Реферат: Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

/>/>СодержаниеГлава 1. Теоретические аспекты обучения основам комбинаторики, теориивероятностей и математической статистики в рамках профильной школы.

1.1.  Особенностиобучения математике в рамках профильной школы.

1.1.1.  Профильнаяшкола как составляющая модернизации российского образования.

1.1.2.  Роль иместо математики в профилях различных направлений.

1.2.  Структура и содержание элективногокурса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» впрофилях различных направлений.

1.2.1.  Анализсодержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики,теории вероятностей и математической статистики».

1.2.2.  Содержаниеэлективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математическойстатистики» в профилях различных направлений.

1.2.3.  Структураэлективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математическойстатистики» в профилях различных направлений.

Выводы поглаве 1

Глава 2. Методика обучения школьников основам комбинаторики, теориивероятностей и математической статистики в рамках профильной школы.

2.1.    Особенности формирования основных дидактических единиц при изученииоснов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в профиляхразличных направлений.

2.1.1.  Формированиеосновных дидактических единиц в физико-математическом профиле.

2.1.2.  Формированиеосновных дидактических единиц в естественнонаучных профилях.

2.1.3.  Формированиеосновных дидактических единиц в гуманитарных профилях.

2.2.    Организация и анализ опытно-экспериментальной работы.

2.2.1.  Организацияопытно-экспериментальной работы.

2.2.2.  Анализопытно-экспериментальной работы.

Выводы поглаве 2

Заключение

Основные выводы и полученные результаты. Перспективыдальнейшей работы над темой.

БиблиографическийсписокПриложения

Глава 1Теоретические аспекты обучения основам комбинаторики, теориивероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

 

/>/>1.1. Особенности обучения математике в рамкахпрофильной школы

 

1.1.1. Профильная школа как составляющая модернизации российского образования

В соответствии с приказомМинистерства образования и науки Российской Федерации от 18.07.2002 г. № 2783«Об утверждении Концепции профильного обучения на старшей ступени общегообразования» в старших классах общеобразовательных учреждений предусматриваетсяпрофильное обучение. Оно является важнейшим средством дифференциации и индивидуализацииобучения, позволяющим за счет изменений в структуре, содержании и организацииобразовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности испособности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников всоответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношениипродолжения образования с учетом реальных потребностей рынка труда. Профильноеобразование направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса,расширяющего возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательнойтраектории [электронный ресурс].

Однако попытки такойорганизации образования принимались в России и раньше – по крайней мере, с серединыXIX века.

Функционально наиболееудачным оказался самый простой и самый первый проект, в ходе которого в 1864году произошло дифференцирование среднего образования. Именно тогда появляетсяклассическая гимназия и реальная школа. Первая целенаправленно готовила кпоступлению в университет, вторая – ориентировала на практическую деятельностьи поступление в специализированные учебные заведения. Специализация учащихсяначиналась очень рано – в первом классе, что было со временем признано ошибочным,так как по данным социологических опросов, проведенных Центром социологическихисследований Минобразования России, профессиональное самоопределение в основномскладывается в 9 классе.

Новый импульс идеяпрофильного обучения получила в процессе подготовки реформы образования в1915-1916 гг., осуществлявшейся под руководством министра просвещенияП. Н. Игнатьева. По предложенной структуре 4-7 классы гимназииразделялись на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную.Однако в связи с отставкой министра реформа не была проведена.

В 1918 году советскимправительством было принято «Положение о единой трудовой школе», среди прочегопредусматривающие профилизацию содержания обучения на старшей ступени школы.Были выделены три направления: гуманитарное, естественно-математическое итехническое. После долгих педагогических экспериментов, не оправдавшихвозлагаемых на них надежд, было решено вернуться к общеобразовательной школе иклассно-урочной системе занятий.

В 1958 году на заседанииАкадемии педагогических наук с докладом «О введении фуркации в старших классахсредней школы» выступил профессор Н.К. Гончаров. Он отметил недостаткисложившейся системы обучения и предложил организовать дифференцированноеобучение старшеклассников. Предполагалось создание следующих четырех отделений:физико-технического, химико-технического, естественно-агрономического и гуманитарного.Однако проект осуществлен не был.

В 1966 году были введеныдве формы дифференциации содержания образования по интересам школьников:факультативные занятия 8-10-х классах и школы (классы) с углубленным изучениемотдельных предметов. Факультативные занятия на какое-то время прижились вшколе, хотя их введение сопровождалось определенными трудностями.

В конце 1980-х – в начале1990-х годов в стране появились новые виды общеобразовательных учреждений(лицеи и гимназии), ориентированные на углубленное обучение школьников поизбираемым ими образовательным областям с целью дальнейшего обучения в вузе.Также многие годы успешно существовали и развивались специализированные(профильные) художественные, спортивные, музыкальные и другие школы.

Таким образом,отечественная школа имеет некоторый опыт массового дифференцированногообучения, а также весьма богатые традиции «элитарного» профильного обучения –ориентированного на небольшую по численности группу способных учащихся [МШ №14,2006].

Переход к профильномуобучению преследует следующие основные цели:

·  обеспечить углубленное изучениеотдельных предметов программы полного общего образования;

·  создать условия для существеннойдифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и глубокимивозможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

·  способствовать установлению равного доступак полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с ихспособностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

·  расширить возможности социализацииучащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием,более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессиональногообразования [МШ №14, 2006].

Модельобщеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступенипредусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что ибудет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система включает всебя курсы следующих типов: базовые общеобразовательные, профильные общеобразовательныеи элективные курсы.

Базовыеобщеобразовательные курсы – курсы федерального и регионального компонента,обязательные для всех учащихся во всех профилях обучения. Набор этих курсовдолжен быть функционально полным (с точки зрения реализации задач общего образования),но минимальным. Безусловно, набор базовых общеобразовательных курсов,обеспечивающих минимальный уровень общего образования для каждого старшеклассникадолжен отражать наиболее значимые цели, задачи, функции общего образования.

В«Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» предлагаетсяследующий набор обязательных общеобразовательных курсов (образовательныхобластей): математика, русский язык и литература, иностранный язык, история,физическая культура, а также интегрированные курсы обществознания дляестественно-математического, технологического профилей, естествознания – длягуманитарного, филологического, социально-экономического профилей.

Приопределении содержания базовых общеобразовательных курсов должно в равной мереучитываться мнение специалистов по этому учебному предмету и мнениеспециалистов по другим предметам (межпредметные связи, оценкаобщеобразовательной значимости учебного материала с позиций содержанияобразования в целом, а не только потребностей, внутренней логики построениякаждого отдельного учебного предмета).

Профильныеобщеобразовательные курсы – курсы повышенного уровня (фактически углубленныекурсы для старшей ступени школы), определяющие направленность каждогоконкретного профиля обучения. Например, физика, химия, биология – профильныекурсы в естественнонаучном профиле; литература, русский и иностранные языки – вфилологическом профиле; право, экономика и другие – в социально-экономическомпрофиле и т.д.

Достижение выпускникамиуровня требований государственного образовательного стандарта по базовымобщеобразовательным и профильным предметам определяется по результатам единогогосударственного экзамена.

Элективные курсы –обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиляобучения на старшей ступени школы. Именно они по существу и являются важнейшимсредством построения индивидуальных образовательных программ, так как внаибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования взависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективныекурсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых ипрофильных курсов удовлетворения разнообразных образовательных потребностейстаршеклассников. Эта роль элективных курсов в системе профильного обученияопределяет широкий спектр их функций и задач.

По назначению можновыделить несколько типов элективных курсов .

Элективы первого типамогут являться «надстройкой» профильных курсов и обеспечить для наиболееспособных школьников повышенный уровень изучения того или иного учебногопредмета.

Элективные курсы второготипа должны обеспечить межпредметные связи и дать возможность изучать смежныеучебные предметы на профильном уровне. Примером таких элективных курсов могутслужить курсы: «Основы теории вероятностей и математической статистики» дляшкольников, выбравших экономический профиль, «Компьютерная графика» для индустриально-технологическогопрофиля или «Геометрия архитектурной гармонии» для гуманитарного профиля.

Третий тип элективныхкурсов поможет школьнику, обучающемуся в профильном классе, где один из учебныхпредметов изучается на базовом уровне, подготовить к сдаче ЕГЭ по этомупредмету на повышенном уровне.

Четвертый тип элективныхкурсов может быть ориентирован на приобретение школьниками образовательныхрезультатов для успешного продвижения на рынке труда, например:«Делопроизводство», курсы по подготовке к работе в сфере обслуживания и т.п. Всвою очередь, познавательные интересы у многих старшеклассников часто могутвыходить за рамки традиционных школьных предметов, распространяться на областидеятельности человека вне круга выбранного ими профиля обучения. Это определяетпоявление в старших классах элективных курсов, носящих «внепредметный» или «надпредметный»характер. Примером подобных курсов могут служить такие элективные курсы, как«Основы правильного питания», «Начальные курсы автолюбителя» и т.п.

К настоящему времени ужесложились четыре основные модели организации профильного обучения.

1)  В рамках одного общеобразовательногоучреждения действуют несколько профильных классов. Эта модель началаскладываться еще в 1990-е гг.

2)  Организация однопрофильных школстаршей ступени, то есть учащиеся 10-11-х классов готовятся по одному и единомудля всех профилю. Постепенно формируются новые типы образовательных учреждений– школы третей ступени.

3)  Профильное обучение на основеиндивидуальных учебных планов учащихся. На старшей ступени учащимсяпредлагается несколько учебных курсов независимо от того, связаны ли они общейнаправленностью. Можно выбрать и математику, и литературу одновременно, чтопозволяет под одно определение подвести название профиля для такого ученика.Эти школы работают по сложному расписанию.

4)  Сетевое взаимодействие школ. Этотвариант наиболее характерен для сельских образовательных учреждений. Учащимсяпредлагается выбрать учебный курс не только в школе, но и за ее пределами.Иными словами, ученик получает образование фактически в нескольких учебныхзаведениях, а часть курсов осваивает дистанционно.

В целом переход напрофильное обучение – процесс длительный и занимает на уровне образовательногообучения около трех, а на муниципальном уровне в сетевом варианте – около пятилет .


1.1.2.Роль и место математики в профилях различных направлений

Математика объективноявляется одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает трудности умногих школьников. В тоже время имеется большое число учащихся с явновыраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятиякурса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

В преподавании математикинакоплен определенный опыт дифференцированного обучения. Он относится восновном к обучению сильных школьников. Однако дифференциацию обучения нельзярассматривать исключительно с позиций интересующихся математикой учащихся и поотношении лишь к старшему звену школы. Ориентация на личность ученика требует,чтобы дифференциация обучения математике учитывала потребности всех школьников– не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьиинтересы лежат в других областях.

Дифференциациязатрагивает все компоненты методической системы обучения и все ступени школы.Она может проявляться в двух основных видах: уровневая и профильнаядифференциация. Первый выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по однойпрограмме и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях.Второй вид дифференциации – это дифференциация по содержанию. Она предлагаетобучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложенияматериала, объемом сведений и даже номенклатурой включенных вопросов. Восновной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя онане теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школыприоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов.Основная школа является обязательной, старшая школа – профильной.

В последнее времяпривлекает внимание методистов и учителей идея становления отечественнойпрофильной школы. Профильная школа не является профессиональной, ее задача –дать общее среднее образование с ориентацией на некоторую сферу деятельности, ккоторой данные группы учащихся имеют большую склонность.

Теоретические иэкспериментальные исследования позволили сформулировать общие требования кформированию содержания математического образования и построениюучебно-методического комплекса, реализующего профильную дифференциацию обученияматематике в общеобразовательной школе:

·  изучение математики являетсяобязательным для профильной средней школы любого направления;

·  в программу по математике должнывключаться дополнительные разделы, полезные для применения в будущей профессии;

·  содержание математики имеет некотороеобщее ядро;

·  все виды пособий по математике дляучащихся различных направлений должны иметь качественные различия по методическимподходам, языку, системам упражнений.

В 10-11-х классахдифференциация образования приобретает систематический характер. Математикавходит в число обязательных учебных предметов, однако она может иметь разныйудельный вес в общеобразовательной подготовке ученика по времени, отводимого наее изучение, а также по глубине и охвату рассматриваемого материала. Всоответствии с общими целями обучения математике выделяются разделы, общие длявсех профилей обучения: числа, уравнения, функции и их графики, геометрическиевеличины и их измерения, начало теорий вероятностей и статистики.

В зависимости от тойроли, которую математика может играть в образовании человека, выделяют два типашкольных курсов для завершающей ступени школы: курс общекультурной ориентации(курс А), рассчитанный на учащихся, склонных рассматривать математику толькокак элемент общего образования и не предполагающих использовать еенепосредственно в своей будущей профессиональной деятельности, и курсы повышенноготипа, обеспечивающие дальнейшее изучение математике и ее применение в качествеэлемента профессиональной подготовки.

Целесообразно выделитьдва основных курса повышенного типа. Первый из них (курс В) предназначен дляучащихся, выбравших для себя те области деятельности, в которых математикаиграет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерностиокружающего мира. Второй (курс С) ориентирован на тех учащихся, для которыхматематика является одной из основных целей познаний.

Таким образом, длястаршей ступени школы целесообразно наличие трех основных математических курсов– А, В, С, которые призваны предоставить каждому ученику возможность изучатьматематику на уровне, соответствующем его интересам, способностям, склонностям.Этих трех курсов достаточно для преподавания математики по профилю любогонаправления.

Курс А может быть выбрантеми учащимися, которых интересует, например, языки, искусство, художественноетворчество, спорт или предметно-практическая деятельность, то есть работапарикмахера, повара, косметолога. Они рассматривают математику как элементобщего образования и не предполагают использовать ее непосредственно в своейдеятельности. Специфической особенностью курса А должна быть явно выраженная гуманитарнаянаправленность, то есть специальная ориентация на умственное развитие человека,на знакомство с математикой как с областью человеческой деятельности, на формированиетех знаний и умений, которые необходимы для свободной ориентации в современноммире.

Однако при этом курс А недолжен сводиться к «прогулкам по саду математики». Преподавание по курсу Адолжно опираться на традиционные для школьного курса разделы. Обязательныетребования по усвоению курса А фактически должны совпадать с базовым уровнемматематической подготовки выпускников средней школы.

Нельзя согласиться с тойточкой зрения, согласно которой преподаванию математики в нематематическихклассах отводится лишь второстепенная роль. Наоборот, значение математическогообразования в этих класса должно быть не только не меньше, но даже и больше,чем в классах математических. Ведь учащиеся гуманитарных классов завершают всредней школе свое математическое образование. Они не смогут в будущем осознатьфилософию математики, увидеть ее историю, как это сделает другая часть молодежи,изучая математику в вузах. В программах по математике для гуманитарных классовбольше места должны занимать вопросы мировоззренческого характера, факты изистории математики, описания ее приложений в различных областях еедеятельности. Ведь математика по своей сути является гуманитарным предметом,призванным всесторонне развивать личность ученика, отшлифовывать логику егорассуждений и научить правильно ориентироваться в окружающей обстановке.Использование гуманитарного потенциала математики, ее межпредметных связей спрофильными предметами позволит школьникам глубже уяснить содержание последних,а тем самым превратить ее из второстепенного в существенно важный и полезныйпредмет.

Курс В ориентирован научащихся с научным стилем мышления, выбравших для себя профили естественно-научныхи научно-гуманитарных направлений: химический, биологический, географический,исторический, социологический, экономический и другие. Заметим, чтоматематизация соответствующих наук касается лишь отдельных их областей, восновном наиболее современных, тогда как другие области практически не используютматематических знаний. Поэтому курс В должен быть построен с учетом того, чтоматематика для учащихся указанной категории является хотя бы необходимым, но ине самым важным предметом. Этот курс должен обеспечивать овладение конкретнымиматематическими знаниями, позволяющими, в частности, выработать представления оприменении в математике в профилирующей науке и достаточными для изучения математикив вузе соответствующего направления.

Заметим, что можно былобы ставить вопрос о разделении курса В на два в соответствии с особенностямипроцесса математизации в естественно-научных и научно-гуманитарных областяхзнаний. Сущностью математизации естественных и гуманитарных наук являетсяматематическое моделирование. В естественных науках главную роль играют внастоящее время количественные описания реальных процессов и соответствующиеколичественные модели, для исследования которых необходимы традиционные разделыматематики, наряду с началами математического анализа и элементами теориивероятностей и математической статистики. В гуманитарных науках значение имеютструктурные модели, построение и исследование которых требует привлечениеразделов математики, более современных и весьма далеких от нынешнего курсаматематики, и, прежде всего, дискретной математики (например, созданиеинформационных систем в приложениях различных гуманитарных наук).

Во всяком случае, внастоящее время выделение научно-гуманитарного направления нецелесообразно иматематические потребности в конкретной профилирующей науке должныудовлетворяться в основном в рамках внеклассной работы. Решать одновременно двезадачи – освоение и традиционных, и специализированных разделов математики –вряд ли возможно.

Курс С – наиболее строгийи полный курс математики – ориентирован на учащихся, выбравших для себядеятельность, непосредственно связанную с математикой, и какой-то профиль изгруппы профилей «математического направления». В эту группу вместе сматематическим профилем объединяются такие профили, как физический и компьютерный.Дело в том, что процесс математизации знаний исторически начался с математизациифизики, а современное развитие и состояние физики, как и всего физическогоцикла наук, неразрывно связано с математическим аппаратом и математическиммышлением. Современная наука информатика, обязанная своим происхождениемвычислительной математике и математической логике, целиком основана наматематическом стиле мышления, в том числе и в разделах, которые содержательнос математикой не связаны. Эти особенности физики и информатики и позволяютобъединить их в одну группу с математическим профилем с точки зрения обученияматематике.

Основойучебно-методического обеспечения по математике этой группы профилей и долженбыть курс С, ориентированный на овладение учащимися необходимых объемовконкретных математических знаний и формирование в этом процессеинтеллектуальной культуры личности. Практика углубленного изучения математики ифизики показывает, что гуманитарное воздействие математики проявляетсяавтоматически, что вытекает из самой природы математической деятельности.

Особенности конкретногопрофиля могут потребовать включения в соответствующий курс материала,расширяющего основной курс и углубляющего его. Например, для развитияабстрактного и логического мышления учащихся какого либо профилянаучно-гуманитарного направления целесообразно повышенное внимание каксиоматическому методу, для нужд технического и архитектурного профилей, можетбыть, следует усилить внимание к стереометрии или даже предусмотреть знакомствос элементами начертательной геометрии.

Если изучение математикив профиле чисто математическом является фактически самоцелью, то в профилефизическом изучение математики проводится, прежде всего, с целью созданиянеобходимого для физики аппарата, а в профиле с уклоном в информатикуматематика формируется как основа решения специфических задач этой областизнаний. Поэтому, например, изучение основ теории вероятностей и математическойстатистики, составляя специфическую область математических знаний,представляется обязательным в физическом профиле. Вряд ли их изучениенеобходимо в математическом профиле, поскольку основы соответствующей наукиявляются в большей степени функцией высшего образования. Аналогично основыматематической логики, не являясь столь существенной частью математической науки,чтобы ее изучение в школе могло считаться обязательным, естественнорассматривать как необходимые в профиле с уклоном в информатику.

Курс общекультурнойориентации (курс А) рассчитан на 4-6 уроков в неделю, преподается в рамкахединого курса математики и не ставит задачу подготовки учащихся к поступлению ввузы с повышенными требованиями к математической подготовке. Курс повышенноготипа рассчитан на 5-6 уроков математики в неделю для социально-экономического,естественного, технического направлений профилей и семь уроков дляфизико-математического. Основными задачами этого курса являются подготовка к поступлениюи продолжению образования вуза, где математика является одним из базовыхпредметов.

1.2. Структура и содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теориивероятностей и математической статистики»

Изучениевероятностно-статистического материала продиктовано самой жизнью. СовременнойРоссии нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творческимыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях ипроизводственной деятельности. Вероятностный характер многих явлений действительностиво многом определяет поведение человека, и курс должен формировать соответствующиепрактические ориентиры, вооружать учащихся, как общей вероятностной интуицией,так и конкретными способами оценки данных. Дети должны научиться извлекать,анализировать и обрабатывать разнообразную, порой противоречивую информацию,принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оцениватьстепень риска и шансы на успех. Необходимость формирования вероятностного мышленияобусловлена и тем, что вероятностные закономерности универсальны: современнаяфизика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, весь комплекссоциально-экономических наук развивается на базе вероятностно-статистическойматематики.

Вероятностно-статистическийматериал обладает огромным воспитывающим потенциалом, его изучение влияет наразвитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курсаматематики, способствует развитию интереса к предмету.

Введениеэлементов статистики и теории вероятностей в содержание математическогообразования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования,так как роль этих знаний в современном мире повышается.

Основнымицелями изучения курса являются следующие.

-    Способствоватьформированию и развитию умений решения комбинаторных задач, позволяющихученикам разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитатьвсевозможные комбинации элементов, составленных по определённому правилу.

-    Способствоватьформированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции.

-    Способствоватьразвитию творческих способностей и дарований.

-    Создатьусловия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания.

-    Создатьусловия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей.

1.2.2. Структура и содержание элективного курса

В соответствии с целямиизучения данного элективного курса был проведен отбор содержания.

Раздел1. Элементы комбинаторики.

Историческиеи занимательные комбинаторные задачи (фигурные числа, магические и латинскиеквадраты). Основные комбинаторные методы: перебор всех возможных вариантов(систематический перебор, перебор с ограничениями), полный граф, дерево вариантов(граф-дерево), таблица вариантов, правила произведения и суммы. Факториал.Перестановки. Размещения. Сочетания. Формулы для подсчёта числа перестановок,размещений и сочетаний. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Комбинированныезадачи.

Ученическиепроекты:

·         «Изистории комбинаторики».

·         «Заданиедля друга» (по бесформульным методам).

·         «БиномНьютона».

·         «Комбинаторикавокруг нас».

Раздел2. Элементы теории вероятностей.

Испытанияи события. Невозможные, достоверные и случайные события. Виды случайных событий(совместные и несовместные, равновозможные и неравновозможные, противоположные,независимые), действия над случайными событиями (сумма, произведение). Полнаягруппа. Эксперименты и их исходы. Классическое определение вероятности. Решениевероятностных задач с помощью формул комбинаторики. Относительная частота.Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Теоремы сложения и умножениявероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула Бейеса.Формула Бернулли. Закон больших чисел.

Ученическиепроекты:

·         Докладыоб ученых, стоящих у истоков теории вероятности.

·         «Парадоксы».

·         «Комунужна теория вероятностей?».

Раздел3. Случайные величины.

Случайнаявеличина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределениявероятностей ДСВ. Математическое ожидание ДСВ. Дисперсия ДСВ. Среднееквадратическое отклонение. Метод наименьших квадратов.

Ученическиепроекты:

·         «Современныеазартные игры».

·         «Моделированиеметодом Монте-Карло».

Раздел4. Элементы математической статистики.

Предметстатистики. Основная задача и основной метод статистики. Статистическаяинформация и способы её представления: простой статистический ряд (выборка),таблицы частот, таблицы относительных частот, столбчатые диаграммы, полигонычастот, круговые диаграммы, гистограммы. Простейшие статистическиеисследования. Этапы статистических исследований. Опрос общественного мнения какпример сбора, обработки, представления и интерпретации данных. Статистическиехарактеристики: среднее значение, мода, медиана, размах, выборочная дисперсия,выборочное среднее квадратичное отклонение. Определение линий регрессии методомнаименьших квадратов для двумерных выборок.

Ученические проекты:

·         «Развитиематематической статистики».

·         Статистическоеисследование на заданную тему.

Впроцессе обучения учащиеся приобретают умения:

·  подсчитатьколичество всевозможных комбинаций элементов, образованных определённомуправилу;

·  решать задачи спомощью графов;

·  определять типы случайныхсобытий;

·  вычислятьвероятность события, пользуясь простейшими свойствами вероятности;

·  проводитьэксперименты со случайными исходами;

·  извлекать информациюиз таблиц и диаграмм, анализировать её;

·  записывать исходныеданные в таблицу, используя их составлять диаграммы;

·  регистрироватьрезультаты наблюдений и делать выводы;

·  выполнятьматематические, процентные расчёты.

Учитываязначимость и назначение курса в каждом из профилей определим структуру курса исоставим учебный план.

№ РАЗДЕЛ ТЕМА ЗАНЯТИЯ КОЛ-ВО ЧАСОВ

 

Матема-тический профиль Гумани-тарный профиль Экономи-ческий профиль

 

1 Элементы комбинато-рики

1. Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов.

2. Подсчет вариантов с помощью графов, таблица вариантов.

3. Кортежи. Правила произведения и суммы.

4. Перестановки.

5. Размещения.

6. Сочетания.

7. Самостоятельная работа

8. Некоторые свойства сочетаний.

9. Свойство сочетаний />=/>+/>и треугольник Паскаля.

10. Бином Ньютона.

11. Решение задач.

12. «Комбинаторика вокруг нас» (итоговое).

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

 

Всего 19 12 14

 

2 Элементы теории ве-роятностей

1. Предмет теории вероятностей. События.

2. Виды случайных событий.

3. Эксперименты и их исходы.

4. Классическое определение вероятности.

5. Решение вероятностных задач с помощью формул комбинаторики.

6. Статистическая вероятность.

7. Геометрическая вероятность.

8. Теорема сложения вероятностей.

9. Теорема умножения вероятностей.

10. Следствия теорем сложения и умножения.

11. Формула Бернулли. Закон больших чисел.

12. Решение задач.

13. Самостоятельная работа.

14. «Кому нужна теория вероятностей?» (итоговое).

2

1

1

1

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

2

 

Всего 20 13 18 18 3 Случайные величины

1. Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

2 Математические операции над случайными величинами.

3 Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание.

4 Дисперсия ДСВ. Среднее квадратическое отклонение.

5 Метод наименьших квадратов.

6. Зачет.

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

 

Всего 10 4 7

 

4 Элементы математической статистики

1. Выборочный метод.

2. Числовые характеристики статистических рядов.

3. Статистические исследования. Этапы статистического исследования.

4. Определение линий регрессии методом наименьших квадратов для двумерных выборок.

5. Исследовательские проекты и их защита.

3

2

1

2

2

2

1

1

1

3

2

1

2

2

 

Всего 10 5 10

 

Итого 60 34

 


Глава 2 Методика обучения школьников основамкомбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильнойшколы 2.1. Организация при формированиипространственного образа, c использованиемкомпьютерной анимации, целесообразно выделить следующие шаги, на каждом изкоторых используются свои модели реального объекта:

Занятие №1.Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов.

В начале занятия учащимсянеобходимо дать понятие о таком разделе математики, как комбинаторика, ипривести примеры нескольких комбинаторных задач для привития интереса к данномуразделу.

В науке и практике частовстречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации изконечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачиполучили название комбинаторных задач, а раздел математики, в которомрассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика»происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находятширокое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей идругих областях знаний.

Приведем примерынекоторых комбинаторных задач.

1)   Сколькими способами можно расположитьв электрической цепи 7 различных приборов?

2)   Сколько словарей надо издать, чтобыможно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского,английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5языков?

3)   Вова точно помнит, что в формулеазотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка.Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

4)   Сколько разных типов гамет может датьгибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?

5)   Перечислить все трехзначные числа, взаписи которых встречаются только цифры 1 и 2.

6)   Три друга – Антон, Борис и Виктор –приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещенияфутбольного матча для троих друзей?

Таким образом, различают следующиетипы комбинаторных задач:

·  Задачи, в которых требуетсяперечислить все решения (пример 5).

·  Задачи, состоящие в требованиивыделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданномудополнительному требованию (пример 3).

·  Задачи, в которых требуетсяподсчитать число решений (пример 1, 2, 6, 4).

Процесс навыков подсчетакомбинаторных объектов можно расчленить на три этапа в зависимости от времениобучения и методов подсчета:

— подсчет методом непосредственногоперебора;

— подсчет с использованиемкомбинаторных принципов;

— подсчет с использованием формулкомбинаторики.

Каждый из этих этаповготовит почву для формирования навыков следующих этапов. Поэтому на начальномэтапе с учащимися нужно обязательно рассмотреть бесформульные методы.

Рассмотрим основныеметоды, используемые в решении комбинаторных задач.

Перебор всех возможныхвариантов

Операция переборараскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторныхпонятий, поэтому на первом месте должна стоять задача по формированию навыковсистематического перебора.

Пример 1. Из группы теннисистов,в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров,тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантоввыбора такой пары?

Составим сначала всепары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквыфамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, вкоторые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, вкоторые входит Сергеев, но не входит Антонов и Григорьев. Такая пара толькоодна: СФ.

Других вариантовсоставления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, ужесоставлены.

Итак, мы получили 6 пар:АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренеромпары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений,которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможныхвариантов.

Тут же необходимопояснить учащимся, что в данном примере нам не важен порядок выбора пары:Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов, и привести пример задачи, гдеучитывается порядок элементов в комбинации.

Пример 2. Три друга –Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-еместа первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти дваместа на стадионе?

Если на матч пойдут Антони Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Антон, 2-е –Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор. Таким образом,мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Следующая система задачнаправлена на формирование умений учащихся систематическому перебору,составлению комбинаций с учетом и без учета порядка.

Задачи:

1. Перечислить знакомыевиды четырехугольников.

2. В кафе предлагают двапервых блюда: борщ и рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты,сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказатьпосетитель.

3. Сколько двузначныхчисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числене может повторяться? (перебор с ограничением).

4. (Устно) Важен или нетпорядок в следующих выборках (комбинациях):

а)   капитан волейбольной команды и егозаместитель;

б)   три ноты в аккорде;

в)   «шесть человек останутся убиратькласс!»;

г)    две серии для просмотра из новогомногосерийного фильма.

5. Придумайте сами четыреразличные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух – нет.

6. Стадион имеет 4 входа:A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какимипосетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько такихспособов?

7. В магазине продаюткепки трех цветов: белые, красные и синие. Кира и Лена покупают себе по однойкепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?Перечислите их.

В качестве домашнегозадания можно предложить учащимся написать работу (сообщение, реферат, доклад)на тему «Из истории комбинаторики».

Занятие №2. Подсчетвариантов с помощью графов. Таблица вариантов.

Эффективным приемом,организующим подсчет, является составление учащимися таблиц, построение графов.Графы, таблицы позволяют в наглядной форме представить идею комбинирования ипроцесс подсчета комбинаторных объектов. Поэтому использование этих методов вобучении комбинаторике в школе оправдывается не только познавательными, но ипедагогическими соображениями.

/>
Для подведения учащихся кследующим комбинаторным методам целесообразно рассмотреть задачу, в которойколичество всевозможных комбинаций из данных элементов велико и процесс ихподсчета затруднителен.

Пример 1. Сколькоразличных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии,что цифры в числе могут повторяться?

Перебор вариантов можноорганизовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 впорядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего –начинающиеся с цифры 3. Таких комбинаций получим 27. При переборе легко былоупустить какую-нибудь из них.

Нередко подсчет вариантовоблегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (ихназывают вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа). Приэтом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов,людей, числовых и буквенных кодов и т.д.), а с помощью ребер – определенныесвязи между этими элементами.

Рассмотрим два видаграфов:

1.        Граф-дерево (называютза внешнее сходство с деревом).

С помощью деревапроиллюстрируем проведенный перебор вариантов в примере 1.

На первом месте втрехзначном числе может стоять одна из цифр 1, 2 или 3; на втором и третьемместах – (при условии, что цифры могут повторяться) также любая из трех цифр.

Таким образом, с помощьюграфа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчиватьдерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинацииэлементов.

2.        Полный граф.Используется для решения задач, в которых все элементы множества взаимосвязаны.

/>Пример 2. Привстрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколькорукопожатий было сделано, если друзей было четверо?

Четырех друзей поместим ввершины графа и проведем все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребраобозначают рукопожатия каждой пары друзей.

Из рисунка видно, чтограф имеет 6 ребер, значит, и рукопожатий было сделано 6.

Еще одним методомподсчета числа комбинаций является таблица вариантов. Ее можно использовать,когда составляемые комбинации состоят из двух элементов.

Пример 3. Записатьвсевозможные двузначные числа, используя при этом цифры 0, 1, 2 и 3. Подсчитатьих количество N.

Для подсчета образующихчисел составим таблицу:

1-я

цифра

2-я цифра 1 2 3 1 10 11 12 13 2 20 21 22 23 3 30 31 32 33

N=3·4=12

Задачи:

1.        По окончанииделовой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил своюкарточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встречеучаствовало 5 человек?

2.        Перечислить всевозможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеютсябрюки трех цветов: серые, бежевые и зеленые; свитера двух расцветок: песочный ималиновый; ботинки двух цветов: черные и коричневые.

3.        Одновременнопроисходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставилисвои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин,Яшкин.

а)           Нарисуйте деревовозможных вариантов голосования и определите с его помощью число различныхисходов.

б)           В сколькихвариантах будет кандидатура Эшкина?

в)           В сколькихвариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоятиз разного числа букв?

г)            Как изменятсяответы в пунктах а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»?

4.        Группа туристов планируетосуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово — Грибово. ИзАнтонова в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова воВласово можно дойти пешком или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибовоможно доплыть по реке, доехать на велосипедах или дойти пешком.

а)        Нарисуйте деревовозможных вариантов похода.

б)        Сколько всеговариантов похода могут выбрать туристы?

в)        Сколько естьполностью не пеших вариантов?

г)        Сколько вариантовпохода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одну из участковмаршрута они должны использовать велосипеды?

5.        С помощью таблицывариантов перечислить все возможные двухбуквенные коды (буквы в коде могутповторяться), в которых используются буквы а, б, в.

6.        Составляярасписание уроков на понедельник для 10А класса, завуч хочет первым урокомпоставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либолитературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписанияна первые два урока?

Определиться в успешностиусвоения данной темы поможет самостоятельное составление учащимися задач. Можнопредложить им придумать так называемое «задание для друга» с использованиемкаждого из трех методов.

Занятие №3. Кортежи. Правилопроизведения.

Второй этап формированиявычислительных навыков в решении комбинаторных задач связан с формированиемправил суммы и произведения. Предлагаемая методика формирования правил суммы ипроизведения и последующих основных комбинаторных понятий базируется на такихтеоретико-множественных понятиях, как множество, элемент множества, подмножество,упорядоченное множество. Поэтому с учащимися необходимо повторить эти понятия.

Рассмотрим задачу про«Суеверного председателя».

«Опять восьмерка!» — горестно воскликнул председатель клуба велосипедистов, взглянув на прогнутоеколесо своего велосипеда. «А все почему? Да потому, что у меня членский билет №888 – целых три восьмерки. И теперь не проходит и месяца, чтобы то на одном, тона другом колесе не появилась восьмерка. Надо менять номер билета! А чтобы меняне обвинили в суеверии, проведу ка я перерегистрацию всех членов клуба и будувыдавать только билеты с номерами, в которые не входит ни одна восьмерка. Незнаю только, хватит ли на всех номеров – ведь у нас в клубе почти 600 членов. Неужелипридется сначала выписать все номера от 000 до 999, а затем вычеркивать из нихвсе номера с восьмерками?» Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такуюкомбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):

Сколько существуеттрехзначных номеров, не содержащих цифры 8?

Далее учащиеся должныответить на вопросы (Как бы вы решили такую задачу? С помощью какого метода?Какие еще методы решения применимы к данной задаче?) и вместе с учителемразобрать решение данной задачи.

Сначала найдем количествооднозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять:0,1,2,3,4,5,6,7,9. А теперь найдем все двузначные номера, не содержащиевосьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номерови написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждогооднозначного номера получится 9 двузначных. А так как двузначных номеров было9, то получится 9·9 = 92 двузначных номеров.

Итак, существует 92= 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписатьсправа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, несодержащий цифру 8. При этом получаются все трехзначные номера с требуемымсвойством. В результате мы нашли 92·9 = 93 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.

Если бы председательклуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит навытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 83 = 512 трехзначныхномеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.

С помощью этого примеравводятся понятие кортежа и правило произведения.

Кортежи. Номера,составленные из трех цифр, нельзя рассматривать как множество элементов.Во-первых, в номерах цифры могут повторяться (например, 775), а в множествахэлементы не повторяются, во-вторых, в номерах важен порядок цифр (175 и 571 –совсем разные номера), а в множествах порядок элементов роли не играет.Поэтому, если мы хотим изучать такие объекты, как номера, или слова (в них тожемогут буквы повторяться, от перестановки букв слово меняется), нужно ввестиновое математическое понятие, отличное от понятия множество.

Это новое понятие математикиназвали кортежем (наряду со словом  «кортеж» применяют названия «слово»,«набор», «вектор», «конечная последовательность» и т.д.). Кортеж – французскоеслово, означающее торжественное шествие. И у нас иногда говорят «кортежавтомашин», «свадебный кортеж» и т.д. При этом кортеж автомашин может состоятьиз нескольких «Волг», нескольких «БМВ» и нескольких «Ауди». Если считать машиныодной и той же марки неразличимыми, то получим, что в кортеже автомашин один итот же элемент может повторяться несколько раз.

В математике кортежопределяют так. Пусть имеется несколько множеств X1, …, Xk. Представим себе, что их элементы сложены в мешки, а мешки перенумерованы.Вытащим из первого мешка какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудьэлемент а1 множества Х1), затем вытащим элемент а2из мешка Х2 и будем продолжать этот процесс до тек пор, пока измешка Хk не будет вытащен элемент аk. После этого расставим полученныеэлементы в том порядке, в котором они появились из мешков (а1, а2,…, аk). Это и будет кортежем длины k, составленным из элементов множеств X1, …, Xk. Элементы а1, а2, …, аk называют компонентами кортежа.

Два кортежа называютравными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а насоответствующих местах стоят одни и те же элементы.

Здесь учащимся можно датьиндивидуальное задание: взять любое множество и составить из его элементовкортеж, при этом спросить их, почему он является кортежем, и сколько кортежейможно составить из этого множества?

При больших значениях n (n – это количество элементов в множестве, из которогосоставляется кортеж) и k (k – это количество элементов в кортеже)перебор вариантов становиться очень громоздким, поэтому ограничиваются толькоподсчетом общего числа возможных вариантов построения кортежей. Для простейшихкомбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных кортежей получаются спомощью двух основных правил комбинаторики.

Правилосуммы. />Если элемент а можно выбрать m способами, а элементb можно выбрать n способами, причемлюбой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами.(Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно7+4=11 способами).

Наязыке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Еслипересечение конечных множеств A и B пусто, A∩B=Ø, то числоэлементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A∩B=Ø => />

Здесьцелесообразно задать учащимся вопросы: А как будет сформулировано правило суммыдля пересекающихся множеств A и B? в общем случае для конечного числа множеств?

Правилосуммы применяется для решения комбинаторных задач. Именно, часто приходитсяразбивать все множество перечисляемых комбинаций, подсчитывать число элементовв каждой группе и потом складывать получившиеся ответы.

Правилопроизведения. Возьмем несколько конечных множеств X1, …, Xk, состоящихсоответственно из n1, …, nk элементов, и найдем, сколько кортежейдлины k можно составить из элементов этих множеств. Способ, которыммы решим эту задачу по сути дела будет тем же самым, каким было найдено числотрехзначных номеров без восьмерок. Сначала найдем число кортежей длины 1,составленных из элементов множества Х1. Ясно, что ихчисло равно n1. Возьмем теперь один из этих кортежей (а1) иприпишем к элементу а1 справа по очереди все элементы множества х2.Получитсяn2 кортежей длины 2, укоторых первая координата равна а1. Но вместо а1 можнобыло бы взять любой другой элемент из Х1. Поэтому получается n1 раз по n2 кортежа, а всего n1∙ n2 кортежей длины 2или, как чаще говорят пар. Из каждой такой пары получим n3 троек, приписав кней по очереди все элементы множества Х3, а всего n1∙ n2∙ n3 троек. Продолжаяэтот процесс, получим, в конце-то концов, n1∙ n2∙ …∙ nk кортежей длины k, составленных изэлементов наших множеств.

Полученный результат являетсяодним из важнейших в комбинаторике. На нем основан вывод многих формулкомбинаторики. Его называют «правилом произведения». Сформулируем это правилотак. Если элемент а1 можно выбрать n1 способами, после каждого выбора этого элемента следующий заним элемент а2 можно выбрать n2 способами … после выбора элементов а1, а2,…, аk-1 элемент аk выбирается nk способами, то кортеж (а1,а2, …, аk)можно выбрать n1 ∙ n2 ∙ … ∙ nk.

Подсчитаем, например,сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавитапри условии, что любые две стоящие рядом буквы различны (например, слово«корова» допускается, а слово «колосс» нет). При этом, разумеется можно писатьбессмысленные слова. В этом случае на первое место у нас 33 кандидата. Но послетого, как первая буква выбрана, вторую можно выбрать лишь 32 способами – ведьповторять первую букву нельзя. На третье место тоже 32 кандидата – первую буквууже можно повторить, а вторую – нельзя. Также убеждаемся, что на все места,кроме первого, имеется 32 кандидата. А так как число этих мест равно 5, тополучаем ответ 33∙32∙32∙32∙32∙32=1107396236.

Задачи нанепосредственное применение комбинаторных правил произведения и суммы:

1.        В отделенаучно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждыйиз них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский, 6 –немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий ифранцузский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка.Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык?Сколько человек знают только один язык?

2.        Сколько чиселсреди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

3.        Имеется 5 видовконвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку дляпосылки письма?

4.        Сколькимиспособами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащиена одной горизонтали или одной вертикали?

5.        Имеется 20тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку. Необходимо выбрать две тетрадиодного вида. Сколько способов выбора двух тетрадей возможно, если учитываетсяпорядок выбора тетрадей?

Занятия №4, 5, 6. Размещения.Перестановки. Сочетания.

Эти занятия можнопостроить с использованием презентации (см. Приложение 1) по единой схеме:определение → вывод формулы (доказательство) → пример. По мере рассмотрениякаждого из комбинаторных понятий целесообразно отработать с учащимися этипонятия на символическом материале. Для усвоения содержания понятия нужно рассмотретьупражнения по составлению объектов, относящихся к определенному комбинаторномупонятию. Эти упражнения должны носить внутримодельный характер. Упражнениялучше давать на карточках. Систему упражнений и задач можно подобрать из.

Занятие №7.Самостоятельная работа.

В начале занятия учащиесядолжны самостоятельно заполнить таблицу, представленную в презентации (слайд23), что будет способствовать систематизации и актуализации знаний, полученныхна предыдущем занятии.

Вариант 1

1.        Сколькимиспособами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы A, B, C, D, E и F?

2.        Курьер долженразнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?

3.        Сколькимиспособами можно разделить 6 различных конфет между тремя друзьями?

4.        Сколько различныхмаршрутов может избрать пешеход, решив пройти 9 кварталов, из них 5 на запад и4 на юг?

5.        В магазинепродают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себепо одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этихдевочек?

6.        Каждая из 5подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькимиразличными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?

Вариант 2

1.        Сколькимиспособами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?

2.        Сколькимиспособами можно разложить 12 различных деталей по трем ящикам?

3.        Сколькимиспособами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13участниками конкурса?

4.        В библиотеке Катепредложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькимиспособами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

5.        Найти числоразличных способов, которыми можно записать в один ряд 6 плюсов и 4 минуса.

6.        В списке классадля изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантовприсутствия (отсутствия) этих людей на занятии?

Занятие №8. Некоторыесвойства сочетаний.

Этотвопрос можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы.

I.

а)      Составьтевсевозможные сочетания по 2 элемента без повторений из элементов множестваМ={а, б, в, г, д}. Для каждого из составленных подмножеств выпишите дополнения- трехэлементные подмножества оставшихся элементов — и сравните число тех и других.Какой вывод можно сделать о числах />и />?

б)Из n элементов некоторого множествасоставлены всевозможные k-элементныеподмножества и соответствующие им дополнения — (n-k) – элементныеподмножества оставшихся элементов. Какой вывод можно сделать о сравнительнойвеличине чисел /> и />?

в)      Воспользуйтесьформулой подсчета числа сочетаний без повторений и докажите равенство />=/>. Это равенство выражаетодно из важных свойств сочетаний. Им удобно пользоваться для вычисления /> в случае k>/>n.

г)       Непроизводя вычислений, выберите равные из следующих чисел: />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />.

д)      Вычислите/>, />, />.

е)       МножествоМ={а, б, в, г, д, е} разбейте всеми возможными способами на два подмножестватак, чтобы в одно из них входило 2 элемента, а в другое — 4.

ж)      Из12 человек нужно составить 2 волейбольные команды по 6 человек в каждой.Сколькими способами это может быть сделано?

II. Докажите следующее свойствосочетаний:

/>+/>+/>+…+/>=2n.

а)Возьмите множество М={а, b, с}из трех элементов и составьте k-элементныеподмножества М /k=0, 1, 2, 3/.

Каждомуподмножеству поставьте в соответствие последовательность из трех цифр – единици нулей – следующим образом: каждому из трех элементов а, b, с поставьте в соответствие 1, еслион входит в подмножество, 0 – если он в подмножество не входит. Рассмотритетаблицу

Таблица1.

Виды подмножеств Число подмнож. Подмножества Последовательности из 1 и 0 Пустые

/>

Æ 000 Одноэлементные

/>

{a}, {b}, {c} 100, 010 ,001 Двухэлементные

/>

{ab}, {ac}, {bc} 110, 101 ,011 Трехэлементные

/>

{a, b, c}| 111

Числовсех подмножеств множества М равно />+/>+/>+/>и равно числу всехпоследовательностей длины три из единиц и нулей. Число такихпоследовательностей нетрудно подсчитать: каждое из трех мест в последовательностиможет быть занято 1 или 0, то есть двумя способами, а все три места – попринципу умножения – 2×2×2=23 способами. Это числоможно получить и по формуле подсчета числа размещений с повторением, таким образом,/>+/>+/>+/>=23.

б) Проведите аналогичныерассуждения для множества из nэлементов. Тогда какие изменения следует внести в таблицу? Сделайте вывод,результат запишите.

Занятие №9. Свойствосочетаний />=/>+/>и треугольник Паскаля.

I. Для изучения следующего свойства сочетаний предварительносоставим трехэлементные подмножества множества М={а, б, в, г, д}. Затем выберемиз множества М любой элемент, например, «а» и разобьем все подмножества на двакласса: не содержащие «а» и содержащие «а».

I класс:    {б, в,г},       {б, в, д},      {б, г, д},      {в, г, д}

II       класс:    {а,б, в},       {а, б, г},      {а, б, д},      {а, в, г},

{а, в,д},       {а, г, д}.

Первыйкласс состоит из всевозможных сочетаний без повторений по три элемента изследующих четырех: б, в, г, д. Таких сочетаний />. Каждое подмножество второгокласса состоит из элемента «а» и двух элементов, выбираемых из множестваследующих элементов: б, в, г, д. Очевидно, число таких подмножеств равно />.

ПодмножестваI и II классов исчерпывают все трехэлементные подмножества множестваМ, что означает:

/>=/>+/>.

Аналогичнымирассуждениями получите равенство:

/>=/>+/>.

Убедитесьв справедливости последнего равенства, воспользовавшись формулой подсчета числасочетаний без повторений.

II. Составим таблицу значений /> при различныхзначениях n и k. В таблицу 2 занесем значения />=1, />=1, />=1, />=1, />=2, />=1. Заполните остальные строкитаблицы, используя свойство сочетаний.

Займемсяизучением таблицы 2.

Первые ипоследние элементы любой строки равны 1, так как />=/>=1. Это равенство будем считатьверным и при n=0 (пустое множество своимединственным подмножеством имеет самое себя).

Любойдругой элемент таблицы 2 согласно свойству сочетаний, на основании которогосоставлена таблица, равен сумме двух элементов предшествующей строки: стоящегонепосредственно над ним и стоящего над ним слева.

Часточисла /> располагаютв таблице иначе, так, что каждый элемент таблицы равен сумме двух чиселпредшествующей строки, стоящих непосредственно над ним слева и справа. Тогдатаблица принимает форму равнобедренного треугольника.

Исследованиемсвойств такой треугольной таблицы и применениями ее занимался выдающийся ученыйФранции Блез Паскаль (1623 —1662). Поэтому рассматриваемую таблицу частоназывают треугольником Паскаля. Хотя задолго до Паскаля этот треугольниквстречался в работах итальянских и арабских математиков.

Отметимнекоторые из свойств треугольника Паскаля.

1.   Сумма чисел k-той строки равна 2k: ранее было доказано, что />+/>+/>+…+/>=2k.

Таблица 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 1 … 1 1 1 … 2 1 2 1 … 3 1 3 3 1 … 4 1 4 6 4 1 … 5 1 5 10 10 5 1 … 6 1 6 15 20 15 6 1 … 7 1 7 21 35 35 21 7 1 … 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 … 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 … 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 … … … … … … … … … … … … … …

2. Числа каждой строки треугольника, равноудаленные от ееконцов, равны между собой. Обоснованием этого свойства служит равенство />=/>.

2. Члены любой строки треугольникаПаскаля до середины строки возрастают, а затем убывают.

Задания:

1.   Сколько различныхподмножеств имеет множество всех цифр?

2.   Сколько различныхделителей, включая 1, имеет число а)2∙3∙5∙7∙11? б) 195?

3.   Сколько различныхпроизведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 7, 11, 9, 3, 5?

4.      С помощьюсвойства сочетаний />=/>+/>докажите равенство: />+/>+/>+…+/>=/>.

5.      Пользуясьтреугольником Паскаля, найдите числа />, />.

6.      Напишите 11строку треугольника Паскаля.

Занятие №10. Бином Ньютона.

Это занятие можно построить на подготовленных учениками ранеев качестве домашнего задания докладах по данной теме.

В процессе самостоятельной подготовки докладов учащиесяовладевают навыками работы с научно-популярной и справочной литературой.

Занятие №11. Решение задач.

Блок задач должен содержать задачи на простое однократноеприменение какой-либо формулы, задачи, решаемые бесформульными методами,комбинированные задачи.

1.  Имеется 5 видовконвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт смаркой для посылки и письма?

2.  Сколькимиспособами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

3.  Сколькимиспособами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащиена одной горизонтали или одной вертикали?

4.  Сколько можносоставить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных букв, если гласные исогласные должны чередоваться?

5.  Сколькосуществует пятизначных четных чисел, в которых ни одна цифра не повторяетсядважды?

6.  Сколькочетырехбуквенных слов можно составить из букв слова «кибитка»?

7.  Сколькимиспособами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакиедва лица одного пола не сидели рядом?

8.  Сколькимиспособами можно выбрать 3 краски из имеющихся 5 различных красок?

9.  На школьномвечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбратьиз них 4 пары для танца?

10.Во скольких девятизначных числах все цифры различны?

11.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123153?

12.Сколько существует семизначных телефонных номеров, в первых трех цифрахкоторых не встречаются 0 и 9?

13.Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 тринатуральных числа так, чтобы их сумма была четной?

14.На прямой взято p –точек, а на параллельной ей прямой еще g – точек. Сколько существует треугольников, вершинами которыхявляются эти точки?

15.В комнате n лампочек.Сколько всего разных способов освещения комнаты, при которых горит ровно k лампочек?

16.Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифраменьше предыдущей?

17.Сколькими способами можно рассадить n гостей за круглым столом?

18.Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способамиможно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?

19.Сколько трехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 3?

20.Сколько ожерелий можно составить из 7 различных бусин?

21.Сколькими способами можно разбить множество из 20 элементов на два подмножестватак, чтобы одно содержало 3 элемента, а другое – 17?

22.Сколькими способами можно разложить на шахматной доске две ладьи так, чтобыони не били друг друга?

23.Сколько различных двухзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, еслицифры в числе могут повторяться?

24.Сколько различных предсказаний о распределении 3 трудовых мест можно сделать,если в соревновании принимают участие 10 человек?

25.Сколькими способами можно выбрать 4 числа из 10?

26.В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по одной партии,всего было сыграно 36 партий. Определите число участников турнира.

27.В классе имеется 6 сильных математиков. Сколькими способами из них можносоставить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можнопослать команду от 2 до 4 человек?

28.Сколько различных направлений задают на плоскости вершины треугольника?

29.Из колоды в 36 карт наугад выбирают 2 карты. Сколько возможно случаев, вкоторых обе карты окажутся тузами?

Занятие №12. Комбинаторика вокруг нас.

К данному итоговомузанятию каждый из учащихся должен подготовить проект на тему «Приложениякомбинаторики» (в химии, астрономии, геометрии, физике, биологии, теориивероятности, логике, программировании). Это могут быть доклады, сообщения,сопровождающиеся наглядностью, презентации и прочие. Учащиеся могутпользоваться любыми ресурсами, в том числе электронными. Можно им порекомендоватькнигу.

Раздел 2. Элементытеории вероятности.

Этот раздел элективногокурса представляет собой чрезвычайно яркую, интересную и своеобразную областьматематики.

Изучение материаласопровождается рассмотрением разнообразных игровых и жизненно интересныхпримеров с непредсказуемым однозначным результатом. Рассмотрение случайныхсобытий, некоторые трудности психологического характера, вызываемыенеобычностью объектов изучения, делают курс непростым для усвоения.

Занятие №1. Предмет теориивероятностей. События.

На вводном занятии надорассказать учащимся о возникновении теории вероятности, об ученых, стоящих у ееистоков. Причем, по мере рассказа учителя, учащиеся могут делать доклады побиографии упомянутых ученых. Темы доклады нужно распределить заранее.

В обыденной жизни, даваякакие-либо прогнозы, мы нередко употребляем выражения «вероятность»,«вероятно». Например, мы говорим: «Вероятно, сегодня вечером будет дождь».Причём мы отдаём себе отчёт, в каких событиях «мало» вероятности, в каких –«много».

Французскийестествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в XVIII столетии подбрасывал монету 4040 раз –герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в нале прошлого века подбрасывал её24000 раз – герб выпал 12012 раз. В 70-х г.г. XX века американские естествоиспытателиповторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. Значит,результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием,при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Теория вероятностей иизучает закономерности, управляющие массовыми случайными событиями.

С случайными событиями(или явлениями), то есть с такими, которые могут либо произойти, либо непроизойти в результате какого-то испытания, мы встречаемся в жизни очень часто.

Ученик извлекает билет –это испытание. Появление при этом билета №13 – случайное событие, билета №5 –другое случайное событие. Выбор наугад какой-то страницы в книге – этоиспытание. То, что первой буквой на этой странице окажется «м» – это случайноесобытие.

Например, рассмотримследующие события:

№№ Условие Исход

А1

При нагревании проволоки её длина увеличится

А2

При бросании игральной кости выпадут 4 очка

А3

При бросании монеты выпадет герб

А4

При осмотре почтового ящика найдены три письма

А5

При низкой температуре вода превратилась в лёд

События А1, А5произойдут закономерно, А2, А3, А4 –случайные.

Событие, которое в данномиспытании неизбежно наступит, называется достоверным, а событие, которое вданном испытании никогда не появится – невозможным.

Какие из следующихсобытий достоверны:

А Два попадания при трёх выстрелах + В Выплата рубля семью монетами + С Наугад выбранное случайное число не больше 1000 + D Наугад выбранное число, составленное из цифр 1,2,3 без повторений, меньше 400 + E Выпадение семи очков при бросании игральной кости - F Получение пятёрки на экзамене +

Назовите невозможныесобытия:

А Вода в реке замерзла при температуре +25°С + В Появление слова «мама» при случайном наборе букв м, м, а, а - С Появление сразу трёх лайнеров над аэропортом + D Составление трёхзначного числа, состоящего из цифр 1,2,3 и кратного 5 + E Появление 17 очков при бросании трёх игральных костей -

Упражнения:

Для каждого из этихсобытий определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

1.        Из 26 учащихсякласса двое справляют свой день рождения: 1) 25 января; 2) 31 июня.

2.        Случайным образомоткрывается художественное произведение и находится второе слово на левойстранице. Это слово начинается: 1) с буквы М; 2) с буквы Ъ.

3.        Из списка журнала9 класса (в котором есть и мальчики, и девочки) случайным образом выбранученик: 1) это мальчик; 2) выбран ученик, которому 15 лет; 3) выбранномуученику 15 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.

4.        Сегодня в Кировебарометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода вкастрюле закипит при температуре 70°С; 2) когда температура упала до -3°С, вода в луже замёрзла.

5.        В нашей школе учатся758 учеников. Событие А={вшколе есть ученики с совпадающими днями рождения} является случайным или достоверным. Выясните, произошло ли это событие в вашемклассе?

6.        Среди 150 билетовшкольной благотворительной лотереи 30 выигрышных. Сколько билетов надо купить,чтобы событие А={выничего не выиграете}было невозможным?

7.        В 10 «Г» классеучится 16 мальчиков и 10 девочек. Какие из следующих событий являютсяневозможными, какие случайными, какие – достоверными:

А={ в классе есть два человека,родившихся в разные месяцы};

В={в классе есть два человека,родившихся в одном месяце};

С={в классе есть два мальчика,родившихся в одном месяце};

D={в  классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце};

Е={все мальчики родились в разные месяцы};

F={все девочки родились в разные месяцы};

К={есть мальчик и девочка, родившиеся водном месяце};

М={ есть мальчик и девочка, родившиеся вразные месяцы}.

8.        Около школыостанавливаются автобусы трёх маршрутов, идущих в сторону лесозавода: № 5, № 13и № 23. Интервал в движении автобусов каждого маршрута колеблется от 8 до 10минут. Когда Саша, Маша, Кристина и Катя подошли к остановке, от неё отошёлавтобус № 13, а ещё через 6 минут подошёл автобус № 5. После этого каждый изребят высказал своё мнение о том, автобус какого маршрута будет следующим:

Саша: Следующимобязательно будет № 23.

Маша: Возможно, чтоследующим будет № 23.

Кристина: Возможно, чтоследующим будет № 13.

Катя: Невозможно, чтоследующим будет № 5.

С кем из ребят высогласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.

9. На дорогу от дома дошколы Миша тратит от 10 до 15 минут, если идёт пешком, и от 2 до 3 минут, еслиедет на автобусе. При каких интервалах движения автобусов событие А=={по пути в школу Мишу обгонит хотя быодин автобус} будетневозможным, при каких – случайным, при каких – достоверным?

После знакомства спонятием «случайное событие» учащиеся должны уметь приводить примеры такихсобытий из жизни и отличать их от неслучайных.

Занятие №2. Видыслучайных событий.

События называютнесовместными, если появление одного из них исключает появление других событийв одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Например, события «пошелдождь» и «наступило утро» являются совместными, а события «наступило утро» и«наступила ночь» — несовместными.

Задачи:

1.        В сыгранной Катейи Ларисой партии в шахматы определить совместные и несовместные события, если:1) Катя выиграла, Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.

2. Из событий: 1) «идётдождь»; 2) «на небе нет ни облака»; 3) «наступило лето» — составитьвсевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместныхсобытий.

3. Из событий: 1)«наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня 1 января»;4) «температура воздуха в Мариинске +30°С» — составить всевозможные пары и выявить среди них парысовместных и пары несовместных событий.

События называютравновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не являетсяболее возможным, чем другое.

Например, «выпадениегерба» и «выпадение цифры» при бросании монеты – равновозможные события.«Изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разнымиочками» — неравновозможные события, так как дублей в наборе домино всего 7, аостальных костяшек 21.

Несколько событийобразуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно изних.

Например, попадание ипромах при выстреле; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральнойкости.

Если два единственновозможных события образуют полную группу, то их называют противоположными(выигрыш и не выигрыш, попадание и промах). Если одно из двух противоположныхсобытий обозначено через А, то другое принято обозначать />.

Задачи:

1. Ниже перечисленыразные события. Укажите противоположные им события.

а) Мою новую соседку попарте зовут или Таня, или Аня.

б) Из пяти выстрелов вцель попали хотя бы два.

в) На контрольной работе яне решил, как минимум, три задачи из пяти.

2. Назовите событие, длякоторого противоположным является такое событие:

а) на контрольной работебольше половины класса получили пятёрки;

б) все семь пулек в тиреу меня попали мимо цели;

в) в нашем классе всеумные и красивые;

г) в кошельке у меня естьтри рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.

Рассматривая события какмножества, можно определить действия над событиями. (Введение понятий суммы ипроизведения событий позволяет подготовить действия над вероятностями).

/>a)        Объединениесобытий или сумма событий — AÈB или А+В — событие, содержащее все элементы А и В.

Пример 1.

Испытание: бросаемигральную кость.

Событие А: выпало четное число очков.

Событие B: выпало число очков меньше, чем 4.

Событие A+B: выпало 1, 2, 3, 4 или 6 очков.

/>Пример 2.

Событие А: круг.

Событие B: квадрат.

Событие A+B: заштриховано.

/>b)        Пересечениесобытий или произведение событий — AÇB или АВ — событие, содержащее только общие элементы Аи В.

Пример 3.

Испытание: бросаемигральную кость.

Событие А: выпало четное число очков.

Событие B: выпало число очков меньше, чем 4.

/>Событие AB: выпало 2 очка.

Пример 4.

Событие А: круг.

Событие B: квадрат.

Событие AB: заштриховано.

Какими являются события C, D, E?

Задачи:

1.        Событие А –«попадание в мишень первым выстрелом», событие В – «попадание в мишень вторымвыстрелом». В чем состоит событие А+В?

2.        Событие А –«ученик учится без троек», событие В – «ученик учится без двоек», событие С –«ученик не отличник». Сформулируйте: А+В+С.

3.        Событие А –«лотерейный выигрыш 10 руб.», событие В – «лотерейный выигрыш 20 руб.», событиеС – «лотерейный выигрыш 30 руб.», событие D – «лотерейный выигрыш 40 руб.». В чем состоит событие А+В+С+D?

4.        Событие А –«появление нечетного числа очков при бросании игральной кости», событие В –«появление 3 очков при бросании игральной кости», событие С – «появление 5очков при бросании игральной кости». В чем состоят события АВС, АВ, АС, ВС?

5.        Проводятся двелотереи. Если событие А1 – «выигрыш по билету первой лотереи» исобытие А2 – «выигрыш по билету второй лотереи», то что означаютсобытия: А1А2+/>А2, А1/>+/>А2+А1А2?

6.        Известно, чтособытия А и В произошли, а событие С не наступило. Определите, наступили лиследующие события: А+ВС, (А+В)С, АВ+С, АВС.

7.        Турист из пунктаА в пункт В может попасть двумя дорогами. обозначим события: А1 –«он пошел первой дорогой», А2 – «он пошел второй дорогой».

Из пункта В в пункт Сведут три дороги. Обозначим события: В1 – «он пошел первой дорогой»,В2 – «он пошел второй дорогой», В3 – «он пошел третьейдорогой».

Применяя понятия суммы ипроизведения, а также противоположного события, постройте события, состоящие втом, что:

-         от А до В онвыбрал дорогу наугад, а от В до С пошел третьей дорогой;

-         от А до В онпошел первой дорогой, а от В до С – дорогой, выбранной наугад;

-         от А до В онпошел не первой дорогой, а от В до С – не третьей;

-         он дошел от А доС.

Занятие №3. Экспериментыи их исходы.

Первый шаг на путиознакомления учащихся с понятием вероятность состоит в длительномэкспериментировании, то есть в многочисленных манипуляциях с разнороднымипредметами (игральными костями, волчками, монетами, шарами и прочими).

Для проведенияэкспериментов учащихся лучше разбить на группы по 2-3 человека, один из которыхбудет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.

Могут быть предложеныследующие задания-эксперименты:

Задание №1. 100 разподбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».

Задание №2. 100 разподбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала остриемвниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.

Задание №3. Выберитекакой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленныхиз 6 букв.

Задание №4. Выберите 7строк произвольного текста. Подсчитайте, сколько раз встречаются в тексте буквыо, е, а, ю.

Задание №5. 100 разподбросить игральную кость и зафиксировать количество выпадений 6.

После проведенияэкспериментов целесообразно ввести понятия эксперимента и его исхода. Четкоеопределение и разграничение при проведении реальных физических экспериментов такихпонятий, как исход эксперимента и событие, возможное в эксперименте, вдальнейшем поможет избежать многих трудностей при введении понятия вероятностислучайного события.


Занятие №4.Классическое определение вероятности.

Вероятность – одно изосновных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этогопонятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажемслабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющиепреодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пустьв урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них –красные, 3 – синие и 1 – белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урныцветной шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно лиохарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число иназывают вероятностью события. Таким образом, вероятность есть число, характеризующаястепень возможности появления события.

Поставим перед собойзадачу дать количественную оценку возможности того, что взяты наудачу шарцветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждыйиз возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара изурны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Легко видеть, чтоэти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательнопоявится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковыеи тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, вкоторых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этомусобытию.

Необходимо пояснитьучащимся различие между событием и элементарным событием.

Отношение числаблагоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу, называютвероятностью события А и обозначают Р(А). В рассматриваемом примере всегоэлементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно,вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(А)=5/6.Это число идает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара,которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события Аназывают отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общемучислу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полнуюгруппу.

/>, где m — число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарныхисходов испытания.

m

  />

P(A)=

  />

n

 

m

 

n

  />/> <td/> />
Полезно формуле вероятностисобытия придать наглядную иллюстрацию./> <td/> />
Из определения вероятностивытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятностьдостоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятностьневозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятностьслучайного события есть положительное число, заключенное между нулем иединицей.

Доказательства данныхсвойств могут быть предложены учащимся в качестве домашнего задания.

Задачи:

1.        Для новогоднейлотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятностьтого, что купленный билет окажется выигрышным?

2.        Для экзаменаподготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятыйнаугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?

3.        Ученик приподготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будутпредложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется наэкзамене выученный билет?

4.        Женя купил 2лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным. Можно ли утверждать, чтовероятность выигрыша в лотереи />?

5.        Для школьногоновогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов,между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, чтономер счастливчика будет оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Воваполучил пригласительный билет с номером 33, а Таня – 99. Верно ли, что у Вовыбольше шансов получить главный приз?

6.        Два друга живут водном доме, а учатся в разных классах. Уроки в школе заканчиваются в интервалеот 13 до 14 часов. После занятий они договариваются ждать друг друга наавтобусной остановке в течение 20 минут. Сколько приблизительно раз за год имудаётся поехать домой вместе, если в году 200 учебных дней?

Занятие №5. Решениевероятностных задач с помощью формул комбинаторики.

При изучении этой темынадо, чтобы учащиеся отчетливо представляли себе роль сочетаний, размещений иперестановок в различных вероятностных задачах и научились по формулировкамзадач определять, какой из видов соединений будет использован при решении тойили иной задачи. Здесь можно руководствоваться следующим: если множествоисходов составляют всевозможные комбинации из n элементов по k, тов задаче будут фигурировать сочетания; если же всевозможные комбинации из n элементов по n, то в задачах идет речь оперестановках; размещения будут тогда, когда речь идет о порядке элементов врассматриваемых комбинациях.

Задачи:

1.        Набирая номертелефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифрыразличны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

2.        В классе 30учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должныбыть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девочки?

3.        Набирая номертелефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут трипоследние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры,которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того,что Антон набрал верный номер?

4.        В пачке находятсяодинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

5.        Четыре билета наёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Каковавероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?

6.        На полке 12 книг,из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятностьтого, что 3 из них окажутся учебниками?

Занятие №6.Статистическая вероятность.

Классическое определениене требует, чтобы испытание обязательно проводилось в действительности:теоретическим способом определяются все равновозможные и благоприятствующиесобытию исходы. Такое определение предполагает, что число элементарных исходовиспытания конечно и выражается конкретным числом. Однако на практике – приизучении случайных явлений в естествознании, экономике, медицине, производстве– часто встречаются испытания, у которых число возможных исходов необозримовелико. А в ряде случаев до проведения реальных испытаний трудно или невозможно установить равновозможность исходов испытания. Поэтому, наряду склассическим, на практике используют и так называемое статистическоеопределение вероятности. Для знакомства с ним требуется ввести понятиеотносительной частоты.

Относительной частотойсобытия A называют отношение числа испытаний m, в которых событие появилось, кобщему числу фактически произведенных испытаний n.

/>

Таким образом,вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту после опыта.

Длительные наблюденияпоказали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которыхчисло испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживаетсвойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытахотносительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянногочисла.

Например, по даннымшведской статистики, относительная частота рождения девочек в 1935 г по месяцамхарактеризуется следующими числами: 0,486; 0,489; 0,490;0,471;0,478;0,482;0,462;0,484;0,485;0,491;0,482;0,473.относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять заприближенное значение вероятности рождения девочек

Таким образом, в качествестатистической вероятности события принимают относительную частоту или число,близкое к ней.

Свойства вероятности,вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическомопределении вероятности. Назовите их.

Задачи:

1.        Во времятренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной сериивыстрелов?

2.        Отделтехнического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайноотобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.

3.        Данораспределение дней рождения старшеклассников (учащихся 9-11 классов) по месяцами дням недели

пн вт ср чт пт сб вс январь 1 3 4 1 февраль 2 4 1 2 3 2 март 2 2 2 4 2 апрель 3 2 5 8 3 2 май 4 2 1 1 1 2 июнь 4 2 2 1 3 2 июль 1 4 2 1 2 август 1 2 4 4 2 1 сентябрь 1 2 1 2 3 5 октябрь 1 2 2 1 ноябрь 2 4 1 1 5 1 декабрь 2 2 3 2 2 2

Найдите относительныечастоты событий:

А = {старшеклассник родился в майскоевоскресенье};

В ={старшеклассник родился в зимнийчетверг};

С = {старшеклассник родился в понедельник};

D = {старшеклассник родился весной}.

Занятие №7.Геометрическая вероятность.

Геометрическаявероятность – это своеобразный аналог формулы классического определениявероятности события: отношение двух натуральных чисел (количество благоприятныхисходов к количеству всевозможных исходов) в формуле классического определениявероятности событий заменяется отношением мер (длин, площадей, объемов)геометрических множеств, где оба множества (в общем случае) представляют собойбесконечные множества исходов. Тем самым достигается возможность найтивероятность и в случае бесконечного множества исходов. В этом – конечное ибесконечное множества исходов – и заключается основное различие междуклассическим определением вероятности события и геометрическим.

Рассмотрениегеометрической вероятности развивает у учащихся пространство воображения испособствует формированию умений переводить исходную вероятностную ситуацию нагеометрический язык.

Геометрическиевероятности можно дать в ознакомительном порядке, разобрав для этого ряд задач.

Задачи:

1.        На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. найти вероятность того,что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет и на меньшийотрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональнадлине отрезка и не зависит от его расположения.

2.        Внутри квадратасо стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. случайным образом внутри квадратаотмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

3.        На плоскостиначерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 смсоответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большойкруг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается,что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этойфигуры и не зависит от ее расположения.

4.        Перед окопамивдоль прямой линии через каждые 10 м установлены противотанковые мины.Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3 м. Каковавероятность того, что танк пересечет линию установки мин невредимым, то есть,что мина не взорвется?

Занятие №8. Теоремасложения вероятностей.

Из четырех теорем осложении вероятностей (для двух несовместных событий, для n несовместных событий (обобщение),для событий, образующих полную группу и для противоположных событий)практический интерес для слушателей курса представляют лишь две теоремы: перваяи третья. Обе они часто используются при решении вероятностных задач, и поэтомуих следует подробно с доказательством рассмотреть на занятии. Теорему о противоположныхсобытиях (как частный случай третьей теоремы) можно поручить рассказать одномуиз учащихся.

Теорема 1. Пусть событияА и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Тогдавероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого,равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство. Введемобозначения: n – общее число возможных элементарныхисходов испытания; m1 – общее число исходов, благоприятствующихсобытию А; m2 – общее число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарныхисходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно,

Р(А+В)=/>.

Приняв во внимание, что /> и />, окончательнополучим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 2. Вероятностьпоявления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразличнокакого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Теорема 3. Суммавероятностей событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна 1:

Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.

Доказательство. Так какпоявление одного из событий полной группы достоверно, а вероятностьдостоверного события равна единице, то

Р(А1+А2+…+Аn)=1. (*)

Любые два события полнойгруппы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn). (**)

Сравнивая (*) и (**),получим

Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.

Теорема 4. Суммавероятностей противоположных событий равна 1:

Р(А)+Р(/>)=1.

Задачи:

1.        В урне 30 шаров:10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2.        На стеллаже библиотекив случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете.Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя быодин из взятых учебников окажется в переплете. (Решить двумя способами: спомощью 1 и 4 теорем).

3.        Производитсябомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба.Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. Припопадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, чтосклады будут взорваны.

4.        Круговая мишеньсостоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одномвыстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. найти вероятность промаха.

Занятие №9. Теоремаумножения вероятностей.

Перед тем как излагать теоремуумножения вероятностей необходимо ввести понятие условной вероятности. Привестиучащихся к этому понятию поможет разбор примера.

Пример: Из ящика, вкотором 3 белых и 3 черных шаров, наугад вынимают последовательно один задругим два шара. Какова вероятность появления белого шара при втором испытании,если при первом испытании был извлечен черный шар?

Условная вероятностьсобытия В при условии, что событие А уже наступило, по определению равна

/> (Р(А)>0).

Опираясь на определениеусловной вероятности, учащиеся без труда смогут сформулировать теорему овероятности совместного появления двух событий.

Теорема 1. Вероятностьсовместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из нихна условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событиеуже наступило:

Р(АВ)=Р(А)РА(В).

Пусть вероятность событияВ не зависит от появления события А.

Событие В называют независимымот события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, тоесть

РА(В)=Р(В)  или   РВ(А)=Р(А).

Теорема 2. Вероятностьсовместного появления двух независимых событий равна произведению ихвероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике о независимостисобытий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждымиз двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтомусобытия «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель»независимы.

Задачи:

1.        Среди сталотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачувыбранные билета окажутся выигрышными.

2.        В коробке 9одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего днямастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Каковавероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

3.        У сборщикаимеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затемвторой. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, авторой – эллиптический?

4.        Бросают дваигральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четноечисло очков, а на втором – число, меньшее 6?

5.        Имеется 3 ящика,содержащих 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартныхдеталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятностьтого, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Занятие №10. Следствиятеорем сложения и умножения.

Возвращаясь к занятию №8,где теорема сложения была рассмотрена для несовместных событий, целесообразноизложить теорему сложения для совместных событий. Доказательство приводить необязательно, надо только ее проиллюстрировать.

Теорема 1. Вероятностьпоявления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме этих событийбез вероятности их совместного появления:

k

 

m

  />/>/>

s=mÇk

  /> <td/> />
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пусть требуется найтивероятность события А, которое может наступить при условии появления одного изнесовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу.

Если А произошло вместе содним из событий В1, В2, …, Вn, значит, произошло одно изнесовместных событий В1А, В2А, …, ВnА.

Таким образом, А= В1А+ В2А + … + ВnА.

Поскольку события В1,В2, …, Вnвзаимно несовместны, то и события В1А, В2А, …, ВnА обладают тем же свойством. Поэтому

Р(А)= Р(В1А) +Р(В2А) + … + Р(ВnА).

По теореме умножениявероятностей зависимых событий имеем />; />; …; />.

Поэтому

/>.

Теорема 2. Вероятностьсобытия А, которое может наступить лишь при условии появления одного изнесовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равнасумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующуюусловную вероятность события А:

/>.

Эту формулу называют«формулой полной вероятности».

С помощью этой формулынаходим так называемую формулу Бейеса:

/> при i=1, 2, …, n.

Особенно широко онаприменяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез.Гипотезы – это события, про которых заранее не известно, какое из них наступит.

Доказать формулу Бейесаучащиеся могут самостоятельно.

Задачи:

1.        Подбрасываем двемонеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

2.        Вероятностипопадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7;р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоихорудий) хотя бы одним из орудий.

3.        Отделтехнического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам сериюизделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первыйпараметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны обапараметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно неудовлетворяет стандарту?

4.        В лотереевыпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того,что один из купленных билетов выигрышный?

5.        В урну,содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен одиншар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, еслиравновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

6.        Из 10 учеников,которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо –хорошо, двое – удовлетворительно, а один совсем не готовился – понадеялся нато, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученикимогут ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов, удовлетворительно –на 10, и не подготовившиеся – на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Каковавероятность того, что он отличник?

Занятие №11. ФормулаБернулли. Закон больших чисел.

Формула Бернулли намногоупрощает путь решения задач в том случае, когда опыты повторяются независимодруг от друга и вероятность интересующего нас события не меняется.

Вероятность того, что приповторных испытаниях событие А наступит m раз и не наступит n-m раз находится по формуле:

/>.

Вычисления по формулеБернулли при больших значениях n и m затруднительны. В математикеустановлены приближенные формулы, позволяющие находить приближенные значениядля Рn(m) и, что еще важнее для практики, суммы значений Рn(m), таких, что дробь /> (относительная частота появлениясобытия А) лежит в данных границах.

По формуле Бернулливероятность того, что в серии из 100 подбрасываний монеты все 100 раз выпадетгерб, равна />,то есть примерно 10-30. Не столь мала, но все, же ничтожнавероятность того, что цифра выпадет не более 10 раз. Наиболее вероятно, чточисло выпадений герба будет мало отличаться от 50.

Вообще при большом числеиспытаний относительная частота появления события, как правило, мало отличаетсяот вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественногоутверждения дает принадлежащий Я. Бернулли закон больших чисел, который вуточненной П.Л. Чебышевым гласит:

Теорема. Пустьвероятность события А в испытании s равна р, и пусть проводятся серии, состоящие из n независимых повторений этого испытания. Через m обозначим число испытаний, в которыхпроисходило событие А. Тогда для любого положительного числа e выполняется неравенство

/>.

Эту теорему лучше даватьбез доказательства по следующим причинам: во-первых, на доказательство уйдет многовремени и, во-вторых, самим доказательством можно «затмить» идею закона большихчисел.

Задачи:

1.        Подбрасываеммонету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

2.        Вероятность того,что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. какова вероятность того, чтосреди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером?

3.        вероятность того,что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленнойнормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расходэлектроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

4.        С разных позицийпо мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом примерно0,1, вторым – 0,2, третьим – 0,3 и четвертым – 0,4. Какова вероятность того,что все четыре выстрела — промахи?

5.        Вы играете вшахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: трех побед в 4партиях или пяти побед в 8 партиях?

6.        Сколько разпридется бросать игральную кость, чтобы вероятнейшее число появления шестеркибыло бы 32?

7.        Каковавероятность равенства/>с точностью до 0,1 при 100опытах?

Занятие №13.Самостоятельная работа.

Изучение случайныхсобытий желательно завершить самостоятельной работой, в которой одну-две задачинадо решить как можно большим числом способов. Неплохо включить в работу итеоретический вопрос (чтобы проверить, с одной стороны, понимание учащимисятеоретической части пройденного материала и, с другой стороны, умение учащихсяформулировать и излагать свои мысли).

Примерный составсамостоятельной работы:

Вариант 1

1.        Среди облигацийзайма 25% выигрышных. Найдите вероятность того, что из трех взятых облигацийхотя бы одна выигрышная.

2.        Найти вероятность/> по даннымвероятностям: Р(А)=а, Р(В)=b,Р(А+В)=с.

3.        Могут линесовместные события быть в то же время независимыми и наоборот? Привестипримеры.

Вариант 2

1.        При включениизажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти вероятность того,что для ввода двигателя на работу придется включить зажигание не более двухраз.

2.        Найти вероятность/> по даннымвероятностям: Р(А)=а, Р(В)=b,Р(А+В)=с.

3.        Почему формулаБернулли применяется при независимости опытов?

Способы решения первыхзадач подробно изложены в методике.

Занятие №14. Комунужна теория вероятностей?

Форма организации данногозанятия – круглый стол – представление учащимися индивидуальных творческихработ по выбору:

-  небольшая подборка интересныхвероятностных задач из различных областей профессиональной деятельности;

-  исследовательская работа в областитеории вероятности;

-  индивидуальный проект, отражающийвозможность применения знаний по теории вероятности в какой-либо деятельностичеловека или для какой-либо профессии;

-  написание программ для вычислениявероятностей на каком-либо языке программирования.

Общая тема творческихработ: «Кому нужна теория вероятностей?».

В качестве источниковлитературы можно порекомендовать следующие книги: Китайгородский, А.И.–посвящена применению законов теории вероятностей к различным жизненнымситуациям и в разных областях науки.


Раздел 3. Случайныевеличины.

Здесь учащиеся знакомятсяеще с одним видом функции – случайной величиной. Эта специфическая числоваяфункция дополняет и расширяет представление школьников о функциональныхзависимостях.

Занятие №1. Понятиеслучайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайнойвеличины.

В теории вероятностейприводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, прибросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Напередопределить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многихслучайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле числоочков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть возможные значенияэтой величины.

Случайной называютвеличину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможноезначение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранеене могут быть учтены.

Пример 1. Числородившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, котораяимеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.

Пример 2. Расстояние,которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина.Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от силыи направления ветра, от температуры и других причин, которые могут полностьюучтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).

Случайные величиныобозначают прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения – соответствующими строчнымибуквами x, y, z. Например, еслислучайная величина X имеет тривозможных значения, то они будут обозначены так: x1, x2,  x3.

Виды случайных величин

Дискретной или прерывнойназывают случайную величину, которая принимает отдельные, изолированныевозможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значенийдискретной случайной величины (ДСВ) может быть конечным или бесконечным (см.пример 1).

Непрерывной называютслучайную величину, которая может принимать все значения из некоторогоконечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений НСВбесконечно (см. пример 2).

Закон распределениявероятностей ДСВ

На первый взгляд можетпоказаться, что для задания ДСВ достаточно перечислить все ее возможныезначения. В действительности это не так: случайные величины могут иметьодинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтомудля задания ДСВ не достаточно перечислить всевозможные ее значения, нужно ещеуказать их вероятности.

Законом распределениядискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениямии их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) играфически.

При табличном заданиизакона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения, авторая – их вероятности:

X

x1

x2

xn

p

p1

p2

pn

Приняв во внимание, что водном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможноезначение, заключаем, что событие X=x1, X=x2, …, X=xn образуют полную группу;следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма вероятностейвторой строки таблицы, равна единице: p1+p2+…+pn=1. Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд p1+p2+… сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности законраспределения ДСВ можно изобразить и графически, для чего в прямоугольнойсистеме координат строят точки (xi, pi), а затем соединяют их отрезкамипрямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Занятие №2. Математические операциинад случайными величинами.

Вначале введем понятиенезависимости случайных величин.

Две случайные величиныназываются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется оттого, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случаеслучайные величины называются зависимыми. Например, если имеются билеты двухразличных денежных лотерей, то случайные величины X и Y,выражающие соответственно выигрыш по каждому билету, будут независимыми, таккак при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при X=xi) закон распределения выигрыша подругому билету (Y) не изменится.Если же случайные величины X и Y выражают выигрыш по билетам однойденежной лотереи, то в этом случае X и Y являются зависимыми, ибо любойвыигрыш по одному билету (X=xi) приводит к изменению вероятностивыигрыша по другому билету (Y), тоесть к изменению закона распределения Y.

Определим математическиеоперации над ДСВ.

Произведением kX случайной величины Х на постояннуювеличину k называется случайная величина,которая принимает значения kxi с теми же вероятностями pi (i=1, 2, …, n).

m-й степенью случайной величины Х, тоесть Хm, называется случайная величина,которая принимает значение /> с теми же вероятностями pi (i=1, 2, …, n).

Суммой (разностью илипроизведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значениявида xi+yj (xi-yj или xi∙yj), где i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m, с вероятностями pij<sub/>того, что случайная величина Х примет значение xi, а Y – значение yj: pij=Р[(X=xi) (Y=yj)].

Если случайные величины Хи Y независимы, то есть независимы любыесобытия X=xi, Y=yj, топо теореме умножения вероятностей для независимых событий

pij=Р(X=xi)∙Р(Y=yj) = pi∙pj.

Занятие №3. Числовыехарактеристики ДСВ. Математическое ожидание.

Как уже известно, законраспределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто законраспределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями.Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величинусуммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. Кчислу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Для решения многих задачдостаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, чтоматематическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем увторого, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и,следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает ослучайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, нодля решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математическогоожидания оказывается достаточным.

Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможныхзначений на их вероятности.

Пусть случайная величинаХ может принимать только значения х1, х2, …, хn, вероятности которых соответственноравны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайнойвеличины Х определяется равенством

М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn.

То есть />.

Свойства математическогоожидания:

1.        Математическоеожидание постоянной величины равно самой постоянной:

/>.

2.        Постоянныймножитель можно выносить за знак математического ожидания:

/>.

3.        Математическоеожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению ихматематических ожиданий:

/>.

4.        Математическоеожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданийслагаемых:

/>.

Доказать приведенныесвойства учащиеся могут самостоятельно.

Задачи:

Занятие №4. ДисперсияДСВ.

 

Занятие №5. Среднееквадратическое отклонение.

 

Занятие №6. Методнаименьших квадратов.

 

Занятие №7. Зачет.

Раздел 4. Элементыматематической статистики.

В рамках данногоэлективного курса предполагается познакомить учащихся с элементами статистикикак научного направления. Прежде всего речь идет об элементах  так называемой«описательной» статистики, которая занимается вопросами сбора и представленияпервичной статистической информации в табличной и графической формах,вычисления числовых характеристик для совокупности числовых данных.

Включение в курсначальных сведений из статистики направлено на формирование у учащихся такихважных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатовстатистических исследований, широко представленных в средствах массовойинформации.

Занятие №1. Выборочныйметод.

Статистика – это научноенаправление, объединяющие принципы и методы работы с числовыми данными,характеризующими массовые явления. Оно включает в себя математическуюстатистику, общую теорию статистики и целый ряд отраслевых статистик(статистика промышленности, статистика финансов, статистика народонаселения идругие).

Предметом математическойстатистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Дляполучения опытных данных необходимо провести обследование соответствующих объектов.Например, если исследователя интересует вероятность того, что диаметр валикаопределенного типоразмера после шлифовки окажется за пределами технического допуска,то надо знать закон распределения этого диаметра, а для этого прежде всегонужно располагать набором возможных значений диаметра. Однако обследовать всевалики зачастую трудно, поскольку их количество может быть велико. Поэтомуприходится из всей совокупности объектов для обследования отбирать толькочасть, то есть проводить выборочное обследование. В некоторых случаяхобследование объектов всей совокупности практически не имеет смысла, посколькуони разрушаются в результате обследования. Таким образом, основным методомстатистики является выборочный метод.

Выборочной совокупностьюили выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностьюназывают совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности(выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объемгенеральной совокупности N=1000,а объем выборки n=100.

Для того, чтобы повыборке можно было достаточно уверенно судить о случайной величине, выборкадолжна быть представительной (репрезентативной). Репрезентативность выборкиозначает, что объекты выборки достаточно хорошо представляют генеральнуюсовокупность. Заметим, что при отборе объектов могут сыграть роль личные мотивыили психологические факторы, о которых исследователь, проводящий выборку, и неподозревает. При этом, как правило, выборка не будет репрезентативной.

После того как сделанавыборка, то есть получена выборочная совокупность объектов, все объекты этойсовокупности обследуют по отношению к определенной случайной величине или в результатеэтого получают наблюдаемые данные.

Задача математическойстатистики заключается в обработке результатов наблюдений.

Статистическая информацияи способы ее представления.

Статистическая информация– это числовые данные о массовых явлениях, это значения наблюдаемых признаковобъектов, составляющих статистическую совокупность, которая получена врезультате статистического наблюдения. Таким образом, источником статистическойинформации является реальный опыт, эксперимент, наблюдение, измерение, производимыенад реальными объектами и явлениями окружающего мира. Статистика начинается среальных данных реального опыта; этим она отличается от теории вероятностей,которая изучает математические модели реальных явлений и имеет дело лишь смысленными (воображаемыми) экспериментами.

Статистика используетметоды исследования, основанные на математическом аппарате теории вероятностей,и важнейшим среди этих методов является выборочный метод. Поэтомуматематическая статистика и теория вероятностей неразрывно связаны между собой,постоянно взаимодействуют, и между ними не существует четкой и общепризнаннойграницы.

Статистическая информацияо результатах наблюдений или экспериментов может быть зарегистрирована ипредставлена в различных формах.

1)        Простой статистическийряд, или ряд данных, или выборка: х1, х2, х3,…, хn-1, хn – запись результатов в порядке их появления (илиполучения), запись в ряд. Отдельные значения хi, составляющие этот ряд, называют вариантами илипросто данными, или результатами наблюдений. Количество вариант в ряду n называют объемом ряда, или объемомвыборки.

Например, игральный кубикбросили 12 раз и записали выпавшие числа в порядке их появления: 3, 4, 5, 6, 6,6, 5, 1, 4, 6, 1, 4 (п=12).

Недостатки: громоздкостьи труднообозримость.

2)        Вариационный ряд,или упорядоченный.

1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5,6, 6, 6, 6.

Недостаток: громоздкость.

3)        Статистическоераспределение ряда:

xj

1 3 4 5 6

nj

2 1 3 2 4

Величины nj называются частотами значенийварианты хj. Значениеварианты хj и вариантыхi – это не одно и то же: каждоезначение фиксируется только один раз, а варианты с таким значением могутвстречаться в ряду многократно. (j=1,2, 3, 4, 5; i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12). j=1, 2, …, m, а i=1,2, …, n, причем всегда m£n (если m=n, то все вариантыв ряду разные).

Наряду с частотамииспользуются относительные частоты />.

4)        Интервальный ряд:весь диапазон наблюдаемых значений признака хmax-xmin<sub/>разбивают на небольшое число (k=6 … 10) частичных интервалов, иподсчитывают количество вариант исходного ряда, попадающих в каждый частичныйинтервал.

5)        Графическаяформа: столбчатая диаграмма, полигон частот, гистограмма, круговая диаграмма.

Задачи:

1.        Рост каждого из50 одиннадцатиклассников занесли в таблицу:

165 170 165 165 175 160 170 170 172 170 178 170 178 174 165 165 175 175 172 160 175 172 160 170 170 178 176 176 175 172 170 170 172 170 178 176 180 174 176 181 180 170 170 174 180 175 175 174 174 172

По имеющимся даннымсоставить таблицу распределения значений случайной величины Х – роста одиннадцатиклассников:а) по частотам (М); б) по относительным частотам (W).

2.        После группировкиданных эксперимента получилась такая таблица их распределения:

Варианта -3 4 5 9 11 12 15 20 Кратность варианты 12 9 1 64 34 56 7 8 9

а)        Определите объемвыборки.

б)        Найдите наиболеечасто встретившуюся варианту.

в)        Допишите ктаблице третью и четвертую строки из частот и процентных частот вариант.

г)        Найдите суммучисел в третьей и четвертой строках.

Сделайте выводы.

Могут быть использованыследующие задачи: С10, С14, С23, С25, С34, С36, С42, С49

Занятие №2. Числовыехарактеристики статистических рядов.

Сбор и анализ статистическихданных не является самоцелью; результаты статистических исследований позволяютпринимать более правильные управленческие решения, выявлять закономерности ивзаимозависимости, скрытые за случайными колебаниями, ошибками и искажениями.

Нередко возникаетнеобходимость сравнить между собой две или несколько совокупностейстатистических данных. Поскольку сравнение производится по какому-тоопределенному свойству, то для проведения сравнения нужны показатели,характеризующие то или иное свойство в совокупности данных одним числом. Такиепоказатели в статистике получили наименование числовых характеристик(статистических характеристик).

Простейшими числовымихарактеристиками являются характеристики положения (среднее значение, мода,медиана) и характеристики рассеивания (размах, выборочная дисперсия, выборочноесреднее квадратичное отклонение).

Среднее значение ряданаблюдений /> -это центр рассеивания наблюдаемых значений, это расчетное значение, суммаотклонений всех вариант от которого равна нулю.

Если варианты в ряду хi являются значениями непосредственнонаблюдаемого признака, то среднее значение ряда /> находят по формуле среднегоарифметического:

/> (формула простой средней),

/> (формула среднейвзвешенной).

В статистике привычислении средних ставится задача заменить все индивидуальные наблюдаемыезначения признака некоторой обобщающей уравненной величиной /> так, чтобы при этом неизменялась некоторая итоговая величина для всей совокупности. Этой величинойможет быть сумма всех вариант (среднее арифметическое) или их произведение(среднее геометрическое), или сумма обратных величин (среднее гармоническое),или сумма квадратов вариант (среднее квадратичное) и так далее. Общая формуластепенной средней:

/>,

при k=-1 получаем среднюю гармоническую,при k=1 – среднюю арифметическую, при k=2 – среднюю квадратичную, и такдалее. Отдельно вводится понятие среднего геометрического

/>.

Правило мажорантностисредних: />гарм£/>геом£/>арифм£/>квадр.

Выбор формулы длявычисления среднего определяется решаемой задачей.

Следующей числовойхарактеристикой статистических  рядов является мода. Мода Мо – это значениевариант, встречающееся в ряду чаще других. В таблице распределения ряда мода –это значение хj, которомусоответствует наибольшее значение частоты nj. Статистический ряд может иметьодну, две или несколько мод, может не иметь моды.

Медиана Ме – этосрединная в вариационном ряду значение варианты. Если число членов ряда n нечетное, то

/>, где /> - целая часть числа />.

Если n четное, то />.

Простейшей характеристикойрассеивания является размах: А=хmax-xmin;размах есть разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант в ряду.

Выборочная дисперсия Dвыб(Х) есть среднее значение квадратовотклонений всех вариант от среднего значения ряда />:

/>.

Для практических расчетовудобнее формула:

/>.

Дисперсия имеетразмерность квадрата наблюдаемой величины, поэтому на практике широкоиспользуется еще один показатель рассеивания – среднее квадратичное отклонение sвыб(Х):

/>.

Важно помнить опринципиальном отличии числовых характеристик в статистике от числовыххарактеристик в теории вероятностей.

Задачи:

С62, С69, С87, С 93 С95 изпособия.

Занятие №3.Статистические исследования. Этапы статистического исследования.

Для изучения различныхобщественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов,происходящих в природе, проводят специальные статистические исследования.

Всякое статистическоеисследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемомявлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения.

Для обобщения исистематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, ихпо какому-либо признаку разбивают на группы, и результаты группировки сводят втаблицы (таблицы частот, таблицы относительных частот). Таким образом, второйэтап – группировка и сведение данных в таблицу.

Данные нужно представитьболее наглядно: либо с помощью столбчатой диаграммы, либо полигона частот, либокруговой диаграммы, либо гистограммы. Третий этап – наглядное представлениеданных.

Далее переходят к анализуданных, используя для этого различные обобщающие показатели (статистическиехарактеристики: среднее значение, мода, медиана, размах, выборочная дисперсия,выборочное среднее квадратичное отклонение).

На основании целипроведения статистического исследования и анализа данных делается вывод.

Рассмотрим такой пример.Администрация школы решила проверить математическую подготовкуодиннадцатиклассников. С этой целью был составлен тест, содержащий 6 заданий.Сделали выборочное обследование, выбрали 20 школьников, случайный отборобеспечивает одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральнойсовокупности. Получили следующие результаты такого выборочного обследования:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 2 6 2 3 4 3 3 1 5 2 6 4 3 3 2 3 1

На основании этого рядатрудно сделать какие-либо определённые выводы о том, как справились школьники сработой. Чтобы удобней было анализировать информацию, в подобных случаях данныеранжируют, располагая их в порядке возрастания. Ряд примет вид:

0011222233333344456

Каждая группапредставляет определённый результат эксперимента:

·         Не решено ниодной задачи;

·         Решена 1 задача;

·         Решены 2 задачи итак далее.

В нашем случае частотапоявления события «0 задач» – 2, относительная частота 2/20=10%. Собственнаячастота появления события «2 задачи» – 4, относительная частота 4/50=8% и такдалее.

Составим таблицу:

Событие 1 2 3 4 5 6 Частота 2 4 4 6 3 1 1 % 10 8 8 14 6 2 2

/>

С помощью ранжированияряда, таблицы и графических иллюстраций, мы уже получили первоначальныесведения о закономерностях интересующего нас ряда данных. Если нужно знатьнаиболее типичный результат, то используют понятия медиана, мода, размах,выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение.

Задание: Провестикакое-либо статистическое исследование.

Занятие №4.Определение линий регрессии методом наименьших квадратов для двумерных выборок.

Занятие №5.


Заключение

Настоящее исследованиепосвящено решению актуальной проблемы теории и методики обучения математике –развитие пространственного мышления учащихся в процессе изучения геометрии.Основным средством для решения этой проблем был выбран компьютер, которыйпозволил выделить новый вид учебной наглядности – компьютерная анимация,реализующаяся посредством пакета прикладных программ 3D Studio MAX.

В соответствии споставленными целями перед данной выпускной квалификационной работой ирезультатами, полученными в ходе исследования, можно сделать следующие выводы:

Анализнаучно-методической литературы, посвященной вопросам формирования и развитияпространственных представлений, позволил выделить основные психические ифизиологические основы восприятия человеком объектов окружающего мира. В результатебыла выработана общая схема восприятия, которая легла в основу разработаннойметодики формирования пространственных представлений.

Была выявлена возможностьприменения компьютерной анимации в процессе формирования пространственныхпредставлений. Компьютерная анимация заполнила некоторый пробел в процессеформирования пространственного образа геометрического объекта, она позволилаосуществить плавный переход от натуральной вещественной модели кусловно-графическому изображению – чертежу, что в значительной степени повышаетуровень объективности пространственных представлений обучаемого.

Была разработанасоответствующая методика формирования пространственного образа геометрическогообъекта при помощи компьютерной анимации. По результатам опытной работы можносделать вывод о положительном влиянии разработанной методики на формированиепространственных представлений учащихся. Систематизация результатовнаучно-методических исследований позволила выявить условия формирования пространственныхпредставлений обучаемых: использование различных видов деятельности, в первуюочередь деятельности по решению специально подобранных упражнений,ориентированных на развитие пространственных представлений обучаемых; взаимосвязьформирования пространственных представлений с развитием логического мышления иречи учащихся; использование рациональной системы средств наглядности. Какпоказала практика преподавания, учет и использование этих условий и приемовуспешно способствует работе по развитию пространственных представленийобучаемых. Опытная работа по применению разработанной методики показала ее эффективность.Опытная работа доказала, что целенаправленное и рациональное внедрение впрактику новой учебной наглядности — компьютерной анимации ведет к повышениюуровня развития пространственных представлений учащихся.

Сделанные выводы даютоснование полагать, что справедливость гипотезы исследования экспериментальноподтверждена, все поставленные задачи исследования решены.


Библиографический список

Сборникинормативных документов

 

1.        Сборникнормативных документов. Математика [Текст] / сост. Э.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев.– М.: Дрофа, 2006. – 80 с.

2.        Концепцияразвития школьного математического образования [Текст] // Математика в школе. –1990. – № 1. – С. 2 – 14.

3.        Стандарт.

Учебники для вузов итехникумов с этими разделами

4.        Кремер, Н.Ш.Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]:  учебник для вузов /Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543 с.

5.        Курс высшейматематики для гуманитарных специальностей [Текст]: учебное пособие / под ред.Ю.Д.Максимова. – СПб.: Специальная литература, 1999. – 191 с.

6.        Воронов, М.В.Математика для студентов гуманитарных факультетов [Текст] / М.В. Воронов, Г.П.Мещерякова. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. – 384 с.

7.        Солодовников,А.С. Теория вероятностей [Текст] / А.С. Солодовников. – М.: Просвещение, 1978.– 192 с.

8.        Баврин, И.И. Курсвысшей математики [Текст] / И.И. Баврин. – М.: Просвещение, 1992. – 400 с.

9.        Гмурман, В. Е.Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие / В.Е.Гмурман. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с.

10.     Гмурман, В.Е.Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике[Текст]: учебное пособие / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1999. – 400 с.

11.     Вентцель, Е.С.Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2001. – 575 с.

12.     Калинина, В. Н.Математическая статистика [Текст]: учебник для студ. сред. спец. учеб.заведений / В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. – М.: Дрофа, 2002. – 336 с.

Научная инаучно-популярная литература

13.     Виленкин Н. Я.Комбинаторика [Текст] / Н. Я. Виленкин А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. – М.:ФИМА, МЦНМО, 2006. – 400 с.

14.     Китайгородский,А.И. Невероятно – не факт [Текст] / А.И.Китайгородский. – М.: Молодая гвардия,1972. – 256 с.

15.     Хургин, Я.И. Какобъять необъятное [Текст] / Я.И. Хургин. – М.: Знание, 1992. – 192 с.

16.     Виленкин, Н. Я.Популярная комбинаторика [Текст] / Н.Я. Виленкин. – М.: Наука, 1975. – 208 с.

Методическаялитература и пособия для учащихся

17.     Глеман, М.Вероятность в играх и развлечениях. Элементы теории вероятностей в курсе сред.школы [Текст]: пособие для учителя / М. Глеман, Т. Варга; пер. с фр. – М.:Просвещение, 1979. – 176 с.

18.     Шихова, А. П.Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе [Текст] / А. П. Шихова.– Киров: ИУУ, 1994 – 63 с.

19.     Афанасьев, В.В.Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11классов [Текст] / В.В.Афанасьев, М.А.Суворова. – Ярославль: Академия развития,2006. – 192 с.

20.     Предпрофильнаяподготовка учащихся 9 классов по математике. Общие положения, структурапортфолио, программы курсов, сценарии занятий [Текст] / И.Н.Данкова,Т.Е.Бондаренко, Л.Л. Емелина, О.К. Плетнева. – М.: 5 за знания, 2006. – 128 с.

21.     Бунимович, Е.А.Вероятность и статистика. 5-9 кл. [Текст]: пособие для общеобразоват. учеб.заведений / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Дрофа, 2002. – 160 с.

22.     Сборник задач поматематике для факультативных занятий в 9-10 классах [Текст] / под ред. З. А.Скопеца. – М.: Просвещение, 1971. – 208 с.

еще рефераты
Еще работы по педагогике