Реферат: Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года
примерный перечень экзаменационных вопросов
Аналитическая геометрия
1. Линия на плоскости. Ее уравнение вдекартовой системе координат. Текущие координаты произвольной точки линии.
2. Уравнение первой степениотносительно x, y. Общееуравнение прямой на плоскости Oxy.
3. Уравнение прямой с угловымкоэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданныхуравнениями с угловыми коэффициентами.
4. Уравнение прямой, проходящей череззаданную точку с заданным угловым коэффициентом.
5. Уравнение прямой на плоскости,проходящей через две заданные точки.
6. Уравнение прямой на плоскости поточке и направляющему вектору или каноническое уравнение прямой.
7. Уравнение прямойна плоскости по точке и нормальному вектору.
8. Условиепараллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданынаправляющие векторы.
9. Условиепараллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданынормальные векторы.
10. Угол наклонамежду прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом.
11. Определенияточек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.
12. Вычислениеопределителей второго и третьего порядков.
13. Какое уравнениеназывают уравнением данной поверхности.
14. Общее уравнениеплоскости.
15. Уравнениеплоскости по нормальному вектору и заданной точке.
16. Уравнениеплоскости в отрезках.
17. Условияпараллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
18. Правая тройкавекторов. Векторное произведение двух векторов.
19. Смешанноепроизведение трех векторов.
20. Уравнениеплоскости, проходящей через три данные точки.
21. Прямая впространстве, заданная пересечением двух плоскостей.
22. Параметрическоеуравнение прямой в пространстве.
23. Каноническоеуравнение прямой в пространстве.
24. Уравнение прямойв пространстве, проходящей через две заданные точки.
25. Условиепараллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
26. Угол междуплоскостью и прямой в пространстве.
27. Условиепараллельности прямой и плоскости в пространстве.
28. Условиеперпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
29. Переход отодного способа задания прямой к другому (на примерах).
30. Уравнение второйстепени на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости?
31. Уравнениеэллипса, гиперболы и параболы на плоскости.
32. Какое уравнениеназывают уравнением второго порядка в пространстве?
33. Что называетсяуравнением поверхности в пространстве Охуz?
34. Вырожденныеповерхности второго порядка.
35. Невырожденныеповерхности второго порядка и их канонические уравнения.
36. Методпараллельных сечений.
37. Эллипсоид, егополуоси. Исследование его формы.
38. Однополостныйгиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.
39. Гиперболическийпараболоид, его параметры и форма.
40. Какаяповерхность называется поверхностью вращения?
41. Двухполостныйгиперболоид вращения, его форма.
42. Эллиптическийпараболоид вращения и его форма.
43. Конус вращения иего вид.
44. Каноническиеуравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида и эллиптическогопараболоида с осью вращения Oz; Ox;Oy.
45. Цилиндры второгопорядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.
46. Линейчатыеповерхности второго порядка.
47. Напишите формулыпреобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.
48. Напишите формулыпреобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при поворотевокруг оси Оz на угол a.
49. Приведение кканоническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в началекоординат.
50. Какое уравнениеявляется характеристическим для квадратичной формы?
51. Какие числаназываются характеристическими числами квадратичной формы?
52. Приведение кканоническому виду общего уравнения поверхности второго порядка.
53. Можно лиустановить тип поверхности, зная характеристические числа?
54. Найти точкупересечения прямых 3х — 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0, используя формулыКрамера.
55. Докажите, чтодве прямые на плоскости параллельны, если /> =(2, 5) и />= (-4, -10) — ихнаправляющие векторы.
56. Докажите, чтодве прямые на плоскости перпендикулярны, если /> =(-2, 3) и /> = (3, 4) — их нормальныевекторы.
57. Из точки (3, -2,4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у — 7z + 1= 0.
58. Найти координатыоснования перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5) на прямую, проходящуючерез точки A(0, 1) и B(3, 3).
59. При какомзначении a прямая /> будетлежать на плоскости 3x – y – z – 3 = 0?
60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора /> = (1, 6, 0) ивектора />(1, -1, -1).
61. Найти общееуравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3, 0, 2).
62. Найти общееуравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точкуМ(3, 0, 2).
63. Написать общееуравнение плоскости, проходящей через начало координат.
64. Написать общееуравнение плоскости, проходящей через ось Оу.
65. Найтинаправляющий вектор прямой: />.
66. Найдитеуравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0, 0,0), М2(2, -1, 2), М3(0, -1, 1).
67. С помощьюопределителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов /> = (1, 2, 3), /> = (-1, 2, 4), /> = (1, 1, 0).
68. Меридиан 4x2 — z2 = 4 вращается вокруг оси Оz.Какая поверхность второго порядка при этом получается?
69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхностьвторого порядка при этом получается?
70. Меридиан />= -1 вращается вокруг осиОz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
71. Меридиан x2+ z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядкапри этом получается?
72. Докажите, чтопрямая /> лежит на гиперболоиде />.
73. Найдитеточки пересечения прямой:/> и сферых2 + у2 + z2 = 100.74. С помощью какогопреобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхностивторого порядка />? Как называетсяэта поверхность?
75. Какие плоскостисимметрии имеет гиперболоид />?
76. Похарактеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какуюневырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?
77. Похарактеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какуюневырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?
78. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x2+ 2y2 + 7z2– 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.
79. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка 8x2+ 2y2 + 5z2+ 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.
80. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка x2+ y2 + 2z2– 8xy – 6xz + 24 = 0.Определить вид этой поверхности.
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 1
1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов />, />, /> ?
2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведениетрех векторов /> = (1, 1, 3), /> = (-1, 0, 4), /> = (2, 1, 0).
3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.
4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
х = 1 пересекает гиперболоид />+ у2 — z2 = 1? Напишите уравнение этого сечения.
5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х2 + 3у2 — z2 + 6zу — 4 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 2
1. Как вычисляется определитель третьего порядка />?
Вычислить определитель третьего порядка />.
2. Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х — 4 и />.
3. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?
4. Меридиан />= 1 вращаетсявокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
4х2 + 2у2 — 4ху-2yz- 4=0.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 3
6. Напишите условие параллельности прямых />,/>.
7. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.
8. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения.
9. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,параллельной оси Ох.
10. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х2 + 2у2 + 3z2 — 4хz — 3 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 4
11. Чтоназывается направляющим вектором прямой на плоскости или в пространстве?
12. Найтисмешанное произведение трех векторов />(1, 2,3), />(-1, 1, 0),
/>(0, 3, 1).
13. Напишитеканоническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.
14. Какиеплоскости симметрии имеет эллипсоид />?
15. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка
–x2 + 2y2+ 2z2 – 2yz = 6.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 5
16. Напишитеусловие параллельности прямых у = к1х + b1,y = к2х + b2.
17. Найти общееуравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2, 0,1).
18. Дайтеопределение прямолинейной образующей поверхности второго порядка.
19. Найдите точкипересечения прямой />
/>и эллипсоида х2+ у2 +/>.
20. Похарактеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какуюневырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x2 – 4y2 + z2 + 6xz =10?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 6
21. Чтоназывается нормальным вектором прямой на плоскости?
22. Найти нормальныйвектор /> плоскости, в которой лежатвекторы
/>(2, 5, 0) и />(3, 0, 2).
23. Какой цилиндрявляется цилиндром второго порядка?
24. Напишитеканоническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.
25. Напишитехарактеристическое уравнение квадратичной формы:
3х2+4у2+6z2-2xz и найдите ее характеристические числа.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 7
26. Какой уголмогут образовывать нормальные векторы двух параллельных плоскостей?
27. Найти общееуравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0, -1,1).
28. Напишитеканоническое уравнение параболического цилиндра. Какой координатной осипараллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка являетсянаправляющей этого цилиндра?
29. Какиеплоскости симметрии имеет гиперболоид />?
30. Напишитехарактеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите еехарактеристические числа: 9х2 + 3у2 + 6z2 — 12ху.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 8
31. Как найтинормальный вектор к плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора?
32. Найтиканоническое уравнение прямой />
33. Напишитеканоническое уравнение конуса вращения.
34. Напишитеканоническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.
35. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка:
14х2 + 12у2 + 10z2 — 8ху — 8zу — 17 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 9
36. Напишитеуравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору.
37. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора /> = (1, 0, 1) навектор />(3, 1, -1).
38. Какой видимеет каноническое уравнение эллипсоида вращения?
39. Какиеплоскости симметрии имеет параболоид 2у = />?
40. Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в началекоординат, точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнениеэтого конуса.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 10
41. Известно, чтопрямая в пространстве с направляющим вектором /> параллельнаплоскости с нормальным вектором />. Какрасположены векторы /> и /> по отношению друг к другу?
42. Докажите, чтопрямая /> лежит наплоскости х + у -3z + 17 = 0.
43. Напишитеканоническое уравнение эллиптического параболоида.
44. Напишитеканоническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной осиОу.
45. Похарактеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какуюневырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение:х2 + у2 + z2 — 2ху =10.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 11
46. Дайтеопределение векторного произведения векторов /> и/>.
47. Точка М1(1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М2(3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости.
48. Чтоназывается уравнением поверхности в пространстве Охуz?
49. Напишитеканоническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной осиОу.
50. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка
5x2 + 2y2+ 7z2 – 4yx = 42.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 12
51. Напишитеусловие параллельности прямых в пространстве.
52. Докажите, чтодве прямые на плоскости параллельны, если /> =(1, 2) и />= (-2, -4) — их направляющиевекторы.
53. Чтоназывается уравнением второй степени относительно х, у?
54. Доказать, чтодвухполостный гиперболоид х2 + у2 — z2 = -1имеет одну общую точку с плоскостью />х + 2z + 1 = 0, и найти ее координаты.
55. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка
2x2 + y2+ z2 –8zy = 30.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 13
56. Чтоназывается углом между прямой и плоскостью?
57. Найтинаправляющий вектор прямой />.
58. Какаяповерхность называется линейчатой?
59. Меридиан />= -1 вращается вокруг осиОz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
60. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка
6x2 + 5y2+ 6z2 – 8xz = 20.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 14
61. Что называютсмешанным произведением трех векторов?
62. Докажите, чтопрямая /> лежит на плоскости
3x – 4y – z– 4 = 0.
63. Напишитеканоническое уравнение эллипсоида вращения.
64. Доказать, чтоэллиптический параболоид 2z = /> + у2 имеет однуобщую точку с плоскостью 2х — 2у — z — 10 = 0, и найти ее координаты.
65. С помощьюкакого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнениеповерхности второго порядка
2(z — 1) = />? Как называется этаповерхность?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 15
66. Чтоназывается текущими координатами на линии F(х, у) = 0?
67. Найтикоординаты основания высоты, опущенной из вершины Bтреугольника ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0,-1).
68. Напишитеканоническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения.
69. Какиеплоскости симметрии имеет конус />?
70. Похарактеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какуюневырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение:х2 + у2 — 2уz = 12.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 16
71. Какой уголмогут образовывать направляющие векторы двух параллельных прямых впространстве?
72. Найтиканоническое уравнение прямой />
73. Напишитеканоническое уравнение однополостного гиперболоида. Что называется полуосямиэтого гиперболоида?
74. Меридиан у2+ z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядкапри этом получается?
75. Похарактеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какуюневырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 6x2 + 2y2 – 6z2 – 2xy =10?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 17
76. Чтоназывается нормальным вектором плоскости?
77. Найтикоординаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(1,1) на прямую,проходящую через точки A(1, 0) и B(2,-1).
78. Напишитеканоническое уравнение гиперболического параболоида.
79. Напишитеканоническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной осиОz.
80. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка:
-2х2 + 6у2 + 6z2 + 4zу — 1 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 18
81. Напишитеусловие параллельности двух плоскостей.
82. Докажите, чтодве прямые на плоскости параллельны, если /> =(2, 7) и /> = (4, 14) — их нормальныевекторы.
83. Какимпреобразованием можно привести к каноническому виду уравнение поверхностивторого порядка: />?
84. Напишитеканоническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной осиОх.
85. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка:
2х2 + у2+3z2-4yz+1=0. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 19
86. Как найтинаправляющий вектор прямой в пространстве, заданной как пересечение двухплоскостей?
87. Найтикоординаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,1) на прямую,проходящую через точки A(1, 1) и B(2,1).
88. Какого типасуществуют цилиндры второго порядка?
89. Какназывается линия второго порядка, по которой плоскость
z = /> пересекаетэллипсоид х2 + у2 + />?Напишите уравнение этого сечения.
90. Приведите кканоническому виду уравнение поверхности второго порядка
2x2 + 3y2+ 2z2 + 2xz = 9.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 20
91. Каквычисляется определитель второго порядка />?Вычислить/>.
92. Написатьобщее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
93. Какаяповерхность называется цилиндрической (цилиндром)?
94. Какназывается линия второго порядка, по которой плоскость
у = 1 пересекает гиперболоид х2 +<sup/>/>? Напишите уравнение этого сечения.
95. Напишитехарактеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите еехарактеристические числа: -2х2 + 2у2 + 6z2+12хz .
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 21
96. Напишитеусловие перпендикулярности прямой и плоскости.
97. Докажите, чтопрямая /> лежит на плоскости х + у — z +1 = 0.
98. Какой видимеет каноническое уравнение эллипсоида? Какие величины называют полуосями эллипсоида?
99. Найдите точкипересечения прямой />
/> и параболоида 2z = х2+ у2 .
100. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы инайдите ее характеристические числа: />.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 22
101. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
102. Найти координаты вектора, представляющие собой векторное произведениевектора />(1, 1, 3) на вектор />(0, 2, 1).
103. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостного гиперболоида?Какие величины называют полуосями однополостного гиперболоида?
104. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,параллельной оси Оz.
105. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формывыяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующееуравнение: 2x2 + 2y2+ z2 + 8zy =3?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 23
106. Напишите условие перпендикулярности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.
107. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (1, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 2).
108. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат впространстве при параллельном сдвиге осей.
109. Докажите, что прямая />, лежитна конусе />.
110. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническомувиду уравнение поверхности второго порядка />?Как называется эта поверхность?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 24
111. Какой угол образуют нормальные векторы двух перпендикулярных плоскостей?
112. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz.
113. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра.
114. Какие плоскости симметрии имеет однополостный гиперболоид />?
115. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
–x2 + 4y2 — z2 + 4xz = 24.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 25
116. Что называется углом между прямыми на плоскости?
117. Найти нормальный вектор /> плоскости,в которой лежат векторы
/>(2, -1, 2)и />(0, 3, 1).
118. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат впространстве при повороте вокруг оси Оz на угол a.
119. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,параллельной оси Оу.
120. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формывыяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующееуравнение: 4x2 – y2– z2 – 4xz =2?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 26
121. Напишите условие параллельности прямых на плоскости, заданныхуравнениями с угловыми коэффициентами.
122. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (3, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 1).
123. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра. Какойкоординатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второгопорядка является направляющей этого цилиндра?
124. Найдите точки пересечения прямой/>/> и сферы х2 + у2+ z2 =16.
125. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формывыяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующееуравнение: 5x2 + 2y2+ z2 + 2xz = 5?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 27
126. Напишите условие параллельности прямой и плоскости.
127. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (3, 1, 0), М2 (1, 2, 0), М3 (0, 0, 0).
128. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида. Чтоназывается полуосями этого гиперболоида?
129. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2z =/>?
130. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
х2-5у2-z2-10xz и найдите ее характеристические числа.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 28
131. Что называется уравнением линии на плоскости Оху?
132. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость
5х + 3у — 7z + 1= 0.
133. Какие сечения называют коническими?
134. Докажите, что прямая /> лежитна гиперболоиде />.
135. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
x2 + y2 +z2 – 6yz = 4.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 29
136. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки впространстве.
137. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведениевектора /> = (2, -1, 1) навектор />(1, 1, 0).
138. Какая поверхность называется поверхностью вращения?
139. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей,параллельной оси Оz.
140. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
8x2 + 2y2+ 5z2 + 4yz = 48.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 30
141. Напишите условие перпендикулярности прямых в пространстве.
142. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершиныизвестны: A(0, 5); B(1, 3); C(3, 0).
143. Дайте определение конического сечения (коники).
144. Меридиан /> вращается вокругоси Oz. Какая поверхность второго порядка получается?
145. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
x2 + y2 +2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 31
146. Какой вектор называется векторным произведением вектора /> на вектор />?
147. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
/> = (3, -1) и /> = (2, 6) — их нормальныевекторы.
148. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра. Какойкоординатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второгопорядка является направляющей этого цилиндра?
149. Докажите, что прямая />, лежитна цилиндрической
поверхности />.
150. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
х2+4у2-2z2-2xz и найдите ее характеристические числа.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 32
151. Известно, что /> - направляющийвектор прямой в пространстве, /> -нормальный вектор плоскости. Какой угол могут образовывать векторы /> и />, если прямая и плоскостьперпендикулярны?
152. Найти точку М0 (x0, y0, z0)пересечения плоскости 5x – 2y +z = 1 и
прямой />
153. Что называется текущими координатами на поверхности F(х,у, z) = 0?
154. Докажите, что прямая /> лежит напараболоиде />.
155. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формывыяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующееуравнение: 4ху + 2х2 + 5у2 + 7z2= 70.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 33
156. Что называется уравнением первой степени относительно х, у, z?
157. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оzи точку М(1, 1,0).
158. Напишите каноническое уравнение эллипсоида.
159. Найдите точку пересечения прямой/>/>и гиперболоида х2+ у2 — z2 = 1.
160. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническомувиду уравнение поверхности второго порядка />?Как называется эта поверхность?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 34
161. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей.
162. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
/> = (3, 4) и /> = (-8, 6) — ихнаправляющие векторы.
163. Дайте определение полуосей гиперболоида и эллипсоида.
164. Меридиан у2 — z2 = 1 вращается вокруг оси Оz.Какая поверхность второго порядка при этом получается?
165. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
3x2 + 3y2 — z2 + 2xy = 12.Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билетпо предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ
Билет № 35
166. Напишите условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданныхуравнениями с угловыми коэффициентами.
167. Найти точку пересечения прямых 2х + 3у — 5 = 0 и х — у = 0, используяформулы Крамера.
168. Напишите уравнение второй степени относительно х, у, z.
169. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость /> пересекает эллипсоид />? Напишите уравнение этогосечения.
170. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы инайдите ее характеристические числа: 12х2 + 12z2 — 4у2+ 8ху.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------