Реферат: История открытия комплексных чисел

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">Реферат

<span Arial",«sans-serif»">на тему:

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">«История открытия комплексных чисел».

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">Выполнили ученики 10 а класса

<span Arial",«sans-serif»">Савинской средней

<span Arial",«sans-serif»">Школы №1

<span Arial",«sans-serif»">Сметанин Илья и

<span Arial",«sans-serif»">Лихачёв Вячеслав.

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">План:

<span Arial",«sans-serif»">1. Понятие о комплексном числе.

<span Arial",«sans-serif»">а) Почему появились?

<span Arial",«sans-serif»">б) Алгебраическая форма комплексногочисла.

<span Arial",«sans-serif»">2. Из истории.

<span Arial",«sans-serif»">3. Заключение.

<span Arial",«sans-serif»">4. Список используемой литературы.

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">1. Понятие о комплексном числе.

<span Arial",«sans-serif»">Почемупоявились?

<span Arial",«sans-serif»">Процесс расширения понятий числа отнатуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и снуждами самой математики. Сначала для счёта предметов использовалисьнатуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятиюдробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания – кпонятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корнейиз положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленныеоперации выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались иневыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корняиз отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширениипонятий числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

<span Arial",«sans-serif»">Геометрически действительныечисла изображаются точками на координатной прямой: каждому числу соответствуетодна точка прямой («образ» действительного числа). Координатная прямая сплошьзаполнена образами действительных чисел, т. е. «на ней нет места для новыхчисел». Возникло предположение о том, что геометрические образы новых чиселнужно искать не на прямой, а на плоскости.

<span Arial",«sans-serif»">Комплекснымчислом

<span Arial",«sans-serif»"> называется всякая упорядоченная пара действительныхчисел<span Arial",«sans-serif»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»"> и <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»">.Два комплексных числа (a;b) и (<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">c<span Arial",«sans-serif»">;<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">d<span Arial",«sans-serif»">) называются равными тогда и толькотогда, когда <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»">=<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">c<span Arial",«sans-serif»"><span Arial",«sans-serif»">и <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»">=<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">d<span Arial",«sans-serif»">.

<span Arial",«sans-serif»">Алгебраическаяформа комплексного числа.  

<span Arial",«sans-serif»">Запись<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»">+<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">bi<span Arial",«sans-serif»"> <span Arial",«sans-serif»">называетсяалгебраической формой комплексного числа <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">z<span Arial",«sans-serif»">=(<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»">; <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»">); при этом число <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»">называется действительной частью комплексного числа <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">z<span Arial",«sans-serif»">, а <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">bi<span Arial",«sans-serif»"> – <span Arial",«sans-serif»">его мнимая часть.Основное свойство числа <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">i<span Arial",«sans-serif»"><span Arial",«sans-serif»">состоитв том, что произведение <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">i<span Arial",«sans-serif»"> * <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">i<span Arial",«sans-serif»">  <span Arial",«sans-serif»">равно -1, т. е. <img src="/cache/referats/21910/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">.

<span Arial",«sans-serif»">Если мнимая частькомплексного числа  

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»">+<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">bi<span Arial",«sans-serif»"> <span Arial",«sans-serif»">отличнаот нуля, то такое число называется мнимым; если при этом <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»">=0<span Arial",«sans-serif»">, т. е. число имеетвид <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">bi<span Arial",«sans-serif»">, то оно называется чисто мнимым; если укомплексного числа <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»">+<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">bi<span Arial",«sans-serif»">мнимая часть равна нулю, то получается действительное число <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">a<span Arial",«sans-serif»">.<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">2. Из истории.

<span Arial",«sans-serif»">Итальянскийалгебраист Дж. Кардано в <st1:metricconverter ProductID=«1545 г» w:st=«on»>1545 г</st1:metricconverter>. предложил ввести числа новой природы. Он показал, чтосистема уравнений <img src="/cache/referats/21910/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">, не имеющая решений во множестве действительных чисел,имеет решения вида

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US"><img src="/cache/referats/21910/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><span Arial",«sans-serif»">, <img src="/cache/referats/21910/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"><img src="/cache/referats/21910/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><span Arial",«sans-serif»">«чисто отрицательными»<span Arial",«sans-serif»"> идаже <span Arial",«sans-serif»">«софистически отрицательными»,<span Arial",«sans-serif»"> считалих бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью такихчисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ниизменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянскогоалгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правилаарифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из нихкубических корней. Название <span Arial",«sans-serif»">«мнимые числа»<span Arial",«sans-serif»">ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году одиниз крупнейших математиков <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">XVIII<span Arial",«sans-serif»">века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">imaginaire<span Arial",«sans-serif»"> <span Arial",«sans-serif»">(мнимый) для обозначения числа <img src="/cache/referats/21910/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> (мнимой единицы). Этотсимвол вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .  Термин <span Arial",«sans-serif»">«комплексные числа»<span Arial",«sans-serif»">  так же был введен Гауссом в 1831 году. Словокомплекс <span Arial",«sans-serif»">(от

<span Arial",«sans-serif»">латинского

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">complexus<span Arial",«sans-serif»">)<span Arial",«sans-serif»">означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.Образующих единое целое.

<span Arial",«sans-serif»">В течение

<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">XVII<span Arial",«sans-serif»"> века продолжалосьобсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать имгеометрическое обоснование. 

<span Arial",«sans-serif»"> Постепенноразвивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">XVII<span Arial",«sans-serif»"> и <span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">XVIII<span Arial",«sans-serif»"> веков была построенаобщая теория корней    <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">n<span Arial",«sans-serif»">-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любыхкомплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.Муавра (1707): <span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US"><img src="/cache/referats/21910/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><img src="/cache/referats/21910/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"><span Arial",«sans-serif»">.

<span Arial",«sans-serif»">В конце

<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">XVIII<span Arial",«sans-serif»"> века французскийматематик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняютмнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейныхдифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнениявстречаются, например,  в теорииколебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарскийматематик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

<span Arial",«sans-serif»"> Хотя в течение

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">XVIII<span Arial",«sans-serif»"> века с помощью комплексных чисел были решены многиевопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснованиятеории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты,полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характернастоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

<span Arial",«sans-serif»"> «Никто ведь не сомневается в точностирезультатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя онипредставляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств» Л.Карно.

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">3. Заключение

<span Arial",«sans-serif»">Геометрическоеистолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные сфункцией комплексного переменного, расширило область их применения.

<span Arial",«sans-serif»">Комплексныечисла широко применяются не только в математике, но также в физике и технике. Сталоясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело свеличинами, которые изображаются векторами <img src="/cache/referats/21910/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">4.Список используемой литературы:

<span Arial",«sans-serif»">1)«Математика» Гусев В.А., Мордкович А.Г.                                                 («Просвещение» <st1:metricconverter ProductID=«1990 г» w:st=«on»>1990 г</st1:metricconverter>.);

<span Arial",«sans-serif»">2)«Справочник по элементарной математике» М.Я. Выгодский (Москва <st1:metricconverter ProductID=«1966 г» w:st=«on»>1966 г</st1:metricconverter>.);

<span Arial",«sans-serif»">3)«Энциклопедический словарь юного математика»

<span Arial",«sans-serif»">(http://lib.ru)

<span Arial",«sans-serif»">

еще рефераты
Еще работы по математике