Реферат: Случайные процессы
СибирскийГосударственный Университет Телекоммуникацийи Информатики
Кафедра РТС
Реферат по дисциплине «Теория электрической связи» на тему:
«Случайные процессы».
Выполнил: студент группы …
Принял: Криволапов Геннадий Илларионович
Новосибирск 2002
Содержание:
1. Случайные процессы и их характеристики
2. Определение одномерной функции распределения вероятностейслучайных процессов.
Случайные процессы и их характеристики.
Детерминированное, т. е. заранее известное сообщение несодержит информации. Поэтому в теории связи источник сообщения следуетрассматривать как устройство, осуществляющее выбор из некоторого множествавозможных сообщений. Каждая конкретная реализация сообщения возникает сопределённой вероятностью, которая в общем случае зависит от того, какиесообщения передавались раньше. Точно так же и посылаемая в канал реализациясигнала является элементом некоторого множества, выбираемого с определённойвероятностью. Множество, на котором задана вероятностная мера, называютансамблем. Ансамбли сообщений и сигналов могут быть конечными (в дискретномслучае) или бесконечными.
Ансамбль /> функций времениявляется случайным процессом.
Случайными процессами называются такие процессы, которые математическиописываются случайными функциями времени. Случайной называется функция, значения которой при каждом значении аргумента являются случайными величинами.
Случайная функция времени />,описывающая случайный процесс, в результате опыта принимает ту или иную конкретнуюформу />, неизвестную заранее. Этивозможные формы случайной функции называются реализациями случайного процесса.
Мгновенные значения случайного процесса в фиксированныймомент времени ti являютсяслучайными величинами и называются сечением случайного процесса.
Статистические свойства случайного процесса /> как множества (ансамбля)реализации />, характеризуются законамираспределения, аналитическими выражениями которых являются функции распределения.
Для некоторого фиксированного момента времени ti одномернаяфункция распределения
/>
определяет вероятность того, что мгновенное значение случайного процессав этот момент времени примет значение, меньшее или равное X, то есть вероятность того, что />.
В общем случае скалярный процесс X(t) полностьюзадан, если для любого набора моментов времени /> илюбых значений /> можно вычислитьвероятность того, что X(t) принимает вуказанные моменты времени значения, не превышающие соответственно />.
/>.
Функция /> называетсяn-мерной функцией распределения вероятности процесса.
Если существует частнаяпроизводная функции распределения по xi, то можно определить плотность распределения вероятности.Одномерная плотность распределения вероятностей случайного процессаопределяется соотношением
/>.
Аналогично определяются многомерные (n-мерные) функциираспределения для совокупности моментов времени t1, t2,..,ti,..,tn, которые более полно характеризуют случайный процесс одновременно в n сечениях,обозначаемые как
/>.
В теории связи наиболее широкое применение находятдвумерные функции распределения
/>
и
/>.
Во многих практических случаях для характеристики случайных процессовдостаточно знать лишь его усредненные, так называемые, числовые характеристики(моментные функции). Наиболее часто используются математическое ожидание(первый начальный момент), дисперсия (второй центральный момент),ковариационная функция и корреляционная функция.
Простейшей характеристикой случайного процесса являетсяего математическое ожидание
/>,
котороепредставляет собой неслучайную функцию времени, около которой различным образомрасполагаются отдельные реализации случайного процесса.
Математическое ожидание случайного процесса — сигналовэлектросвязи представляет собой постоянную составляющую.
Дисперсией случайного процесса называется неслучайнаяфункция времени, значения которой для каждого момента времени равныматематическому ожиданию квадрата отклонения случайного процесса от егоматематического ожидания
/>.
Дисперсия определяет степень разброса значенийслучайного процесса около математического ожидания.
Применительно к сигналам электросвязи дисперсия являетсямощностью переменной составляющей на нагрузке 1 Ом и измеряется в Ваттах.
В качестве характеристики, учитывающей статистическуюсвязь между значениями случайного процесса в различные моменты времени,используется ковариационная функция случайного процесса
/>,
определяемаякак математическое ожидание от произведения значений случайного процесса в дваразличных момента времени (в двух сечениях).
На практике чаще используют корреляционную функцию,которая определяется как математическое ожидание произведенияцентрированного случайного процесса в два различных момента времени.Центрированный процесс представляет собой только переменную составляющую.
/>
/>
Таким образом, числовые характеристики получаются путемусреднения соответствующей случайной величины по множеству (ансамблю) ее возможныхзначений. Операция усреднения по множеству обозначается прямой горизонтальнойчертой сверху.
Важнейшим классом случайных процессов, встречающихся напрактике, является класс стационарных случайных процессов. Случайный процессназывается стационарным в узком смысле, если его многомерная функцияраспределения (и, следовательно, числовые характеристики) не зависит от началаотсчета времени, т.е. от сдвига всех сечений вправо или влево на один и тот жеинтервал времени ∆t. При этом оказывается, что одномернаяфункция распределения, математическое ожидание и дисперсия вообще не зависят отвремени:
/>,
адвухмерная функция распределения и корреляционная функция, и ковариационнаяфункция зависят только от расстояния между сечениями />:
/>
/>.
Иногда случайный процесс называют стационарным в широкомсмысле, если приведенные условия выполняются лишь для числовых характеристик.Узкое и широкое определения стационарности не тождественны. Случайные процессы, стационарные в узком смысле, всегда стационарны в широком смысле, ноне наоборот.
Если приведенные выше условия не выполняются, тослучайный процесс будет нестационарным. Для нестационарного процесса плотностьвероятности является функцией времени. При этом со временем могут изменятьсяматематическое ожидание, дисперсия случайного процесса или то и другое вместе.
Среди стационарных случайных процессов очень важноезначение имеют так называемые эргодические процессы, для которых статистическиехарактеристики можно найти усреднением не только по ансамблю реализации, но ипо времени одной реализации продолжительностью Т. При этом числовыехарактеристики, полученные по одной реализации путем усреднения по времени, свероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадают с соответствующимичисловыми характеристиками, полученными путем усреднения по множеству(ансамблю) реализации в один момент времени. Следовательно, для эргодическихпроцессов:
/>
/>
/>
Операция усреднения по времени одной реализацииобозначается волнистой линией сверху.
Существует теорема, согласно которой стационарные вузком смысле процессы при достаточно общих предположениях являютсяэргодическими.
Свойство эргодичности стационарных случайных процессовимеет большое практическое значение. Для таких процессов любая реализация полностью определяет свойства всего процесса в целом. Это позволяет приопределении статистических характеристик случайного процесса ограничитьсярассмотрением лишь одной реализации достаточно большой длительности, как это иделается в настоящей лабораторной работе при определении одномерной плотностивероятности.
Если /> представляетсобой ток или напряжение, то /> будетявляться переменной составляющей тока или напряжения. Следовательно,
/>
естьполная мощность процесса, a σ²=Р~– характеризует мощность переменной составляющей процесса.
Полная мощность процесса равна сумме мощностейпеременной и постоянной составляющих, т.е.
/>, где />.
У любого случайного процесса следует различать кромемгновенных значений и максимальные значения, которые также являютсяслучайными величинами и характеризуются своими законами распределения.Огибающая случайного процесса определяется как геометрическое место точек,соответствующих максимальным значениям процесса, и обозначается E(t) с плотностьюраспределения вероятностей W(E).
Остановимся короткона методике практического измерения временных характеристик случайныхпроцессов.
Математическое ожидание (постоянная составляющая)эргодического случайного процесса определяется выражением. Следовательно,измерение /> должно сводиться кдостаточно длительному интегрированию реализации процесса и умножению навеличину 1/Т. Очень часто операция интегрирования (т.е. усреднения по времени)осуществляется с помощью фильтров нижних частот и в частности, интегрирующих RC – цепочек.
/>.
Для измерения полноймощности эргодического случайного процесса в соответствии с выражением
/>
необходимо осуществить операции возведения в квадратисследуемого процесса и интегрирования.
Для случайного процесса с ненулевым математическиможиданием дисперсия (мощность переменной составляющей) равна
/>.
В соответствии с этим выражением при измерении полноймощности случайного процесса можно исключить постоянную составляющую и темсамым упростить измерение.
Для измерения ковариационной функции случайного процессаК(τ) необходимо осуществить операции задержки на различное время τ />, умножения иинтегрирования. Обычно ограничиваются измерением В(τ) в нескольких точках.При этом необходимо располагать набором перемножителей и линий задержки нафиксированное время задержки kΔt (чаще всего используют линиюзадержки с отводами).
Определение одномерной функции распределения вероятностей случайныхпроцессов.
Для эргодических случайных процессов по одной реализации могут бытьопределены не только числовые характеристики, но и функция распределениявероятностей Р(τ) или плотность распределения вероятностей W(x). Функцияраспределения Р(х)определяется как относительное время пребыванияодной реализацию длительностью Т (интервал наблюдения) ниже уровня x.
/>
Соответственно плотностьвероятности равна
/>,
где /> представляет собойотносительное время пребывания реализации в интервале (х, х+Δх).
Таким образом, аппаратурное определение функциираспределения эргодического процесса по одной реализации основано на измеренииотносительного времени пребывания случайного напряжения в интервале значений отU до (U + ΔU).
При реальных ΔU измеряетсявероятность
/>,
дляразличных U и строится распределение вероятностей ввиде гистограммы. Для получения функции плотности вероятностей W(U) необходимоаппроксимировать гистограмму непрерывной кривой или ожидаемым закономраспределения, пользуясь критериями согласия.
Список использованнойлитературы:
1. Методическое указание клабораторной работе «Вероятностные характеристики случайных сигналов».
2. «Теория передачи сигналов», А. Г.Зюко, «Радио и связь», 1986.