Реферат: Конечные автоматы

1. Введение
В настоящем реферате будут даны определения детермини-
рованных и недетерминированных конечных автоматов, приведе-
ны их графы. Далее будет рассмотрен случай преобразования
недетерминированного конечного автомата в детерминированный
с рисунками и графами.
Все рассмотренные здесь автоматы представлены как маши-
ны, распознающие цепочки символов.
2. Детерминированные конечные автоматы.
В различных источниках приводятся несколько отличающие-
ся друг от друга определения детерминированного конечного
автомата. Приведем здесь определение из источника [2].
Детерминированным конечным автоматом (ДКА) называется
машина, распознающая цепочки символов. Она имеет входную
ленту, разбитую на клетки, головку на входной ленте (вход-
ную головку) и управляющее устройство с конечным числом
состояний (рис. 1). Конечный автомат М можно представить в
виде пятерки (S, I, 1б 0, 1s0 0, F), где
1) S - множество состояний 1управляющего устройства 0,
2) I - 1входной алфавит 0(каждая клетка входной ленты со-
держит символ из I),
3) 1б 0 - отображение из S x I в S (если 1б 0( 1s 0, 1a 0) = 1s' 0, то
всякий раз, когда М находится в состоянии 1s 0, а входная
головка обозревает символ 1a 0, М сдвигает входную головку
вправо и переходит в состояние 1 s' 0),
4) 1 s0 0 - выделенное состояние в S, называемое 1начальным 0,
5) F - подмножество в S, называемое множеством 1допуска-
1ющих 0 (или 1 заключительных 0) 1 состояний 0.
???????????????????
? 1b 0 ? 1a 0 ? 1c 0 ? Входная лента
???????????????????
^
? Головка
???????
? 1s 0 ? Управляющее устройство
???????
Рис. 1. Конечный автомат
ДКА выполняет шаги, определяемые текущим состоянием его


блока управления и входным символом, обозреваемым входной
головкой. Каждый шаг состоит из перехода в новое состояние
и сдвига входной головки на одну клетку вправо. Оказывает-
ся, что язык представим регулярным [2] выражением тогда и
только тогда, когда он допускается некоторым конечным авто-
матом.
Далее будет приведено определение ДКА через определение
недетерминированного конечного автомата (НКА), то-есть
можно будет рассматривать ДКА в качестве подмножества НДКА.
2. Недетерминированные конечные автоматы
Для каждого состояния и каждого входного символа НКА
имеет нуль или более вариантов выбора следующего шага. Он
может также выбирать, сдвигать ему входную головку при из-
менении состояния или нет.
Приведем определение недетерминированного конечного ав-
томата.
Недетерминированным конечным автоматом называется пя-
терка (S, I, 1 б 0, 1 s0 0, F), где
1) S - конечное множество состояний устройства управле-
ния;
2) I - 1 алфавит 0 входных символов;
3) 1б 0- 1функция переходов 0, отображающая S x (I U { 1e 0}) в
множество подмножеств множества S;
4) 1 s0 0 (- S - 1 начальное состояние 0 устройства управления;
5) F _( .S - множество 1заключительных (допускающих) 0сос-
тояний.
С каждым НКА связан ориентированный граф, естественным
образом представляющий функцию переходов этого автомата.
Приведем определение для графа ( или диаграммы) перехо-
дов автомата М = (S, I, 1б 0, 1s0 0, F).
Графом переходов автомата М называют ориентированный
граф G = (S, E) с помеченными ребрами. Множество ребер Е и
метки определяются следующим образом. Если 1б(s, a) 0содержит
1s' 0для некоторого 1a 0(- I U { 1e 0}, то ребро 1(s, s') 0принадле-
жит Е. Меткой ребра 1(s, s') 0служит множество тех 1b 0(- I U
{ 1e 0}, для которых 1 б(s, b) 0 содержит 1 s' 0.
Например на рис. 2. изображен граф переходов для неко-
торого НКА. Заключительное состояние обведено двойной рам-
кой.


???????
1a,b 0 ? v
? ??????? 1a 0 ???????
???? 1s1 0 ?????????????????????? 1s2 0 ?
??????? ??????????????????
^ ? ?
? 1e 0 ? ?
?????????????????????? ? 1b
? ? ?
1e 0 ? ? ?
? ? v
?=====??????????? ??? ???????
? 1s4 0 ?????????????????????? 1s3 0 ?
?=====? 1 a 0 ???????
Рис. 2. Пример графа переходов
Для дальнейшего рассмотрения вопроса приведения недер-
минированного конечного автомата к детерминированному, пот-
ребуется указать несколько теорем. Теоремы приведены без
доказательства, для их подробного рассмотрения предлагается
обратиться к [2].
_Теорема 1. .Всякий язык, допускаемый недерминированным
конечным автоматом регулярен.
_Теорема 2. .Пусть 2а 0 - регулярное выражение. Тогда най-
дется НКА М = (S, I, 1б 0, 1s0 0, { 1Sf 0}), допускающий язык, предс-
тавленный 2а 0, и обладающий такими свойствами:
1) ??S?? < = 2? 2a 0?, где ? 2а 0? - длина выражения 2 а 0,
2) для каждого 1a 0 (- I U { 1e 0} множество 1 б(Sf, a) 0 пусто,
3) для каждого 1s 0(- S сумма чисел ?? 1б(s, a) 0?? по всем 1а
из I U { 1e 0} не превосходит 2.
Эти теоремы будут использованы при преобразовании НКА в
ДКА в следующем пункте.
3. Преобразование НКА в ДКА
Существует дополнительный результат или возможность со-
поставить какому-либо взятому НКА эквивалентную "детермини-
рованную" машину. Однако детерминированный конечный авто-
мат, эквивалентный данному НКА с n состояниями, может иметь
вплоть до 2 в n степени состояний. Поэтому переход от НКА к
детерминированному автомату не всегда дает эффективный спо-
соб моделирования недетерминированного конечного автомата.


Однако ДКА позволяют проще формализовать модель автомата и
алгоритмизировать его поведение. Кроме этого детерминиро-
ванные автоматы применяются при распознавании образов.
Таким образом мы можем дать определение ДКА как подмно-
жества или частного случая НКА.
Детерминированным конечным автоматом называется неде-
терминированный конечный автомат (S, I, 1б 0, 1s0 0, F), в кото-
ром:
1) 1 б(s, e) 0 = (/) (пустое множество) для всех 1 s 0 (- S,
2) ?? 1б(s, a) 0?? < = 1 для всех 1 s 0 (- S и 1 а 0 (- I.
Приведем теорему, которая поможет связать и выразить
недетерминированный конечный автомат через его детерминиро-
ванный эквивалент.
_Теорема 3. .Если L - регулярное множество, то оно допус-
кается некоторым ДКА.
Доказательство. По теореме 1 L допускается некоторым
НКА М = (S, I, 1б 0, 1s0 0, { 1Sf 0}). Превратим М в ДКА следующим
образом. Сначала найдем такие пары состояний 1(s, t) 0, что
1(s, e) 0?? м* 1(t, e) 0. Чтобы сделать это, построим ориентиро-
ванный граф G = (S, E), у которого 1(s, t) 0принадлежит Е
тогда и только тогда, когда 1б(s, e) 0содержит 1t 0. Затем вы-
числим рефлексивное и транзитивное замыкание G' = (S, E')
графа G. Мы утверждаем, что 1(s, e) 0?? м* 1(t, e) 0тогда и
только тогда, когда 1 (s, t) 0 принадлежит Е'.
Теперь построим такой НКА М' = (S', I, 1б 0', 1s0 0, F), что
L(M') = L(M) и в М' нет 1 е 0- переходов.
1) 1S' = {s0} U {t?б(s, a) 0содержит 1t 0для некоторого 1s
(- S и некоторого 1а 0(- I 1} 0.
2) Для каждого 1 s 0 (- S' и каждого 1 а 0 (- I
1б'(s, a) = {u?(s, t) 0 (- E' и 1 б(t, a) 0 содержит 1 u} 0.
3) F' = 1 {s?(s, f) 0 (- E' и 1 f 0 (- F 1} 0.
Таким образом L(M) = L(M') и в M' нет переходов по 1 е 0.
Далее по M' построим ДКА M'', состояния которого обра-
зуют множество-степень для S'. Другими словами, M'' =
( 1P 0(S'), I, 1 б'' 0, { 1s0 0}, F''), где
1) для каждого подмножества S множества S' и каждого 1а
(- I
1б''(S, a) = {t?б'(s, a) 0содержит 1t 0для некоторого 1s 0(-


S 1} 0,
2) F'' = {S?S П F <> (/)}.
Далее с помощью индукции по ? 1w 0?, можно доказать, что
( 1{s0}, w) 0?? м*''(S, 1e 0) тогда и только тогда, когда S =
1{t?(s0, w) 0 ?? м*' 1(t, e)} 0.
Следовательно L(M) = L(M') = L(M''). Что и требовалось
доказать.
4. Пример преобразования НКА в ДКА
На основе приведенного выше доказательства, рассмотрим
пример для произвольного НКА М (рис. 3). Приведем его из
недетерминированного вида в детерминированный аналог.
1b
????????????????????????????????????????
? ?
? ??????? 1a 0 ?
? ???????? 1s2 0 ????????????????? ?
? ? 1a 0 ??????? ? v
??????? ? 1 0 ^ ? 1e 0 ?=====?
? 1s1 0 ???? ? ????????????????? 1s4 0 ?
??????? ? ?=====?
? ? ^
? ? ?
? 1e 0 ? ?
? ? ?
? ? ?
? ??????? 1e 0 ?
?????????????? 1s3 0 ????????????????????
???????
Рис. 3. Пример недетерминированного автомата НКА М
Из начального состояния s1 можно достичь s3 и заключи-
тельное состояние s4 по путям, помеченным символом 1е 0. Поэ-
тому для вычисления рефлексивного и транзитивного замыкания
G' ориентированного графа G, о котором шла речь в доказа-
тельстве теоремы 3, надо добавить ребро (s1, s4).
Весь граф G' изображен на рис. 4. По М и G' построим
НКА М' (рис. 5). Так как в узел s4 входят ребра из всех уз-
лов графа G', то обьявляем все состояния в М' заключитель-


ными.
???????
? ? ???????
? v ? ?
? ??????? ??????? ?
???? 1s1 0 ???????????? ? 1s2 0 ???
??????? ? ???????
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ??????????????????? ?
v v v
??????? ???????
??? 1s3 0 ???????????????????????????? 1s4 0 ????
? ??????? ??????? ?
? ? ^ ?
??????? ???????
Рис. 4. Граф G'
Так единственное ребро, входящее в узел s3 в диаграмме
для М, помечено символом 1 е 0, то s3 не входит в М'.
1b
?????????????????????????????????????
? v
?=====? 1 a,b 0 ?=====? 1a 0 ?=====?
? 1s1 0 ????????????? 1s2 0 ??????????? 1s4 0 ?
?=====? ?=====? ?=====?
? ^
?????
1a
Рис. 5. НКА М'
При построении ДКА М'' по автомату М' образуется восемь
состояний. Но только четырех из них можно достичь из на-
чального состояния, так что остальные четыре можно выбро-
сить.
Приведенный к детерминированному виду автомат М'' при-
веден на рис. 6.
Таким образом было показана возможность приведения НКА
к ДКА. При такой операции число получившихся состояний мо-
жет существенно увеличиться, некоторые из них становятся


бесполезными. Сущность приведения заключается в том, что мы
ищем обходные пути для достижения конечного состояния,
стремясь к тому, чтобы исчезла неоднозначность перехода из
состояния в состояния в зависимости от входного символа.
Эта операция порождает несущественные состояния и поэтому,
видимо, в каждом из отдельных случаев решать задачу нужно
исходя их конкретных целей.
1b 0 ?=======? 1 b
?????????????????? 1{s2,s4} 0???????????????
? ?=======? v
? ? ???????
? ? 1a 0 ? 1(/) 0 ????
?=====? ? ??????? ?
? 1{s1} 0 ? ? ^ ? ?
?=====? v ? ??????
? 1a 0 ?=====? 1b 0 ? 1 a,b
?????????????????? 1{s2} 0 ?????????????????
?=====?
^ ?
?????
1b
Рис. 6. ДКА G''
Для примера оценки стоимости преобразования НКА в ДКА
рассмотрим задачу распознавания образов, в которой дана це-
почка-текст x = a1 a2 ... an и регулярное выражение 2а 0, на-
зываемое образом. Мы хотим найти такой наименьший индекс j,
что для некоторого i подцепочка ai ai+1 ... aj цепочки x
принадлежит языку, представленному выражением 2 а 0.
Вопросы такого рода часто возникают при редактировании
текстов. Многие программы для редактирования текстов разре-
шают пользователю задавать типы замен в цепочке-тексте.
Например пользователь может сказать, что он хочет заменить
слово y каким-то другим словом в куске текста х. Чтобы вы-
полнить такую операцию, программа редактирования текста
должна суметь найти вхождение слова у в текст х. Некоторые
мощные редактирующие программы позволяют пользователю в ка-
честве множества заменяемых цепочек указывать регулярное
множество. Например пользователь может сказать: "Заменить
[I*] в х пустой цепочкой", имея в виду, что в х следует
стереть пару квадратных скобок и символы между ними.
Поставленную выше задачу можно переформулировать, заме-
нив данное регулярное выражение 2а 0выражение 2b 0= I* 2a 0, где I


- алфавит цепочки-текста. Можно найти первое вхождение це-
почки из L( 2a 0) в х = а1 а2 ... аn, обнаружив кратчайший пре-
фикс цепочки х, принадлежащий языку выражения 2b 0. Эту задачу
можно решить, построив НКА М для распознавания множества,
представленного выражением 2b 0, а затем определить множество
состояний в которые может перейти НКА М при прочтении це-
почки а1 а2 ... аn.
Один из способов моделирования поведения НКА М на це-
почке-тексте х - превратить М в детерминированный конечный
автомат, используя теорему 3. Однако такой путь окажется
достаточно дорогостоящим, поскольку от регулярного выраже-
ния 2b 0можно перейти к НКА с 2? 2b 0? состояниями, а затем к ДКА
с почти 2 в степени 2? 2b 0? состояниями.
Таким образом уже само построение ДКА может вызвать
непреодолимые трудности.