Реферат: Диалектика развития понятия функции. Различные подходы к изучению функций в школе и исследования с помощью ЭВМ.
Ставропольский Государственный УниверситетКУРСОВАЯ РАБОТАпо теме:
ДИАЛЕКТИКА РАЗВИТИЯ
ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЕ
И ИССЛЕДОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ
работу выполнил:
студент Ставропольского
Государственного Университета
IV курса, Физ-Мат Факультета,
отделения МИИТ, гр. ”Б”
Неботов Виталий Дмитриевич
Ставрополь 1996-1997 гг.
СОДЕРЖАНИЕ :
Стр.
1. Краткий обзор развития понятиячисла.........................................3
2. Определениефункции........................................................................4
3. Общееопределение функции в XIX в.
Дальнейшее развитие понятия функции.........................................7
4. Изучение функций вшколе.............................................................10
5. Исследование функций с помощьюЭВМ.....................................15
6. Заключение........................................................................................17
7. Список использованнойлитературы............................................19
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые впроцессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов,дней, шагов и тому подобного. В первобытном обществе человек нуждался лишь внескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалосьизобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжениимногих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.
С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимостьсравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этомэтапе возникли понятия “больше”, “меньше”, “столько же” или “равно”. Вероятно,на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже онинаучились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние векаделение чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокойобразованности человека.
С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика.Ее возникновению и развитию способствовали практические потребности — строительство разнообразных сооружений, торговля и мореходство. Долгоевремя в арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Например, всистеме счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название,была “мириада” — 10 000. Еще в III в. до н. э. люди не знали, чтонатуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда-то Архимед в своем трактате“Исчисление песчинок” — “Псаммит” разработал систему, которая позволялавыразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел былбесконечен.
Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачокот конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез сфилософскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкиевозможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них нераскрыты и по сей день.
В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримыеотрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Однимиз таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равнымиединице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через Ö 2. Ученые того времени относили к числам толькорациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, чтопод числами стали понимать длины отрезков прямых.
Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль вдальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и сталотормозом в прогрессе арифметики и алгебры.
Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслитьпонятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа иприближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.
Таким образом, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа,затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец,действительные. Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравненийматематики встретились с числом, которое выражалось Ö -1. Оно получило название мнимойединицы. Долгое время мнимые числа не признавались за числа. После тогокак норвежский математик Гаспар Вессель (1745-1818) нашел возможностьпредставить мнимое число геометрически, то так называемые “мнимые числа”получили свое место в множестве комплексных чисел. Однако и раньшеинтерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые ставили всоответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функциикомплексного переменного истолковывали геометрически.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оносыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже впервых математически выраженных соотношениях между величинами, в первыхправилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади иобъема тех или иных фигур.
Те вавилонские ученые, которые 4-5 тысяч лет назаднашли для площади S круга радиусом rформулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть ине сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицыквадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собойзадания функции. Другим примером могут служить тригонометрические таблицы,составление которых началось задолго до начала нашей эры. Особый интереспредставляют таблицы синусов Беруни, в которых дано правило линейногоинтерполирования. В современной символике его можно выразить так:
sin x = sin x0 + (x -x)×(sin (x+ 15¢) -sin x)
15¢
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическоеизучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи спроникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта и в работахФерма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивныйхарактер и было связано либо с геометрическими, либо с механическимипредставлениями: ординаты точек кривых — функции от абсцисс(х); путь и скорость — функции от времени (t) и томуподобное.
Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первомутакому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей“Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощьюуравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функциистало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения — формулы.
Слово “функция” (от латинскогоfunctio — совершение,выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина,выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функцияот х” стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698г. Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа” (постоянная). Дляобозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак j х, называя j характеристикой функции, а также буквы х или e; Лейбниц употреблял х1, х2 вместосовременных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал черезf: y, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаемчерез f (x), f (x + y). Наряду с j Эйлер предлагает пользоваться и буквами F, Y и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современнымобозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, j t, j (t + s).
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников исотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли:“Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодноспособом из этой переменной величины и постоянных”.
Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает к определениюсвоего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлерагласит: “Функция переменного количества есть аналитическое выражение,составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянныхколичеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер,Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегдапридерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалосьдальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. Внекоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции,понимая ее как кривую, начертанную “свободным влечением руки”. В связи с такимвзглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередьего постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возниклабольшая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выраженияпроизвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следуетсчитать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованиемколебаний струны.
В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общееопределение функции: “Когда некоторые количества зависят от других такимобразом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, топервые называются функциями вторых”. “Это наименование, — продолжает далее Эйлер, — имеет чрезвычайноширокий характер; оно охватывает все способы, какими одно количествоопределяется с помощью других”. На основе этого определения Эйлера французскийматематик С. Ф. Лакруа в своем “Трактате по дифференциальному и интегральномуисчислению”, опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: “Всякоеколичество, значение которого зависит от одного или многих других количеств,называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какиеоперации нужно применить, чтобы перейти от них к первому”.
Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялосьс аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вXIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.
ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В XIX в.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
Одним из нерешенных в XVIII в. вопросов, связанных с понятием функции, поповоду которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли однуфункцию задать несколькими аналитическими выражениями ?
Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученыхXVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внесфранцузский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся восновном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наукв 1807 и 1811 гг. по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел ипервые примеры функций, которые заданы на различных участках различнымианалитическими выражениями.
Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких икаких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единогоаналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемыеаналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”,опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводыФурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики сталоясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которыхочень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическимаппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознаниемрасширение понятия функции.
В 1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский,развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал:“Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, котороедается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значениефункции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, котороеподает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец,зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взглядтеории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа,одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.
Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказаначешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихлетак сформулировал общее определение понятия функции: “у есть функция переменнойх (на отрезке a £ х £ b),если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенноезначение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”.
Примером, соответствующим этому общему определению, может служить такназываемая “функция Дирихле” j (х):
ì 1 для всех рациональных значений х
j (х) = í
î 0 для всех иррациональных значений х
Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль ванализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложнойформулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом,примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функцииосвободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математическойформулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается наидею соответствия.
Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции,помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, вполном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующимобразом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствиенекоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что намножестве А задана функция у = f (х), иличто множество А отображено на множество В. В первом случае элементы хмножества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В — значениями функции; во втором случае х — прообразы, у — образы. Всовременном смысле рассматривают функции, определенные для множества значенийх, которые, возможно, и не заполняют отрезка a £x £b, о котором говорится в определении Дирихле.Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n !,заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо,конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам,например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании(отображении) мы имеем дело с функцией.