>-дисперсия шума на выходе каждого из Z множителей при округлении чисел.

Вероятностная оценка шума характеризует усредненныйуровень энергии шума, поэтому в реальных условиях не исключены кратковременныескачки помехи относительно расчетного значения.

4.3. Влияние структуры ЦФ на шум квантования.

Уровень шума квантования зависит от добротностиполюсов передаточной функции. Добротность К-ого полюса определяется по формуле

/> (4.6)

где rk — радиус полюса, Zk = /> (Рис. 4.2, а), Qк = wкТ — угол полюса, wк — частота полюса.

Действительно, поскольку Z = epT, то

следовательно

Отсюда

поэтому

Чем выше добротность полюсов, тем выше уровень шумовквантования поскольку высокой добротности соответствует длительная циркуляциясигнала по цепи ОС при условии медленного снижения уровня сигнала с каждымновым обходом петли обратной связи. Но цепь ОС содержит, как правило,умножители, поэтому с каждой новой циркуляцией по цепи ОС сигнал все больше поражаетсяпомехой.

Реализация цепи на каскадном принципе позволяетослабить негативное воздействие полюсов на помехозащищенность сигнала если, содной стороны, каждому полюсу подобрать в пару ближайший к нему нуль (присовпадении полюса и нуля влияния полюса на шум полностью исключено), с другойстороны — располагать звенья в порядке нарастания добротности полюсов.

Основой каскадной реализации является представлениепередаточной функции в виде произведения простейших сомножителей в числителе изнаменателе

/> (4.7)

где Z0m — нули H(Z), ZҐm — полюсы H(Z).

Сомножителям 1-го порядка (нули и полюсы — вещественные) соответствуют звенья 1-го порядка, сомножителям 2-го порядка(нули и полюсы — комплексно-сопряженные) соответствуют звенья 2-го порядка. Приэтом добротность вещественных полюсов тем выше, чем ближе к единичнойокружности на плоскости Z располагается полюс.

Пример. Построить цепь на каскадном принципе поизвестной передаточной функции

H(Z) = 0,8 />

Решение.

Здесь />= 0,1 ± 0,4, />= 0,1 ± 0,3

Следовательно

что соответствует схеме цепи на рис. 4.2, б.

Реализация на каскадном принципе передаточных функцийвысокого порядка может привести к значительному снижению уровня шумовквантования по сравнению с реализацией другими структурами цепи.

4.4. Квантование коэффициентов. Расчет разрядности.

Габариты, вес и стоимость специализированногопроцессора, предназначенного для обработки сигналов, тем меньше, чем корочекодовые слова и, в частности, кодовые слова, соответствующие коэффициентамцифровой цепи. Кодовые слова коэффициентов имеют, в общем случае, бесконечнуюразрядность, поэтому разрядность приходится ограничивать в пределах допусков наотклонение от нормы системных характеристик.

Спецпроцессор функционирует в системе чисел сфиксированной запятой. В этом случае дробная часть кодовых слов определяетмодуль числа, целая часть — знак числа: знаку плюс соответствует нуль, знакуминус — единица. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную удобно выполнитьв форме таблицы, в которой первая клетка отводится исходному числу, остальныеклетки — результату перемножения на два дробной части предыдущего числа. Целаячасть числа в основных клетках определяет дробную часть двоичного числа.

Пример. Дано десятичное число А(10) = 0,32.

Определить прямой код двоичного числа А(2),если разрядность двоичного числа принять равной 8.

Решение

Заполним таблицу промежуточных расчетов.

0,32

0,64

1,28

0,56

1,12

0,24

0,48

0,96

1,92

1,84

Отсюда двоичное число А(2) = 0,010100011

Последний — девятый — разряд необходим для округления.

Окончательный результат:

А(2) = 0,01010010 — после округления;

А(2) = 0,01010001 — после усечения.

Оценим погрешность полученных чисел конечнойразрядности.

При округлении

А(10)/>0*2-1+ 0*2-3 + 1*2-4 + 0*2-5 + 0*2-6 +1*2-7 + 0*2-8 = 0,3203125

Отсюда, относительная погрешность представленияисходного числа кодовым словом конечной разрядности равной 8 составляет d » 0,1 %

При усечении

А(10)/>0*2-1+ 0*2-3 + 1*2-4 + 0*2-5 + 0*2-6 +0*2-7 + 1*2-8 = 0,31640625

что соответствует d » 1,15 %

Существуют различные способы расчета разрядностикоэффициентов по допускам на системные характеристики. Самый простой способ — метод проб.

Расчет по методу проб начинается с выбора разрядностикоэффициентов ориентировочно, субъективно. Затем следует расчет системныххарактеристик с новыми — приближенными — значениями коэффициентов, оценкаискажений характеристик и соответствующая коррекция разрядности коэффициентов вту или иную сторону. Расчет повторяется столько раз, сколько потребуется дляудовлетворительного решения задачи по выбору разрядности коэффициентов.

4.5. Чувствительность

Анализ искажений, вызванных квантованиемкоэффициентов, удобно выполнить по функции чувствительности S.

Чувствительность некоторой величины M к изменениюпараметра q (сокращенно — чувствительность M по q) определяется так:

/> (4.8)

Чувствительность отвечает на вопрос: на сколькопроцентов изменится величина М, если параметр q изменится на 1%. Параметром qцифровой цепи могут быть как коэффициенты цепи, так и зависящие от нихвторичные параметры, например, координаты полюсов и нулей на плоскости Z.Содержание величины М может быть разным в зависимости от поставленной задачи;например, одна из системных характеристик или положение полюса, если параметромq является коэффициент цепи.

Рассмотрим более подробно чувствительностьпередаточной функции по одному из коэффициентов цепи ai

/> (4.9)

Чувствительность комплекса передаточной функции удобнополучать непосредственно по (4.9)

Чувствительность АЧХ и ФЧХ

Можно выразить через вещественную и мнимую частичувствительности комплекса передаточной функции. Действительно,

Следовательно

/> (4.10)

Пример. Определить чувствительность АЧХ покоэффициенту b, если

Решение

Здесь />

Следовательно

где />

Отсюда чувствительность АЧХ по коэффициенту b

Чувствительность частотных характеристик достаточнооценить на частоте полюса максимальной добротности wк,которая определяется, согласно (4.6), значением угла полюса

Qк = wкТ

На частоте wк чувствительностьпринимает максимальное значение:

Оценку максимума чувствительности по коэффициенту ai можноприменить, в частности, к расчету разрядности коэффициентов по допускам наотклонение АЧХ. Расчет начинается с определения среднеквадратичнойчувствительности по всем коэффициентам ai.

/> (4.11)

Необходимость среднеквадратичного критерия объясняетсяразным сочетанием знаков чувствительностей в зависимости от частоты, поэтомусуммарная чувствительность может оказаться равной нулю даже на частоте wк.

В режиме малых приращений коэффициентов реакциясистемы проявляется по линейному закону, поэтому можно воспользоватьсяпропорцией

1% — />

dS<sub/>- dН

и определить среднеквадратичное значение погрешностикоэффициентов dS подопуску на отклонение АЧХ dН.

Сравнивая требуемое значение dS<sub/>и реализованное значение среднеквадратичнойпогрешности коэффициентов d'S

d'S = /> (4.12)

можно определить разрядность коэффициентов методомпроб.

В качестве примера анализа цепи по функциичувствительности можно сделать ссылку на анализ чувствительности полосового ЦФк изменению тактовой частоты. Оказалось, что смещение полосы пропусканияувеличением тактовой частоты, при неизменной ширине полосы пропускания, потребуетувеличения разрядности коэффициентов.

4.6. Масштабирование сигнала в цепи.

Уровень шума квантования на выходе источника шума независит от уровня сигнала: уровень шума определяется величиной шагаквантования. Поэтому соотношение сигнал/шум тем выше, чем выше уровень сигналав цепи. Но высокие уровни сигнала могут привести к переполнению сумматоровцепи, т.е. к выходу числа за пределы разрядной сетки слева в регистресумматора, на котором вырабатывается сумма. В системе чисел с фиксированнойзапятой таким пределом называется единица.

Переполнение сумматора равносильно ограничению сигналасверху пороговым нелинейным элементом в аналоговой цепи.

Поэтому возникает необходимость в масштабированиисигнала с таким расчетом, чтобы получить высокие уровни сигнала в цепи сминимальным риском перегрузки сумматоров. Масштабирование осуществляетсяспециальным умножителем, который устанавливается на входе цепи. На рис. 4.3.приведен пример цепи с масштабным умножителем.

Расчет множителя l выполняется покаждому сумматору отдельно. Из множества расчетных значений l необходимовыбрать наименьшее, т.е. l тогосумматора, который наиболее подвержен опасности переполнения.

Расчетные значения l рекомендуетсяокруглить в меньшую сторону до ближайшего числа кратного степени 2: операциюумножения на число кратное степени 2 можно выполнить простым сдвигом числа вчисловом регистре, что практически не требует затрат времени и оборудования наумножение поступающих кодовых слов.

Рассмотрим методы расчета масштабного множителя.

4.6.1. Расчет по условию ограничения максимумасигнала.

Сигнал на входе i-ого сумматора определяется поформуле свертки

где x(n) — сигнал на входе цепи

lhi(n)- импульсная характеристика участка цепи от входа до выхода i-ого сумматора.

Максимум модуля сигнала yi(n) имеет местопри соблюдении условия:

x(n-k)={+1, если hi(k)>0

-1, если hi(k)<0}

поэтому

Если ограничить максимум модуля сигнала единицей, т.е.

/>,

то требование отсутствия переполнения сумматоравыполняется при условии:

/> (4.13)

Расчет масштабного множителя по (4.13), т.е. поусловию ограничения максимума сигнала, приводит к режиму работы цепи, прикотором перегрузка сумматоров исключена, но уровни сигнала в цепи — низкие.Поэтому чаще применяется вариант расчета по условию ограничения энергии сигнала,который приводит к более высоким уровням сигнала.

4.6.2. Расчет по условию ограничения энергии сигнала.

Энергия сигнала на выходе i-го сумматора определяетсясогласно (2.25) по формуле

Формула справедлива для случайных сигналов сравномерным энергетическим спектром, что примерно соответствует реальнымсигналам.

Сигнал на входе цепи не превышает единицы поабсолютной величине, поэтому сигнал на выходе i-го сумматора не превысит,наиболее вероятно, модуля единицы, если потребовать выполнение условия:

1. />

2. Корреляционные связи сигнала и системы — отсутствуют.

В результате исходная формула принимает вид

Отсюда

/> (4.14)

Масштабный умножитель с коэффициентом (4.14)обеспечивает относительно высокие уровни сигнала в цепи, но возникает опасностьперегрузок сумматоров. Перегрузки маловероятны и кратковременны, поэтому длямногих систем обработки сигналов вполне допустимы, тем более, что отрицательныйэффект от перегрузок можно ослабить, если подставлять единицу на выходсумматора по признаку переполнения.

4.6.3. Расчет по условию ограничения максимумаусиления цепи.

Усиление участка цепи от входа цепи до выхода i-госумматора в значительной мере определяет условия перегрузки i-го сумматора.Поэтому, ограничивая максимум усиления единицей

приходим к режиму работы цепи, при котором опасностьперегрузки i-го сумматора становится минимальной, поскольку сигнал на входецепи не превышает по модулю единицы. Отсюда расчетная формула для масштабногомножителя

/> (4.15)

Частоту максимального усиления wкможно определить по известному углу высокодобротного полюса Qк = wкТ(4.6) передаточной функции Hi(Z).

Расчет масштабного множителя по (4.15) применяетсячаще при каскадной реализации, когда масштабирование можно выполнить внутрикаждого звена.

4.7. Динамический диапазон ЦФ.

Динамический диапазон цепи определяется границамиуровня выходного сигнала. Для цифровой цепи, функционирующей в системе чисел сфиксированной запятой, динамический диапазон равен

[D; 1,0],

где D — значениемладшего разряда кодовых слов.

Эффективность использования динамического диапазонаоценивается с одной стороны — вероятностью перегрузки сумматоров, с другой — величиной помехозащищенности сигнала на выходе цепи относительно уровня шумовквантования на выходе цепи

/> (4.16)

где Rш — помехозащищенность сигнала,

/>-дисперсия шума

/>-усредненная энергия сигнала,

Рс, Рш — мощности сигнала ишума.

Масштабирование сигнала позволяет добиться высокойэффективности использования динамического диапазона цепи.

4.8. Предельные циклы.

Предельными циклами называется ложный сигнал, которыйвозникает на выходе рекурсивного ЦФ, если на вход цепи поступает сигнал в видеконстанты. Причиной появления предельных циклов является процедура квантованиясигнала в умножителях, охваченных обратной связью.

Пример. Определить форму предельных циклов заданнойцепи (рис. 4.4), если сигнал на выходе умножителя округляется на уровне десятыхдолей, а сигнал на входе в момент t=0 прерывается, т.е. наступает пауза.Состояние цепи к моменту t=0 характеризуется условием: y(-1) = 0,5.

Решение.

Разностное уравнение цепи: y(n) = x(n) + 0,8y(n-1)

Решение разностного уравнения.

n=0: y(0) = 0 + 0,8 * 0,5 = 0,4

n=1: y(1) = 0 + 0,8 * 0,4 = 0,32 » 0,3

n=2: y(2) = 0 + 0,8 * 0,3 = 0,24 » 0,2

n=3: y(3) = 0 + 0,8 * 0,2 = 0,16 » 0,2

n=4: y(4) = 0 + 0,8 * 0,2 = 0,16 » 0,2

............................................................

Следовательно y(n) = {0,4; 0,3; 0,2; 0,2; 0,2;… },т.е. сигнал «зависает» на уровне 0,2. Если знак коэффициента 0,8заменить на противоположный, то форма предельных циклов принимает вид знакопеременнойпоследовательности y(n) = {-0,4; 0,3; -0,2; 0,2; -0,2;… }.

В цепях высокого порядка предельные циклы имеютсложную форму и определяются, при необходимости, моделированием фильтра на ЭВМ.

Ложные сигналы в системах передачи информации недопустимы, поэтому применяются различные способы борьбы с предельными циклами.Можно, например, подмешивать к сигналу на входе цепи псевдослучайную последовательностьнулей и единиц на уровне младшего разряда кодовых слов. Но в этом случаенеобходимо увеличить на единицу разрядность кодовых слов, чтобы помехозащищенностьсигнала оставить на прежнем уровне.

5. Восстановление непрерывного сигнала.

Последовательность кодовых слов на выходе цифровогофильтра необходимо преобразовать в аналоговый сигнал. Преобразованиеосуществляется с помощью двух устройств: ЦАП и ФНЧ. В ЦАП происходитпреобразование каждого кодового слова в узкий импульс, амплитуда которого соответствуетзначению кодового слова. В ФНЧ происходит выделение той части спектра, котораясоответствует спектру аналогового сигнала.

5.1. Характеристики ЦАП.

Цап преобразует отсчеты сигнала в виде кодовых слов вотсчеты сигнала в виде импульсов. Преобразование происходит с постояннымкоэффициентом преобразования, не зависящим от величины отсчета. СледовательноЦАП является линейной системой, импульсная характеристика которой совпадает сформой импульсов на выходе ЦАП. Поэтому сигнал на выходе ЦАП можно определитьпо формуле свертки аналоговых сигналов

yцап(t) = y(t) Е hцап(t) (5.1)

где y(t)=y(nT) — дискретный сигнал на входе ЦАП,

hцап(t) — импульсная характеристика ЦАП.

На рис. 5.1, а, в показана форма сигналов на входе ивыходе ЦАП на примере импульсной характеристики в форме прямоугольного импульсадлительностью t (Рис. 5.1, б)

В частотной области свертке (5.1) соответствует произведениеспектров

Yцап (jw) = Y (jw) * Hцап(jw) (5.2)

где, согласно (1.3),

Y (jw) = />

Yа(jw) — спектраналогового сигнала, подлежащего восстановлению,

Hцап(jw) — передаточная функция ЦАП.

Множитель Т-1 в формуле Y (jw) принятоотносить к передаточной функции ЦАП, поэтому передаточная функция ЦАП дляслучая, соответствующего импульсу на Рис. 5.1, б, запишется так

Hцап(jw) = /> (5.3)

Отсюда, если t << Т, получаем

Hцап(jw) » t / Т (5.4)

что подтверждается известным фактом спектральнойтеории: спектр короткого импульса равен его площади и не зависит от формыимпульса.

5.2. Погрешности восстановления.

Аналоговый сигнал ya(t) обращается навыходе ФНЧ, который выделяет спектр частот [0; 0,5wд],соответствующий спектру Yа(jw).

Yа(jw) = Y (jw) * Hцап(jw)* Hфнч (jw) (5.5)

Неравномерность реальных частотных характеристик ЦАП иФНЧ приводит к искажениям восстанавливаемого непрерывного сигнала. На рис. 5.2показаны характерные особенности реальных АЧХ восстанавливающих устройств.

Искажения ЦАП обусловлены наклоном АЧХ. На Рис. 5.2АЧХ соответствует импульсной характеристике в форме прямоугольного импульсадлительностью t. Но суменьшением t, согласно(5.3) и (5.4), падает усиление ЦАП, что приводит к малым уровням сигнала и,соответственно, к низкой помехозащищенности сигнала по отношению к собственнымпомехам системы.

Искажения ФНЧ увеличиваются по мере приближения кчастоте среза ФНЧ wс =0,5wд.Поэтому рабочую полосу частот сигнала Y (jw) целесообразноразмещать на неискаженном участке полосы пропускания ФНЧ, что можно сделатьувеличением тактовой частоты wд цифровогофильтра. Таким образом, если имеется возможность увеличить тактовую частоту, тов качестве ФНЧ можно использовать простую цепочку RC. В противном случаекачественные показатели восстанавливающего устройства приходится улучшатьусложнением схемы ФНЧ. Наконец, погрешности восстановления можноскомпенсировать, если создавать соответствующие предыскажения в ЦФ. В этом случаенормы на проектируемый ЦФ необходимо поправить в расчете на реальные характеристикиЦАП и ФНЧ.

Литература.

1. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов.- Учебное пособие для вузов. — М.: Радио и Связь, 1990 г.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Радио и связь, 1986 г.

3. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов.- Задачи и упражнения. Учебное пособие для вузов. — М.: Радио и Связь, 1992 г.

4. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов ицифровых фильтров. — М.: Высшая школа, 1982 г.

5. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов.- Справочник — М.: Радио и Связь, 1985 г.

6. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет иреализация. — М.: Радио и связь, 1982.

7. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ ипроектирование. — М.: Радио и связь, 1983г.

8. Крук Б.И. и др. 25 вопросов по цифровым фильтрам.Издание НЭИС, 1990 г.

9. Зеневич А.Ф. Дискретные сигналы и цепи. Учебноепособие. Издание НЭИС, 1992 г.

еще рефераты

Еще работы по радиоэлектронике

Реферат по радиоэлектронике

Особенности и классификация систем подвижной радиосвязи (СПРС)

1 Сентября 2013

Реферат по радиоэлектронике

Цифровой канал радиосвязи с разработкой радиоприемного устройства и электрическим расчетом блока усилителя радиочастоты

1 Сентября 2013

Реферат по радиоэлектронике

Передающие спиральные антенны

1 Сентября 2013

Реферат по радиоэлектронике

Перечень электротехнических изделий и оборудования

1 Сентября 2013