Реферат: Теория распределения информации

Министерство науки и высшего образования РеспубликиКазахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Автоматической электросвязи

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Теория распределения информации

ШИФР:

ГРУППА:

ВЫПОЛНИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

Г. АЛМАТЫ, 1999 Г.

ЗАДАНИЕ 1.

1. Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из V,на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а при условии, что:

а)N>> V; б)N /> V; в)N, V />

2. Длякаждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и ихдисперсию.

Для расчетачисло линий в пучке определить из следующего выражения:

V=/>;

целая частьполученного числа, где NN – номер варианта.

Средняяинтенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:

а= 0,2+0,01 * NN

Примечания:

· Для огибающей распределения привести таблицу в виде:

Р(i) i

· В распределении Пуассона привести шесть – восемь составляющих,включая значение вероятности для i = /> (целаячасть А)

· А = а * V

Решение:

Случайной называют такуювеличину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенноезначение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые напередпредугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей,непрерывная случайная величина – функцией распределения основнымихарактеристиками случайной величины являются математическое ожидание идисперсия.

Определим исходные данные длярасчета:

V=/>

a = 0.2 +0.01 * 11 = 0.31 Эрл(средняя интенсивность нагрузки)

А = а * V = 0,31 * 11 = 3,41 » 4Эрл (нагрузка)

а)Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии N>> V (N – число источников нагрузки).

Для этого используем распределение Эрланга, представляющеесобой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения ипронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.

Распределение Эрланга имеет вид:

Pi(V) = /> ,/>,

где Pi(V) – вероятностьзанятиялюбых i линий впучке из V.

Для определения составляющих распределенияЭрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:

Математическое ожидание идисперсия числа занятых линий соответственно равны:

где Pv –вероятностьзанятости всех линий в пучке из V.

Произведем расчет:

Р0 = />

Р1 = Р0 * /> = 0,072 Р2= Р1 * /> = 0,144

Р3 = Р2 */> = 0,192 Р4= Р3 */> = 0,192

Р5= Р4 */> = 0,153 Р6= Р5 */> = 0,102

Р7 = Р6 */> = 0,058 Р8= Р7 */> = 0,029

Р9 = Р8 */> = 0,012 Р10= Р9 */> = 4,8 * 10-3

Р11 = Р10*/> = 1,7 * 10-3

M( i ) = 4 * (1 — 1,7 *10-3) = 3,99

D( i ) = 3,99 – 4 * 1,7 *10-3 * (11 – 3,99) = 3,94

Данные результаты вычисленийсведем в таблицу 1:

Таблица 1

P( i ) 0,018 0,072 0,144 0,192 0,192 0,153 0,102 0,058 0,029 0,012 0,0048 0,0017 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

б)Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии N@V. Применим распределение Бернулли(биноминальное распределение), которое имеет вид:

где: Pi(V) – вероятность занятия любых iлиний в пучке из V;

/> -число сочетаний из V по i (i = 0, V)

/> ,

а– средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию

V-линейного пучка от N источников.

Для вычисления вероятностейможно воспользоваться следующей рекурентной формулой:

Математическое ожидание идисперсия числа занятых линий соответственно равны:

M( i ) = V*a; D( i ) = V * a *(1-a)

Произведем расчет:

/>; />

Р1= 16,8*10-3*/>

Р2= 16,8*10-3*/>

Р3= 16,8*10-3*/>

Р4= 16,8*10-3*/>

Р5= 16,8*10-3*/>

Р6= 16,8*10-3*/>

Р7= 16,8*10-3*/>

Р8= 16,8*10-3*/>

Р9= 16,8*10-3*/>

Р10= 16,8*10-3*/>

Р11= 16,8*10-3*/>

M( i ) = 11 * 0,31 = 3,41; D( i ) = 11 * 0,31 *(1 – 0,31) = 2,35

Результаты вычислений сведем втаблицу 2:

Таблица 2

P(i)

*10-3

16,8 82,3 37,7 22,6 15 10 7,5 5,3 3,7 2,5 1,5 0,6 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

в)Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условииN,V®¥.

Используем распределениеПуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий запромежуток времени t:

/>, />,

где: l — параметрпотока, выз/час

lt –средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий (А=lt).

Легко показать, что:

/> , />

Произведем расчет:

Р0 = /> * е-4 = 0,018 Р1= 0,018 * /> =0,036

Р4 = /> * 0,018 = 0,192 Р6 = 0,018 * /> =0,102

Р8 = 0,018 * /> = 0,029 Р10 = 0,018 * /> =0,0052

Р12 = 0,018 * /> =0,0006

M( i ) = D( i ) = 4

Результаты вычислений сведем втаблицу 3:

Таблица 3

P( i ) 0.018 0.036 0.192 0.102 0.029 0.0052 0.0006 i 1 4 6 8 10 12

По данным таблиц 1, 2, 3построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) N@V, в) N, V ®¥; рис. 1.

Задание 2.

На коммутационную системупоступает простейший поток вызовов с интенсивностью А.

1. Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени [ 0, t*]:

Рк(t*),где t* = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0

2. Построить функцию распределения промежутков времени между двумяпоследовательными моментами поступления вызовов:

F(t*), t*= 0; 0,1; 0,2; …

3. Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [0, t*]:

Pi³k(t*), где t* =1

Примечание: 1. Для расчета значений A и V взять из задания1.

2.Число вызовов копределить из выражения: к = [V/2] — целая часть числа.

3. Дляпостроения графика взять не менее пяти значений F(t*). Результаты привестив виде таблицы:

F(t*)

4. Расчет Pi³k(t*) провести неменее чем для восьми членов суммы.

Решение:

Потоком вызовов называютпоследовательность однородных событий, поступающих через случайные интервалывремени. Поток вызовов может быть задан тремя эквивалентными способами:

1. Вероятностьюпоступления к вызовов за интервал времени [0,t).

2. Функциейраспределения промежутков времени между двумя последовательными моментамипоступления вызовов.

3. Вероятностьпоступления не менее к вызовов заинтервал времени [0,t).

Свойства потоков:станционарность, ординарность и полное или частичное отсутствие последействия.Потоки классифицируются с точки зрения наличия или отсутствия этих свойств.

Основными характеристикамипотоков вызовов являются: интенсивность m ипараметр l.

Простейшим потоком называетсяординарный стационарный поток без последействия.

1. Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов заинтервал времени [0,t).

/>,

где: к = 0, 1, …;

t* = t /`t ; где `t – средняя длительность обслуживания вызова.

Определим данные для расчетов:

К = 11/2 =6; А = 4; V = 11;

Производим расчеты для t* = 0,5 с.

P2(0,5)= 0,13 P3(0,5) = 0,18 P4(0,5) = 0,09

P5(0,5)= 0,03 P6(0,5) = 0,012

Производим расчеты для t* = 1,0 с.

P2(1)= 0,14 P3(1) =0,19 P4(1) = 0,19

P5(1)= 0,15 P6(1) = 0,1

Производим расчеты для t* = 1,5 с.

P2(1,5)= 0,044 P3(1,5) =0,089 P4(1,5) = 0,13

P5(1,5)= 0,16 P6(1,5) = 0,16

Производим расчеты для t* = 2 с.

P2(2)= 0,01 P3(2) = 0,028 P4(2)= 0,057

P5(2)= 0,91 P6(2) = 0,122

2. Рассчитаемфункцию распределения промежутков времени между двумя последовательнымимоментами поступления вызовов:

где Zk – промежутоквремени между ( к-1 )-м и к-м вызовами.

F(0) = 1 – e-4*0= 0 F(0,1) = 1 – e-4*0,1 = 0,32 F(0,2) = 1 – e-4*0,2 = 0,55

F(0,3) = 0,69 F(0,4) =0,79 F(0,5) = 0,86

F(0,6) = 0,9 F(0,7) =0,93

Результаты вычисленийзанесем в таблицу 4:

Таблица 4

F( t* )

0,32 0,55 0,69 0,79 0,86 0,9 0,93

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

3. Рассчитаемвероятность поступления не менее квызовов за промежуток времени [0, t*):

/>, при t*=1.

/> P6³6(1) = 1 – 0,84 = 0,16 P10³6(1) = 1 – 0,005 = 0,995

P7³6(1) = 1 – 0,05 = 0,95 P11³6(1) = 1 – 0,001 = 0,999

P8³6(1) = 1 – 0,02 = 0,98 P12³6(1) = 1 – 0,0006 = 0,9994

P9³6(1) = 1 – 0,013 = 0,987 P13³6(1) = 1 – 0,0001 = 0,9999

Интенсивностьпростейшего потока вызовов m численноравна параметру l, а при t = `t =1: m = l = А = 4.

Задание 3.

1. Рассчитатьинтенсивность поступающей нагрузки на входы I ГИ дляАТСКУ – А вх.I ГИ.

2. Рассчитатьсредние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских лининародно-хозяйственного и квартирного секторов: АНХ и АКВ, а так же среднюю удельную интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС -АИСХ .

3. Пересчитатьинтенсивность нагрузки на выход ступени I ГИ.

Исходные данные, таблица 5:

Таблица 5

Емкость

NНХ

Nкв

СНХ

ТНХ

СКВ

ТКВ

NI ГИ

9000 5000 4000 3,8 100 1,5 130 1000

Решение:

1. Основными параметрамиинтенсивности нагрузки являются:

Ni– число источников нагрузки i-йкатегории.

Ci –среднее число вызовов, поступающих от одного источника i-й категории вЧНН (час наибольшей нагрузки).

ti –средняя длительность одного занятия для вызова от источника i-йкатегории.

Различают следующие категорииисточников нагрузки: абонентские линии народнохозяйственного сектора (НХ),абонентские линии квартирного сектора индивидуального пользования (кв.и.),абонентские линии квартирного сектора коллективного сектора (кв.к.), таксофоны(т). Для расчета используем две категории: абонентские линиинароднохозяйственного сектора (НХ) и абонентские линии квартирного сектора(кв).

Интенсивность поступающейнагрузки:

/>,

Средняя длительность одногозанятия зависит от типа системы коммутации и определяется выражением:

где: Рр – доля вызовов из общего числа, длякоторых соединения закончились разговором; Рз – доля вызовов изобщего числа, для которых соединения не закончились разговором из-за занятостилинии вызываемого абонента; Рно –то же из за неответавызываемого абонента; Рош – то же из-за ошибок в наборе номера; Ртехн — то же из-за технических неисправностей в узлах коммутации (при расчетах Ртехн=0); tрi, tз, tно, tош, tтехн – средниедлительности занятий соответствующие этим случаям. Их можно определить изследующих выражений:

tPi = ty+ tпв+ Ti+ t0

tз = ty+ tсз+ t0

tно = ty+ tпвн+ t0

tош = 18 с.

где: tу – средняя длительность установлениясоединения; tпв и tпвн средняя длительность слушаниясигнала «КПВ» (tпв=7 с. в случае разговора между абонентами; tпвн=30с. в случае неответа вызываемого абонента);

Ti – продолжительность разговора для вызова i-йкатегории;

tо – продолжительность отбоя;

tсз – продолжительность слушания сигнала“Занято”

tу= 0,5* tМАВИ+ tМРИ + tМРИ + tСО + n * tН+ tIГИ+ tМIГИ +tМСD +tМСD

где tj – время ожидания обслуживания маркером j-й ступени; tj = 0,1 с.

tМАВИ – времяустановления соединения маркером АВ на ступени АИ при исходящей связи; tМАВИ = 0,3 с.

tМРИ — времяустановления соединения маркером ступени РИ; tМРИ= 0,2 с.

tМIГИ — время установления соединения маркером ступени IГИ; tМIГИ = 0,65 с.

tМСD — время установлениясоединения маркером CD; tМСD = 1 С.

tСО – средняядлительность слушания сигнала «Ответ станции»; tСО= 3 с.

tН – средняядлительность набора одного знака номера; tН= 1,5 с.

n – значность номера.

Значения tо и tсз для АТСКУ следующие: tсз = 0,6 с., tо =0.

РР =0,6; Рз = 0,2; Рно = 0,15; Рош = 0,05;

tу= 0,5 * 0,3 + 0,1 + 0,2 + 3 + 5 * 1,5 + 0,1 + 0,65 + 0,1 + 1 = 12,8 с.

tрнх= 12.8 + 7 + 100 + 0.6 = 120,4 с.

tркв= 12,8 + 7 + 130 + 0,6 = 150,4 с.

РР*tрнх = 0,6 * 120,4 = 72,24

РР*tркв = 0,6 * 150,4 = 90,24

tз = tу+ tсз+ tо = 12,8+0+0,6 = 13,4 с.

Рз*tз = 0,2*13,4 = 2,68

tно= tу+ tпвн+ tо = 12,8+30+0,6 = 43,4 с.

Рно* tно =0,15*43,4 = 6,51

Рош* tош = 0,05*18 = 0,9

tнх= 72,24+2,68+6,51+0,9+0 = 82,33 с.

tкв= 90,24+2,68+6,51+0,9+0 = 100,33 с.

АВХIГИНХ = /> = 434,5Эрл

АВХIГИКВ = /> = 167,2Эрл

АВХIГИ = 434,5 + 167,2 = 601,7 Эрл

2. Рассчитаем средниеинтенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских линийнароднохозяйственного и квартирного секторов:

/>, Эрл

Средняя удельная интенсивностьнагрузки на абонентскую линию АТС:

/>, Эрл

АНХ= /> = 0,087 Эрл АКВ= /> = 0,042 Эрл

АИСХ = /> = 0,07 Эрл

3. Пересчитаем нагрузку совхода ступени I ГИ на ее выход:

/> ,

где tвхIГИ и tвыхIГИ – соответственно среднее время занятия входаступени I ГИ и среднее время занятия выхода ступени I ГИ:

tвыхIГИ = tвхIГИ — Dt,

где Dt – разницамежду временами занятия на входе и выходе ступени I ГИ. Для АТСКУ:

Dt = 0,5* tМАВИ + tМРИ + tМРИ+ tСО + n * tН + tМIГИ+ tМIГИ

tВХIГИ = АВХIГИ / Nнх * Снх + Nкв * Скв

Dt = 0,5 * 0,3 + 0,1+ 0,2 + 3 + 5 * 1,5 + 0,1 + 0,65 = 11,7 с.

tВХIГИ = /> = 86,6с.

tВЫХIГИ = tВХIГИ — Dt = 86,6 – 11,7 = 74,9 с.

АВЫХIГИ = 74,9/86,6 * 601,7 = 520,4 Эрл

Задание 4.

Рассчитать и построитьзависимость числа линий V и коэффициентаиспользования h(пропускная способность) от величины интенсивности нагрузки при величине потерьР = 0,0NВ, где NВ– номер варианта.

Результаты расчета представитьв виде таблицы при Р = const (постоянная).

N А, Эрл V Р (табл) Y h

Решение:

Вероятность занятия любых i линий в полнодоступном пучке из Vпри обслуживании простейшего потока вызовов определяется распределениемЭрланга:

Различают следующие видыпотерь: потери от времени Pt, потери повызовам Pв, потери по нагрузке Pн. Потери по времени Pt — доля времени, в течение которого заняты все V линии пучка. Потери повызовам определяются отношением числа потерянных вызовов Спот кчислу поступивших Спост:

Pв= Спот / Спост

Потери по нагпрузкеопределяются отношением интенсивности потерянной нагрузки Yпотк интенсивности поступившей А :

Pн= Yпот / А

При обслуживании простейшегопотока вызовов перечисленные выше три вида потерь совпадают Pt= Pв = Pн и равны вероятности занятия V линий в пучке:

РV= Pt = Pв = Pн = EV,V(A)= />

Обслуженной нагрузкой называютнагрузку на выходе коммутационной схемы, ее интенсивность определяют извыражения:

Y= F — YПОТ = A * (1 — EV(A))

Среднее использование однойлинии в пучке равно:

h = Y / V

При Р = 0,011 (11 вариант), поизвестным А, используя таблицы вероятности потерь определим соответствующие V и рассчитаем для каждого значения А интенсивность Y и среднее использование h.

А = 1, Эрл V1=5 Y1=1(1-0,011)= 0,989 h = 0,197

А = 3,Эрл V3=8 Y3=3(1-0,011)= 2,96 h = 0,986

А = 5,Эрл V5=11 Y5=5(1-0,011)= 4,94 h = 0,449

А = 10,Эрл V10=18 Y10=10(1-0,011)= 9,89 h = 0,549

А = 15,Эрл V15=24 Y15=15(1-0,011)= 14,83 h = 0,617

А = 20,Эрл V20=30 Y20=20(1-0,011)= 19,78 h = 0,659

А = 25,Эрл V25=36 Y25=25(1-0,011)= 24,73 h = 0,686

А = 30,Эрл V30=42 Y30=30(1-0,011)= 29,67 h = 0,706

А = 40,Эрл V40=53 Y40=40(1-0,011)= 39,56 h = 0,746

А = 50,Эрл V50=64 Y50=50(1-0,011)= 49,45 h = 0,772

Результаты расчетов занесем втаблицу 6:

Таблица 6

N А, Эрл V Р (табл) Y h

0,011

0,989

2,96

4,94

9,89

14,83

19,78

24,73

29,67

39,56

49,45

0,197

0,986

0,449

0,549

0,617

0,659

0,686

0,706

0,746

0,772

Построим график зависимостичисла линий V и коэффициента использования h от величины интенсивности нагрузки Y при величине Р=0,011.

Задание 5.

1. Построить оптимальнуюравномерную неполнодоступную (НПД) схему, имеющую следующие параметры: V – емкость пучка, g – числонагрузочных групп, d – доступность. Привести матрицусвязности.

Исходные данные:

V =25*Nгр + NВ

D =10*Nгр

где Nгр – номер группы, NВ – номер варианта.

8, если N8=1-10;

g= 10, если N8=11-21

12, если N8=21-…

2. Рассчитать и построитьзависимость числа линий V от величины потерь Р неполнодоступногопучка при значении A и D=10 по формуле Эрланга, О Делла,Пальма-Якобеуса. Результаты привести в виде таблицы и графика:

Р V

Формула

Эрланга

О Делла Пальма-Якобеуса

МПЯ*

*- Модифицированная формула Пальма-Якобеуса.

Исходные данные: А –поступающая нагрузка взять в задании 1.

Решение:

Неполнодоступное включение этокогда входу доступны не все, а часть выходов (d-определяетколичество доступных выходов, d<V). Главнаяособенность НПД схем в том, что при одних и тех же параметрах можно построитьмножество различных схем, отличающихся пропускной способностью. Основнымипараметрами схемы являются: g – число нагрузочных групп, d –доступность, V – количество подключаемых к выходам соединительныхустройств. Нагрузочной группой называется совокупность источников вызовов,обслуживаемых одними и теми же d-соединительнымиустройствами в НПД схеме. НПД схемы бывают трех видов ступенчатая, равномернаяи идеально-симметричная. По типу соединений: прямое, перехваченное и сосдвигом. При прямом включении объединяются одноименные выходы соседнихнагрузочных групп. При перехваченном включении выходы каждой нагрузочной группысоединяются по возможности равномерно с одноименными выходами остальныхнагрузочных групп. При включении со сдвигом выходы одной нагрузочной группысоединяются с разноименными выходами других нагрузочных групп.

При выполнении сдвига сперехватом чаще всего применяют однородное включение соединительных устройств,так называемые циклические схемы.

Цилиндр – это циклосхема, у которойобязательно равенство V=g (число выходов совпадает счислом нагрузочных групп). Размер цилиндра dпредставляет собой число охватываемых выходов каждой нагрузочной группы.Цилиндр размера d называется d-шаговым.Кроме размера цилиндр характеризуется наклоном.

Для построения оптимальнойсхемы нужно построить матрицу связности. Матрица связности – квадратная (g,g), симметричная относительно главной диагонали (подиагонали стоит d доступность), элементы матрицысвязности показывают число связей между нагрузочными группами. Дляоптимальности схемы необходимо чтобы матрицы связности были однородными и неотличались не более чем на единицу.

V =25*1+11 = 36

D =10*1 = 10

G= 10

1) Определим размер цилиндров:

r= [(g*d)/V] (целаячасть)

r= [(10*10)/36] = 2

2) Наша схема будет состоять из r и r+1 шаговых цилиндров

r+1 = 2 + 1 = 3

3) Определяем общее количество цилиндров:

k » V / g k» 36/ 10 » 4

4) Определим количество двухшаговых цилиндров:

5) Определим количество трех шаговых цилиндров:

kr+1= k – kr

kr+1= 4 – 1 = 3

6) Определим наклон цилиндров. Дляэтого строим матрицу связности (табл. 7):

Таблица 7

Параметр схемы Элеме нты первой строки матриц для нагр узочной группы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,3

1,4

1,2

11 3 2 2 2 2 2 2 2 3

7) Построим схемы цилиндров:

/> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

/> 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

III

/> 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

VII

VIII

/> 31 32 33 34 35 36

XIX

2. Для практических расчетовпропускной способности однозвенных НПД коммутационных схем используютприближенные методы.

Упрощенная формула Эрланга:

где У0 – интенсивность обслуженной нагрузкипучком линий;

Р – вероятность потерь;

/> <td/> />
D – доступность;

средняя пропускная способность однойлинии пучка.

Формула О¢ Делла:

/>/>

где УD– нагрузка, обслуженная полнодоступным пучком из dлиний при потерях и приблизительно определяемая с помощью 1-й формулы Эрланга.

Формула Пальма-Якобеуса:

где А – интенсивность поступающей нагрузки на пучок линий.

В модифицированной формуле Пальма-Якобеусавместо поступающей нагрузки А в формулу Пальма-Якобеуса подставляется значениефиктивной нагрузки Аф определяемой из выражения:

Аф = Y / (1 — EV(Аф))

P= EV(Аф) / (EV-d(Аф))

где Y = А(1-Р)

Рассчитаем по формуле Эрланга:

Р = 0,001

УО =А(1-Р) = 4(1-0,001) = 3,996

V=3,996/ />= 7,99 » 8

Р = 0,002

УО =3,992 V = 7,43 » 8

Р = 0,003

УО = 3,988 V = 7,12 » 8

Рассчитаем по формуле О¢ Делла: