Реферат: Математическое моделирование высокочастотных радиоцепей на основе направленный графов

Содержание

    Введение

   1. Основные понятия и определения

   2. Топологическое представление радиоцепи

   3. Расчет цепей на основе направленных графов

       Список используемой литературы

       Список обозначений

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВЫСОКОЧАСТОНЫХ РАДИОЦЕПЕЙ

НА ОСНОВЕ НАПРАВЛЕННЫХ ГРАФОВ

      Введение

     В статье рассматриваются некоторые вопросы применения теории графов для расчетавысокочастотных радиоцепей, описываемых матрицей рассеяния: составление графацепи из нескольких 2 — полюсников, различные способы преобразования и примерырасчета.

1.  Основные понятия и определения

     Для расчетов радиоцепей большое распространение получили методы матричнойалгебры. Однако эти методы применительно к анализу сложных цепей приводят кчрезвычайно трудоемким расчетам, затрудняют установление зависимостей междуотдельными параметрами и представление исходной цепи в виде комплекса простыхструктур. Эти недостатки в значительной степени устраняются применением методанаправленных графов [ 1,  2 ], сущность которого заключается в том, чтоматричные уравнения, описывающие систему, могут быть заменены соединениямиэлементарных графов, преобразования которых соответствуют матричнымпреобразованиям, но выполняются значительно проще. Преимущество этого методатакже в том, что математическое описание задачи с помощью направленных графовестественным образом вытекает из физического строения системы и не требуетзаписи исходных матричных уравнений. Направленный граф служит топологическойформой представления уравнений системы относительно выбранных переменных, т.е.топологической моделью системы.

     Рассмотрение топологических моделей высокочастотных цепей начнем с основныхпонятий теории графов. Необходимость этого вытекает из отсутствия единойтерминологии и устранения возможности неправильного толкования отдельныхтерминов.

     Графом — называется система точек и связывающих их линий. Каждая точка — узел графа; линия, связывающая две точки, — ветвь.

     Направленный граф — граф, в котором все ветви имеют направление, ненаправленный — если ветви направления не имеют.

     Направленному графу однозначно соответствует система линейных алгебраическихуравнений, в которых узлы графа — переменные, а ветви — коэффициенты. Напримерсистеме уравнений

                                        

                                              />                                                     (1)

соответствуетграф, приведенный на рис. 1.

     Узлы, имеющие только выходящие ветви — источники; узлы, имеющие только входящиеветви — стоки. На рис.1. источники -/> и />, сток — />.

     Путь — непрерывная последовательность ветвей, вдоль которой каждый узелвстречается не более одного раза. Если путь начинается и кончается в одной итой же точке, то он образует контур. Если контур образован одной ветвью,то это — элементарный контур. Дерево — совокупность соединенныхветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного контура.

     Каждая ветвь характеризуется величиной, называемой передачей ветви.Например, ветвь, соединяющая /> и />, имеет передачу b. Величинапути /> - произведение передачветвей пути k. Величина дерева — произведение передач ветвейэтого дерева.

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> <td/> /> /> />

/>/>


/>

 

/>

                                      /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>

  />

/>

 

                     Рис. 1                                                                Рис. 2

     Определитель графа /> - суммавеличин различных деревьев, содержащихся в данном графе. И, наконец, передача/> - сумма величин возможныхпутей между двумя узлами /> и /> .

     в основе правил преобразования направленных графов потока сигналов лежитследующее утверждение — на величину сигнала в узде/> непосредственновлияют только входящие ветви; наличие выходных ветвей, если они не образуютэлементарных контуров, на величину сигнала в узле не влияют.

     Преобразования графов соответствуют преобразованиям, совершаемым с системойалгебраических уравнений, или, в более общем смысле, преобразованиям матрицыэтой системы. Преобразования могут преследовать две цели — либо изменениеструктуры графа для более удобного (в каком-то смысле) установлениязависимостей между величинами, либо для нахождения передачи между двумя узлами.

2.Топологическое представление радиоцепи

     В теории электрорадио цепей существует несколько способов математическогопредставления структуры цепи с помощью графов. Представления на основе токов инапряжений в качестве узловых переменных [ 1,  3 ] приводит к структурам графа,совпадающим с физической структурой электронной цепи. Радиотехнические цепивысоких и сверхвысоких частот также могут представлены [ 4 ] на основе полныхтоков и напряжений с использованием параметров матриц проводимостей исопротивлений. Однако наибольший интерес для цепей с распределеннымипостоянными имеет представление на основе падающих и отраженных волн    [ 5 ],т.е. составляющих полных либо тока, либо, что чаще, напряжения. Если этотинтерес определился ясным физическим смыслом и удобством параметровпредставления ( параметров матрицы рассеяния ), то с использованием графов сюдаследует добавит другой важный фактор — совпадение физической структуры графа.Построение топологической модели сложной схемы начнем с простейшей — четырехполюсник, включенный между генератором и нагрузкой (рис. 2.). если /> - есть падающие ирассеиваемые волны на граничных сечениях четырехполюсника и /> - соответствующие волны всечениях генератора и нагрузки, то имеют место следующие две системы уравнений,связывающих эти величины:

/>     (2)                />                        (3)

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>

  <td/>

/>

  <td/>

/>

  <td/> /> <td/>

/>

  <td/>

/>

  <td/>

/>

  <td/>

/>

  <td/>

/>

  <td/>

/>

  <td/>

/>

  />

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>           

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>

  />

/>

  /> />

/>

  />

/>

  /> /> /> /> />

/>

  />

/>

  /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/>

/>

  />

/>

  <td/> /> <td/>

/>

  />

/>

  <td/>

/>

  />

/>

  />

/>

  <td/>

/>

  />

                                                         Рис. 3.

     Соответствующие графы этих систем приведены на рис.3 а, б. Как видно на рис.3, аграф четырехполюсника, представленного, матрицей рассеяния [ S ],совпадает с физической структурой системы и поэтому имеет простуюинтерпретацию.

     С точки зрения теории графов, граф Т — матрицы получается из графа S — матрицы путем инверсии пути />. Внекоторых случаях такая инверсия упрощает расчет цепи, т.к. устраняетнежелательные контуры. Примером может служить последовательное соединениечетырехполюсников, коэффициент передачи которых проще рассчитывается на основеТ — матрицы. Тем не менее, учитывая известные преимущества S — матрицы,ограничим рассмотрение соответствуемыми ей графами.

     Связь между падающими и прошедшими волнами для шестиполюсника описываетсяследующей системой алгебраических уравнений:

                                  />                                               (4)

Этойсистеме уравнений соответствует граф, приведенный на рис. 4. Анализируя этотграф, нетрудно установить некоторые закономерности его построения, на основаниикоторых можно построить любой  2х — полюсник, не записывая соответствующуюсистему уравнений.

     Действительно:

1) всеа — источники,   b — стоки;

2) изкаждого узла а идут ветви к каждому узлу b ;

3)  передачаветвей /> есть коэффициент матрицырассеяния />;

4) узлыа так же, как и b, непосредственнойсвязи между собой не имеют.

     Располагая а и b попарно ( по полюсам ) и а напротив b,получаем граф, структура которого совпадает с физической структуройраспространения волн в рассматриваемом многополюснике.

/> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/>

/>

  /> /> <td/>

/>

  /> /> <td/>

/>

  />

                                                          Рис. 4

     Если шестиполюсник нагружен отражающими нагрузками с коэффициентами отражения />

                                    />                                      

товсе узлы становятся зависимыми. Фактически это означает, что стоки b имеют утечку энергии за счетотражения. Генератор — источник энергии включается в любой а — узел, аиндикатор — в b — узел.

     Рассмотрим несколько примеров построения графов измерительных систем.

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

а)

  /> <td/> /> /> /> /> />

/>

  /> /> /> /> <td/>

/>

  /> /> /> /> /> />

б)

  /> /> /> <td/>

/>

  />

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

                                                             Рис. 5

                                                    

/>


     На рис.5, а приведен граф рефлектометра — двух последовательно соединенныхнаправленных ответвителей, из которых один, ближний к нагрузке, настроен навыделение отраженной волны, а второй падающей. Сигналы />, поступающие на входиндикаторных устройств, являются очень сложными функциями всех параметровсистемы, в том числе измеряемого параметра />.Знание этих функций позволяет наиболее правильно выбрать способ уменьшениявлияния остаточных параметров и оценить остаточные погрешности. На рис.5, бприведен граф идеального рефлектометра, в котором остаточные параметрыотсутствуют.

/> /> /> /> /> /> /> <td/>

/>

  />

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

                                                               Рис. 6

     На рис.6 показан граф измерительной линии, в котором xи y - независимые переменные, связанные соотношением  х + у = const, а />, />  — входные матрицы иматрица элементов связи, на рис.7 приведен граф резонансного измерителяпараметров четырехполюсников с малыми потерями, где х иу — независимые переменные.

     Графы сложных устройств и их отдельных частей могут быть составлены наосновании блок — схем этих устройств. Например, на рис. 8 дана блок — схемавысокочастотной части гетеродинного измерителя ослабления и фазы коэффициентапередачи с использованием направленных ответвителей для смещения сигналов. Графэтой схемы ( рис. 9 ) составлен на основе соединения графов четырехполюсников ишестиполюсников.

/>

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

                                                                    Рис. 7

                                         [ S ] — матрица измеряемого элемента

к смесителю

 

2

   /> /> /> /> /> /> />

1

  /> /> /> /> /> <td/>

/>

  />

/>

 

5

 

4

                    Рис. 8

1- измерительное устройство;

к смесителю

  />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2, 3 — направленные ответвители;

/>

 

3

  />/>/>/>/>/>/>/>4, 5 — тройники с развилками.

/>

  /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> <td/> /> />

/>/>/>/>/>/>      Рассмотренные графы линейных систем могут бытьраспространены и на нелинейные системы. Примером может служить диод с фильтромнижних частот, включенный в измерительную схему. Если характеристика диодаописывается уравнением  

/>,                                  

то,представив это уравнение в виде

                                                            />,

можносопоставить ему граф, по структуре совпадающий с линейным графом, но имеющийнелинейный коэффициент передачи.

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> /> /> />

/>

 

/>

 

/>

  />/>/>                   Рис. 9

/>/>/>/>/>/>/>/>/> /> — матрицы рассеяния

/>/>/>/>   измеряемого устройства,

/>

 

/>

 

/>

  />/>/>/>/> направленных ответвителей

/> и тройников в соответствии

/>

/>

    с рис. 8/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />

/>

 

3.  Расчет цепей на основе направленных графов

     

     Для расчетов сложных цепей, содержащих нелинейные элементы, данный граф цепинеобходимо разбить на линейные подграфы. На рис. 10 показан общий случай такогоразбиения. Необходимым условием правильного разбиения является отсутствиеобратных связей между подграфами. Если /> -матрицы передач между выходными и входными узлами соответствующих подграфов, а /> - матрицы — столбцыпередачи нелинейных ветвей, то матрица передач измерительной системы /> при воздействии на входесистемы источников /> равна.

                />                         (5)

гдеl — число линейных подграфов, а показания индикаторногоприбора /> равны

                                   />                                                       (6)

Примеромсложного графа с несколькими линейными подграфами может служить система смногократным преобразованием частоты. Расчет таких систем сводится к расчетулинейных подграфов и определению />на основеуравнения (5).

/>


/>

 

/>

 

                                                     Рис. 10

  

     Графы сложных линейных систем могут быть также разбиты на подграфы. Критерииразбиения разнообразны — наличие симметрии, последовательно или параллельносоединенных четырехполюсников, изменение структуры и т.д.

     Расчет линейных графов, т.е. определение передачи между выбранными входными мвыходными узлами графа ( подграфа ), может быть проведена двумя способами: 1)непосредственным расчетом на основе правила не касающихся контуров и 2)последовательным упрощением графа на основе известных правил преобразования.

     Правило не касающихся контуров, впервые предложенное Мэзоном / 1 /, удобно прирасчете сравнительно не сложных цепей. в формулировке автора оно выражаетсяследующим образом:

                                                />,                                                    (7)

где/> - величина k-гопути между узлами />;

D   — определитель графа;

D   k — определитель части графа, некасающегося k-го пути, т.е. не имеющего с k-ым путем общихузлов.

     Уравнение (7) может быть представлено в удобном для практического использованиявиде:

           />     (8)

где/> - все контуры графа ( m = 1,2,… n ),

причем

                                          />        

еслипуть /> и контур /> имеет хотя бы один общийузел.

     Практика показывает, что произведение контуров второго и более высоких порядковмало влияют на величину передачи и в большинстве случаев могут не учитываться.

     При этом правило Мэзона имеет простую форму и легко применимо для нахождениязависимости между двумя любыми переменными в графе.

     Рассмотрим пример — направленный ответвитель, к плечам которого подключеныгенератор, нагрузка и индикатор ( рис.11, а ). Передача между узлами  /> в соответствии  суравнением (8) равна

          />              (9)

     Как видно из уравнения (9), даже простая система приводит к сравнительносложному выражению для передачи, требующему каких-то упрощений дляпрактического использования. Для упрощения подобных графов удобновоспользоваться условием зависимости и устранить ветви, не имеющие ни какойинформации ( например, /> ). Эта операцияможет быть проведена понижением порядка графа — устранением вершины />. Для этого выделяем связи,имеющие непосредственный интерес и не проходящие через вершину /> ( рис.11, б ).

                      />                  (10)

      Связи /> длянаглядности структуры графа удобно сохранить в отдельности, несмотря на ихравенство. Теперь для преобразованного графа сигнал />  равен:

                      />                              (11)

Наложим условие, необходимое длянаправленного ответвления отраженного от нагрузки сигнала

                                                   />                                                       (12)

      Тогда в режиме выделения отраженного сигналаимеем

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

                                                          Рис. 11

                     />                        (14)

      Рассмотренный пример показываетудобство преобразования исходной структуры графа к более простому виду,сохраняя при этом общность с физической структурой системы и используяобобщенные параметры />, доступныеэкспериментальному определению. Критериями упрощения являются выделениеосновных связей и устранение второстепенных, являющихся в процессе экспериментапостоянными. Узлы, которые при измерительных манипуляциях получают связи сдругими узлами, исключать при преобразовании нельзя. Практически наиболее частоупрощаются части графа, имеющие непосредственные связи с индикаторным каналом,как и в рассмотренном выше случае.

      На рис. 12, а представлен графвосьмиполюсника, к плечам 1 и 2 которого подключены генератор и нагрузкасоответственно, а к плечам 3 и 4 — индикаторы. Пользуясь описанным вышепримером, приведем этот граф к виду, показанному на рис. 12, б. Передачи ветвейпреобразованного графа есть следующие функции передач ветвей основного графа:

 

                             />                              (15)

где /> -передачи контуров индикаторных плеч

                           />                             (16)

      Преобразованный граф ( рис. 12, б ) — это граф с односторонними связями с индикаторными плечами, что является удобнымдля практического анализа. Реакции индикаторных плеч на остальную схемуучитывается в передачах преобразованного графа.

/> /> /> /> /> /> /> /> <td/>

б)

  /> <td/> <td/> /> /> />

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

      Для общего случая 2n — полюсника, в котором (n — k) индикаторных плеч упрощаются к рассмотренным вышеодносторонним связям, могут быть получены следующие рекуррентные формулы. Длясвязей в не индикаторных плечах:

                            />                    (17)

Для связей между неиндикаторными плечами:

                           />                    (18)

Для связей индикаторных с неиндикаторнымиплечами:

                        />                   (19)

      Рассмотрим другой вид преобразования,имеющий практический интерес и выполненный методами алгебраических матрицзначительно сложнее — 2n — полюсника.

      Преобразуем нагруженныйвосьмиполюсник ( рис. 12, а ) к шестиполюснику путем исключения связей синдексом «4». При этом передача каждой ветви получаемого шестиполюсника естьсумма передач соответствующей ветви восьмиполюсника плюс величина пути междурассматриваемыми узлами, проходящие через исключаемые узлы 4 и 4’.

      Пользуясь этим простым правилом,получим

                        />              (20)

На основании формул (20) нетрудно получитьрекуррентную формулу для преобразования 2n — полюсника в2(n -1) — полюсник:

                                 />                  (21)

Производя дальнейшее понижение порядка 2n — полюсника до 2(n — k) — полюсника, аналогично можно получить общуюрекуррентную формулу

                    />                         (22)

      Формулы (21) и (22) могут бытьполучены алгебраическим путем — понижением порядка матрицы, что соответствуетисключению узлов графа, однако эта процедура несравненно сложнее, что нагляднопоказывает преимущество топологического представления перед алгебраическимматричным.

Список используемой литературы

1. Мэзон С., Циммерман Г.  Электронные цепи, сигналы исистемы. ИЛ,1963.

2. Берж К. Теория графов и ее применение. ИЛ, 1962.

3. Абрахамс Дж., Каверли Дж. Анализ электрических цепейметодом графов. Изд-во «Мир», 1967.

4. Заездный А.М., Гуревич И.В. Основы расчетоврадиотехнических цепей. Изд. 2-е, М., «Связь», 1968.

5. Хантон Дж. Анализ микроволновых цепей посредствомграфов потока сигналов. IEEETraus on Microwave Theory and Tech. MTT-8,№ 2, 1960.

6. Петров В.П. Радиотехнические цепи. М., «Связь», 1989.

Список обозначений

  />                - комплексныйкоэффициент отражения;

/>         - коэффициенты матрицы рассеяния;

Y = a + jb                — постоянная распространения;

/>                            - волновое сопротивление;

КСВ                          — коэффициент стоячейволны;

z = r + j x                  - комплексное сопротивление;

y = g + j b                 - комплексная проводимость;

Z = R + j X               - комплексное нормированноесопротивление;

Y = G + j B               - комплексная нормированнаяпроводимость;

l                                -длина волны;

f                                 - частота;

w = 2pf                     — круговая частота;

Н                               — ослабление, дБ;

e = e’ — je’’               — комплекснаядиэлектрическая проницаемость;

m = m’- jm’’                — комплекснаямагнитная проницаемость;

Q                               - добротность4

D                               — наружный  диаметр проводника;

d                                — внутренний диаметр проводника.

Применяемые индексы

вх                              — вход;

вых                           - выход;

г                                — генератор;

н                               — нагрузка;

1, 2, 3....                   — при Г, Z, Y относятся к сечениям 1-1’; 2-2’;3-3’… ;

‘0                              — начальное значение;

max                          - максимальный;

min                           -минимальный;

пад                           — падающаяволна;

отр                           — отраженная волна;

хх                             — холостой ход;

кз                             -короткое замыкание.

еще рефераты
Еще работы по радиоэлектронике