Реферат: Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации
Содержание
Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации_ 2
Абсолютные, относительные, средние величины_ 2
Статистические распределения и их характеристики_ 3
Показатели вариации (колеблемости) признака_ 4
Показатель эксцесса (островершинности) 5
Формулы ошибок простой случайной выборки_ 7
Формулы для определения численности простой и случайной выборки_ 7
Средние показатели динамики_ 10
Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации
Равный интервал, величина интервала — , m – число групп
Формула Стерджесса (величина интервала) — , n – число наблюдений
Абсолютные, относительные, средние величины
Относительные величины
Относительные величины (ОВ) динамики характеризуют изменение явления во времени. (Коэффициент роста)
Темп роста – с переменной базой — yn – уровень явления за период (например, выпуск продукции по кварталам года)
С постоянной базой — , yk – постоянная база сравнения
ОВ планового задания —
ОВ выполнения плана —
ОВ динамики —
ОВ структуры характеризуют долю отдельных частей в общем объеме совокупности (удельный вес) —
ОВ координации отражают отношение численности двух частей единого целого, т. е. показывают, сколько единиц одной группы приходится в среднем на одну, на 10 или на 100 единиц другой изучаемой совокупности.
ОВ координации —
ОВ наглядности (сравнения) отражают результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к одному и тому же периоду времени, но к разным объектам или территориям (например, сравнивается годовая производительность труда по 2-м предприятиям)
ОВ сравнения —
Средние величины
Степенные средние общего типового расчета:
Средняя степенная простая — , — индивидуальное значение признака, по которому рассчитывается средняя, n – объем совокупности (число единиц)
Средняя степенная взвешенная — , fi – частота повторения индивидуального признака (=n)
Значе-ние k | Наименование средней | Формула средней | |
Простая | Средняя | ||
-1 | Гармоническая | , | |
Геометрическая | |||
1 | Арифметическая | , | |
2 | Квадратическая |
гарм. < геом < арифм < квадрат, x=w/f
Гармоническая простая – когда небольшая совокупность и индивидуальные значения не повторяются. Используется, если исчисляем среднюю из обратных величин.
Средняя квадратическая – для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков
Средняя геометрическая простая – для вычисления среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики, если промежутки, к которым относятся коэффициенты роста, одинаковы.
Статистические распределения и их характеристики
Мода – значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности
, — нижняя граница модального интервала (интервал с наибольшей частотой), — величина интервала, — частота в модальном интервале.
Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.
— положение медианы
, — нижняя граница медианного интервала, — накопленная частота интервала, предшествующего медианному, — частота медианного интервала.
Квартель
,
,
Дециль
, (от 1/10 до 9/10)
Показатели вариации (колеблемости) признака
Среднее линейное отклонение – на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.
-для несгруппированных данных (первичного ряда):
-для вариационного ряда:
Среднее квадратическое отклонение
— для несгруппированных данных:
— для вариационного ряда:
Дисперсия
— для несгруппированных данных:
— для вариационного ряда:
Коэффициент вариации (используется для характеристики однородности совокупности по исследуемому признаку)
— до 17% – совокупность совершенно однородна, 17%-33% — достаточно однородна, >33% — неоднородна.
Сложение дисперсий
Величина общей дисперсии () характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности
, — общая средняя арифметическая для всей совокупности
Межгрупповая дисперсия () отражает систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки
, — средняя в каждой группе, — число единиц в каждой группе
Средняя внутригрупповая дисперсия () характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.
, где — дисперсия по отдельной группе
или
Равенство:
Корреляционное отношение
, >0,5 – связь между групповым фактором и результирующим признаком – тесная, <0,5 – связь слабая
Показатель асимметрии
, — центральный момент третьего порядка
Средняя квадратическая ошибка: , n – число наблюдений
Если , асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если , асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.
— правосторонняя асимметрия, — левосторонняя асимметрия.
Показатель эксцесса (островершинности)
, — центральный момент четвертого порядка
>0 – высоковершинное, < 0 – низковершинное (= -2 – предел)
Средняя квадратическая ошибка: n – число наблюдений
Кривые распределения
Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде, называется кривой распределения.
Плотность распределения (расчет теоретических частот)
, — нормированное отклонение
, — определяется по таблице (приложение 1)
Критерий согласия К. Пирсона ( для проверки близости теоретического и эмпирического распределений, для проверки соответствия эмпирического распределения закону нормального распределения)
f – эмпирические частоты в интервале, f ’ – теоретические частоты в интервале
Критерий согласия Романовского
, m – число групп, m -3 – число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения
Если к<3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения
Критерий Колмогорова
, D – максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами, n – сумма эмпирических частот
Распределение Пуассона (теоретические частоты)
, n – общее число независимых испытаний, λ – среднее число появления редкого события в n одинаковых независимых испытаниях, m – частота данного события, е=2,71828
N – объем генеральной совокупности
n – объем выборочной совокупности (число единиц, попавших в выборку)
— генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности)
— выборочная средняя
р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности)
w – выборочная доля
— генеральная дисперсия
— выборочная дисперсия
— среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности
S – среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.
Неравенство Чебышеба
При неограниченном числе наблюдений, независящих друг от друга из генеральной совокупности с вероятностью сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что расхождение между выборочной и генеральной средней будет сколь угодно малой величиной .
Теорема Ляпунова
Дает количественную оценку ошибки. При неограниченном объеме из генеральной совокупности с Р расхождения выборочной и генеральной средней равна интегралу Лапласа
, — нормированная функция Лапласа (интеграл Лапласа)
Р – гарантированная вероятность
t – коэффициент доверия, зависящий от Р
Р | 0,683 | 0,954 | 0,997 |
t | 1 | 2 | 3 |
— предельная ошибка выборки
, — стандартная среднеквадратическая ошибка
, — предельная (максимально возможная) ошибка средней, t – коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки
, — предельная (максимально возможная) ошибка доли
Средняя ошибка (n>30) при случайной повторной выборке:
,
При случайной бесповторной выборке:
,
Формулы ошибок простой случайной выборки
Способ отбора единиц | ||
повторный | бесповторный | |
Средняя ошибка μ: Для средней | ||
Для доли | ||
Предельная ошибка Δ: Для средней | ||
Для доли |
Доверительные интервалы для генеральной средней –
Доверительные интервалы для генеральной доли –
Доверительная вероятность – функция от t, вероятность находится по приложению3
Формулы для определения численности простой и случайной выборки
Способ отбора единиц | ||
повторный | бесповторный | |
Численность выборки (n): Для средней | ||
Для доли* | ||
* В случае, когда частость w даже приблизительно неизвестна, в расчет вводят максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25 (если w=0,5, то w(1-w)=0,25). |
Типичная выборка
Применяется в тех случаях, когда из генеральной совокупности можно выделить однокачественные группы единиц (или однородные), затем из каждой группы случайно отобрать определенное число единиц в выборку.
Стандартная среднеквадратическая ошибка:
Повторный отбор — , — средняя из внутригрупповых
Бесповторный отбор —
Отбор единиц при типичной выборке из каждой типичной группы:
1.Равное число единиц , — число единиц, отобранных из i -ой типичной группы, n – общий объем, R – число групп
2.Пропорциональный отбор , — доля i -ой группы в общем объеме генеральной совокупности
3.Отбор единиц с учетом вариации случайного признака
Серийная выборка
Вместо случайного отбора единиц совокупности осуществляется отбор групп (серий, гнезд). Внутри отобранных серий производится сплошное наблюдение.
Средняя стандартная ошибка:
Повторный отбор — , , m – число отобранных серий, — средний уровень признака в серии, — средний уровень признака для всей выборочной совокупности
Бесповторный отбор — , M – общее число серий
Малые выборки
Выборки, при которых наблюдением охватывается небольшое число единиц (n<30)
Средняя ошибка малой выборки ,
Вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле , — значение функции Стьюдента (приложение 4)
Для оценки однородности совокупности – коэффициент вариации по факторным признакам
, совокупность однородна, если ≤ 33%
Линейный коэффициент корреляции
Несгруппированные данные
Сгруппированные данные —
Оценка существенности линейного коэффициента корреляции
при большом объеме выборки , . Если это отношение больше значения t-критерия Стьюдента (приложение 6, k=n-2, вероятность – 1-α)
при недостаточно большом объеме выборки ,
Корреляционное отношение , , где , ,
Признаки | А(да) | (нет) | Итого |
В (да) | a | b | a+b |
(нет) | c | d | c+d |
Итого | a+c | b+d | n |
A,b,c,d – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков, n – общая сумма частот |
Коэффициент ассоциации
Коэффициент контингенции
Уравнение регрессии
Линейная
Гиперболичская
Параболическая
Показательная
Для проверки возможности использования линейной функции определяется разность , если она <0,1 то можно применить линейную функцию.
,m – число групп. Если < F-критерия, то можно. (Значение F-критерия определяется по таблице (приложение 5) α=0,05, число степеней свободы числителя (k1 = m-2) и знаменателя (k2 =n-m))
Достоверность уравнения корреляционной зависимости , — средняя квадратическая ошибка, y – фактические значения результативного признака, — значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии, l – число параметров в уравнении регрессии.
Если это отношение не превышает 10-15%, то уравнение хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.
Показатели динамики
Показатель | Метод расчета | |
С переменной базой (цепные) | С постоянной базой (базисные) | |
Абсолютный прирост (показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень текущего периода больше (меньше) базисного) | ||
Коэффициент роста (показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше (меньше) базисного) | ||
Темп роста, % (это коэффициент роста, выраженный в %, показывает, сколько процентов уровень текущего периода составляет по отношению к уровню базисного периоа) | ||
Темп прироста, % (показывает, на сколько % уровень текущего периода больше (меньше) уровня базисного периода) | ||
Абсолютное значение 1% прироста (показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста) |
Средние показатели динамики
Показатель | Метод расчета |
Средний уровень ряда -Для интервального ряда | |
-Для моментального ряда с равными интервалами | |
-Для моментального ряда с неравными интервалами | |
Средний абсолютный прирост | или |
Средний коэффициент рост | или |
Средний темп роста, % | |
Средний темп прироста, % | или |
Средняя величина абсолютного значения 1% прироста |
Тренды
Линейный
Пусть =0, тогда если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты (t) будут (-2, -1, 0, 1, 2). Если четное, то (-5, -3, -1, 1, 3, 5)
Индекс – относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом.
Индивидуальный индекс физического объема выпуска продукции
Индивидуальный индекс цен
Индивидуальный индекс затрат на выпуск продукции
Индивидуальный индекс стоимости продукции
Агрегатный индекс физического объема продукции (Относительное изменение физического объема продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным)
— характеризует абсолютное изменение физического объема в относительном выражении без влияния ценового фактора.
Средний взвешенный арифметический индекс физического объема продукции , iq – индивидуальный индекс по каждому виду продукции
Средний взвешенный гармонический индекс физического объема продукции
Агрегатный индекс цен (характеризует среднее изменение цен по совокупности различных видов продукции)
— абсолютное изменение всей стоимости продукции за счет изменения цен
Агрегатный индекс цен (характеризует среднее изменение цен на потребительские товары)
Агрегатный индекс затрат на выпуск всей продукции
Двухфакторный индекс
Связь:
Индекс планового задания
Индекс степени выполнения плана
Связь:
Изменение себестоимости продукта А по фирме , средняя себестоимость —
Индекс влияния структурных сдвигов в объеме продукции , d – удельный вес каждого предприятия в общем объеме выпуска продукта А
Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции -, за счет изменения цен на продукцию -
Абсолютное изменение общих затрат на выпуск продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции — , за счет среднего изменения себестоимости единицы продукции — .
Выработка — W = Q/T, W – выработка, Q – физический объем реализованной продукции/услуг, T – затраты живого труда (среднесписочная численность работников/рабочих)
Трудоемкость (показатель, обратный выработке) — t = 1/W = T/Q Трудоемкость характеризует величину затрат рабочего времени на единицу произведенной продукции.
Индекс динамики выработки переменного состава, определяющий отношение выработки отчетного периода к выработке базисного периода — Iw = W1 /W0
Этот индекс характеризует изменение производительности труда под влиянием всех факторов, а именно: НТП, человеческого фактора (квалификация и т.п.) и др.
Индекс динамики трудоемкости — It = t1 /t0
Индекс динамики трудоёмкости характеризует изменение трудоёмкости в отчетном периоде по сравнению с базисным, и его величина зависит от изменения трудоёмкости производимой продукции и от изменения объемов производства этой продукции.
IQ = IW * IT – система связанных индексов, которая позволяет определить влияние интенсивных и экстенсивных факторов на изменение объема продукции, услуг.
Среднегодовая стоимость основных фондов в базисном и отчетном годах — , — введенные в эксплуатацию фонды в течение года, — число месяцев эксплуатации фондов в данном году, — фонды, выбывшие из эксплуатации в течение года, — число месяцев, оставшихся до конца года после выбытия фондов из эксплуатации.
Фондоотдача -.
Фондоёмкость – показатель, обратный фондоотдаче, за базисный и отчетный годы по формуле
Индекс динамики фондоотдачи IVп.с. = = Этот индекс характеризует изменение фондоотдачи под влиянием всех факторов, включая НТП (новая техника, технология), человеческий фактор, структурный фактор, который на уровне АО может выражаться в изменении состава основных фондов в отчетном по сравнению с базисным годом.
Индекс динамики фондоемкости
Влияние интенсивного (качественного) и экстенсивного (количественного) факторов на абсолютное изменение физического объема продукции/услуг. Под экстенсивным фактором обычно понимают абсолютное изменение основных фондов. Под интенсивным – абсолютное изменение показателя фондоотдачи.
Влияние экстенсивного фактора:
Влияние интенсивного фактора:
Влияние обоих факторов :
Показатели фондовооруженности рабочих , — среднесписочная численность рабочих .
Индекс динамики фондовооруженности:
Коэффициент износа основных фондов на конец отчетного года
Износ фондов на конец отчетного года