Реферат: Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года

примерный переченьэкзаменационных вопросов

линейная алгебра

1. Прямоугольнаяматрица, ее порядок, главная и побочная диагонали. Единичная, нулевая,треугольная, симметричная, транспонированная матрицы. Примеры.

2. Сложениематриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства ассоциативностии коммутативности матриц. Примеры.

3. Приведениематриц к ступенчатому виду методом Гаусса. Элементарные преобразования надстроками матрицы. Пример. Ранг матрицы.

4. Система из“m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Векторно-матричная форма записи.Расширенная матрица системы. Пример.

5. Однородные инеоднородные системы уравнений. В каком случае они имеют единственное решение?Пример.

6. Решениеоднородной и неоднородной систем методом Гаусса. Пример.

7. Однородныесистемы и их свойства. Эквивалентные системы.

8. Свободные инесвободные переменные однородной системы. Частное и общее решение. Пример.

9. Совместныесистемы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.

10. Векторрешения линейной системы уравнений. Общее и частное решение неоднороднойсистемы уравнений. Основные свойства решений.

11. МодельЛеонтьева межотраслевого баланса. Ее математическая модель.

12. Определительматрицы. Его порядок. Понятие определителя применительно к матрицам второго итретьего порядков. Алгебраическое дополнение элемента. Разложение определителяпо строке или столбцу.

13. Сформулироватьсвойства определителя.

14. Какуюматрицу называют обратной? Условие ее существования.

15. Вычислениеопределителя с использованием метода Гаусса.

16. Построениеобратной матрицы с использованием алгебраических дополнений и методом Гаусса.

17. Даны матрицыА=/>и В=/>. Найти АВ — ВА.

18. Найти рангматрицы: />A =/>.

19. Найти рангматрицы />/>.

20. Исследоватьсколько решений может иметь система уравнений: />.

21. Найти общеерешение однородной системы: />.

22. Исследоватьи решить в случае совместности систему уравнений: />.

23. Вычислитьопределитель матрицы det A, где А = /> методомГаусса.

24. Чтоназывается линейным пространством? Элемент линейного пространства. Какоемножество функций на отрезке [a, b] образует пространство C[a, b]?

25. Свойствакоммутативности и ассоциативности сложения векторов.

26. Арифметическоепространство Rn. Что называют компонентами вектора?

27. Определитепонятие подпространства Н в пространстве V. Приведитепримеры линейных подпространств в линейном пространстве V,в пространстве Rn.

28. Определитепонятие линейной комбинации векторов uиvлинейного пространства. Какая системавекторов называется линейно независимой?

29. Запишитесвойства линейно зависимой системы векторов и линейно независимой системывекторов.

30. Приведитепримеры линейно независимых векторов и функций в линейном пространстве.

31. Базислинейного пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора uв базисе е1,е2 … еn. Примеры стандартных базисов в прстранстве Rn.

32. Размерностьлинейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Размерностьлинейного подпространства W линейного пространства V.

33. Линейныеоперации над свободными векторами в координатной форме в произвольном линейномпространстве.

34. Какопределяется матрица перехода от старого базиса b к новому c?

35. Какимисвойствами обладает матрица перехода от старого базиса bк новому c?

36. Сформулируйтетеорему о разложении любого вектора линейного пространства по базису.

37. Запишитеформулы преобразования координат вектора x линейногопространства Lприпереходе от старого базиса b к новому c.

38. Какопределяется скалярное произведение двух векторов? Какое пространствоназывается евклидовым? Неравенство Коши-Буняковского.

39. Ортогональныевекторы линейного пространства.

40. Понятиенормы вектора. Каким аксиомам подчиняется норма вектора?

41. Ортогональнаясистема векторов. Является ли она линейно зависимой?

42. Понятиеортогонального и ортонормированного базисов линейного пространства.

43. Какуюматрицу называют матрицей Грама и как вычисляются ее элементы?

44. Чтоназывается процессом ортогонализации?

45. Сформулируйтенеобходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.

46. Составьтематрицу Грама для системы векторов е1=(1, -1, 2), е2=(1,1, 1), е3=(1, 0, 1) трехмерного пространства.

47. Докажите,что для любых двух векторов а и с векторное уравнение a+ x= c относительно xимеет решение, и при этом единственное.

48. Запишитематрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=-2с1-3с2-2с3,b2=7с1+8с2+9с3, b3=3с1+4с2+5с3.

49. Выясните,образует ли  линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, непараллельных данной прямой, если в качестве операций взяты операции сложениявекторов и умножения вектора на число.

50. Выясните,образует ли множество функций вида а cos t +b sin t, t Î(-¥,¥), a,b ÎR, линейное пространство относительно обычных операцийсложения функций и умножения функции на число.

51. Образует лилинейное пространство множество многочленов степени n относительно обычныхопераций сложения  многочленов и умножения многочлена на число?

52. Образует лилинейное пространство множество функций, непрерывных на отрезке [a,b],относительно операций сложения функций и умножения функции на число?

53. Докажите,что множество матриц-столбцов высоты n образует линейное пространствоотносительно матричных операций сложения и умножения на число.

54. Докажите,что dim V2 = 2, dim V3 = 3.

55. Не проводявычислений, выясните, является ли система векторов а1=(-4, 2,3),          а2= (-3, 5, 1),  а3 = (1,-7,3), а4= (12,-5,4)  линейно независимой?

56. Выясните,образуют ли векторы а1=(1, 0, 0, 0),  а2=(1, 1, 0, 0),  а3 = (1,1, 1, 0), а4=(1,1,1, 1)  базис в линейном арифметическом пространстве R4?

57. Может лиматрица  А =/>быть матрицей перехода отодного базиса трехмерного пространства к другому?

58. Какой видимеет матрица перехода от старого базиса к новому, если матрица перехода отнового базиса к старому является треугольной? Симметрической?

59. Для какихвекторов евклидова пространства неравенство Коши-Буняковского превращается вравенство?

60. Дайтепонятие линейного оператора, действующего в линейном пространстве L.Приведите примеры.

61. Какаяматрица называется матрицей линейного оператора? 

62. Какуюматрицу имеет нулевой оператор, действующий в пространстве L?Какой вид у матрицы тождественного оператора, действующего в пространстве L?

63. Сформулируйтетеорему о связи координат вектора-прообраза с координатами вектора-образаоператора А, действующего в пространстве L?

64. В какомслучае совпадают матрицы двух различных линейных операторов?

65. Какоесоответствие существует между квадратными матрицами порядка nи линейными операторами, действующими в n-мерном линейном пространстве?

66. Напишитезависимость, связывающую матрицы Аb и Ае в различныхбазисах b и e линейного пространства.

67. Определениехарактеристического уравнения матрицы А.

68. Дайтеопределение понятия собственное число  линейного оператора  А. Какойвектор называется собственным вектором оператора? Как его найти?

69. Что означаетпонятие «собственное подпространство», отвечающее данному собственномузначению?

70. Составьтехарактеристическое уравнение для оператора А, если его матрица А=/>. Найдите собственныезначения и собственные векторы линейного оператора А.

71. Сколькимсобственным значениям может соответствовать один и тот же собственный вектор?

72. Известно,что собственные значения l1, l2,..,lnлинейного оператора попарно различны. Что можно сказать о линейной зависимостисоответствующей им системы собственных векторов?

73. Известно,что базис е состоит из собственных векторов оператора А. Чтоможно сказать о матрице оператора в этом базисе?

74. Когдаматрица оператора  А подобна некоторой диагональной?

75. Пусть l1, l2,.., ln — собственные значения оператора А. Найдите собственные значения линейногооператора, матрицей которого является матрица А2, А-1.

76. Дайтеопределение оператора, сопряженного к данному линейному оператору А.Сколько сопряженных операторов может быть у оператора А в евклидовомпространстве?

77. Какаяматрица является матрицей оператора сопряженного линейному оператору  А с матрицей А в ортонормированном базисе?

78. Дайтеопределение самосопряженного оператора. Приведите пример самосопряженногооператора.

79. Каковаматрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе?

80. Что можносказать об операторе А, если известно, что его матрица в некоторомортонормированном базисе является симметрической?

81. Каковы корнихарактеристического уравнения самосопряженного оператора?

82. Сколькособственных значений имеет симметрическая матрица  порядка n?

83. Какимсвойством обладают  собственные векторы самосопряженного оператора?

84. Когда вевклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором  матрицалинейного оператора  имеет диагональный вид?

85. Докажите,что (А+ В)* = А* + В* и (АВ)* = В*А*.

86. Вортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А = />. Найдите матрицусопряженного ему оператора в этом же базисе.

87. Какаяматрица называется ортогональной матрицей и чему равен ее определитель?

88. Свойстваортогональных матриц.

89. Что такоеквадратичная форма? Дайте понятие матрицы квадратичной формы.

90. Запишитеквадратичную форму  в координатах в некотором базисе.

91. Что такоеканонический вид квадратичной формы? Найти ее для x2 + xy + y2.

92. Какаяквадратичная форма называется положительно определенной? Неотрицательноопределенной?

93. Сформулируйтекритерий Сильвестра.

94. Запишитезакон инерции для квадратичной формы.

95. Чтопредставляет собой метод итераций?

96. Дайтеопределение Гессиана.

97. СоставьтеГессиан для функции f ( x1,....,xn )= x12+x 1 x 2+… +  x 1x n<sup/>.

98. Приведитеквадратичную форму х12 — 4х1х2 кканоническому виду методом выделения квадратов.

99. Какуюквадратичную форму можно привести к каноническому виду?

100. Какизменяется характеристическое уравнение матрицы при ортогональномпреобразовании квадратичной формы?

101. Выясните,является ли квадратичная форма с матрицей А = /> положительноопределенной?

102. Когдадиагональные элементы симметрической матрицы ― положительные числа?

103. Найдитеранг квадратичной формы  трех переменных  2ху<sup/>+ 2уz +2хz.

104. Какой рангможет иметь положительно определенная форма от n  переменных?

105. Запишитематрицу перехода от базиса е<sub/>к базису е¢, если е¢1= е1+ е2+7е3, е¢2=(7/6) е1 — е2, е¢3=-е1+ е2+ е3.

106. Является лилинейным преобразование Ах = (6х1 — 5х2,-2х2,х3 — х1)?

107. Чему равноскалярное произведение векторов в арифметическом пространстве Rn?

108. Что можносказать о собственных векторах, если они соответствуют различным собственнымзначениям?

109. Определите,каким является базис а=(1//>, 1//>,1//>), b=(1//>, -1//>, 0), с =(1//>, 1//>,-2//>).

110. Нормируйтевектор х = 3i + 4j + 5k + 7m.

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 1

1.    Описатьмодель Леонтьева межотраслевого баланса.

2.    Найтиобщее решение однородной системы: />.

3.    Какзаписывается свойство ассоциативности сложения векторов?

4.    Когдав евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного оператора  имеет диагональный вид?

5.    Вортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А =/>. Найдите матрицусопряженного ему оператора в этом же базисе.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 2

1.    Какиепрямоугольные матрицы можно привести  к ступенчатому виду? Метод приведенияматрицы к ступенчатому виду. Пример.

2.    Найтиматрицу />А-1, обратную кматрице А и с ее помощью решить систему А/> =/>, где А = />, />= />, />.

3.    Образуетли линейное пространство множество многочленов степени n относительно обычныхопераций сложения  многочленов и умножения многочлена на число?

4.    Какаяматрица называется ортогональной матрицей?

5.    Запишитематрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=3с1-с2+2с3, b2=-6с1+5с2 -2с3, b3=4с1+с2-с3.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 3

6.    Датьопределение системы из «m» линейных уравнений с «n» неизвестными. Векторно-матричная форма записи системылинейных уравнений.

7.    Исследоватьи решить в случае совместности систему уравнений: />.

8.    Дайтеопределение понятия арифметического пространства Rn.

9.    Какойматрицей является матрица, транспонированная к ортогональной?

10.  Докажите, что для любых двухвекторов  а и с векторное уравнение а+х = с  относительно химеет решение, и притом единственное.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 4

11.  Какой метод используется прирешении системы линейных уравнений (на примере)?

12.  Исследовать и решить вслучае совместности систему уравнений: />.

13.  Запишите свойства линейнозависимой системы векторов.

14.  Дайте определение Гессиана.

15.  СоставьтеГессиан для функции f ( x1,....,xn )= x12+x 1 x 2+… +  x 1x n<sup/>.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 5

16.  Неоднородные системыуравнений. Основные свойства решений.

17.  Найти матрицу />А-1, обратную кматрице А и с ее помощью решить систему А/> =/>, где А = />,/>=/>, />.

18.  Сформулируйте теорему освязи координат вектора-прообраза с координатами вектора-образа оператора  А,действующего в пространстве  L .

19.  Какая матрица являетсяматрицей оператора сопряженного линейному оператору  А  с матрицей А вортонормированном базисе?

20.  Выясните, является ликвадратичная форма с матрицей А = /> положительноопределенной.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 6

21.  Правило построения обратнойматрицы на примере матрицы 2-го порядка с использованием алгебраическихдополнений.

22.  Совместна ли системауравнений:/>?

23.  Выясните, образует ли линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, не параллельныхданной прямой, если в качестве операций взяты операции сложения векторов иумножения вектора на число.

24.  Скольким собственнымзначениям может соответствовать один и тот же собственный вектор?

25.  Составьте Гессиан дляфункции f ( x1,....,xn )= x12 + 2x22+… + nxn2 .

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 7

26.  Что называют определителемматрицы. Порядок определителя. Понятие определителя применительно к матрицевторого порядка. Пример.

27.  Найти ранг матрицы />/>.

28.  Как записывается свойствокоммутативности сложения векторов?

29.  Какую квадратичную формуможно привести к каноническому виду?

30.  Найдите ранг квадратичнойформы  трех переменных х2 + у2 +2хz.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 8

31.  Подчиняется ли умножениематриц свойству ассоциативности и перестановки сомножителей? Привести примернекоммунитативных матриц. Пример перестановочных матриц.

32.  Найти общее решениеоднородной системы: />.

33.  Что называется линейнымпространством?

34.  Чему равен определительортогональной матрицы?

35.  В ортонормированном базисеоператор А имеет матрицу А =/>. Найдитематрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 9

36.  Дать определение рангаматрицы. Пример.

37.  Убедиться, что система />имеет единственное решение,и найти это решение методом Гаусса:
/>, />, />.

38.  Какая система векторовназывается линейно независимой?

39.  Какой матрицей будетматрица, обратная к ортогональной?

40.  Докажите, что (А+ В)*= А* + В*.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 10

41.  Какие преобразования можновыполнить над строками матрицы? Пример.

42.  Найти общее решениеоднородной системы уравнений />.

43.  Какой базис  линейногопространства называется ортогональным?

44.  Сколько сопряженныхоператоров может быть у оператора А в евклидовом пространстве?

45.  Чему равно скалярноепроизведение векторов в арифметическом пространстве Rn?

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 11

46.  При решении однороднойсистемы какие переменные называют свободными, а какие несвободными? Чему  равночисло свободных переменных?

47.  Исследовать и решить вслучае совместности систему уравнений: />.

48.  Докажите, что множествоматриц-столбцов высоты n образует линейное пространство относительно матричныхопераций сложения и умножения на число.

49.  Сколько собственных значенийимеет симметрическая матрица  порядка n?

50.  Запишите матрицу перехода отбазиса b к новому с, если b1=-2с1-3с2-2с3,b2=7с1+8с2+9с3, b3=3с1+4с2+5с3.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 12

51.  Элементарные преобразованиянад строками матрицы. Пример.

52.  Убедиться, что система />, имеет единственноерешение, и найти это решение методом Гаусса:
/>.

53.  Для каких векторов евклидовапространства неравенство Коши – Буняковского превращается в равенство?

54.  Чему равна матрица, обратнаяк ортогональной?

55.  Найдите ранг квадратичнойформы  трех переменных  2ху<sup/>+ 2уz +2хz.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 13

56.  Решение однородной системыметодом Гаусса. Пример.

57.  Найти матрицу />А-1, обратную кматрице А и с ее помощью решить систему А/> =/>, где А = />,/>=/>, />.

58.  Определите понятиеподпространства  Н в пространстве V.

59.  Дайте понятие матрицыквадратичной формы.

60.  Какой нормированный векторсоответствует вектору х = -5i + 3j +7k?

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 14

61.  Какую систему уравненийназывают неоднородной? В каком случае она имеет единственное решение?

62.  Найти матрицу А-1,обратную к матрице />.

63.  Что называется разложениемвектора по базису?

64.  Когда диагональные элементысимметрической матрицы ― положительные числа?

65.  Докажите, что (АВ)*= В* А*.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 15

66.  Какую  систему уравненийназывают однородной? В каком случае она имеет единственное решение?

67.  Сколько решений может иметьсистема уравнений: />?

68.  Что называют координатамивектора u в базисе е1, е2еn.

69.  Запишите закон инерции дляквадратичной формы.

70.  В ортонормированном базисеоператор А имеет матрицу А =/>. Найдитематрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 16

71.  Сформулировать теоремуКронекера-Капелли. Проиллюстрировать ее примером.

72.  Вычислить определительматрицы det A,где А = /> методом Гаусса.

73.  Определите понятие линейнойкомбинации векторов u и v линейного пространства.

74.  Каким свойством обладают собственные векторы самосопряженного оператора?

75.  Выясните, образует лимножество функций вида а cos t +b sin t, t Î(-¥,¥),a,b ÎR, линейное пространствоотносительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 17

76.  Решение неоднородной системыметодом Гаусса (на примере).

77.  Совместна ли следующаясистема:/>? Найти ее решение.

78.  Дайте определениеразмерности линейного подпространства W  линейного пространства V.

79.  Какой многочлен называетсяхарактеристическим многочленом матрицы?

80.  Является ли линейнымпреобразование Ах = (6х1 — 5х2,-2х2, х3 — х1)?

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 18

81.  Какие матрицы называютравными? Сложение матриц. Пример. Умножение матрицы на число. Пример.

82.  Сколько линейно независимыхрешений имеет система:/>?

83.  Какие векторы линейногопространства называются ортогональными?

84.  Что такое канонический видквадратичной формы?

85.  Докажите, что dim V2= 2, dim V3 = 3.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 19

86.  В чем заключается прямой иобратный ход метода Гаусса при решении системы уравнений (на примере)?

87.  Существует ли матрица А-1,обратная />?

88.  Как определяется матрицаперехода от старого базиса b к новому с?

89.  Какая матрица называетсясимметрической?

90.  СоставьтеГессиан для функции f ( x1,....,xn) = x12+ x 2+… + x n-1+xn2 .

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 20

91.  Какие системы линейныхуравнений называют совместными? В каком случае система является несовместной?

92.  Совместна ли системауравнений:/>? Найти ее решение.

93.  Как называется элементлинейного пространства?

94.  Известно, что базис есостоит из собственных векторов оператора А. Что можно сказать о матрицеоператора в этом базисе?

95.  Запишите матрицу перехода отбазиса b к новомус, если b1=-с1-7с2+2с3,b2=-9с1+ 8с2-с3, b3=с1+2с2+5с3.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 21

96.  Какое решение неоднороднойсистемы линейных уравнений называют общим? Какое – частным?

97.  Сколько решений может иметьсистема уравнений:/>?

98.  Запишите свойства линейнонезависимой системы векторов.

99.  Что можно сказать обоператоре А, если известно, что его матрица в некоторомортонормированном базисе является симметрической?

100.           Что можно сказать о собственных векторах, если они соответствуютразличным собственным значениям?

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 22

101.           Построение обратной матрицы с использованием метода Гаусса (на примере).

102.           Вычислить определитель матрицы det A, где А = /> методом Гаусса.

103.           В каком случае совпадают матрицы двух различных  линейных операторов?

104.           В каком базисе матрица линейного оператора А являетсядиагональной?

105.           Является ли линейно зависимой система векторов а=(5,4,3), b=(3,3,2), с=(8,1,3)?

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 23

106.           Основные свойства определителя.

107.           Сколько решений может иметь система уравнений: />?

108.           Какой вид имеет матрица перехода от старого базиса к новому, еслиматрица перехода от нового базиса к старому является треугольной?

109.           Запишите квадратичную форму  в координатах в некотором базисе.

110.           Может ли матрица  А =/>бытьматрицей перехода от одного базиса трехмерного пространства к другому?

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 24

111.           Чему равен определитель треугольной матрицы? Меняют ли элементарныепреобразования величину определителя? В каком случае определитель матрицы неравен нулю?

112.           Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: />.

113.           Запишите формулы преобразования координат вектора х линейногопространства L при переходе от старого базиса b к новому с.

114.           Какова матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе?

115.           Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=4с1-5с2 +с3, b2=с1-3с2-2с3,b3=5с1+с2+с3.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 25

116.           Какое решение однородной системы уравнений называют общим, частным?Пример.

117.           Найти матрицу />А-1,обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А/> =/>, где А = />, />= />, />.

118.           Какое множество функций на отрезке [a,b] образует пространство С[a,b]?

119.           Дайте определение понятия собственного числа  линейного оператора  А.

120.           Определите, каким является базис а=(1//>,1//>,1//>), b=(1//>, -1//>, 0), с =(1//>, 1//>,-2//>).

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 26

121.           Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса. Пример.

122.           Вычислить определитель матрицы det A, где А = /> методом Гаусса.

123.           Образует ли линейное пространство множество функций, непрерывных наотрезке [a,b], относительно операций сложения функций и умножения функции начисло?

124.           Какая квадратичная форма называется неотрицательно определенной?

125.           Найдите ранг квадратичной формы  трех переменных х2 + 2ху +z2.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 27

126.           Какой вектор называют решением линейной системы уравнений? Что значитрешить систему линейных уравнений? Какие системы называют эквивалентными?

127.           Найти матрицу />А-1,обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А/> =/>, где А = />, />= />, />.

128.           Дайте определение размерности линейного пространства.

129.           При каком условии существует базис, в котором  матрица линейногооператора  является диагональной?

130.           В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А = />. Найдите матрицусопряженного ему оператора в этом же базисе.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 28

131.           Какую матрицу называют невырожденной? При каком значении определителястроки матрицы являются зависимыми, а при каком – независимыми?

132.           Найти ранг матрицы: A = />.

133.           Сформулируйте  необходимое и достаточное условие линейной зависимостивекторов.

134.           Какой вектор называется собственным вектором оператора?

135.           Составьте характеристическое уравнение для оператора А, если его матрицаА=/>. Найдите собственныезначения оператора А.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 29

136.           Какую матрицу называют матрицей системы уравнений? Какая матрицаназывается расширенной матрицей системы? Как записываются вектор неизвестных ивектор правых частей уравнений?

137.           Сколько решений может иметь система уравнений: />?

138.           Напишите зависимость, связывающую матрицы Аb и Аев различных базисах b и e линейного пространства.

139.           Сколько собственных значений имеет самосопряженный оператор, действующийв n-мерном евклидовом пространстве?

140.           Не проводя вычислений, выясните, является ли система векторов а1=(-4,2, 3),  а2= (-3, 5, 1),  а3 = (1,-7, 3), а4=(12,-5,4)  линейно независимой.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 30

141.           Какую матрицу называют единичной, нулевой, треугольной? Пример.

142.           Сколько решений может иметь система уравнений: />?

143.           Какой вид у матрицы  тождественного оператора, действующего впространстве L?

144.           Дайте определение оператора, сопряженного к данному линейному оператору А.

145.           Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=с1-3с2+2с3,b2=-2с1+с2 — с3, b3=с1+2с2-2с3.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 31

146.           Как записывается формула разложения определителя по строке или столбцу?Пример.

147.           Найти матрицу />, обратную кматрице А и с ее помощью решить систему />,где />,  />, />.

148.           Запишите неравенство Коши — Буняковского.

149.           Дайте определение самосопряженного оператора.

150.           Приведите квадратичную форму х12 + 4х1х2+ x2x3 + x32 к каноническому виду методомвыделения квадратов.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 32

151.           Неоднородная система линейных уравнений. Ее общее и частное решения.Пример.

152.           Найти ранг матрицы: />A =/>.

153.           Дайте понятие ортонормированного базиса линейного пространства.

154.           Как находятся собственные векторы линейного оператора?

155.           Пусть l1, l2,.., ln — собственные значения оператора А. Найдитесобственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А2.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 33

156.           Однородные системы уравнений и их основные свойства.

157.           Сколько решений может иметь система уравнений: />?

158.           Каким аксиомам  подчиняется норма вектора?

159.           Какая квадратичная форма называется положительно определенной?

160.           Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=4с1 — с2+9с3, b2 =-с1+6с2-11с3,b3=5с1+3с2-2с3.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 34

161.           Понятие «определитель» применительно к матрице третьего порядка. Какуювеличину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример.

162.           Даны матрицы /> и />. Найти АВ-ВА.

163.           Какое пространство называется евклидовым?

164.           Когда матрица оператора  А подобна некоторой диагональной?

165.           Выясните, образуют ли векторы а1=(1, 0, 0, 0),  а2=(1, 1, 0, 0),  а3 = (1,1, 1, 0), а4=(1,1,1, 1)  базис в линейном арифметическом пространстве R4.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


 

Экзаменационный билетпо предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 35

166.           Задача межотраслевого баланса. Ее математическая модель.

167.           Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: />.

168.           Что означает запись dim V?

169.           Что такое квадратичная форма?

170.           Пусть l1, l2,.., ln — собственные значения оператора А. Найдитесобственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А-1.

 

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

еще рефераты
Еще работы по остальным рефератам