Реферат: Задача обработки решеток
Содержание
Введение 3 1.1 Задача обработки решетки 5 1.2 Продолжаемость 9 1.2.1 Спектральные основы и совместные множества 9 1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление 10 1.2.3 Õàðàêòåðèñòèêè ïðîäîëæàåìîñòè 11 1.3 Граница и внутренняя часть 15 1.3.1 Функции спектральной плотности мощности 15 1.3.2 Дискретизация спектральной основы 16 1.4 Метод Писаренко 18 1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков 18 1.4.2 Вычисление оценки Писаренко 22 Резюме 25 2.1. Интегральное уравнение для открытого резонатора с осесимметричным диском 26 2.2 Интегральное уравнение открытого резонатора с диэлектрическим диском, несоосным с зеркалами [72] 32 Заключение, перспективы 39 3 Метод СВЧ контроля параметров полимеров 40 Литература 45 ПриложениЯ 47 Приложение А 48 Приложение В 50 Приложение С 52 Иллюстрации 54Рассматривается вкратце задачаобработки решеток и формулируется задача абстрактной спектральной оценки. Этазадача включает оценку многомерного спектра мощности частотно-волнового векторапо измерениям корреляционной функции и знанию спектральной основы.
Исследование согласующихся покорреляции спектральных оценок приводит к вопросу продолжаемости: существуетли любой положительный спектр на спектральной основе, который в точностисогласует данное множество корреляционных выборок? Для ответа на этот вопросразработана математическая структура, в рамках которой следует анализировать иразрабатывать алгоритмы спектральной оценки.
Метод спектральной оценки Писаренко,который моделирует спектр в виде импульсов плюс шумовая компонента,распространяется со случая временной последовательности на более общий случайобработки решеток. Оценку Писаренко получают как решение линейной задачиоптимизации, которая может быть решено при использовании линейного алгоритмапрограммирования, к примеру, симплекс — метода.
Введение
Подобно тому, как спектр мощностистационарной временной последовательности описывает распределение мощности взависимости от частоты, спектр мощности частотно-волнового вектора однородногои стационарного волнового поля описывает распределение мощности в зависимостиот волнового вектора и временной частоты или, что эквивалентно, в зависимостиот направления распространения и временной частоты. Спектр частота — волновойвектор или информация, которая может быть получена из него, является важной вомногих применениях. В радиоастрономии и гидролокации могут быть основаны наинформации, содержащейся в оценке спектра мощности. Следовательно, оценкаспектра мощности по данным решетки датчиков представляет больной практическийинтерес.
Раздел II содержит краткий обзор волновых нолей и решетокдатчиков, а также введение в задачу спектральной оценки. Рассматриваютсяальтернативные математические представления спектров мощности, как мер и какфункций спектральной плотности. В разделе II вводится термин корешетки,множества разделений вектора и временных запаздываний, для которых доступныкорреляционные выборки, и спектральной основы, области частоты-пространстваволнового, вектора, содержащей мощность. к которой чувствительны датчики.Никакой особой структуры не предполагается как и для корешетки. Так и дляспектральной основы. Раздел IIзавершается Формулировкой абстрактной задачи: оценкой спектра мощности приусловии того, что он положителен на спектральной основе и равен нулю вне ее, атакже обладает некоторыми известными корреляциями для разделений в корешетке.Хотя и проще многих задач, встречаемых на практике, ключевые характеристики,которые отличают задачу решетки, от задачи спектральной оценки мощностивременной последовательности, сохраняются: многомерность частотной переменнойи неравномерность корешетки.
При условии этой формулировкипроблемы естественно рассматривать спектральные оценки, которые согласуются сизвестной информацией: спектральные оценки, положительные на спектральнойоснове и равные нулю вне её, в точности согласующиеся с измереннымикорреляциями,.исследование таких, согласованных с корреляцией, спектральных оценокставит два главных вопроса. Первый и более фундаментальный вопрос касаетсясуществования любой такой оценки. Эта проблема, продолжаемости имеет глубокиеисторические корни [1] и недавнобыла поднята Дикинсоном [2]относительно двумерной спектральной оценки по методу максимальной энтропии, атакже является темой некоторых недавних работ Цибенко[3 — 4]. Проблемапродолжаемости исследуется в разделе III. Характеризуются продолжаемые множества корреляционных измерений.Рассматривается также их зависимость от спектральной основы и эффектдискретизации спектральной основы. В попытке ответить на вопрос опродолжаемости разработана необходимая математическая структура, позволяющаяанализировать специальные методы спектральной оценки и разрабатывать алгоритмыдля их вычисления.
Вторым поднятым вопросом являетсявопрос единственности:
имеется ли единственная согласованная с. корреляциейспектральная оценка и, если нет, как выбрать нужную? Действительно,единственная оценка не существует, за исключением весьма специальных случаев;задача метода спектральной оценки состоит в выборе одного из ансамбля спектров,удовлетворяющего согласованию корреляции, положительности и ограничениямспектральной основы. Раздел IУкасается метода Писаренко [5], который включает моделирование корреляционных измерений в виде суммы двухкомпонентов. Один, шумовой компонент известной спектральной формы, нонеизвестной амилитуды, делается настолько большим, насколько это возможно безпревращения второго компонента в непродолжаемый. Показано, что спектральнаяоценка по методу Писаренко решает линейную задачу оптимизации. Решение этойзадачи оптимизации будет всегда существовать, если корреляционные измеренияявляются продолжаемыми. Показало, что тактически метод Писаренко тесно связан свопросом продолжаемости и алгоритм вычисления оценки Писаренко будет такжеслужить в качестве теста продолжаемости. Показано, что оценка Писаренко неявляется всегда единственной в общем случае, хотя она единственна для случаявременной последовательности, где задача линейной оптимизации сводится к задачена собственные значения.
1.1. Задача обработки решетки
Вообразим многомерную однороднуюсреду, поддерживающую волновое поле с комплексными значениями u(x, t) и содержащую решетку датчиков. Волновоепаче будет предполагаться однородным и стационарным, так что его статистикивторого порядка описываются корреляционной санкцией r, или эквивалентно, спектром мощности />[6].
/> (2.1)
Представление спектра мощности, посредством положительноймеры /> обеспечивает необходимую гибкость для того, чтобыиметь дело с диапазоном спектральных оснований унифицированным образом иобрабатывать спектры, которые содержат импульсы: конечная мощность приединственном волновом векторе.
В инженерной литературе болеепринято представлять спектр мощности посредством положительной функцииспектральной плотности />. В этомпредставлении
/> (2.2)
где /> -некоторая фиксированная мера, которая позволяет интерпретировать выражение/2.2/ в виде многомерной поверхности или объемного интеграла, возможновзвешенного, над частотно-волновым векторным пространством.
Если дана 'функция спектральнойплотности мощности />, то возможноопределить соответствующую положительную меру путем требования, чтобы мераподмножества В частотно-волнового векторного пространства равнялась интегралуфункции спектральной плотности по В:
/> (2.3)
Теперь будет сформулированапростая задача спектральной оценки. Особое внимание будет уделено моделированиюсвойств процесса сбора данных, которые являются общими для многих задачобработки решеток. Эти свойства включают измерение корреляционной функции приконечном числе неравномерно распределенных точек и ограничения на областьпространства частоты-воктора волны, в котором может присутствовать мощность.
Каждый из ПИП производит временнуюфункцию, которая является волновым полем U, подвергнутым выборке в точке пространства.Совокупность временных функций, образуемых всеми ПИП, выход или отклик решетки,должна быть обработана с тем, чтобы обеспечить оценку спектра мощностичастоты-волнового вектора. Стохастический характер волнового поля неизменноприводит к случайным 'изменениям любой спектральной оценки, основанной навыходе решетки. Чтобы противодействовать этому эффекту, спектральные оценкичасто базируются на устойчивых статистиках, получаемых с выхода решетки.Обычным примером такой статистики является корреляционная оценка, вычисляемаяпосредством умножения выхода одного ПИП на задержанный во времени выход второгоПИП с усреднением по времени. Эта обработка дает в результате оценкукорреляционной функции с временной задержкой, соответствующей запаздыванию вовремени и пространственным разделением, которое является вектором расстояниямежду ПИП. Процесс усреднения обеспечивает статистически стабильные оценкикорреляции, что дает в результате статистическую стабильность спектральнойоценки, основанной на этих корреляционных оценках. Важно отметить, что оценкикорреляций доступны только для конечного множества междатчиковых расстояний ивременных задержек [8]. Тема ошибок корреляционных оценок не будетзатрагиваться. Эта. статья касается скорее свойств множеств истинныхкорреляционных выборок и спектральных оценок, основанных на корреляционныхвыборка.
Предполагается известным, чтоспектр заключен в ограниченной области пространства частота-волновой вектор,спектральной основе. Снаружи этой основы предполагается, что спектр равен нулю.Ограниченная спектральная основа может естественно возникнуть несколькимипутями. Например, в среде, которая поддерживает скалярные волны, известныйисточник, среда и характеристики датчика могут быть использованы для построениясоответствующей спектральной основы. Источник может иметь известную временнуюширину полосы или известную конечную угловую протяженность. Соотношениедисперсии и затухание в среде ограничивает область пространствачастота-волновой вектор, в которой может присутствовать мощность. ПИП могутиметь конечную временную полосу могут быть направленными. Все эти эффекты могутмоделироваться посредством предположения о том, что мощность отсутствуетснаружи определенной области пространства частота-волновой вектор. Известнаяспектральная основа, базирующаяся на физике частной задачи, представляет собойважную априорную информацию, которая может быть использовала в.задачеспектральной оценки.
Во многих применениях значительнобольше данных доступно во временном измерении, чем в пространственномизмерении. В этих случаях удобно отделить временную переменную посредствоманализа Фурье временной последовательности выхода каждого датчика, а затемпроизвести раздельную спектральную опенку волнового вектора для каждойвременной частоты путем использования коэффициентов Фурье в качестве данных дляспектрального оценивателя волнового вектора. Таким образом задача оценкистимулируется для комплексных данных, дажехотя физические волновые поля имеют
вещественные значения. К счастью, обычный анализ Фурьеявляется часто удовлетворительным, когда данные избыточны, а также неявным приузкополосном характере многих датчиков. Там, где ограниченные данные вовременное измерении делают упомянутый выше подход не практичным, а доступнымиявляются широкополосные решетки датчиков, полная задача может трактоватьсяпосредством включения временных переменных /> и/> в векторы /> и k. Тогда /> будетописывать разделение как в пространстве, так и во времени, a k волновойвектор пространства-времени. Будем полагать, что принят один из этих двухподходов; следовательно временные переменные /> и/> будут опущены.
Простым примером моделиспектральной оценки, разработанной выше, является решетка ПИП, состоящая изодинаковым образом ориентированных ИП.
Пример 2.1: решетка из трех ИП.Представим, что решетка ИП, показанная на рис.1, используется для приемаединственной временной частоты />,соответствующей длине волны />.
ИП с диаметром d имеет полосу пропускания, котораягрубо описывается выражением
/>.
Полагая, что волновое поле удовлетворяет соотношениюдисперсии
для однородной, недиспергирующей среды, основанием дляспектральной оценки должна быть полярная шапка, описываемая двумя уравнениями
/>
/>
и показанная на рис.2
Совместным множеством для этойзадачи является только множество всех 3-мерных пространственных разделениймежду ИП в решетке.
1.2 Продолжаемость
В последнем разделе была построенапростая модель задачи обработки решетки: если даны некоторые корреляционныеизмерения и спектральная основа, получить спектральную оценку. Естественноиспользование известной информации о спектре для ограничения спектральнойоценки требованием того, чтобы она была согласована с измеренными корреляциями,положительной и ограниченной спектральной основой. Такие, спектральные оценкиназываются спектральными оценками согласованными с корреляцией.
Исследование спектральных оценок,согласованных с корреляцией подымает фундаментальный вопрос о существовании.Если задана, конечная совокупность измеренных корреляций и спектральная основа,то существует ли по крайней мере одна согласованная с корреляцией спектральнаяоценка? Если такая спектральная оценка существует, то о измеренных корреляцияхговорят, что они продолжаемы. /Корреляционная функция, полученная посредствомобратного преобразования Фурье согласованной с корреляцией спектральной оценки,является подходящим продолжением корреляционных измерений на всепространственные разделения/. После некоторых необходимых математическихопределений мы получим ответ на вопрос о существовании путем характеризациимножества продолжаемых корреляционных измерений.
1.2.1 Спектральные основы исовместные множества
Вначале необходимо определитьболее тщательно термины спектральная основа и совместное множество.Предполагается, что спектральная основа К является компактнымподмножеством />, т.е. Кзамкнуто и ограничено. Предположение относительно компактности Кприводит к некоторым техническим преимуществам: непрерывная функция накомпактном множестве достигает своей нижней и верхней грани. Кроме того,компактность должна всегда содержаться в физической задаче. Как обсуждалось впредыдущем разделе, знание источника, среды и характеристик датчиков может бытьиспользовано для построения соответствующей спектральной основы.
Совместное множество /> будет определяться, какконечное подмножество /> со свойствами
I / 0/>;
II / если />
III / /> является множеством линейнонезависимых функций на .
Условие I/ подразумевает знание r(0) полной мощности в спектре.Условие II/ отражает тот факт, чтокорреляционная функция всегда сопряжено симметрична; так, если /> известна, то известна и />. Условия I/ и II/ совместно подразумевают, что /> имеет вид
/> (3.1)
Условие II/ гарантирует, что корреляционные измерениянезависимы; каждое измерение дает новую информацию о спектре.
Если D > 1, то задача спектральной оценки являетсямногомерной. Если /> и /> то задача спектральнойоценки является известным случаем временной последовательности и вопроспродолжаемости сводится к известной задаче тригонометрических моментов [9].
1.2.2 Сопряженно-симметричныефункции и их векторное представление
Спектральная основа и совместноемножество естественно предполагает ситуацию векторного пространства для задачиспектральной оценки, в которой сопряженно-симметричные комплекснозначныефункции на /> будут играть центральнуюроль. Сопряженно-симметричная функция f на /> являетсяфункцией, для которой /> при всех />. Корреляционные выборки, изкоторых должны образовываться спектральные оценки, являются такими функциями./Благодаря этой симметрии многие из нижеследующих выражений являются вещественными,хотя они, ради простоты, были записаны в виде, который предполагает, что онимогут быть комплексно-значными/. Совместное множество /> имеет 2М + I элемент итаким образом сопряженно-симметричная функция на /> характеризуетсяпосредством 2М + I независимыми вещественными числами. Так,сопряженно-симметричная функция на /> можетрассматриваться как вектор в />./Векторное пространство над вещественными числами выбирается потому, что толькоумножение на вещественное число, переводит корреляционную функцию в другуюкорреляционную функцию/. Будут использоваться как функциональное обозначение /> так и векторное f.
Поскольку /> является линейно-независимымìíîæåñòâîì функций на K, то отсюда следует, что каждый векторp â /> может быть единственным образом связан ñ вещественно-значным />-полиномом P(k)íà Ê посредством соотношения
/> (3.2)
Вектор будет называтьсяположительным, если /> на К. Рбудет обозначать множество этих векторов, связанных с положительными />-полиномами. Из компактностиК, как можно показать, следует, что Р является выпуклым конусом свершиной в начале координат. /Множество С является конусом с вершиной вначале координат, если /> подразумевает /> для всех /> [10]. Конусы являютсяважными видами множеств в задаче спектральной оценки, поскольку толькоумножение на положительные вещественные числа переводит корреляционную функциюв другую корреляционную функцию, а />-полиномв другой />-полином./
Внутреннее произведение вектора rкорреляционных выборок и вектора р полиномиальных коэффциентов будетопределяться как
/> (3.3)
Это внутреннее произведение даетвозможность по новому записать />-полином:/>, где /> обозначает вектор скомпонентами />. Отметим также,что если />, то />, что cooтветствуетвыражению соотношению Парсеваля.
1.2.3 Характеристикипродолжаемости
Пусть Е обозначаетмножество продолжаемых векторов корреляции. То есть />, если
/> (3.4)
для некоторой положительной меры /> на К. Из свойствинтеграла следует, что, Е является замкнутым выпуклым конусом с вершинойв начале координат. Кроме того, сечение по Е при />:
/> (3.5)
является выпуклой оболочкой компактного множества
/> (3.6)
является выпуклой оболочкой компактного множества
Итак, Е — замкнутый выпуклый конус с вершиной в началекоординат, генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемойкорреляция аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 годудля задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том, что множествопродолжаемых векторов корреляции описывается в терминах простого множества А.Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и будет полезно вдоказательствах.
Вторая характеристикапродолжаемости, которая является более полезной при разработке методовспектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в видепересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включаетдуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е.элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяетсяпосредством вектора q, ивещественного числа с в виде множества
/> (3.7)
Чтобы определить отдельные полупространства, содержащие Е,достаточно рассмотреть те корреляционные векторы, которые генерируют Е:положительные кратные векторов во множестве А. Замкнутоеполупространство содержит Е тогда и только тогда, когда /> для каждого /> и каждого />. Поскольку /> можно сделать произвольнобольшой, должно быть истинным то, что />,т.е. q — член конуса Р.Наименьшее полупространство, содержащее Е для такого q соответствует выбору с = 0. Итак,
/> (3.8)
или, словами, следующее.
Теорема о продолжимости:.вектор /> является продолжимым тогдаи только тогда, когда /> для всехположительных p.
Таким образом, положительныеполиномы естественно имеют место в задаче продолжаемости, поскольку ониопределяют гиперплоскости основы множества Е продолжаемых векторовкорреляции. На языке функционального анализа теорема о продолжимости, котораяявляется видом леммы Фаркаша [11],просто констатирует, что Е и Р — положительные сопряженныеконусы.[10]. Эта теорема имеет важноеследствие относительно перемещения простой характеристики Р, в терминахположительности, на характеристику Е. Хотя введение спектральной основыв рассматриваемую задачу является новым, по существу та же характеристикапродолжимости была первоначально использована Кальдероном и Пепинским [l2], и Рудиным [l3].
Рисунок 4 демонстрируетзависимость Е от спектральной основы. Существуют две точки зрения на этузависимость. Прямая точка зрения отмечает тот факт, что Е являетсявыпуклым конусом, генерированным А; поскольку К уменьшилось, Асжалось и Е теперь меньше, чем на рис.3. Косвенная точка зрениявключает ограничения; множество К ограничивает множество Рпосредством условия о положительности, а множество Р ограничиваетмножество Pпосредством теоремы продолжимости.Итак, когда К сжимается, Р растет, и Е сжимается.
Для случая временнойпоследовательности теорема о продолжимости сводится к тесту положительнойопределенности теплицевой матрицы, образованной из корреляционных выборок.Следовательно, о продолжимости можно говорить как об общем аналогеположительной определенности.
Пример 3.1: Случай временнойпоследовательности; D=1,/>.B этом случае, проблемапродолжимости сводится к проблеме тригонометрических моментов [9]. Хотя это и не справедливо вобщем случае, для случая временной последовательности, как следует изфундаментальной теоремы алгебры, положительный полином может быть факторизованв виде квадрата модуля М-той степени тригонометрического полинома
/>.
Внутреннее произведение /> становитсятеплицевой формой в коэффициентах />
/>
Таким образом, требование того,чтобы внутреннее произведение /> былоположительным для всех полиномов сводится к требованию положительнойопределенности теплицевой формы, соответствующей корреляционным измерениям.
1.3 Граница и внутренняя часть
Необходимо будет делать различиемежду границей и внутренней частью множеств Е и Р. Рассмотрениеметода Писаренко в разделе 17, к примеру, включает векторы на границах Еи Р. Векторы во внутренней части Е и P являются важнымитогда, когда затрагиваются пункции спектральной плотности, как например, вметоде спектральной опенки по способу максимальной энтропии [l4].
Граница замкнутого множества состоит изтех членов, которые находятся произвольно близко к некоторому вектору снаружимножества. Внутренняя часть замкнутого множества состоит из тех членов, которыене находятся на границе…
Граница и внутренняя частьконечного измеримого множества не зависит от частного выбора нормы вектора [15]. Кроме того, поскольку Р иЕ являются выпуклыми множествами, особенно просто охарактеризовать ихвнутренний части и границы.
Граница Р, обозначаемая />, состоит из тех положительныхполиномов, которые равны нулю для некоторых />.Внутренняя часть Р, обозначаемая />,состоит из тех полиномов, которые строго положительны на К.
Положительные полиномы могут бытьиспользованы для определения границы и внутренней части Е. Граница Е,обозначаемая />, состоит из тех продолжимыхкорреляционных векторов, которые превращают в нуль внутреннее произведение снекоторым ненулевым положительным полиномом. Внутренняя часть Е,обозначаемая />, состоит из техкорреляционных векторов, которые делают строго положительными внутренниепроизведения с каждым ненулевым положительным полиномом.
1.3.1 Функции спектральной плотности мощности
Многие методы спектральной оценкипредставляют спектр мощности не как меру, а в виде функции спектральнойплотности. Это ведет к модификации задачи продолжимости: если заданафиксированная положительная конечная мера />,которая определяет интеграл
/> (3.9)
то какие корреляционные векторы /> могут быть произведены отнекоторой строго положительной функции />?При одном дополнительном ограничении на />,которое легко удовлетворяется на практике, модно показать, что векторы, которыемогут быть представлены таким образом, являются векторами, находящимися вовнутренней части Е. Кроме того, можно показать, что любой век
тор во внутренней части Е может быть представлен вформе /3.9/ для некоторой непрерывной, строго положительной />.
Теорема продолжимости для функцийспектральной плотности:
Если каждое соседство каждой точки в К имеет строгоположительную />-меру, то
1/если /> равномерноограничена относительно нуля по К,
то
/>;
2/если />,то
/>
для некоторой непрерывной, строго положительной функции />.
Доказательство этой теоремы содержитсяв Приложении А.
1.3.2 Дискретизация спектральной основы
Многие представляющие интересспектральные основы содержат бесконечное число точек. Эти спектральные основыследует часто аппроксимировать в вычислительных алгоритмах посредствомконечного числа точек. Поэтому важно понимать эффекты такой аппроксимации.
Рассмотрим дискретную спектральнуюоснову
/> (3.10)
Мера /> надискретной основе полностью характеризуется ее значением /> в каждой точке. Итак,обратный интеграл -Фурье сводится к конечной сумме
/> (3.11)
Аналогично, для санкций спектральной плотности
/> (3.12)
Мера /> можетсчитаться определяющей квадратурное правило для интегралов по спектральнойоснове.
Из определений продолжимыхвекторов корреляции и положительных полиномов можно заметить, что, еслиспектральная основа образуется посредством выбора конечного числа- точек изнекоторой исходной спектральной основы, то новое множество Е являетсявыпуклым многогранником, вписанным внутрь исходного множества Е, а новоемножество Р является выпуклым многогранником, описанный вокругпервоначального множества Р. Следовательно, новое Е меньше исходногоЕ, а новое Р больше исходного Р. Достаточно плотнаявыборка исходной спектральной основы приведет к многогранникам, которыеаппроксимируют исходные множества с произвольной точностью. Например, на рис.5показан эффект аппроксимации спектральной основы /> четырьмявыборками /> для />. Исходные конусы Е иР имеют круговое поперечное сечение при />,как показано на рис.3. Конусы, соответствующие выборочной основе имеют /оба/квадратное поперечное сечение. Границы новых и старых конусов пересекаются увекторов, соответствующих точкам выборки.
1.4 Метод Писаренко
Писаренко описал методспектральной оценки временной последовательности, в котором спектр моделируетсяв виде суммы импульсов штос компонента белого шума [5]. Если компонента белого шума выбирается настолькобольшой, насколько это возможно, то, как он показал, положение и амплитудыимпульсов, необходимые для согласования измеренных корреляций, определяютсяединственным образом. Метод Писаренко будет выведен для более обшей ориентацииИП и для более общей шумовой компоненты. Связь метода Писаренко с вопросомпродолжимости будет продемонстрирована.
Продолженная оценка Писаренкобудет получена как решение задачи оптимизации, включающей минимизацию линейногофункционала над выпуклой областью, определенной линейными ограничениями.
Решение этой задачи оптимизации существует всегда, но ономожет быть не единственным. Получается задача двойственной' оптимизации,которая для случая временных последовательностей приводит к знакомойинтерпретации метода Писаренко в виде разработки сглаживающего фильтра сограничениями по методу наименьших квадратов. И опять, решение этойдвойственной задачи существует всегда, но может быть не единственным.
Рассматриваются алгоритмы длявычисления по методу Писаренко. Основная задача оптимизации записывается, дляспектральной основы, состоящее из конечного числа точек, в воде линейнойпрограммы стандартного вида. Рассматривается применение симплекс-метода длярешения этой основной линейной программы. Представлена двойственная линейнаяпрограмма. Рассматриваются также возможность создания вычислительныхалгоритмов, более быстрых, чем симплекс-метод.
1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков
Основой метода Писаренко являетсяоднозначное разложение /рис.6/ корреляционного вектора /> на сумму масштабированноговектора корреляции шума />, вовнутренней части Е, и остаток /> награнице Е
/> (4.1)
Допущение о том, что /> находится в /> подразумевает, что такоеразложение произвольного вектора /> существуети единственно. Рассмотрим однопараметрическое семейство корреляционных векторов
/> (4.2)
Для /> достаточноположительного /> не должен бытьпродолжаемым, а для /> достаточноотрицательного /> должен бытьпродолжимым, так как допущение, что /> подразумевает,что Е содержит окрестность />.Выпуклость Е означает, что имеется некоторое наибольшее число />, такое, что /> является продолжимым.Поскольку имеются произвольно близко к /> непродолжимыевекторы, /> должен быть на границе Е.Кроме того, поскольку />тогда и толькотогда, когда /> продолжим, это разложение /> может 'быть использовало вкачестве теста продолжимости.
Это однозначное разложение /> может быть сформулировано ввиде основной задачи линейной оптимизации на всех положительных спектрахмощности. Отметим, что /> имеет по крайнеймере, одно положительное спектральное представление /> и, что из /4.1/ для /> следует
/> (4.3)
Утверждение того, что /> являетсянаибольшим числом, так что остаток /> продолжаем,приводит к линейной задаче оптимизации
/> (4.4з)
так что
/> (4.45)
Максимум равен /> и ондостигается />.
Поскольку /> продолжаемо, оносоответствует некоторой положительной мере />. Следовательно /4.1/ принимает вид
/> (4.5)
Если />, то /> является положительноймерой, которая согласует корреляционные измерения и которая имеет наиболеевозможную шумовую компоненту.
Некоторая дополнительнаяинформация относительно остатка /> и егоспектрального представления может быть получена. /> находитсяна границе Е; следовательно, он дает нулевое внутреннее произведение снекоторым ненулевым положительным полиномом
/> (4.6)
Из этого следует, что основа /> должнабыть на нулевом множестве />. Илиболее точно, основа любого спектрального представления /> должна быть на пересечениинулевых множеств всех положительных полиномов, которые образуют нулевоевнутреннее произведение с />. Этопредполагает окончательный шаг в выводе метода Писаренко; а именно, объединениеостатка /> с импульснымспектром. ^ .
Тот факт, что целевой функционалосновной задачи оптимизации не является строго выпуклым, допускает, чторешение не может в общем случае быть единственным. Решение /> основной задачи оптимизациивсегда единственно тогда и только тогда, когда корреляционный вектор на границеЕ имеет единственное спектральное представление. В случае временнойпоследовательности каждый такой /> имеетединственное спектральное представление, как сумма М или меньшего числаимпульсов[5].
Пример 4.1: Случай временнойпоследовательности, />. Как и в примере3.1, каждый положительный полином может быть факторизован в виде /> для некотороготригонометрического полинома М-той, степени /> иследовательно /> могут бытьравными нуля не более, чем в М точках. Спектр />, следовательно, должен бытьсуммой импульсов в этих точках. Кроме того, поскольку возможно построитьположительный полином, который равен нулю в /> произвольновыбранных точках и нигде больше, то отсюда следует, что /> имеет единственноеспектральное представление в виде суммы импульсов в общих нулях всехположительных полиномов /> так что />.
В более широком смысле, теоремапродолжимости совместно с теоремой Каратеодори [16] показывает,что имеется по крайней мере одно спектральное представление /> в виде суммы не более чем 2Мимпульсов.
Теорема представления: Если />, то существует /> и />, так что
/> (4.7)
Доказательство теоремы представления можно найти вПриложении В. Это представление и, таким образом, решение основнойзадачи оптимизации могут быть не единственными. Дальнейшее обсуждение этойпроблемы единственности можно найти в Приложений С.
Если /> иместоположения импульсов в единственном решении /> могутбыть определены для данного />, тоамплитуды импульсов могут быть вычислены просто путем решения набора линейныхуравнений. А сейчас мы получим двойственную задачу оптимизации, которая дает /> и />, так что />. Тогда, если /> имеет единственноеспектральное представление, местоположения импульсов могут быть определены понулям />. Из теоремы продолжимостиследует
/> (4.8)
Так как /> и />, то отсюда следует, что /> и /> для всех />. Кроме того, так как /> для некоторого />, то отсюда следует, что
/> (4.9а)
на множестве
/>(4.9b)
и минимум достигается при />.Решение этой двойственной задачи может не быть единственным даже в случаевременной последовательности, когда она сводится к задаче собственного вектора,полученной Писаренко, и приводит к интерпретации метода Писаренко в видеопределения сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьшихквадратов.
Пример 4.2: Случай временной последовательности, />. Как в примере /3.1/
/>.
Кроме того, если /> соответствуетбелому шуму единичной мощности,
/>.
Таким образом, двойственная задача оптимизации сводится кнахождению собственного вектора теплицевой матрицы, связанного с />, соответствующегонаименьшему собственному значению. Если имеется несколько таких собственныхвекторов, импульсы располагаются в общих нулях соответствующих полиномов. Любойнормированный собственный вектор, соответствующий минимальному собственномузначению, дает коэффициенты сглаживающего фильтра, сумма квадратов величинкоторых ограничена единицей, что дает наименьшую выходную мощность при наличиивходного процесса, корреляции которого описываются />[17].
1.4.2 Вычисление оценки Писаренко
При разработке алгоритмоввычисления оценки Писаренко можно столкнуться с дискретной спектральной основой
/>
Для такой основы основная задача /4.4/ может бытьпереписана в виде линейное программы стандартного вида
/> (4.11з)
так что для />
/> (4.11b)
с N переменными и 2М ограничениями. Минимум равен /> и достигается для />. Основная теорема линейногопрограммирования 18 эквивалентна теореме представления в этом случае. Приусловии, что для этой линейной программы существует решение, как показано впредыдущем разделе, основная теорема гарантирует решение, в котором не более,чем 2М из /> не равны нулю,так называемое, базовое решение.
Двойственная линейная программа[l5]
/> (4.12з)
так что для />
/> (4.12b)
эквивалентная двойственной задаче /4.9/ для дискретнойспектральной основы, где ограничение
/> (4.13)
было использовано для исключения /> и где />. Её минимум равен /> и достигается при />.
Основная задача может быть решенапри использовании симплекс-метода [18]. Применение симплекс-метода к основной задаче приводит в результате ксущественно тому же результату /вычислительному алгоритму/, что и применение,/одинарного/ метода замены к двойственной задаче [19]. Применив соответствующийметод для избежания зацикливания [20],может быть получен алгоритм, который гарантирует сходимость к оптимальномурешению за конечное число шагов, хотя его воплощения обычно были медленными .
Задача чебышевской аппроксимациисвязана с вычислением оценки Писаренко; она может быть сформулирована, какминимизация линейного функционала на выпуклом пространстве, определенномограничениями типа линейных неравенств [l6]. Она также решалась с использованием симплекс-метода/одинарная замена/. Однако для частной задачи чебышевской аппроксимациинепрерывных функций полиномами с одной переменной существует вычислительныйметод, который значительно быстрее симплекс-метода, это метод многократнойзамены Ремеза. Хотя были сделаны попытки распространить этот метод на болееобщие задачи [21],появившиеся в результате алгоритмы не достаточно хорошо понятны; в частности,не доказана их сходимость.
И наконец, задачи недискретнойоптимизации, включенные в вычисление оценки Писаренко, /4.4/ к /4.9/, являютсявидом, известным, как полубесконечные программы. Как теоретические, так ивычислительные аспекты таких программ рассматриваются в сборнике статей,изданных Геттичем [22].
Резюме
Эта статья связана с тем, чтовероятно является наиболее простой и интересной задачей в обработке антенныхрешеток; оценкой спектра мощности с известной основой при условии, что данынекоторые выборки его корреляционной функции. Хотя и простая, эта задачасохраняет несколько черт, которые являются общими для многих задач обработкирешеток: многомерные спектры, корреляционные выборки с неравномерными отчетамии произвольные спектральные основы.
Исследование спектральных оценок,согласованных с корреляцией привели к задаче продолжимости. Были даны двехарактеристики продолжаемости ста задача, для случая временныхпоследовательностей, известна как задача тригонометрических моментов и еерешение включает рассмотрение положительной определенности корреляционныхвыборок. Положительная определенность может поэтому рассматриваться какспециальный случай продолжимости.
Базируясь на теоретической основе,разработанной при решении задачи продолжаемости, метод Писаренко былраспространен со случая временных последовательностей на задачу обработкирешетки. Было показано, что метод Писаренко тесно.связан с задачекпродолжимости. Было показано, что вычисление оценки Писаренко включает решениелинейной задачи оптимизации. Было показало, что решение этой задачи не являетсяединственным в общем случае, хотя оно единственно для случая временнойпоследовательности, где задача линейном оптимизации сводится к задачасобственных значений.
Хотя рассмотренная в этой статьезадача спектральной оценки была разработала для обработки решетки, теоретическаяструктура и результирующие алгоритмы должна быть полезными в других многомерныхзадачах, например, обработке изображений.
2.1 ИНТЕГРАЛЬНОЕУРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ДИСКОМ
В § 9.3 было получено интегральноеуравнение (9.39) для резонатора с диэлектрическим телом в виде шара. Такаяформа диэлектрика хороша для анализа, но неудобна для практики.
Обычно приходится иметь дело сдиэлектрическими образцами более сложной формы, в частности с диэлектрическимдиском. В такой ситуации получить аналитическое выражение для ядра не удается,однако это не является препятствием для нахождения решения задачи.
Действительно, ядро уравнения длярезонатора с шаром (9.39) — это сумма ядра для пустого резонатора и дополнительногочлена, представляющего собой поле, рассеянное шаром.
Запишем уравнение для резонатора сдиском в аналогичном виде, поскольку физическая картина явлении одна и та же:
/> (9.45)
Здесь /> - ядро пустого резонатора; Т —ядро, связанное с рассеянием на диэлектрическом образце. Обсудим, что всущности делается при решении уравнения (9.39) методом Галеркина. Дляопределенности будем считать, что в качестве базисных и весовых (см.приложение 2) взяты собственные функции резонатора без шара, которые обозначим /> и будем считатьортонормированными.
С первым слагаемым ядра все ясно,базисные функции являются его собственными, и действие интегрального операторас таким ядром эквивалентно умножению на постоянную, являющуюся собственнымзначением пустого резонатора:
/> (9.46)
Интегральный оператор со вторымслагаемым ядра представляет собой магнитное поле тока на зеркалах, рассеянноешаром. Плотность тока задается в виде />, а рассеянное поле рассчитывается на поверхностизеркала. При решении (9.39) расчет рассеянного шаром поля проводитсяаналитически. Однако ту же процедуру можно произвести численно, и тогдаограничения на формулу диэлектрического образца в значительной степени снимаются.
Для расчета рассеянного поля будемприменять интегральное уравнение (3.85). Диэлектрический образец может бытьпроизвольным телом вращения, в частности диском.
После этих общих соображенийрассмотрим процедуру решения (9.45) последовательно. Функция U(x) ищется в виде
/> (9.47)
В соответствии с методом Галеркина(см. приложение 2) подставляем (9.47) в (9.45), затем умножаем на /> и повторно интегрируем пообразующей зеркала. С учетом ортонормированности базисных функций имеетоднородную СЛАУ
/> (9.48)
где /> -собственные числа уравнения невозмущенного резонатора [см. (9.46)].
Элементы матрицы СЛАУ выражаютсяинтегралами
/> (9.49)
Последнюю формулу надо пониматькак символическую. Она эквивалентна процедуре расчета рассеянного поля,описанной выше. Остановимся на ней подробнее.
Вначале необходимо найти поле наповерхности диэлектрического тела, созданное током вида /> на зеркалах. Это можно былобы сделать с помощью (3.8), (3.9), однако есть более простой путь, еслиограничиться рассмотрением тел небольших, на порядок меньших диаметра зеркал.Тогда можно воспользоваться приближенным выражением для поля в резонаторе,соответствующим приближенным функциям токов на зеркалах. На рис. 9.6представлены графики распределения токов на зеркалах, соответствующие низшемутипу колебаний /> и колебанию,имеющему вариацию по радиусу />. Резонатор конфокальный с параметром/>. Вблизи оси плотность тока,описываемая гиперсфероидальными функциями (кривые 1), практически не отличаютсяот экспоненциальной функции, умноженной на полиномы Лагерра (кривые 2),т. е. от гауссова пучка [68]. Радиальное распределение отличается толькомасштабом по радиусу.
Таким образом,будем описывать поле в резонаторе вблизи его центра приближенным.выражением ввиде гауссова пучка
/> (9.50)
где
/>;
R — радиус кривизны волнового фронта; W— радиус «освещенного пятна» впучке. Последняя величина определяется как радиус,на
/>
Рис. 9.6. Сравнение точных иприближенных кривых для гиперсфероидальных функций:
1 — точные, 2 — приближенныекривые
котором интенсивность пучкаспадает в е раз по отношению к центру пучка. Характерной величиной длякаждого пучка является наименьший радиус «пятна» />.Применительно к резонатору — это радиус «пятна» в центре, который связан сдлиной резонатора 1:
/> (9.51)
1 Как и ранее, все длиныпредполагаются умноженными на волновое число, которое здесь соответствуетдействительной части собственной частоты невозмущенного резонатора.
Величины W и R медленно меняются вдольрезонатора:
/> (9.52)
/> (9.53)
В центре резонатора /> Естественно в резонаторесуществуют не один, а два встречных гауссовых пучка, и вблизи центра полеосновной моды в приближении гауссова пучка имеет вид
/> (9.54)
На зеркале /> для конфокальной геометриирезонатора в соответствии с (9.51)—(9.53) />,и распределение тока имеет вид1
/> (9.55);
Для следующего колебания «1, 0, q» поле в центре резонаторапредставляется формулой
/> (9.56)
и на зеркалах
/>(9.57)
Таким образом, поле в резонаторебез образца, соответствующее различным модам, в приближении гауссова пучканетрудно записать. Оно играет роль первичного поля для задачи возбуждениядиэлектрического образца.
Вычисляем эквивалентные токи наповерхности диэлектрика в предположении, что основная поляризация поля />. В обозначениях § 3.3имеем:
1 Напомним, что в открытых резонаторах с круглыми зеркалами принятаследующая индексация мод: первый индекс — число вариаций по R, второй — число вариаций по />, а третий — число вариацийпо />
/> (9.58)
Теперь необходимо возвратиться казимутальным гармоникам вида />, поскольку ЭВМ — программы длядиэлектрических тел вращения сделаны применительно к ним. Первичные токипредставляют собой сумму первой и минус первой гармоник. Каждую из них можновыделить, используя формулу Эйлера. В результате решения задачи возбуждениядиэлектрического тела, а конкретно диска, получаем значения эквивалентных токовв дискретных и достаточно часто расположенных точках образующей. Зависимостьот /> этих токов известная. Еслиобъединить токи первой и минус первой гармоник, она будет такой же, как и упервичных токов (9.58).
Следующий этап — вычислениерассеянных диском полей на зеркалах. Для этого используются формулы (3.8),(3.9). Выра жения для элементов тензорной функции Грина следует упрос тить, каки при выводе уравнений (9.5)—(9.8), т. е. положить />, а для функции /> использовать асимптотическуюформулу (9.22). Последняя содержит множитель, учитывающий набег фазы наполовине размера резонатора (расстояние от образца до одного из зеркал). Такойже набег фаз имеется в первичном для диэлектрического образца поле. Этот сдвигприсутствует также в (9.56) и (9.57). Все это позволяет вынести за знакинтеграла множитель />, такой же, как ииз основного ядра. Этот множитель, как и ранее, дает основную частотнуюзависимость. Ядра без него от частоты зависят слабо, и в них частота полагаетсяравной действительной части собственной частоты пустого генератора.
Теперь уже можно вычислитьэлементы матрицы (9.48). Для определения элемента /> беретсярассеянное поле, возбужденное нулевой модой пустого резонатора, т. е. />, затем оно в соответствиис (9.49) домножается на (9.55) и интегрируется. При этом необходимо помнить,что базисные функции предполагались нормированными. Поэтому функцию (9.55)необходимо предварительно пронормировать. В силу осевой симметрии системы поверхностныйинтеграл (9.49) можно представить в координатах вращения. Интеграл по /> берется аналитическим, а порадиальной координате /> - численно.Остальные элементы /> отыскиваютсяточно так же.
Далее решаетсязадача на собственные значения, а затем с помощью формул (9.40) и (9.41)находятся изменения добротности и сдвиг частоты.
2.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМДИСКОМ, НЕСООСНЫМ С ЗЕРКАЛАМИ [72]
При проведении измеренийпараметров диэлектрика образец в виде диска часто удобнее расположить несооснос зеркалами и, в частности, так, чтобы оси резонатора и диска былиперпендикулярны (рис. 9.7). Такое расположение диска нарушает осевую симметриюзадачи. В общем случае отход от осевой симметрии очень -сильно усложняетрешение, поскольку теряется основное преимущество систем вращения —независимость отдельных азимутальных гармоник полей.
/>/>
Рис. 9.7. Геометрия открытогорезонатора с несоосными зеркалом и диском
Однако в рассматриваемой задачеанализа полей в высокодобротном открытом резонаторе несоосность вноситтехнические, но не принципиальные затруднения. Действительно, для измеренийпараметров диэлектрический образец берется небольшим по сравнению с размерамирезонатора. Поэтому его внесение в резонатор не приводит к переходу к другоймоде, а лишь несколько меняет добротность и резонансную частоту той моды,которая существовала без диэлектрика. Таким образом, за счет фильтрующихсвойств резонатора новых азимутальных гармоник не появляется и основнаятрудность в несоосных системах вращения снимается. Надо лишь следить за тем,чтобы на других азимутальных гармониках у пустого резонатора не былопоблизости от частоты рабочей моды других высокодобротных мод.
Метод решения задачи остается вобщих чертах тем же, что и в предыдущем параграфе, но с некоторыми усложнениями. Главное из них — это необходимость введения двух систем координатвращения: одной, связанной с зеркалами резонатора (ось вращения у}, ивторой, связанной с диэлектрическим телом (ось вращения z) (рис. 9.7). Поле, рассеянноедиском, не обладает теперь осевой симметрией по отношению к зеркалам, чтосущественно затрудняет интегрирование по поверхности зеркал, необходимое приприменении метода Галеркина.
Рассмотрим теперь этапы решениязадачи. Как и ранее, в методе Галеркина в качестве базиса используютсясобственные функции пустого резонатора, а точнее, их приближенное представлениев виде гауссова пучка.
Пусть центр диска по-прежнемусовпадает с центром резонатора, а ось его симметрии повернута на 90° поотношению к оси резонатора (см. рис. 9.6). Решение начинается с нахожденияазимутальных гармоник падающего по отношению к диску поля и соответствующих емупервичных токов.
Падающее поле вблизи дискавыражается функциями (9.54) и (9.56), которые с учетом изменившейся системыкоординат запишем так:
/> (9.59)
/> (9.60)
Положим, что основная поляризация поля в резонаторе />. Эквивалентные токи в координатах вращения,связанных с диском, тогда имеют вид:
/>(9.61)
Здесь, как и в (9.58), использованы обозначения § 3.3.Переход от декартовых к координатам вращения дает
/> (9.62)
Коэффициенты А, Ви D зависят от формы поверхности, на которой находится точка наблюдения.На плоском торце /> (/> - радиус диска, /> — его толщина); нацилиндрической поверхности />.
Воспользуемся малостьюдиэлектрического тела по сравнению с размерами резонатора, т. е. учтем, что /> или /> и/>. Это позволяет представитьэкспоненты двумя членами ряда Тейлора
/>. (9.63)
Послеэтого токи записываются в виде
/>(9.64)
Для следующего типа колебаний «10 q» выражения для первичных токовимеют тот же вид, но A1=3A, D1=3D, B1=B. Далее поля разлагаются в рядФурье. Поскольку тело невелико, можно ограничиться небольшим числом гармоник.Используя формулы для коэффициентов ряда Фурье и интегральное представлениефункции Бесселя (9.21), получаем выражения для гармоник падающих токов. Приэтом в силу симметрии в случае синфазных токов на зеркалах присутствуют тольконечетные гармоники, что соответствует максимуму поля резонатора в областидиска:
/>
/>(9.65)
Здесь
/> .
Переход к отрицательным индексампроисходит так же, как и ранее.
После вычисления первичных токовиспользуется алгоритм решения задачи возбуждения тела вращения, основанный науравнении (3.85). Результат получается в виде распределения азимутальныхгармоник плотностей эквивалентных токов на поверхности диэлектрика.
Далее по этому распределениюнетрудно рассчитать рассеянное поле всюду и в том числе на поверхностизеркала. Как и в § 9.4, это поле и определяет элементы матрицы однородной СЛАУ(9.48). Расчет ведется в тех же приближениях с учетом изменившейся системыкоординат. В частности, асимптотическая формула для функции /> в этих координатах имеетвид
/>. (9.66)
Существенные затруднения вызываетвычисление интегралов (9.49), определяющих элементы матрицы СЛАУ (9.48).
Интеграл здесь поверхностный, т.е. двойной, и численное интегрирование требует больших затрат времени ЭВМ.Выходом из положения является аналитическое вычисление одного из интегралов.Для этого можно воспользоваться тем, что в направлении, перпендикулярном оси />(см. рис. 9.7), каждая изазимутальных гармоник рассеянного поля имеет синусоидальную зависимость.Формально удобно вести это интегрирование по декартовой координате /> в пределах от /> до />. Зависимость поля будетсинусоидальной только на окружности с центром, совпадающим с диском1.Отличие этой окружности от меридиональной линии зеркала учтем только в фазе.Поправочный множитель, как показывает геометрический расчет, имеет вид />.
Зависимость поля каждой гармоникиот /> на зеркале может бытьпредставлена только в числах, поэтому интеграл по /> впределах — /> берется численно. Таким путемприходим к интегралу
/> (9.67)
где /> —гиперсфероидальные функции, которые берутся в приближении гауссова пучка, т. е.в виде (9.55) и (9.57).
Формула (9.67) учитывает векторныйхарактер поля. Все расчеты ведутся в предположении, что основная поляризация врезонаторе /> и, следовательно, />. В рассеянном поле прииспользовании метода Галеркина надо брать ту же поляризацию. Она в координатахвращения, связанных с диском, представляет собой />.Интеграл по />, как уже говорилось,можно взять аналитически. Не останавливаясь на подробностях, их можно найти в[72], заметим, что этот интеграл можно свести к неполной гамма-функции. Длявычисления последней имеются быстро сходящиеся ряды. Нахождение одномерногоинтеграла по /> численным методом труда непредставляет.
Рассмотримнекоторые результаты расчетов. Качественно они такие же, как и в случае шара (§9.3). С ростом действительной части диэлектрической проницаемости /> диска растет смещениечастоты (рис. 9.8, а). Мнимая часть />, т. е. />, на эту величину влияетслабо. Изменение обратной величины к добротности /> также увеличивается с ростом /> за счет рассеяния на диске.Мнимая часть проницаемости заметно влияет 'на изменение добротности только при/>, когда омические потери вобразце соизмеримы с потерями резонатора за счет рассеяния на диске (рис.9.8,6).
1 Окружность показана на рис. 9.7 тонкой линией
/>
a) б)Рис. 9.8. Сдвиг резонансной частоты и изменениедобротности открытого резонатора с диском как функция /> диска
/>
Рис. 9.9 Изменение добротностиоткрытого резонатора с диском как функция /> диска
/>
Рис. 9.10. Сравнение параметроврезонатора с диэлектрическим шаром и диском
К тому же выводу приходим,рассматривая параметр /> как функцию /> для различных значений />. Видно, что с увеличением /> кривая становится все болеепологой и извлечение информация об /> диэлектрическогообразца становится все более проблематичным (рис. 9.9).
Если считать, что 10%-ная доляомических потерь еще различима на фоне потерь на рассеяние, то в области /> можно измерить /> порядка />, а при /> только величины />.
Таким образом, методом открытогорезонатора можно измерять потери только очень плохих диэлектриков. Расчет связипараметров диэлектрика и характеристик резонатора для шара все же проще, чемдля диска. Поэтому встает вопрос, нельзя ли установить соответствие междуобразцами в форме шара и диска. В качестве параметра соответствия естественновзять объем диэлектрического образца. С этой целью были рассчитаны смещениясобственной частоты и изменение обратной величины добротности для шара и дискас одинаковым объемом. Оказалось (рис. 9.10), что эти зависимости, качественноодинаковые, количественно различаются заметно. Поэтому для полученияприемлемой точности измерений необходимо тарировочные кривые строить на основеадекватной математической модели.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ПЕРСПЕКТИВЫ
Метод интегральных уравнений вэлектродинамике появился сравнительно недавно и быстро завоевал популярность.Этому способствовал целый ряд его преимуществ: простота метода и,следовательно, его доступность; единство подходов к решению весьма широкогокруга задач; удобство реализации в виде вычислительных программ алгоритмов, нанем основанных, и, наконец, высокая степень универсальности.
Остановимся на указанных чертахметода несколько подробнее. Единство подходов к большому кругу задач означает,как видно из гл. 2 и 3, что интегральные уравнения, эквивалентные различнымграничным задачам электродинамики, составляются по одному и тому же стереотипу.При этом для задач на телах вращения нет необходимости проходить стадиюуравнений для произвольных тел. Истокообразные представления (3.8) и (3.9)вместе с формулами для элементов тензорной функции Грина позволяют" легкои быстро, примерно так же как из крупных блоков строят дома, составлятьнеобходимые уравнения.
Те же «крупные блоки» в видеподпрограмм для />-функции дляэлементов тензора Грина и решения систем линейных алгебраических уравненийпозволяют достаточно быстро и просто компоновать программы для всехсформулированных в книге задач и для многих других. Те же подпрограммы даютвозможность после численного решения уравнений найти поле в любой точкепространства.
3 МЕТОД СВЧ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВПОЛИМЕРОВ
Для контроля технологическихпараметров полимеров (качества смещения, определение включений, вязкости)находят применение радиоволновые метода СВЧ. Рассмотрим метод, которыйхарактеризуется определением объёмной эффективной площади рассеяния ( ЭПР ).
ЭПР это площадь поперечногосечения некоторого фиктивного тела, которое рассеивает электромагнитную в одну,ЭПР существенно зависит от формы м ориентации тела, от его материала ЭПР,разрешаемого объема /> заполненногочастицами ( элементарными отражателями), выражается произведением />. Так для реальныхполимерных материалов требуется знать распределение частиц во размерам /> размеры частиц в единицеобъёма распределены по /> групп и в 1-йгруппе содержится частиц с аффективной площадью рассеяния />, то удельная объёмная ЭПР
/> (1)
ЭПР одной сферической частицы, диаметр /> которой много меньше длиныволны, определяется формулой />
/> (2)
Коэффициент />,выраженный через комплексный показатель преломления /> изменяетсяот /> для частиц наполнителя.
Практически для большинстваобъектов полимерных структур
с наполнителем удельную ЭПР можно выразить формулой
/> (3)
Множитель
/> (4)
можно назвать отражаемостью, которая зависит отконцентрации и размера частиц в разрезаемом элементе.
Изменение базы волны ври отраженииможно определить из отпадения напряженностей поля падающей (/>) и отраженной (/>) волн:
/>, (5)
Модель этой комплексной величины />, имеющей размерность длины,определяет интенсивность отражения. Аргумент указывает на изменение фазы волныпри отражении.
Если рассматривать прием ипередачу на одну и туже антенну, т.е. одинаковой ( согласованной) поляризацией,умножим выражение на комплексно сопряженную величину
/> ,
В результате получаем
/>
Это означает, что если эффективнаяплощадь /> - площадь квадрата, томодель эффективной длины /> - этосторона того квадрата; /> — — точноерасстояние до источника, определяющего фазу колебаний />.
Для поляризованного колебаниянапряженность регулярного электромагнитного поля выражается вектором />, который вращается сугловой скоростью /> и конец которогоописывает эллипс в плоскости перпендикулярной направлению распространения. Еслираспространение происходит в направлении оси />прямоугольнойсистемы координат />, определяемойортами />, то эллиптическиполяризованная волна выражается составляющими к полностью описывается четырьмяпараметрами: амплитуда />, и фазами />y. Однако не все эти параметры характеризуютполяризацию. Одинаково поляризованными называются волны, у которых эллипсыполяризации подобны и одинаково ориентированы. Абсолютное значение амплитуд,влияющие лишь на размеры эллипсов поляризации, начальная фаза /> , одинаковая для обеихсоставляющих, ив является поляризационными характеристиками.
Следовательно состояниеполяризации плоской волны можно полностью определить двумя параметрами (рис.1).
/>
Рис.1 Эллиптически поляризованнаяплоская волна
В качестве таких параметров могутслужить отношение амплитуд /> и сдвигфаз y ортогональных составляющих;отношение амплитуд часто заменяют углом />.Поляризацию можно также задать величинами, непосредственно характеризующимиформу и ориентацию эллипса: отношение главных осей эллипса /> углом /> и углом наклона главнойоси /> (рис.1).
Система координат />, в которой представленополяризованное колебание, может быть задана парой единичных взаимноперпендикулярных векторов />, />. Такие ортогональныевекторы — орты — называются поляризованным базисом.
В поляризованном базисе ( />, /> ) вектор можно представитьвыражением
/>
где />, /> и />, /> - модули и фазы комплексныхамплитуд, составляющих напряженности электрического поля />соответственно. Если />, то поляризация линейна,при /> она эллиптическая. Прикруговой поляризации амплитуды составляющих одинаковы, а фазы сдвинуты на 90°.
Поляризационные преобразования приотражении можно представить уравнениями
/>
связывающими ортогональные составляющие напряженности ноляпадающей (/>) и отраженной (/>) волн, взятых в одном и томже поляризационном базисе (/>). Паруэтих выражений можно записать в матричной форме.
/>
Таблицу комплексных величин
/>
называют матрицей рассеяния. В данной записи матрицарассеяния образована поляризационными составляющими эффективной длины цели.
В дальнейшем будем рассматривать вкачестве основной характеристики цели матрицу эффективной длины
/>
Матрицу эффективной длиныцелесообразно представить в виде
/>
где />
Таким образом, чтобы получитьматрицу эффективной длины цели для однокомпозиционной схемы измерения ( т.е.антенна является приемной к передающей достаточно найти значения модулейматрицы /> и размерностей ихаргументов />.Для этог0 осуществляютизлечение и прием сигналов для двух составляющих выбранного поляризационногобазиса раздельно.
При излучении электромагнитныхволи вертикальной поляризации и при приеме вертикально и горизонтальнополяризованных составляющих отраженного сигнала, можно измерить модули /> и разность фаз />. При излучении величин сгоризонтальной линейной поляризацией находят соответственно /> и />. Основная трудностьпоявляется при прямом измерении разности фаз />.Для этого требуется излучать раздельно по времени либо по частоте двазондирующих колебания: с горизонтальной и вертикальной поляризацией.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фок В. А. Дифракция на выпукломтеле. — ЖЭТФ, 1945, т. 15, № 12, с. 693 — 698
2. Васильев Е. Н. Возбуждениегладкого идеально проводящего тела вращения. — Изв. Вузов СССР. Сер.Радиофизика, 1959, т. 2, № 4, с. 588 — 601.
3. Андерсеан А. Д. Рассеяние нацилиндрах с произвольным поверхностным импедансом. — ТИИЭР, 1965, т. 53, № 8,с. 1007-1013.
4. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К.Теория дифракции. — М.: Мир, 1964. — 428 с.
5. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф.Возбуждение электромагнитных волн. — М.: Радио и связь, 1983 — 296 с.
6. Арнольд В. И. Обыкновенныедифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984. — 271 с.
7. Тихонов А. Н., Самарский А. А.Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. — 735 с.
8. Вычислительные методы вэлектродинамике / Под ред.Р. Миттры. — М.: Мир, 1977. — 485 с.
9. Панасюк В. В., Саврук М. П.,Назарчук З. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двухмерных задачахдифракции. — Киев: Наукова думка, 1984. — 343 с.
10. Михлин С. Г. Вариационные методы вматематической физике. — М.: Наука, 1970, — 420 с.
11. Хижняк Н. А. Функция Гринауравнений Максвелла для неоднородных сред. — ЖТФ, 1958, т. 28,№ 7, с. 1592 — 1604.
12. Кравцов В. В. Интегральныеуравнения в задачах дифракции. — В кн.: Вычислительные методы и программирование.- М.: Изд-во МГУ, 1966, вып. У, с. 260 — 293.
13. Васильев Е. Н., Гореликов А. И.,Фалунин А. А. Тензорная функция Грина координатах вращения. — В кн.: Сб.научно-методических статей по прикладной электродинамике. — М.: Высшая школа,1980, вып. 3, с. 3 — 24.
14. Белостоцкий В. В., Васильев Е. Н.Интегральное уравнение сферического открытого резонатора с диэлектрическимшаром. — В кн.: Вычислительные методы и программирование. — М.: Высшая школа,1978, вып. 2, с. 101 — 111
15. Васильев Е. Н., Серегина А. Р.,Седельникова З. В. Дифракция плоской волны на теле вращения, частично покрытомслоем диэлектрика. — Изв. Вузов СССР. Сер. Радиофизика, 1981, т. 24, № 6, с.753 — 758
16. Хемминг Р. В. Численные методы. — М.: Наука, 1972. — 400 с.
17. Васильев Е. Н., Малов В. В.,Солохудов В. В. Дифракция поверхностной волны на открытом конце круглогополубесконечного диэлектрического волновода. — Радиотехника и электроника,1985, т. 30, № 5, с. 925- 933.
18. Фокс А., Ли Т. Резонансные типыколебаний в интерферометре квантового генератора. — В кн.: Лазеры. — М.: ИЛ,1963. — 155 с.
19. Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н.Строгая постановка задачи о свободных ивынужденных колебаниях открытого резонатора. — Радиотехника и электроника,1967, т. 12, 11, с. 1184- 1193.
20. Вайнштейн Л. А. Открытыерезонаторы и открытые волноводы. — М.: Сов. радио,1966. — 475 с.
21. Slерiаn В. Ргоbаtе spheroidal wavefunction, fourier analisis and uncertainly - 1У. Extension to manydimension, generalised prolate spheroidal functions. — Bell System Techn. J.,1964, v. 143, . 11, р. 1042- 1055.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
Теорема продолжимости для функцийспектральной плотности
Это приложение относится к теоремепродолжимости для функций спектральной плотности, обсуждавшихся в разделе Ш-Е.Подразумевается, что каждая окрестность каждой точки в К имеет строгоположительную />-меру. Это условиегарантирует, что корреляционные векторы, соответствующие импульсам в К,могут быть аппроксимированы посредством корреляционных векторов,соответствующим непрерывным, строго положительным функциям спектральнойплотности.
Теорема продолжимости дляспектральных функций плотности: Если каждая окрестность каждой точки в Кимеет строго положительную меру />, то
1/если /> равномерноограничено от нуля по К, то
/>,
2/если />,то
/>
для некоторых непрерывных, строго положительных функций />.
Доказательство: Первоеутверждение может быть доказано посредством рассмотрения отображенияограниченной функции /> на вектор />, определяемый путем
/> (А1)
То, что /> имеет равномерноеограничение от ноля означает, что для некоторого />длявсех />. Поскольку Функции /> являютсялинейно-незазисимыми функциями на К и, так как каждая окрестность каждойточки в К содержит множество со строго положительной мерой, то отсюдаследует, что отражением множества ограниченных />-полиномов
/> (А2)
при /A1/, является окрестность О. Поэтомуотражением
/> (А3)
является подмножество Е, которое находится вокрестности />.
Следовательно, />.
Второе утверждение может бытьдоказано посредством рассмотрения множества /> корреляционныхвекторов, соответствующих функциям спектральной плотности, которые являютсяинтегрируемыми, непрерывными и строго положительными /следовательно, сограничением от нуля/,
/>
/> является выпуклым и, из доводов,приведенных выше, следует, что />-открыто. Легко показать., что векторы /> для/> находятся в замыкании />. Из теоремы Каратеодори [16] следует, что каждый /> может быть записан в видеположительной суммы 2М + I таких />.Поскольку каждый /> находится взамыкании />, то отсюда следует, чтокаждый /> находится там же. Поэтомузамыканием /> является Е. Дваоткрытых выпуклых множества с одинаковым замыканием должны быть идентичными.Поскольку Е находится в замыкании как />,так и />, то отсюда следует, что />
Приложение В
Теорема представления
Теорема представления раздела IУ-А является простым распространениемтеоремы Каратеодори [16] для корреляционных векторов на границе Е сиспользованием теоремы о продолжимости. Это обобщение «теоремы С»Каратеодори [9, гл. 4] для многократных измерений. Ввиду вывода методаПисаренко в разделе 1У, как линейной программы, теорема представления можеттакже рассматриваться, как вид фундаментальной теоремы линейногопрограммирования. [l8].
Теорема представления: Если /> находится на границе Е,то для некоторых 2М неотрицательных /> инекоторых />:
/> (В1)
Доказательство: Рассмотримкомпактное выпуклое множество />,которое является выпуклой оболочкой />. Потеореме Каратеодори,. любой элемент в Е может быть выражен в видевыпуклой комбинации 2М+1 элементов А
/> (B2)
при /> и/>. Если одно из /> равно нулю, доказательствозавершено. Иначе, поскольку /> находитсяна границе />, имеется некоторыйненулевой />, такой что
/> (В3)
Итак, для каждого />, /> должны быть линейнозависимыми, следовательно имеются некоторые />,не все нули, так что />. Пусть /> является числом снаименьшим значением, так что /> длянекоторого />.
Тогда
/>(B4)
Один из этих коэффициентов равеннулю, что делает равным это выражение сумме только 2М членов. Признаниетого, что любой элемент Е является масштабированной версией элемента />, завершает доказательство.
Отметим, что для случая временнойпоследовательности, /> может бытьвыражен в виде суммы не более, чем М комплексных экспоненциалов, в товремя, как вышеприведенная теорема гарантирует только представление в терминах 2Мэкспоненциалов, Это не недостаток доказательства, а подлинная особенностьпроблемы, как показывает следующий одномерный пример.
Пример BI: />. Предположим, что /> находится на прямой частиграницы и, как показа-
но на рис.7. Ясно, что /> имеет единственноепредставление в виде выпуклой суммы членов А в терминах двухкорреляционных векторов, соответствующих /> и/>,
/>
Приложение С
Единственность оценки Писаренко
Как обсуждалось в разделе IУ-А, опенка Писаренко являетсяединственной, если один и только один спектр может быть связан с каждымкорреляционным вектором на границе Е. Тривиальные проблемыединственности появляются в результате, если два отдельных /> в /> приводят к одному и тому же/>. В -более общем смыслерассмотрим множество корреляционных векторов, соответствующих нулевомумножеству некоторого ненулевого положительного полинома />
/> (С1)
Любой вектор />, который превращает в нольвнутреннее произведение с р, может быть выражен в виде суммы положительныхсоставляющих векторов из множества />. Отсюдаследует, что если это множество является линейно независимыми, то представлениеединственно. И наоборот, если это множество линейно зависимо, то можнопостроить /> на границе Е,который имеет более одного спектрального представления. Если множество линейнозависимо, то имеется конечная совокупность ненулевых вещественных чисел /> и />, таких что
/> (С2)
Поскольку /> для всех />, то должно быть, по крайнеймере, одно /> - строго положительное иодно — строго отрицательное. Итак,
/> (С3)
является ненулевым вектором корреляции на границе Ес, по крайней мере, двумя спектральными представлениями.
Поэтому оценка Писаренко являетсяединственной тогда и только тогда, когда множество корреляционных векторов,соответствующих нулю каждого ненулевого положительного полинома, линейнонезависимо. В частности, чтобы оценка Писаренко была единственной, никакойненулевой положительный полином не может иметь более 2М нулей, этоусловие подобно, хотя и не так строго, условию Хаара [23], которое включает все полиномы, ане только положительные.
Факторизация полиномов в случаевременной последовательности дает сильный результат. В случае временнойпоследовательности ненулевой положительный полином может иметь не более Мнулей. Кроме того, ненулевой положительный полином может быть построен так, чтоон равен нулю в М или менее произвольных точках и больше нигде. Этоозначает /Пример 4.I/, что корреляционный вектор в /> имеетединственное спектральное представление и что этот спектр состоит из и илименее импульсов. Кроме того, это означает, что любой спектр, состоящий из Мили менее импульсов, имеет корреляционный вектор в />.
Однако, простой примерпоказывает,, что нет гарантии того, что оценка Писаренко будет единственной вбольшинстве многомерных ситуаций. Рассмотрим ненулевой положительный полином
/> (С4)
для некоторого ненулевого />.Нулевое множество /> включает частьгиперплоскости
/> (С5)
которая находится в К. Многие спектральные основы,имеющие практический интерес, пересекают эту гиперплоскость в бесконечном числеточек, подразумевая существование некоторого корреляционного вектора на границеЕ с неединственным спектральным представлением. Эта проблеманеединственности аналогична неединственности в многомерной чебышевскойаппроксимации [24].
ИЛЛЮСТРАЦИИ
/>
Рис.1 ПИП из трех ИП
/>
Рис.2 Спектральная основа длярешетки ПИП: I — основа
/>
Рис.3 Е и Р для /> и />. /а/Сечение Е и Р при /> и /b/ Сечение Е и Р при />.
/>
Рис. 4 Е и Р для /> и />. /а/Сечение Е и Р при /> и /b/ Сечение Е и Р при />.
/>
Рис.5 Аппроксимация спектральнойосновы посредством выборки; сечениепри />
/>
Рис.6 Разложение вектора /> на вектор /> на границе Е плюскратное данного вектора />.
/>
Рис.7 Е для/> и />. /а/Сечение по Е при /> и /b/ Сечение по Е при />.