Реферат: Сопротивление материалов

1. Введениеи основные понятия

Ключевые слова: Прочность. Жесткость. Устойчивость.Надежность. Деформирование. Ресурс. Отказ.

Постановка задачи. Прикладная механика — это наука,интегрирующая, с одной стороны циклы общеобразовательных дисциплин таких как:физика, математика, теоретическая механика, материаловедение, инженернаяграфика, а с другой стороны — это первая инженерная дисциплина, котораяпреподается студентам технических специальностей. Прикладная механика, впринципе, охватывает две дисциплины: сопротивление материалов и основыконструирования. Ниже излагается цикл лекций по прикладной механике срасстановкой акцентов на наиболее сложно воспринимаемой части курса — сопротивлению материалов.

Сопротивление материалов- наука о прочности, жесткости и надежности элементов инженерных конструкций.Методами сопротивления материалов ведутся практические расчеты и определяютсянеобходимые, как говорят, надежные размеры деталей машин, различных конструкцийи сооружений.

Основные понятиясопротивления материалов опираются на законы и теоремы общей механики и впервую очередь на законы статики, без знания которых изучение данного предметастановится практически невозможным.

В отличие оттеоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, гденаиболее существенными являются свойства деформируемых тел, а законы движениятела, как жесткого целого, не только отступают на второй план, но в рядеслучаев являются попросту несущественными.

Сопротивление материаловимеет целью создать практически приемлемые простые приемы расчета типичных,наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость довестирешение каждой практической задачи до некоторого числового результатазаставляет в ряде случаев прибегать к упрощающим гипотезам — предположениям,которые оправдываются в дальнейшем путем сопоставления расчетных данных сэкспериментом.

Необходимо отметить, чтопервые заметки о прочности упоминаются в записках известного художника ЛЕОНАРДОДе ВИНЧИ, а начало науки о сопротивлении материалов связывают с именемзнаменитого физика, математика и астронома ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЯ. В 1660 году Р.ГУКсформулировал закон, устанавливающий связь между нагрузкой и деформацией: «Каковасила — таково и действие». В XVIII веке необходимо отметить работыЛ.ЭЙЛЕРА по устойчивости конструкций. XIX — XX века являются временем наиболееинтенсивного развития науки в связи с общим бурным ростом строительства ипромышленного производства при безусловно огромном вкладе ученых-механиковРоссии.

Итак, мы будем заниматьсятвердыми деформированными телами с изучением их физических свойств.

Введем основные понятия,принимаемые при изучении дисциплины.

Прочность — это способность конструкциивыдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь.

Жесткость — способность конструкции кдеформированию в соответствие с заданным нормативным регламентом.

Деформирование — свойство конструкции изменять своигеометрические размеры и форму под действием внешних сил

Устойчивость — свойство конструкции сохранять придействии внешних сил заданную форму равновесия.

Надежность — свойство конструкции выполнятьзаданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенныхнормативных пределах в течение требуемого промежутка времени.

Ресурс — допустимый срок службы изделия.Указывается в виде общего времени наработки или числа циклов нагружения конструкции.

Отказ — нарушение работоспособностиконструкции.

Опираясь навышесказанное, можно дать определение прочностной надежности.

Прочностнойнадежностьюназывается отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимымидеформациями элементов конструкции.

На рис.1 приведенаструктура модели прочностной надежности. Она включает известные модели илиограничения, которые априорно накладываются на свойства материалов, геометрию,формы изделия, способы нагружения, а также модель разрушения. Инженерные моделисплошной среды рассматривают материал как сплошное и однородное тело,наделенное свойством однородности структуры. Модель материала наделяетсясвойствами упругости, пластичности и ползучести.

/>

 

Упругостью называется свойство телавосстанавливать свою форму после снятия внешних нагрузок.

Пластичностью называется свойство тела сохранятьпосле прекращения действия нагрузки, или частично полученную при нагружении,деформацию.

Ползучестью называется свойство тела увеличивать деформациюпри постоянных внешних нагрузках.

/>

Основными моделями формыв моделях прочностной надежности, как известно, являются: стержни, пластины,оболочки и пространственные тела (массивы) (рис.2). Модели нагружения содержатсхематизацию внешних нагрузок по величине, характеру распределения(сосредоточенная или распределенная сила или момент), а также воздействиювнешних полей и сред.

После обоснованного выборамоделей формы, материала, нагружения переходят к непосредственной оценкенадежности с помощью моделей разрушения. Модели разрушения представляют собойуравнения, связывающие параметры работоспособности элемента конструкции вмомент разрушения с параметрами, обеспечивающими прочность. Эти уравнения(условия) называют условиями прочности. Обычно рассматриваются в зависимости отусловий нагружения четыре модели разрушения:

статические,

длительно статические,

малоцикловые,

усталостные.

Как уже отмечалось,изучение дисциплины невозможно без знания основ теоретической механики. Поэтомусвой остаточный ресурс знаний рекомендую проверить по разделу«Статика», используя систему входных тестов.

Поскольку изучениесопротивления материалов базируется прежде всего на таких известных понятияхкак сила, пара сил, связи, реакции в связях, равнодействующая система внешнихсил, то…

Вам рекомендуетсярешить простые задачи, указанные в ПРИЛОЖЕНИИ под разделом Т-1.

2. Методсечений для определения внутренних усилий

Ключевые слова: Внешние силы. Внутренние усилия(силовые факторы). Следящая система координат. Нормальная сила. Внутренниекрутящие и изгибающие моменты. Поперечная сила.

Деформациирассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от прохождения внешнейсилы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередьприводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, какследствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяютсяуниверсальным методом сечений (или метод Разреза).

Известно, что различаютсилы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) — это количественнаямера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях.Внутренние усилия — это количественная мера взаимодействия двух частей одноготела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешнихусилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.

На рис.1 приведенарасчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующуюравновесную систему сил:

 

/> (1)

/>

При этом, реакции связейопределяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:

/>, /> (2)

/>, />

/>, />

где х0, у0,z0 — базовая система координат осей.

Мысленное разрезаниебруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиямравновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б, в). Здесь {S'} и {S"}-внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченныхчастях вследствие действия внешних усилий.

При составлении мысленноотсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:

/>

Так как исходная системавнешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:

 

{S'} =-{S"} (3)

Это условие соответствуетчетвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия.

Используя общуюметодологию теоремы Пуансо о приведении произвольной системы сил кзаданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А',точку С', систему внутренних усилий для левой части {S'} сводим кглавному вектору />и главному моменту />внутренних усилий.Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масссечения А" определяется, соответственно, точкой С"(Рис.1 б, в).

/>{S'}~ {R',L'0}; {S"} ~ {R",L"0} (4)

Здесь в соответствие счетвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:

/> 

R' = -R" (5)

L'0=-L"0

Таким образом, главныйвектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условноотсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлениюглавному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих вправой условно отсеченной части.

График (эпюра)распределения численных значений главного вектора и главного момента вдольпродольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросыпрочности, жесткости и надежности конструкций.

Определим механизмформирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые видысопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.

В центрах массисследуемых сечений С' или С" зададимся соответственно левой(с', х', у', z') или правой (с", х", у", z")системами координатных осей (рис.1 в), которые в отличие от базовой системыкоординат x, у, z будем называть «следящими». Терминобусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание измененияположения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольнойоси бруса, например при: 0 ≤ х'1 ≤ а, а ≤ x'2≤ b и т.д., где, а и b — линейные размерыграниц исследуемых участков бруса.

Зададимся положительныминаправлениями проекций главного вектора />или />и главного момента />или />на координатные осиследящей системы (рис.1 б, в):

/>{N', Q'y, Q'z},/>{M'x,M'y, M'z} (6)

/>{N", Q"y,Q"z}, />{M"x, M"y,M"z}

При этом положительныенаправления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий наоси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретическоймеханике: для силы — вдоль положительного направления оси, для момента — противчасовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируютсяследующим образом:

Nx — нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;

Мx — внутренний крутящий момент, возникает при кручении;

Qz, Qу — поперечные или перерезывающие силы — признак сдвиговых деформаций,

Му, Мz — внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.

Соединение левой и правоймысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенствапо модулю и противоположной направленности всех одноименных компонентвнутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:

 

{P1, P2,P3,…, N', N", Q'y, Q"y, Q'z,Q"z, M'x, M"x,

M'y,M"y, M'z, M"z,…, Pn-1,Pn} ~ 0 (7)

С учетом эквивалентностинулю исходной системы сил (1) имеет место:

 

{N', N", Q'y,Q"y, Q'z, Q"z, М'x,M"x, M'y, M"y, М'z,M"z}~0 (8)

Как естественное следствиеиз соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобыодноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы силэквивалентные нулю:

{N', N"} ~ 0 > N'= -N"

{Q'y, Q"y}~ 0 > Q'y = -Q"y

{Q'z, Q"z}~ 0 > Q'z = -Q"z

{М'x, M"x}~ 0 > М'x = -M"x

{M'y, M"y}~ 0 > M'y = -M"y

{М'z, M"z}~ 0 > М'z = -M"z (9)

Общее число внутреннихусилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количествомуравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числомвозможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношениюк другой. Эти перемещения могут наблюдаться при разрушении тела по этомусечению.

Искомые усилияопределяются из соответствующих уравнений для любой из отсеченных частей вследящей системе координатных осей. Так, для любой отсеченной частисоответствующие уравнения равновесия приобретают вид;

/>ix = N + P1x + P2x+… + Pkx = 0 N

/>iy = Qy + P1y + P2y+ … + Pky = 0  Qy

/>iz = Q + P1z + P2z+… + Pkz = 0 Qz

/>x(Pi) = Mx + Mx(Pi)+… + Mx(Pk) = 0  Mx

/>y(Pi) = My + My(Pi)+… + My(Pk) = 0  My

/>z(Pi) = Mz + Mz(Pi)+… + Mz(Pk) = 0  Mz (10)

Здесь для простотыобозначений системы координат с' х' у' z' и с" х" у"т" заменены единой оxуz.

Уважаемые коллеги! Таким образом, механизмпредложенного автором лекций метода построения эпюр внутренних усилий,освобождающий Вас от механического запоминания «правил знаков» припостроении эпюр внутренних усилий, заключается в следующем:

/>Определитереакции в связях по величине и направлению в базовой системе координат.

Определите количествоучастков бруса для использования метода сечений.

Мысленно рассеките брус впределах исследуемого участка и изобразите на Ваше усмотрение левую или правуюусловно отсеченную часть.

Укажите пределы измененияположения сечения вдоль продольной оси в базовой системе координат на этомучастке.

Введите в искомом сечениисоответственно левую или правую следящую систему координатных осей.

Задайтесь положительныминаправлениями внутренних усилий в следящей системе координат.

Составьте уравненияравновесия для рассматриваемой условно отсеченной части бруса в следящейсистеме координат.

Определите из уравненийравновесия искомые внутренние усилия.

Вычислите искомыевнутренние усилия на границах участков и при необходимости, — их экстремальныезначения.

Выбрав масштаб усилий,выполните построение эпюры в соответствие с полученными их модульнымизначениями и знаками.

Указаннаяпоследовательность действий (кроме п.1) составляет суть метода сечений(разреза), единственного метода для определения внутренних усилий.

Не забываем, что прираспределенной нагрузке в соответствие с теоремой Вариньона векторныймомент равнодействующей рассматриваемой системы сил относительно любой точкиравен сумме векторных моментов всех сил этой системы относительно той же точки.

Эпюры внутренних усилийпозволяет визуально найти положение опасного сечения, где действуют наибольшиепо модулю внутренние усилия. В этом сечении при прочих равных условиях наиболеевероятно разрушение конструкции при предельных нагрузках.

3. Эпюрывнутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении

Ключевые слова: Нормальное сечение. Нормальнаясила. Внутренний крутящий момент.

Эпюры внутренних усилийпри растяжении-сжатии

Растяжением илисжатием называется такой простой вид сопротивления, при котором внешние силыприложены вдоль продольной оси бруса, а в поперечном сечении его возникаеттолько нормальная сила.

Рассмотрим расчетнуюсхему бруса постоянного поперечного сечения с заданной внешней сосредоточеннойнагрузкой Р и распределенной q, (рис.1).

/>

Пусть />. Прежде всего определимопорную реакцию R, задавшись ее направлением вдоль оси х.

/>

Брус имеет 2 участка />и />.

В пределах первогоучастка мысленно рассечем брус на 2 части нормальным сечением и рассмотримравновесие, допустим левой части, введя следующую координату х1,рис.1 б:

/>

Следовательно, в пределахпервого участка брус претерпевает сжатие постоянной нормальной силой.

Аналогично поступим совторым участком. Мысленно рассечем его сечением 2-2, и рассмотрим равновесие левойчасти (рис.1 в).Установим предварительно границы изменения х2:

/>

Подставляя граничныезначения параметра х2, получим:

/>

Таким образом, в пределахвторого участка брус растянут и нормальная сила изменяется по линейному закону.

Аналогичный результатполучается и при рассмотрении правой отсеченной части (рис.1 г):

/>

На основе полученныхданных строится эпюра нормальных сил в виде графика распределения нормальнойсилы по длине бруса (рис.1 д). Характерно, что скачки на эпюре обусловленыналичием в соответствующих сечениях сосредоточенных сил R и Р.

Эпюры внутренних усилийпри кручении

Кручением называетсяпростой вид сопротивления, при котором к брусу (валу) прикладываются внешниепары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последнихвозникает только внутренний крутящий момент.

Рассмотрим расчетнуюсхему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М ираспределенными по длине: m, рис.2.

Методика построения эпюрыаналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии.

/>

В исходных сечениях № 1,2и 3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М1,М2, М3. Пусть М=ml.

Для первого участка(рис.2 б):

/>

Для второго участка(рис.2 в):

/>

Для третьего участка(рис.2 г):

/>

Границы измеренияпараметра х3 в следующей системе координат:

/>

Тогда:

/>

Отмеченные значенияординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.2 д).

4. Эпюрывнутренних усилий при прямом изгибе

Ключевые слова: поперечная сила. Внутреннийизгибающий момент.

Прямым изгибомназывается такой вид простого сопротивления, когда внешние силы приложеныперпендикулярно продольной оси бруса (балки) и расположены в одной из главныхплоскостей в соответствие с конфигурацией поперечного сечения балки.

Как известно, при прямомизгибе в поперечном сечении возникают два вида внутренних усилий: поперечнаясила и внутренний изгибающий момент.

Рассмотрим примеррасчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р, рис. 1, а,но…

Предварительнорекомендую Вам вспомнить из раздела «Статика» теоретической механикиметоды расчета реакций в связях на примерах тестов, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ поразделом Т-2.

/>

Прежде всего вычислимреакции в связи на базе уравнений равновесия:

/>

После мысленногорассечения балки нормальным сечением 1-1 рассмотрим равновесие левой отсеченнойчасти (рис.1, б), получим:

/>

Таким образом, на первомучастке поперечная сила отрицательная и постоянная, а внутренний изгибающиймомент изменяется по линейному закону.

Для правой отсеченнойчасти при рассмотрении ее равновесия результат аналогичен рис.1, в. А именно:

/>

На основании полученныхзначений строятся эпюры поперечных сил (рис.1, г) и внутренних изгибающихмоментов (рис.1, д).

Как следует изпостроенных эпюр />, а />в сечении жесткой связи. Именноэто сечение и является наиболее опасным в данной расчетной схеме.

Продифференцируем выражениевнутреннего изгибающего момента по координате х:

/>

Как видим, последифференцирования получено выражение для поперечной силы. Случайность это илизакономерность? — Закономерность.

Дифференциальныезависимости между внутренними усилиями при изгибе

Рассмотрим расчетнуюсхему балки с произвольной распределенной нагрузкой />(рис.2).

/>

Составим уравнениеравновесия:

/>

/>

Таким образом,действительно: первая производная от внутреннего изгибающего момента полинейной координате равна поперечной силе в сечении.

Это известное свойствофункции и ее первой производной успешно используется при проверке правильностипостроения эпюр. Так, для расчетной схемы консольной балки (рис.1) эта связьдает следующие проверочные результаты: />и М убывает от до -Pl./>и М х.

Таким образом, дляквалифицированной проверки Вам рекомендуется вспомнить из высшей математикираздел, связанный с вычислением производных функции. Считаю целесообразнорешить тесты, приведенные в ПРИЛОЖЕНИИ под разделом Т-3.

Рассмотрим ВТОРОЙХАРАКТЕРНЫЙ ПРИМЕР ИЗГИБА двухопорной балки (рис.3).

/>

Очевидно, что опорныереакции RA = RB/>:

для первого участка(рис.3, б)

/>

для второго участка(рис.3, в)

/>

Эпюры внутренних усилийпредставлены соответственно на рис.3, г и 3, д.

На основедифференциальной связи Q и М, получим:

для первого участка:

Q > 0 и М возрастает от нуля до />.

Q = const и M  x

для второго участка:

Q < 0 и М убывает с />до нуля.

Q = const и M также пропорционален х,т.е. изменяется по линейному закону.

Опасным в данномпримере является сечение балки в центре пролета:

/>

Третий характерный примерсвязан с использованием распределенной по длине балки нагрузки (рис.4). Следуяметодике, принятой ранее, очевидно равенство опорных реакций:

/>,

а для искомого сечения(рис.4, б) выражения для внутренних усилий приобретают вид:

/>

/>

На обеих опорахизгибающий момент отсутствует. Тем не менее опасным сечением балки будет центрпролета при />.Действительно, исходя из свойства функции и производной при />, внутренний изгибающиймомент достигает экстремума. Для нахождения исходной координаты х0(рис.3 в) в общем случае приравняем выражение поперечной силы к нулю. В итогеполучим

/>

После подстановки />в выражениеизгибающего момента получим:

/>

Таким образом,

/>.

 

Необходимо отметить, чтотехника построения эпюр при изгибе наиболее трудно усваивается слушателями. Вампредставляется возможность научиться «быстрому» построению эпюр натесторе-тренажере, приведенном в ПРИЛОЖЕНИИ под грифом Т-4.

 

5. Понятиео напряжениях и деформациях

Ключевые слова: нормальное и касательноенапряжения, линейная и угловая деформации, тензор напряжений.

Как отмечалось выше,внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной частитела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Зафиксируем точку Мв рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали n. В окрестностиэтой точки выделим малую площадку F. Главный вектор внутреннихсил, действующих на этой площадке, обозначим через P (рис. 1, а).При уменьшении размеров площадки соответственно уменьшаются главный вектор иглавный момент внутренних сил, причем главный момент уменьшается в большейстепени. В пределе при Fполучим

/>

/>

Аналогичный предел дляглавного момента равен нулю. Введенный таким образом вектор рnназывается вектором напряжений в точке. Этот вектор зависит не только отдействующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и оториентации в пространстве площадки F, характеризуемой вектором n.Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможныхнаправлений вектора n определяет напряженное состояние в этой точке.

В общем случаенаправление вектора напряжений рn не совпадает с направлениемвектора нормали n. Проекция вектора рn на направление вектораn называется нормальным напряжением sn, а проекция на плоскость,проходящую через точку М и ортогональную вектору n, — касательным напряжением n(рис. 1 б).

Размерность напряженийравна отношению размерности силы к размерности площади. В международной системеединиц СИ напряжения измеряются в паскалях: 1 Па=1 Н/м2.

При действии внешних силнаряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и егоформы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное(недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.

Отнесем недеформированноетело к декартовой системе координат Oxyz (рис. 2). Положение некоторойточки М в этой системе координат определяется радиус-вектором r(х, у,z). В деформированном состоянии точка М займет новое положение М',характеризуемое радиус-вектором r' (х, у, z). Вектор u=r'-rназывается вектором перемещений точки М. Проекции вектора uна координатные оси определяют компоненты вектора перемещений u(х, у, z),v(х, у, z), w(х, у, z), равные разности декартовых координат точки телапосле и до деформации.

Перемещение, при которомвзаимное расположение точек тела не меняется, не сопровождается деформациями. Вэтом случае говорят, что тело перемещается как жесткое целое (линейноеперемещение в пространстве или поворот относительно некоторой точки). С другойстороны, деформация, связанная с изменением формы тела и его объема, невозможнабез перемещения его точек.

/>

Деформации телахарактеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и последеформации. Рассмотрим, например, точку М и близкую к ней точку N,расстояние между которыми в недеформированном состоянии вдоль направлениявектора s обозначим через s (рис. 2). В деформированномсостоянии точки М и N переместятся в новое положение (точки М'и N'), расстояние между которыми обозначим через s'.Предел отношения

/>

называется относительнойлинейной деформацией в точке М в направлении вектора s.Рассматривая три взаимно перпендикулярных направления, например, вдолькоординатных осей Ох, Оу и Oz, получим три компонентыотносительных линейных деформаций ex, ey, ez, характеризующих изменениеобъема тела в процессе деформации.

Для описания деформаций,связанных с изменением формы тела, рассмотрим точку М и две близкие кней точки N и Р, расположенные в недеформированном состоянии внаправлении двух взаимно ортогональных векторов s1 и s2.Расстояния между точками обозначим через s1 и s2(рис. 4). В деформированном состоянии положение точек обозначим через М', N'и Р'. Угол между отрезками M'N' и М'Р' в общем случаебудет отличным от прямого. При s10, s20изменение угла 12 между двумя ортогональными до деформациинаправлениями называется угловой деформацией. Как видно из рис. 4,угловая деформация складывается из двух углов 1 и 2,связанных с поворотами отрезков M'N' и М'Р' в плоскости,образованной векторами s1 и s2, относительно этихвекторов. Если заданы три взаимно ортогональных вектора, направленных вдолькоординатных осей, то имеются три угловые деформации xy, xzи yz, которые вместе с тремя линейными деформациями ex,ey и ez полностью определяют деформированное состояние в точке.

/>

Напряженное состояние вточке. Тензор напряжений

Вектор напряжений pnявляется физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. Вэтом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущинекоторые свойства, не характерные для векторов. В частности, величина инаправление вектора напряжений зависят от ориентации вектора n нормалибесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность всех возможныхпар векторов n, рn в точке определяет напряженное состояние вданной точке. Однако для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимостизадавать бесконечное множество направлений вектора n, достаточноопределить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарныхплощадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут бытьвыражены через эти три вектора напряжений. В дальнейшем лектор умышленно меняеториентацию координат. Так, что ось Z — продольная ось бруса, а Xи Y — координаты любой точки его поперечного сечения. Проведем черезточку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направлениякоторых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадкиобразуем дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям иотстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy, dz. Врезультате в окрестности точки М получим бесконечно малыйпараллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dFх=dydz,dFн=dxdz, dFя=dxdy. Векторынапряжений px, py, pz, действующие на элементарных площадках, показанына рис. 5.

Разложим каждый векторнапряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 6). На каждой площадкедействует одно нормальное напряжение x, y,z, где индекс обозначает направление вектора нормали кплощадке и два касательных напряжения  с двумя индексами, изкоторых первый указывает направление действия компоненты напряжения,второй-направление вектора нормали к площадке.

/>

Совокупность девятикомпонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярныхплощадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензоромнапряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующимобразом упорядочив девять компонент:

/>

Для компонент тензора напряженийобщепринятым является следующее правило знаков: компонента считаетсяположительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е.направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена всторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 6 всекомпоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках сотрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6)положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряженияна трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалейтакже характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиесякомпонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям наплощадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеютположительное направление, обратное изображенному на рис. 6.

6. Свойстватензора напряжений. Главные напряжения

Ключевые слова: шаровый тензор напряжений,инвариантность, характеристическое уравнение, девиатор.

Тензор напряженийобладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотримприведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на егоплощадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии,следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе иэлементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, аимен но — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кромедвух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимноуничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты yz(верхняя грань) и zy (правая грань):

/>

После сокращения наэлемент объема dV=dxdydz получим

/>

Аналогично, приравниваянулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Оz, получимеще два соотношения

/>

Эти условия симметрии итензора напряжений называются также условиями парности касательныхнапряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимноперпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованномупересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девятикомпонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компонентытензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок,полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяютвычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольноориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотримэлементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис.1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормалиn с компонентами nx, ny, nz.

/>

На гранях полученноготаким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис.1. При этом вектор напряжений pn на наклонной площадкеразложен па составляющие рx, рy, рzвдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям ивектору нормали, обозначим соответственно dFx, dFy, dFz,dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

/>dFx=dFnx,dFy=dFny, dFz=dFnz (1)

вытекающими из того, чтограни, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки насоответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующиена гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравненияравновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностныхсил на ось Ох дают

/>

С учетом соотношений (1)после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию рxвектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяяэто уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием силна оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

/>

/> (2)

носящим название формулКоши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбраннойплощадке с вектором n через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяютвычислить через компоненты тензора напряжений

полное напряжение

 

/> (3)

нормальное напряжение

 

/> (4)

и касательноенапряжение:

/>

Среди всех возможныхнаправлений вектора нормали n существуют такие направления, для которыхвектор напряжений pn параллелен вектору n. Насоответствующих площадках действуют только нормальные напряжения, а касательныенапряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, анормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями.Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Условияколлинеарности векторов pn и n есть условия пропорциональностиих компонент:

/>

С учетом формул Кошиполучим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестныхкомпонент nx, ny, nz вектора нормали кглавной площадке

/>

Эта система уравненийимеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентовуравнений, обращается в нуль:

/>

Раскрывая определитель,приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения 

/>

Здесь введены обозначения

/>

Уравнение (3) называется характеристическимуравнением для тензора напряжений. Коэффициенты (4) этого уравненияназываются инвариантами тензора напряжений. Решение кубическогоуравнения (3) имеет три вещественных корня s1, s2, s3,которые обычно упорядочиваются s1  s2 s3.

Каждому значению j(j=1, 2, 3) соответствует вектор nj, характеризующийположение j-й главной площадки, с компонентами nj1,nj2, nj3. Для нахождения этихкомпонент достаточно в уравнения подставить найденное значение jи решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки

/> (5)

Главные напряженияобладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальныенапряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Длядоказательства этого свойства достаточно исследовать на экстремум нормальноенапряжение как функцию nx, ny, nz придополнительном ограничении (5). Можно показать, что три главные площадки,соответствующие главным напряжениям s1, s2, s3,взаимно перпендикулярны или, что то же самое, векторы nj и nk,соответствующие различным значениям j и k — ортогональны. Условиеортогональности имеет вид

/>

Кубическое уравнение (3)можно переписать в виде

/>

Приводя это уравнение квиду (3), получим следующие выражения для инвариантов (4) через главныенапряжения:

/>

Термин«инвариантность» обозначает независимость некоторой величины отвыбора системы координат.

Введем среднее(гидростатическое) напряжение по формуле

/>

Тензор напряжений можнопредставить в виде суммы двух тензоров />, где

/>

Первый тензор называется шаровым,он характеризует изменение объема тела без изменения его формы. Второй тензор,называемый девиатором, характеризует изменение формы.

Особенностью девиаторанапряжений является равенство нулю его первого инварианта:

/>

Найдем положениеплощадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения.Для этого нужно отыскать экстремумы касательного напряжения при ограничении (5).Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках,параллельных одной из главных осей и образующих с двумя другими осями угол /4.По величине эти напряжения равны

/>

При этом на площадках сэкспериментальными касательными напряжениями присутствуют нормальныенапряжения, которые равны

/>

Фигура, которую образуютплощадки с экстремальными касательными напряжениями, изображена на рис. 2. Онапринадлежит к классу параллелоэдров и представляет собой 12-гранник с гранями ввиде ромбов, отношение диагоналей которых равно />.

/>

Таким образом, общаятеория напряженного состояния позволяет охватывать, в целом, весь комплексвидов сопротивлений, как простого, так и сложного характера.

7. Упругостьи пластичность. Закон Гука

Ключевые слова: упругость, пластичность,разрушение, коэффициент Пуассона, модуль Юнга, модуль сдвига, энергиядеформации.

Действие внешних сил натвердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений идеформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями наразличных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениямистатики и не зависят от физических свойств материала. Деформированноесостояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечениемгеометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойствматериала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями,необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения.Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями идеформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти моделидолжны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов иусловия нагружения.

Наиболеераспространенными для конструкционных материалов являются модели упругости ипластичности. Упругость-это свойство тела изменять форму и размеры поддействием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятиинагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлениивзаимно однозначной функциональной зависимости между компонентами тензоранапряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойстваматериалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материаловсвойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящихк малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии засчет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим,если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейнымисоотношениями.

При высоких уровняхнагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частичнотеряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и формаполностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузокфиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость междунапряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материаланазывается пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформированияостаточные деформации называются пластическими.

Высокий уровеньнагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части.Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разнойвеличине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях ипроисходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушениехарактерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики инекоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей,цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличиизначительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов похарактеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычноотносится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материалможет вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я,технология 'изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например,пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие принизких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичныхматериалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

/>

Пусть материал являетсялинейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся вусловиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряженийимеет вид

/>

При таком нагружениипроисходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемоелинейной деформацией />, которая пропорциональна величиненапряжения

/> (1)

Это соотношение являетсяматематической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональнуюзависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией приодноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности Е называетсямодулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерностьнапряжений.

Наряду с увеличениемразмеров в направлении действия напряжения x происходит уменьшениеразмеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформацииобозначим через y(x) и z(x),причем эти деформации отрицательны при положительных x ипропорциональны z:

/> (2)

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом Пуассона, который в силу изотропностиматериала одинаков для обоих ортогональных направлений.

Соотношения, аналогичные(1) и (2), в случае одноосного нагружения в направлении осей Оу, Оxнапряжением y, z, соответственно имеютвид

/> (3)

/> (4)

При одновременномдействии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательныенапряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции(наложения решений):

/>

С учетом формул (1) — (4)получим

 

/> (5)

Касательные напряжениявызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют наизменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтомуони справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражаюттак называемый обобщенный закон Гука.

Угловая деформация xyобусловлена касательным напряжением xy, а деформации xzи yz — соответственно напряжениями xz и yz.Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями длялинейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

/> (6)

которые выражают законГука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулемсдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловыедеформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а неуглы между ними (рис.1).

/>

Линейная зависимостьсуществует также между средним напряжением, пропорциональным первому инвариантутензора напряжений, и объемной деформацией, совпадающей с первым инвариантомтензора деформаций:

/> (7)

Соответствующийкоэффициент пропорциональности К называется объемным модулемупругости. В формулы (1) — (7) входят упругие характеристики материала Е,, G и К, определяющие его упругие свойства. Однако этихарактеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимымиупругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираютсямодуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразитьмодуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформациюсдвига под действием касательных напряжений t (рис. 2). Для упрощениявыкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главныенапряжения 1 = t, 3 = t.Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом /4 кисходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией 1в направлении действия напряжения 1 и угловой деформацией .Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию 1, равна

/>

Для малых деформаций tg/>,

/>

С учетом этих соотношений

/>

До деформации этадиагональ имела размер АВ=а/>. Тогда будем иметь

/>

Из обобщенного законаГука (5) получим

/>

/>

Сравнение полученнойформулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

/> 

G=E/[2(1+)] (8)

Сложим три соотношенияупругости (5)

/>(9)

В итоге получим

/>

Сравнивая это выражение собъемным законом Гука (7), приходим к результату

/>

Механическиехарактеристики Е, , G и К находятся послеобработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные видынагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут бытьотрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициентПуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом,получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:

E>0, G>0, K>0,01/2,

Предельное значение 1/2приводит к предельному значению К, чтосоответствует несжимаемому материалу ( 0 при 0). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения черездеформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде

/>

С использованиемравенства (9) будем иметь

/>

/>

Аналогичные соотношенияможно вывести для х и y. В результатеполучим

/> (10)

Здесь использованосоотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение

/>

Потенциальная энергияупругой деформации

Рассмотрим вначалеэлементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженногосостояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). Напротивоположную площадку действует сила xdydz. Этасила совершает работу на перемещении xdx. Приувеличении напряжения от нулевого уровня до значения xсоответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля дозначения x, а работа пропорциональна заштрихованной на рис.4 площади: dA=0,5xxdV. Еслипренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми,электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергиисовершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую впроцессе деформирования: dA=dU=0,5xxdV.Величина Ф=dU/dV называется удельной потенциальной энергиейдеформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единицеобъема тела. В случае одноосного напряженного состояния

/>

/>

/>

При одновременномдействии напряжений x, y и zна главных площадках (т. е. при отсутствии касательных напряжений)потенциальная энергия равна сумме работ, совершаемых силами xdydz,ydxdz, zdxdy на соответствующихперемещениях xdx, ydy, zdz.Удельная потенциальная энергия равна

/> (2.47)

В частном случае чистогосдвига в плоскости Оху, изображенном на рис. 5, сила xydxdzсовершает работу на перемещении xydy. Соответствующаяэтому случаю удельная потенциальная энергия деформации равна

/>

Подобные соотношениябудут иметь место при сдвиге в других плоскостях.

В общем случаенапряженно-деформированного состояния будем иметь

/> (11)

Если деформации выразитьчерез напряжения с помощью соотношений упругости (5) и (6), то получимэквивалентную форму записи через компоненты тензора напряжений

/> (12)

Выразив напряжения черездеформации с использованием соотношений (6) и (10), получим еще одну формузаписи для Ф — через компоненты тензора деформаций

/>

Еще одну форму записи дляудельной потенциальной энергии деформации получим, разложив тензоры напряженийи деформаций на шаровые тензоры и девиаторы. В результате (11) можно привести кодной из форм

 

/> (13)

Здесь введены обозначениядля  — интенсивности касательных напряжений и  — интенсивностидеформаций сдвига, которые выражаются через вторые инварианты J2(d)и J2(d) девиаторов тензора напряжений и тензорадеформаций следующим образом:

/>

Первые слагаемые в (13)соответствуют произведению шаровых составляющих тензоров напряжений идеформаций, а вторые — произведению девиаторных составляющих. Так как шаровойтензор характеризует изменение объема, а девиатор — изменение формы, тосоотношения (13) можно интерпретировать как разложение удельной потенциальной энергиина две составляющие: Ф=Ф0+ Фф, где Ф0соответствует изменению объема без изменения формы, а Фф — изменению формы без изменения объема. Первая составляющая будет вычислятьсячерез компоненты тензора напряжений следующим образом:

/> (14)

Удельную потенциальнуюэнергию изменения формы проще найти не через интенсивность касательныхнапряжений, а как разность Ф — Ф0. Вычитая (14) из (12),после преобразований получим

/>

8. Механическиехарактеристики конструкционных материалов

Ключевые слова: упругое состояние; пластичноесостояние; пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности.

Механическиехарактеристики определяются следующими факторами:

веществом, его структуройи свойствами;

конструктивнымиособенностями элемента, т. е, размерами, формой, наличием концентраторов,состоянием поверхности;

условиями при нагружении:температурой, скоростью, повторяемостью нагрузки и др.

Конструкционные материалыв процессе деформирования вплоть до разрушения ведут себя по разному.Пластичное поведение характеризуется существенным изменением формы и размеров,при этом к моменту разрушения развиваются значительные деформации, неисчезающие после снятия нагрузки. Такие материалы называют пластичными.При хрупком поведении разрушение наступает при весьма малых деформациях, иматериалы с такими свойствами называют хрупкими. Однако одни и те жеконструкционные материалы, находящиеся в различных условиях деформирования,ведут себя по разному: при одних условиях проявляют себя как пластичныематериалы, при других — как хрупкие. В связи с этим, основные макромеханическиехарактеристики материалов — упругость, пластичность, вязкость и др. правильнее относитьне к их свойствам, а к состояниям материала.

Механические состояниядеформирунмых тел

В упругом состояниидеформации обратимы, и вся энергия, затраченная на деформирование, приразгрузке возвращается (диссипация энергии отсутствует). Для любого твердоготела процесс деформирования начинается с упругой деформации. Изотропное телоимеет две константы упругости — модуль упругости Е и коэффициент Пуассона. Для анизотропных тел число упругих констант в общем случае равно 21.Из основных констант упругости можно получить их производные — модуль сдвига G,модуль объемной реформации К и постоянную Ламе .

Вязкое сопротивление — в некотором смысле противоположноупругому — работа внешних сил, уравновешенных силами вязкого сопротивления,полностью рассеивается в виде тепла.

Вязкое сопротивлениеопределяется величиной касательной силы, необходимой для поддержанияламинарного скольжения слоев, или течения с определенной скоростью. Такимобразом вязкость можно определить как сопротивление течению.

Представление овязкоупругой деформации дает поведение моделей, сочетающих свойства вязкости иупругости в такой последовательности: при нагружении тела в нем возникаетмгновенная упругая деформация, подчиняющаяся закону Гука; далее при том жемаксимальном напряжении наблюдается вязкая деформация, подчиняющаяся законуНьютона.

Наиболеераспространенными в теории линейной вязко-упругости являются реологическиемодели Максвелла и Фойгта, дающие связь между напряжениями и деформациями искоростями их изменения:

/> — модель Максвелла,

/> — модель Фойгта,

тде  — коэффициент вязкости.

Пластическое состояние характеризуется наличием остаточныхдеформаций, фиксируемых после снятия внешних нагрузок. Объем тела припластической деформации не изменяется; условие постоянства объема записываетсяв виде />,(эксперименты показывают, что изменение объема не превышает 0,5%).

В случае, когда всенапряжения изменяются пропорционально одной из составляющих, в процессепластической деформации направления главных деформаций совпадают снаправлениями главных нормальных напряжений, направления максимальных сдвигов — с направлениями максимальных касательных напряжений, а главные направлениядевиатора напряжений — с главными направлениями девиатора деформаций.

Одной из распространенныхмоделей поведения материала при упруго-пластических деформациях является модельпластичности, основанная на деформационной теории Генки-Ильюшина, описываемаяуравнениями:

/>

/>

/> — средняя деформация,

/> — среднее напряжение,

 — безразмерныйкоэффициент, называемый параметром пластичности (с точностью до множителя онсовпадает с интенсивностью касательных напряжений). При =1 эта модельописывает поведение упругого материала.

Высокоэластическоесостояние — наиболеехарактерно для полимеров; особенностями этого состояния являются большаяизменяемость формы и деформирование без изменения объема. Для материалов,находящихся в высокоэластическом состоянии, наблюдается существеннаязависимость их свойств от длительности и скорости нагружения, температуры и т.д.

Состояние разрушения — состояние, при котором за счетинтенсивного развития трещин в материале тела начинается нарушение егосплошности и непрерывности. Физический процесс разрушения материалапредставляется в виде двух основных стадий-стадии рассеянных разрушений(зарождение и развитие микроскопических трещин) и стадии развития магистральнойтрещины. Очаги зарождения микротрещин распределены по всему объему материала,находящегося в однородном напряженном состоянии, достаточно равномерно.Относительная длительность первой и второй стадии разрушения зависит от свойствматериала, характера напряженного состояния и условий нагружения.

Диаграммыупруго-пластического деформирования конструкционных материалов

Основным опытом дляопределения механических характеристик конструкционных материалов является опытна растяжение призматического образца центрально приложенной силой,направленной по продольной оси; при этом в средней части образца реализуетсяоднородное напряженное состояние. Форма, размеры образца и методика проведенияиспытаний определяются соответствующими стандартами, например, ГОСТ 34643-81,ГОСТ 1497-73. По результатам испытаний строится зависимость />между напряжениями />и деформациями />, котораяназывается диаграммой деформирования. Опыты на растяжение образцов выявляютнекоторые общие свойства конструкционных материалов-свойства упругости ипластичности. На рис. 1 показаны типичные кривые деформирования при растяженииобразцов из материала сталь 30 и сталь 40Х.

Если напряжения непревышают пц — предела пропорциональности (точка / надиаграмме), и зависимость между напряжениями и деформациями линейна, то онаописывается законом Гука />, где Е — модуль продольнойупругости материала. Размерность модуля упругости-Н/м2 (Паскаль). Значениемодуля упругости Е на кривой деформирования />численно равно тангенсу угланаклона линейного участка: />. Таким образом, величину Еможно рассматривать как характеристику упругого сопротивления или какхарактеристику интенсивности нарастания напряжения с увеличением деформации.Физический смысл коэффициента Е определяется как напряжение, необходимоедля увеличения длины образца в два раза. Такое толкование довольноискусственно, поскольку величина упругого удлинения у большинства твердых телредко достигает даже 1 %.

/>

Напряжения, являющиесяверхней границей проявления чисто упругих деформаций, соответствуют точке 2диаграммы и называются пределом упругости упр.

Точка 3 диаграммыхарактерна тем, что при достижении напряжениями величины  — предел текучести), дальнейшее удлинение образца (для малоуглеродистыхсталей) происходит практически без увеличения нагрузки. Это явление носитназвание текучести, а участок диаграммы, расположенный непосредственноправее точки 3, называется площадкой текучести. При этом полированнаяповерхность образца мутнеет, докрывается ортогональной сеткой линий (линииЧернова-Людерса), расположенных под углом 45° к продольной оси образца понаправлению плоскостей действия максимальных касательных напряжений.

У многих конструкционныхматериалов площадка текучести не выражена столь явно, как у малоуглеродистыхсталей. Для таких материалов вводится понятие условного предела текучестиs; это напряжение, которому соответствует остаточная(пластическая) деформация, равная s%. Обычно принимается s =0,2%.

После площадки текучестидля дальнейшего увеличения деформации необходимо увеличение растягивающей силы.Материал снова проявляет способность сопротивляться деформации; участок заплощадкой текучести (до точки 4) называется участком упрочнения. Точка 4соответствует максимальной нагрузке, выдерживаемой образцом. Соответствующеенапряжение называется временным сопротивлением в (илипределом прочности пч). Дальнейшая деформация образцапроисходит без увеличения или даже с уменьшением нагрузки вплоть до разрушения(точка 5). Точке 4 на диаграмме соответствует начало локального уменьшенияразмеров поперечного сечения образца, где, в основном, сосредоточивается всяпоследующая пластическая деформация.

Диаграмма, приведенная нарис.1, является диаграммой условных напряжений, условность состоит в том, чтовсе силы относились к F0 — первоначальной площади поперечного сечения образца;в действительности же при растяжении площадь поперечного сечения образцауменьшается. Если учитывать текущее значение площади поперечного сечения приопределении напряжений, то получим диаграмму истинных напряжений (рис. 2).

/>

Если в некоторый моментнагружения (точка А на рис. 1) прекратить нагружение и снять нагрузку, торазгрузка образца пойдет по линии АВ, параллельной линейному участку диаграммы0-1. При этом полная деформация в точке А равна:

/>

где /> — упругаядеформация, />-пластическая (остаточная деформация). Это уравнение справедливо длялюбой точки диаграммы.

После того как материалиспытал воздействие осевого усилия одного знака (например, растяжение) вобласти пластических деформаций ()сопротивляемость этого материала пластической деформации при действии силдругого знака (сжатие) понижается. Это явление носит название эффекта Баушингера.

При растяжении образцапроисходит не только увеличение его длины, но и уменьшение размеров поперечногосечения, т. е. в упругой области деформация в поперечном направлении />, где - деформация в продольном направлении,  — коэффициент Пуассона.Для изотропных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах 0< 0,5.

/>Таблица1. Механические характеристики некоторых материалов

Материал Характеристика Е, ГПа

, МПа

в, МПа

, % , % Сталь Ст.3 200 240/240 450/- 26 50 Сталь 15 200 210/210 350/- 28 55 Сталь 45 200 340/340 610/- 24 45 Сталь ЗОХГСА 200 950/950 1200/- 13 50 Чугун СЧ15-32 150 - 150/640 0,6 - Медь прутковая 110 250/250 320/- 15 45 Дюралюмин Д16 75 240/240 420/- 18 - Дельта-древесина 20 - 250/160 - - Текстолит 30 75/115 127/168 1,5 -

Примечание. В знаменателеуказана соответствующая характеристика при сжати.

Для сталей различныхмарок Е = 195-206 ГПа, G = 79-89 ГПа,  = 0,23-0,31, длясплавов алюминия Е = 69-71 ГПа, G = 26-27 ГПа,  =0,30-0,33. Упругие свойства некоторых материалов даны в табл. 1.

Характеристикамипластичности материала являются относительное удлинение и относительноесужение при разрыве:

/>

/>

где l0, F0 — длина рабочей части образца и площадь поперечного сечения до деформации; lк — длина рабочей части образца после разрыва; F0 — конечнаяплощадь поперечного сечения в шейке образца после разрыва.

По величинеотносительного удлинения при разрыве проводится разделение состояния материаловна пластичное и хрупкое. Материалы, имеющие к моменту разрушения достаточнобольшие значения >10%), относят к пластическимматериалам; к хрупким относят материалы с относительным удлинением < 3%.

Оценка пластическихсвойств материала может быть проведена по такой характеристике, IKBK ударнаявязкость –

KC=A/F,

где А — работа,затрачиваемая на ударное разрушение образца, Дж (или НЧм), F — площадьпоперечного сечения образца в месте концентратора, м2 (или см2),

Работа Адеформации при разрушении образца может быть определена по диаграмме растяжения/>. Так,если первоначальная длина образца l0, то работа деформации,совершаемая силой Р на перемещении u:

/>

где uк — перемещение в момент, предшествующий разрушению. Тогда по зависимости />и />, находим

/>

где /> — площадь диаграммыдеформирования (работа деформации на единицу объема материала). Для сталейКС=50-100 Н м/см2. Материалы с ударной вязкостью КС < 30 Н м/см2 относят кчислу хрупких.

Некоторые пластичныематериалы в районе площадки текучести обнаруживают особенность (напримертитан), называемую «зубом текучести»; для таких материалов вводитсяпонятие верхнего и нижнего предела текучести (тв,тн).

Экспериментальноеизучение свойств материалов при сжатии проводится на коротких образцах с тем,чтобы исключить возможность искривления образца. Для пластичных материаловхарактер диаграммы />при сжатии примерно довозникновения текучести такой же, как и при растяжении. В процессе деформациисжатия образец укорачивается; при этом размеры поперечного сеченияувеличиваются. Из-за трения между опорными плитами нагружающего устройства иторцевыми поверхностями образца он принимает бочкообразную форму. Для ряда пластичныхматериалов обнаружить напряжение, аналогичное временному сопротивлению прирастяжении, не удается, так как образец сплющивается.

Хрупкие материалыпроявляют значительно лучшую способность сопротивляться деформациям сжатия, чемдеформациям растяжения; для них разрушающее напряжение при сжатии превышаетпредел прочности при растяжении в несколько раз. Разрушение хрупких материаловпри сжатии происходит за счет образования трещин.

9. Растяжение(сжатие) призматических стержней

Ключевые слова: прочность, перемещение,концентрация напряжений, напряженное состояние.

Напряжение при растяжении(сжатии) призматических стержней. Расчет на прочность

Переходя к изучениювведенных основных видов деформации стержней, ограничимся рассмотрениемстержней постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью, т. е. призматическихстержней. Начнем с деформации растяжения (сжатия).

Напомним, что под растяжением(сжатием) понимают такой вид деформации стержня, при котором в егопоперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор — продольнаясила Nz. Поскольку продольная сила численно равна суммепроекций, приложенных к одной из отсеченных частей внешних сил на ось стержня(для прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью Oz),то растяжение (сжатие) имеет место, если все внешние силы, действующие по однусторону от данного поперечного сечения, сводятся к равнодействующей,направленной вдоль оси стержня (рис. 1). Одна и та же продольная сила Nzпри действии на различные части стержня (левую или правую) имеетпротивоположные направления. Знак Nz зависит от характеравызываемой ею деформации. Продольная сила считается положительной, есливызывает растяжение элемента (рис. 2, а), и она отрицательна, если вызываетсжатие (рис. 2, б).

/>

Для того, чтобысформулировать предпосылки теории растяжения (сжатия) призматического стержня,обратимся к эксперименту. Представим себе стержень, изготовленный изкакого-либо податливого материала (например, резины), на боковую поверхностькоторого нанесена система продольных и поперечных рисок (рис. 3, а). Этаортогональная система рисок остается таковой и после приложения растягивающейнагрузки (рис. 3, б). Поскольку поперечные риски являются следами поперечныхсечений на поверхности стержня и остаются прямыми и перпендикулярными к осистержня то это свидетельствует о выполнении гипотезы плоских сечений(Бернулли). С учетом гипотезы об отсутствии поперечного взаимодействияпродольных волокон приходим к выводу, что деформация растяжения стержнясводится к одноосному растяжению его продольных волокон, и в поперечном сечениистержня возникают лишь нормальные напряжения а (рис. 4), индекс гу которых опускаем. Ортогональность продольных и поперечных рисоксвидетельствует также об отсутствии сдвигов, а, следовательно, и связанных сними касательных напряжений т в поперечных и продольных сеченияхстержня.

/>

Тогда продольная сила N"равная сумме проекции внутренних сил, действующих в данном поперечном сеченииплощадью F (рис. 4) очевидно будет равна

/>

Это соотношение являетсяуравнением равновесия статики, связывающим продольную силу Nz,и нормальное напряжение , которое в общем случае является функциейкоординат х и у и поэтому не может быть найдено из одного лишь 1уравнения статики. Таким образом, задача определения напряжений даже в самомпростом случае деформирования стержня (растяжении или сжатии) оказываетсястатически неопределимой.

Необходимое для решенияэтой задачи дополнительное уравнение вытекает из гипотезы плоских сечений.Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными коси стержня, в процессе деформирования лишь поступательно перемещаются вдольоси стержня (что приводит к одинаковому удлинению всех продольных волокон), топриходим к уравнению =const, из которого ввиду однозначности связи и  (для линейно-упругого материала это — закон Гука: =Е.)вытекает, что

= const.

Решая совместно уравненияполучим, что Nz=F или

= Nz/ F.

Таким образом, прирастяжении (сжатии) призматического стержня нормальные напряжения равномернораспределены по поперечному сечению, а касательные напряжения в сеченияхотсутствуют, что является следствием гипотезы плоских сечений. Указанное,несмотря на, казалось бы, очевидность и простоту, является фундаментальнымрезультатом, справедливым, строго говоря, лишь для призматического стержня.Однако в инженерной практике его используют и для приближенной оценкинормальных напряжений в стержнях переменного сечения. При этом, чтобы погрешностьформулы была невелика, необходимо, чтобы площадь поперечного сечения стержняизменялась достаточно плавно вдоль его оси.

Условие прочности прирастяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластическогоматериала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будетиметь вид:

/> (1)

где [] — допускаемое напряжение. Напряжение  в условии (1) подставляется помодулю, так как знак  в этом случае роли не играет. Для стержней изхрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знакнапряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходитсяформулировать отдельно для растяжения и сжатия

/>

где ри с — напряжения растяжения и сжатия, а [р]и [с] — ответствующие им допускаемые напряжения.

В практике инженерныхрасчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механикиматериалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия)призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.

Проверка прочности(поверочный расчет). Этот расчет проводится, если нагрузка (в нашем случае еепредставляет Nz), сечение стержня F и его материал []заданы.

Необходимо убедиться, чтовыполняется условие прочности

/>

Проверочный расчет заключаетсяв том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности n исравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]:

/>

где * — предельное (или опасное) напряжение, т. е. напряжение, вызывающее отказэлемента конструкции (напомним, что, например, для стержня из пластичногоматериала это-предел текучести sт или условный предел текучести 0,2).

Подбор сечения (проектныйрасчет). В этом расчете по Заданной нагрузке (Nz)определяются размеры поперечного сечения стержня (F) из заданногоматериала ([] дано). Минимальное значение F получим, если вусловии прочности (1) принять знак равенства:

 

[F] = Nz /[]

Определение допускаемойнагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данныйэлемент конструкции (F и [] даны) при выполнении условияпрочности (1)

 

[N] = []F

Понятие о концентрациинапряжений, принцип Сен-Венана

Даже для призматическогостержня равномерное распределение напряжений по поперечному сечению не всегдаимеет место. Так, отклонения от равномерного распределения напряженийнаблюдаются в окрестности сечений, содержащих вырезы, выточки, отверстия,трещины, в местах резкого изменения поперечного сечения, а также в местахприложения сосредоточенных сил и т. п. Неравномерное распределение напряжений вуказанных местах является следствием искажения плоскостей поперечных сеченийили их депланации.

Поясним это явление напримере подверженной растяжению полосы из податливого материала с круговымотверстием, на поверхности которой нанесены продольные и поперечные риски (рис.5, а). В зоне отверстия имеет место депланация поперечных сечений, вызваннаянеравномерным растяжением продольных волокон (рис.5, б). При этом наибольшиеудлинения и соответственно напряжения max  получают волокна возлеотверстия. Такое местное увеличение напряжений возле вырезов, выточек,отверстий и т. п., а также в местах приложения сосредоточенных сил, называется концентрациейнапряжений, а источники концентрации напряжений (вырезы, выточки, отверстияи т. п.) получили название концентраторов напряжений.

/>

Рассмотренными методамимеханики деформированного тела, опирающимися на гипотезу плоских сечений,задачи о распределении напряжений в зонах концентрации напряжений не решаются.Такие задачи решаются методами теории упругости или исследуютсяэкспериментально. При этом для практических расчетов вводится так называемый теоретическийкоэффициент концентрации напряжений к, представляющийсобой отношение максимальных max  и номинальных номнапряжений: к = max /ном, гденоминальные напряжения определяются без учета концентрации напряжений. Вприведенном примере растяжения полосы с отверстием ном = Nz/ Fnt, a Fnt — площадь поперечного сеченияполосы, уменьшенная за счет отверстия («нетто»). Таким образом, киграют роль поправочных коэффициентов.

/>

Однако, как показалиэксперименты и точные решения задач теории упругости, местные отклонения отравномерного распределения напряжений, вызванные концентрацией напряжений,быстро затухают по мере удаления от сечения с концентратором, и на расстоянияхпорядка ширины сечения распределение напряжений можно считать практическиравномерным (рис. 5, в). Отмеченное свойство является частным случаем широкоиспользуемого практически во всех разделах механики деформируемого твердоготела (в том числе и теории упругости) принципа Сен-Венана

Определение деформаций иперемещений

Как показываютэксперименты, при растяжении стержня размеры его поперечного сеченияуменьшаются (см. рис. 6), а при сжатии — увеличиваются. Это явление получилоназвание эффекта Пуассона.

По аналогии с продольнойдеформацией изменение размеров поперечного сечения b (на рис. 6 b<0)будем называть абсолютной поперечной деформацией, а '=b/b — относительной поперечной деформацией. Относительные продольная ипоперечная деформа-ции, имеющие противоположные знаки, связаны между собойкоэффициентом , являющимся константой материала и называемымкоэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

Формула (2) для удлинениястержня l применима только в случае, когда по длине стержня нижесткость поперечного сечения, ни продольная сила не изменяются (EF=const,Nz=const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EFи Nz (рис. 7) может быть определено как сумма удлиненийступеней, у которых EF и Nz постоянны:

/>

(индекс k у модуляпродольной упругости означает, что участки стержня могут быть изготовлены изразличных материалов). В случае, когда Nz и EFменяются по длине стержня l непрерывно и их можно считать постояннымилишь в пределах ступеней длиной dz, обобщая формулу эту, получаем

/>

 

В качестве тестов дляпрактики расчетов определенных интегралов рекомендую воспользоваться системойвходных тестов Т-5, указанных в ПРИЛОЖЕНИИ.

 

/>

/>

С упругими продольнымидеформациями стержня при растяжении (сжатии) связаны продольные перемещения егосечений. На рис. 8 приведены три случая определения таких перемещений, откудавидно, что перемещения поперечных сечений численно равны удлинениямзаштрихованных частей стержня:

перемещение свободноготорцевого сечения 1-1 при неподвижном другом торцевом сечении (рис. 8, а)численно равно удлинению стержня;

перемещениепромежуточного сечения 2-2 (рис. 8, б) численно равно удлинению части стержня,заключенной между данным сечением и сечением неподвижным;

взаимное перемещениесечений 3-3 и 4-4 (рис, 8, в) численно равно удлинению части стержня,заключенной между этими сечениями.

Напряженное состояние прирастяжении (сжатии)

Напряженное состояние прирастяжении стержня является одноосным (рис. 9, а). Поскольку на поперечных ипродольных площадках касательные напряжения не возникают, то эти площадкиявляются главными.

/>

Напряжения на площадках,наклоненных к оси стержня под углом , определяются по формулам дляупрощенного плоского напряженного состояния:

/>

Площадки с экстремальнымикасательными напряжениями 13 (рис. 9, б), как известно,наклонены по отношению к исходным под углами =±45° (следует и изформулы для ) и равны 13=/2.

Именно с действиемэкстремальных  связывается появление на боковой поверхности образца измалоуглеродистой стали, испытываемого на растяжение, линий скольжения,ориентированных под углом =±45° к оси образца. На площадках сэкстремальными t действуют и нормальные напряжения, равные /2.

10. Составныебалки и перемещения при изгибе

Ключевые слова: сварные двутавровые балки, уравнениеупругой кривой, прогиб, угол поворота, граничные условия.

Понятие о составныхбалках

Работу составных балокпроиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечногосечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют,то каждый из них деформируется как отдельная балка, имеющая свой нейтральныйслой (рис. 1, а). Нагрузка между этими балками распределяется пропорциональноих жесткостям при изгибе (в данном примере поровну). Это означает, что моментыинерции и моменты сопротивления трех независимо друг от друга деформирующихсябалок должны быть просуммированы

/>

Если скрепить балкисваркой, болтами или другим способом (рис. 1, б), то с точностью допренебрежения податливостью наложенных связей сечение балки будет работать какмонолитное с моментом инерции и моментом сопротивления, равным

/>

Как видно, при переходе кмонолитному сечению жесткость балки возрастает в девять раз, а прочность — втри раза. В инженерной практике наиболее распространены сварные двутавровыебалки.

/>

Дифференциальноеуравнение прямого изгиба призматического стержня

Определено, что меройдеформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизнанейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетовточностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгибастержня. Однако для практических целей кроме кривизны 1/ необходимоопределить вертикальные перемещения центров тяжести отдельных поперечныхсечений — прогибов балки v, а иногда и углы поворота этих сечений  (рис.2). Вследствие гипотезы плоских сечений угол поворота сечения (оказывается равным углу наклона касательной к изогнутой оси балки, который всилу малости

/>

Тогда возникает геометрическаязадача: составить уравнение для функции прогиба />, зная закон изменения еекривизны.

/>

Воспользуемся известнымиз дифференциальной геометрии выражением для кривизны в прямоугольныхдекартовых координатах:

/>

Однако, учитывая, что винженерной практике применяются достаточно жесткие балки, для которыхнаибольший прогиб f мал по сравнению с длиной (f / l << 1),а первая производная от прогиба имеет порядок

/>

и, следовательно,величиной (dv / dz)2<<1, стоящей в знаменателе, можно пренебречь,выражение для кривизны упрощается

/>

Тогда, подставив этовыражение в полученную ранее связку кривизны и изгибающего мометна — />, условившисьчто ось Oy направлена вверх и согласовав знаки 1/ и Мх,приходим к дифференциальному уравнению прямого изгиба балки

/>

известному также как дифференциальноеуравнение упругой кривой.

Если учесть точноевыражение для кривизны по формуле, то точное уравнение упругой кривой

/>

является нелинейнымдифференциальным уравнением. Поэтому линейное дифференциальное уравнение,описывающее малые прогибы балки, иногда называют линеаризованным уравнениемупругой кривой.

Решение уравненияполучаем путем двукратного почленного интегрирования. При первом интегрированииполучаем выражение

/>

которое с учетом />, дает такжезакон изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки. Повторныминтегрированием получаем функцию прогиба

/>

Постоянные интегрированияС и D должны быть найдены из граничных условий.

Во всех приведенных вышеуравнениях функция изгибающего момента Мх(г) предполагаласьизвестной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшиеварианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничныеусловия показаны на рис. 3.

Условия, накладываемые напрогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничныхусловий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб наопорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворотасечения в заделке

/>

 

/>

Дифференциальноеуравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так каксодержит неизвестный изгибающий момент Мx появившийся врезультате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка

/>

В этом уравнении нагрузкаq известна, поэтому его можно получить, учитывая, что

/>

При интегрированииуравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом концебалки) в том числе так называемые силовые граничные условия — условия,накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу),которые выражаются через производные от прогиба. Так как

/>

а с учетомдифференциального соотношения Qy=dMx/dz,получаем

/>

Вернемся к интегрированиюуравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых праваячасть уравнения исходного f(z)=Mx/EJx, содержитразные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 4приведена эпюра Мx, содержащая n участков. Для каждогоучастка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участкахтребуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиямна опорах 2(n-1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой награнице; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и угловповорота сечений dv/dz на этих границах

/>

/>

получим 2nграничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.

/>

 

Рекомендую дляпрактики решения дифференциальных уравнений второго порядка воспользоватьсясистемой входных тестов Т-6, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ.

 

11. Напряженияи деформации при кручении призматических стержней кругового поперечного сечения

Ключевые слова: чистый сдвиг, жесткость сечения прикручении, угол закручивания, вал, прочность, жесткость.

Кручением называется такой вид деформации, прикотором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равенсумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz.Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент невносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня(интенсивности этих сил — касательные напряжения xz и yz)Мz связывает вытекающее из его определения уравнениеравновесия статики (рис. 1)

/>

Условимся считать Mzположительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленнымпротив часовой стрелки (см. рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 ив указанном соотношении, где крутящий момент Мz принятположительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил,приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Оz.

/>

Рассмотрим кручениепризматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформацийупругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис.3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этогостержня:

поперечные сеченияостаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

расстояния междупоперечными сечениями не изменяются, следовательно z=0;

контуры поперечныхсечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сеченияведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформированииотносительно оси стержня Оz. Отсюда следует, что любые деформации вплоскости пластинки равны нулю, в том числе и x = y=0;

материал стержня подчиняетсязакону Гука. Учитывая, что x =y = z=0, из обобщенного закона Гука в форме получаем x =y= z =0. Это означает, что в поперечных сечениях, стержнявозникают лишь касательные напряжения , а вследствие законапарности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженныхпродольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистыйсдвиг.

/>

Выведем формулу длякасательных напряжений при кручении призматического стержня круговогопоперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительнонеподвижного левого на угол j (назовем его углом закручивания стержня) вызываетповорот продольных волокон на угол  (угол сдвига), поскольку навеличину  искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечныхрисок модели. Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dzи, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будемсчитать неподвижным (рис. 4). При повороте правого сечения на угол d всоответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ(отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будетперемещаться по дуге BB1, вызывая поворот волокна на уголсдвига

/>

Обратим внимание на то,что в соответствии с рис. 4 и рис. 5, а сдвиг  и связанное с нимкасательное напряжение  перпендикулярны радиусу . Определим ,воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

/> (1)

/>

Здесь d /dz — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Дляего нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной дляданного случая форме (рис. 5, a)

 

/> (2)

Подставляя (1) в (2) иучитывая, что

/>

где Jp — полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d Jp=4/32),получаем

/> (3)

/>

Подставляя выражение (3)в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматическогостержня кругового поперечного сечения

/> (4)

Как видно из (4), сдвигии касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратимвнимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистогоизгиба и касательных напряжений кручения.

Мерой деформации стержняпри кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3).Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и призаданной нагрузке (Mz через нее выражается) d /dzтем меньше, чем больше DJp, последнюю называют жесткостьюпоперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) дляопределения угла закручивания элемента длиной dz

/>

найдем полный уголзакручивания стержня длиной l

/> (5)

В случае, если по длинестержня Мz и DJp постоянны, получаем

/>

когда эти величиныкусочно-постоянны, то:

/> (6)

Отметим, что полученныеформулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательныенапряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при max=d/2

/>

где Wр — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

/>

Полярный моментсопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений,очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочностистержня при кручении принимает вид

/> (7)

где [] — допускаемое напряжение на кручение.

Как показали экспериментыи точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированныеранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и длястержня кольцевого поперечного сечения (рис. 6). Поэтому все выведенные ранееформулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей,что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов сдиаметрами D и d

/>

где =d/D,а момент сопротивления определяется по формуле

/>

Учитывая линейныйхарактер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 6) и связанное сэтим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признатьнаиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материалатем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Как отмечено ранее,напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частнымслучаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостьюпоперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникаютэкстремальные касательные напряжения max-min , а главныенапряжения 1,3 = ±  действуют на площадках,наклоненных.коси стержня под углами ±45°; главное напряжение 2= 0.

Особенности напряженногосостояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так,разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон,происходит от продольных трещин (рис. 7, a). Разрушение стержня из хрупкогометалла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной кобразующим под углом 45°, т. е. по траектории главного напряжения 3(рис. 7, б).

Расчет валов

Рассмотрим расчет вала напрочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимсяс заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности(например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент m,передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моментукрутящий момент необходим для расчета вала.

Если число оборотов валав минуту п и соответствующая угловая скорость (с-1)постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, торабота вращательного движения А=mФ. Тогда передаваемая валом мощностьбудет равна

/>

/>кНм

где учтено, что />.

Если мощность подается навал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомыхшкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строитсяэпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется,очевидно, по max Mz. Определение диаметра вала из условияпрочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемыенапряжения [] принимаются пониженными по сравнению с допускаемыминапряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учетаналичия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменногохарактера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

Требуемое значение Wp=dз/16получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства

/>

откуда получаем формулудля диаметра вала кругового сечения

/>

 

Определение диаметра валаиз условия жесткости.Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручиваниявала />, таккак недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности иподвержены сильным колебаниям:

/>

Тогда, учитывая, что Jp=d4/32,для диаметра вала из условия жесткости имеем

/>

Аналогично проводятсярасчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.