Реферат: Математическое моделирование

Математические модели, классификация моделей,свойства моделей. Подобие математических моделей.

Модель– явление, техническое устройство, знаковое образование или иной условныйобраз, который находится в определенном соответствии (сходстве) с изучаемым объектом-оригиналоми способен замещать оригинал в процессе исследования, давая о нем необходимуюинформацию.

Свойствамодели:

1.

2.

3.

4.

Такие свойства моделидолжны иметь для того, чтобы с их помощью можно было сконструировать, испытатьлюбое инженерное решение, оценить его эффективность и затем перенести нареальную систему.

Математическаямодель:

1.

2.

Классификация моделейПо назначению:

1.

2.

3.

-

Позакону изменения выходных переменных модели:

1.

2.

3.

4.

[1].

5.

Поспособу описания объекта (см. также вопрос 9)

1.

Модель «внутреннего механизма» («в большом»)– математическая модель, отображающаявсе стадии превращения энергии или вещества внутри объекта. Модель «в большом»,как правило, строится на основе известных фундаментальных законов естественныхнаук, она подробно отображает все, что происходит внутри объекта. Как правило,эти модели сложны, нелинейны; описывают поведениеисследуемого объекта во всем возможном диапазоне изменений входных и выходныхвоздействий. Они содержат много неизвестных коэффициентов, которые необходимоуточнять для конкретных условий функционирования объекта. Они зачастую содержатнекорректные математические операторы и поэтому чувствительны к ошибкамиспользования данных об изменении входных и выходных воздействий.

2.

Функциональнаямодель (кибернетическая) – математическая модель, устанавливающая взаимнооднозначное соответствие между входными и выходным воздействиями объекта (системы) без отображенияпроисходящих внутри процессов. Функциональные модели, как правило, более простыпо структуре и строятся экспериментальными методами.

3.

ПМ

Vн

Vм

Yн*

Yм

d

а) б)

Рис.1

ФМ

Vм

Yм

<img src="/cache/referats/20668/image001.gif" v:shapes="_x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078 _x0000_s1079">
Разновидностью функциональной модели является пересчетная модель (модель вприращениях), имеющая следующую структуру (рис.1). Отличительнаяособенность этой модели в том, что она имеет три входа и один выход функционируетв приращениях к натурным (измеренным в действующей системе контроля) входным ивыходным воздействиям. Эти натурные воздействия должны поступать из действующейсистемы либо оперативно в темпе с процессом, либо ретроспективно, спредварительной записью и последующим воспроизведением. С помощью такой моделиможно ответить на вопрос: что будет на выходе рассматриваемого объекта, есливместо натурных входных воздействий будет иметь место модельное. Соответственно:<img src="/cache/referats/20668/image003.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/20668/image005.gif" v:shapes="_x0000_i1026"><img src="/cache/referats/20668/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

4.

Подобие. Подобие моделей см.вопрос10: Физические модели. Согласно теории подобия оригинал и математическаямодель являются подобными, если описываются одникимиматематическими выражениями. Например, маятник, уровень жидкости в баке, R-Cцепочка описываются одними дифференциальными уравнениями и при моделированииэти процессы взаимозаменяемы.Объектная ориентация математических моделей,адекватность, воспроизводимость, устойчивость моделей. Требования к математическоймоделиТребованияк модели:

5.

6.

7.

8.

Назначениемоделей:

1.

2.

3.

-

Отметим, чтомодели внутреннего механизма, функциональные и комбинированные имеют своиразличные области эффективного применения.

1. Моделивнутреннего механизма имеют то достоинство, что позволяют отобразить поведениереального объекта (системы) во всем большом диапазоне изменений его входных,выходных воздействий и состояний. Они подробно описывают все стадии преобразованиявещества, энергии и поэтому структурно сложны, содержат много неизвестныхпараметров, значения которых необходимо уточнять для каждого конкретногообъекта и процесса. Статические модели внутреннего механизма, как правило,конкретизируются, уточняются путем составления материальных и тепловых балансовдля промышленных объектов, для чего на объектах проводят специальные регистрационныеэксперименты. Динамические модели внутреннего механизма основываются наизвестных законах физики, химии и их разделах и структурно представляют собой совокупностьинтегральных и дифференциальных уравнений, в том числе и в частных производных.В теории управления модели внутреннего механизма применялись в основном длярешения задач стабилизации: нахождение наилучших с заданной точки зрениярежимов ведения технологических процессов, траектории движения тел и так далее.

Для решениязадач регулирования используются функционально более простые модели, но в последнеевремя с зарождением и развитием синергетической теории управления, моделямвнутреннего механизма, по-видимому, будет уделяться больший интерес, и онибудут применяться и в задачах регулирования.

Эти модели, в общем, нелинейны, содержат некорректные математические процедуры[2]

ипотому очень чувствительны к ошибкам в исходных данных. Такого рода моделивсегда перед практическим применением необходимо проверять на ихчувствительность к координатным и параметрическим возмущениям (ошибкам).

2. Функциональными моделями будем называть такие математическиемодели, которые, в отличие от модели внутреннего механизма отображают лишьвнешнее поведение (внешние стороны) объекта управления, полностью пренебрегаяпроцессами происходящие внутри объекта (эти модели называют: кибернетические,поведенческие). Их особенности:

4.

5.

6.

Их основной недостаток: применение лишь для тех условийфункционирования реального объекта, при которых были поставлены эксперименты иполучены данные. Экстраполяция за пределы этих условий не допускается! Такимобразом, функциональные модели являются приспособленными к зашумленным данным,а значит, для них могут быть использованы непосредственно результаты на выходедействующих систем контроля. Но их основной недостаток заключается в том, чтоони являются работоспособными в узком, небольшом диапазоне изменения входных ивыходных воздействий, а именно в том диапазоне, который характеризуетсяполученными экспериментальными данными.

В практикемоделирования промышленных объектов часто целесообразно использовать комбинированныемодели, то есть комбинацию модели внутреннего механизма и функциональноймодели.

Математическоемоделирование, основанное на применении математических моделей является эффективнымдля чисто технических объектов и процессов, причем не сложной, небольшойструктуры. особенно это касается таких систем, как системы автоматическогорегулирования входных и выходных воздействий сравнительно простых техническихсистем, для воспроизведения режима функционирования которых оказываютсяадекватными сравнительно простые статические и динамические модели невысокогопорядка. Но для большинства таких систем сложность может возникнуть привоспроизведении внешних воздействий и возмущений, так как они являются нестационарнымии предсказать характер не стационарности достаточно трудная и частонереализуемая задача.

Примерамитаких систем являются системы автоматического регулирования некоторых входных ивыходных воздействий технических агрегатов и технологических процессов, вчастности, системы стабилизации температур работающего пространства печи и такдалее.

Если речьидет о моделировании сложных процессов – доменный, сталеплавильный, а тем болеетаких систем управления, в составе которых работают люди, то воспроизведениефункционирования таких систем, как показывает опыт последних лет невозможно сзаданной точностью с помощью только математических моделей, так такие системыявляются нелинейными и работают в нестационарных условиях.

Многиесложные социально-технические комплексы характеризуются большой степенью информационнойнеопределенности, обусловленной:

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Именно наличие такой неопределенности приводитк тому, что чисто математические модели являются неадекватными для большинствадействующих систем управления, поэтому для моделирования в последние годы всечаще используют комбинированные модели, сочетающие в своем составе как математические,так и натурные блоки. Достоинства математического моделирования заключаются вуниверсальности и доступности технических средств моделирования, возможностивыбора многих вариантов и оптимизации параметров наглядности и быстроте получения результатов. Недостатокматематического моделирования – практическая невозможность полученияадекватного математического ожидания исследуемой системы.

Адекватность

Модель адекватна оригиналу, еслипри ее интерпретации возникает портрет, в высокой степени сходный с оригиналом.При этом, как правило, сходство оригинала и его портрета, полученного с помощьюмодели, нуждается в количественной оценке.

Проверяется гипотеза соответствиявыбранной структуры модели объекту и возможно ли описание поведения натурногообъекта с заданной точностью. Если врезультате оценки адекватности эта гипотеза не подтверждается, то необходимовыбрать иную структуру модели. В основе этой процедуры лежит использованиекритериев (для регрессионной модели):

13.

F-критерий Фишера.

14.

t-критерий Стьюдента.

15.

Остановимся на рассмотрении F-критерий Фишера, которыйпредставляет собой соотношение двух дисперсий: <img src="/cache/referats/20668/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1028">Fт,то принимается гипотеза о незначимом различии дисперсий (модель адекватна).Дисперсия σ1 характеризуетошибку, разброс расчетных значений выходного воздействия относительно ихдействительного значений при зафиксированных условиях (включает ошибку ε и ошибка аппроксимации экспериментальныхданных с помощью выбранной структуры регрессионной модели). Дисперсия σ2 – дисперсия опыта, которая характеризуетразброс данных, вызванный эффектом влияния неучтенных факторов, для ее оценкинеобходимо провести дублирующие опыты (многократно провести опыты при однихзначениях входного воздействия).

Устойчивость

Для определения устойчивостисистем используются их математические модели, значит устойчивость математическихмоделей – то же, что и устойчивость систем.

Система устойчива, если еереакция на ограниченное воздействие также ограничена и неустойчива, еслиреакция на ограниченное воздействие неограничена.

Многие фундаментальные результатытеории устойчивости были получены русским математиком А.М. Ляпуновым. Пусть некотораясистема описывается системой дифференциальных уравнений: <img src="/cache/referats/20668/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/20668/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> задачи называетсяустойчивым по Ляпунову, если для любого <img src="/cache/referats/20668/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> существует <img src="/cache/referats/20668/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> такое, что все решения<img src="/cache/referats/20668/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> задачи бесконечно продолжимы вправо, как только <img src="/cache/referats/20668/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> и для этих решенийсправедливо неравенство <img src="/cache/referats/20668/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1035">ε-трубка решения <img src="/cache/referats/20668/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/20668/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> задачи, которые вначальный момент <img src="/cache/referats/20668/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> отстояли от <img src="/cache/referats/20668/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> не более, чем на <img src="/cache/referats/20668/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

Типы устойчивости:

16.

17.

<img src="/cache/referats/20668/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1043">Н – любое положительное число.

Вопрос об устойчивостирассматривается в одном из трех вариантах:

18.

19.

20.

x(t)

z(t)

Устойчивость по Ляпунову

x(t)

Фазовый портрет асимптотически устойчивой траектории

Фазовая траектория, устойчивая по Ляпунову

<img src="/cache/referats/20668/image040.gif" v:shapes="_x0000_s1117 _x0000_s1118 _x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143 _x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151 _x0000_s1152 _x0000_s1153">
Необходимое и достаточное условие устойчивости сводится к требованию, чтобы всевещественные корни уравнения системы были отрицательны, а комплексные корниимели отрицательные вещественные части, то есть требуется, чтобы в комплекснойплоскости все корни лежали левее мнимой оси. Однако для суждения обустойчивости системы не обязательно вычислять корни характеристическогоуравнения. Достаточно определить их расположение на комплексной плоскости.Правила. Позволяющие это сделать – критерии устойчивости:

21.

-

Для того, чтобы многочлен <img src="/cache/referats/20668/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> с <img src="/cache/referats/20668/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> и <img src="/cache/referats/20668/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> был устойчивымнеобходимо и достаточно, чтобы были положительны все его главные диагональныеминоры матрицы Гурвица:

-

Рауса.

22.

-

Кртерий Михайлова.Структурапроцесса моделирования

Процессмоделирования можно представить в виде следующих этапов:

23.

24.

-

25.

26.

Различают два основных подхода кпостроению моделей:

27.

28.

-

Можно отметить, что возможнакомбинация этих подходов в тех случаях, когда комбинированная модельпредставляет собой сочетание модели внутреннего механизма и функциональной(кибернетической).

Применениемоделирования

В настоящеевремя практически все инженерные задачи решаются с применением моделирования. Ктаким задачам можно отнести следующие два больших класса задач:

29.

30.

В процессереализации этих задач моделирование может быть использовано:

31.

32.

33.

34.

Вкачестве объекта управления может выступать:

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Все этиобъекты моделирования обладают различными свойствами, имеют различную природы.Их взаимодействие с окружающей средой может происходить по различнымзакономерностям. Их связи друг с другом и окружающей средой являютсядинамическими и нестационарными во времени. Их структура может меняться, тоесть при имитации, при моделировании различных систем необходимо учитывать этомногообразие проявлений свойств реальных объектов моделирования. Это необходимосочетать с областями эффективных применений различных моделей.

Физические модели. Назначение физических моделей, их структура.

Моделированиебывает материальное и идеальное.

Идеальное моделирование — моделирование, основанное на аналогии идеальной, мыслимой.

Материальноемоделирование- моделирование, в котором исследование ведется на основании модели,воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональныехарактеристики изучаемого объекта. Частый случай материального моделирования — физическоемоделирование, при котором моделируемый объект и модель имеют одну и туже физическую природу. Этотметод моделирования широко распространен в науке и технике, где физическоемоделирование используется при проектировании объектов разного типа. Известныйпример физического моделирования — исследование моделей летательных аппаратовна основе экспериментов с помощью аэродинамической трубы. Исследование ваэродинамической трубе состоит в «продувании» модели летательногоаппарата воздухом в разных режимах и в измерении разных характеристик изучаемыхмоделей (сил, возникающих при обтекании модели, устойчивости и управляемости,нагревания и т.д.). Далее по характеристикам модели подсчитываютсяхарактеристики интересующего нас летательного аппарата. Связь междухарактеристиками летательного аппарата и его модели устанавливается на основетеории подобия — развитой научной дисциплины. Аэродинамические трубы и другиеустановки для осуществления физического моделирования позволяют проводить экспериментыпри удобных значениях геометрических размеров модели и параметров обтекающеговоздуха (давления, температуры, скорости) и затем переносить результаты наменее удобные или, может быть, даже вообще нереализуемые в лабораторномэксперименте параметры.

Физическая модель- установка, устройство или приспособление, позволяющие исследовать системыпутем замещения изучаемого физического процесса подобным ему процессом той жеили другой физической природы.

Физическое моделированиехарактеризуется тем, что исследования проводятся на установках, обладающихфизическим подобием, то есть сохраняющих полностью или хотя бы в основномприроду явлений. Если проведено полное или неполное физическое моделирование и, следовательно, подобие, то по характеристикам модели можно получить всехарактеристики оригинала пересчетом через масштабные коэффициенты.

Физическоемоделирование может быть временным, при котором исследуются толькопроцессы, протекающие во времени (изменение тока в электрической цепи прикаких-либо переходных процессах).

Физическоемоделирование может быть и полным пространственно- временным (дляизучения нестационарных течений рек, морей; исследования на моделях антеннвлияния окружающей среды на излучение радиоволн в пространстве).

Физическое моделированиеможет быть пространственным, предназначенным для изучения процессов,действие которых не рассматриваются во времени. Они изучают только установившеесясостояния или «замороженные» процессы (распределение тока в электросети илимагнитных и электрических полей в магнитопроводах).

Физическоемоделирование основано на теории подобия. Соответствие между оригиналом ифизической моделью обычно устанавливается с помощью критериев подобия – отношения членов уравнения, представляющихсобой безразмерные величины параметров, численно одинаковые для всех подобныхпроцессов. Согласно теории подобия оригинал и физическая модель являются подобными,то есть примерно одинаково их функционирование независимо от физической природывещества, материи. Так, например, процесс разливки и кристаллизации жидкойстали моделируют с помощью совершенно других жидкостей (спирт, расплавленныйвоск), то есть несколько иных физических явлений.

Подструктурой модели (и физической в том числе) понимают совокупность элементов,входящих в модель и связей между ними. При этом, как отмечалось выше, модель(её элементы) может иметь ту же или иную физическую природу. Близость структур– одно из главных особенностей при моделировании. Модель по структуре должнасоответствовать оригиналу. Упрощение структуры модели снижает точность.

Назначениемодели, воспроизводящей объект, состоит в следующем:

1.

2.

3.

a.

предтеорией.

b.

c.

диф.уравненийболее простой системой с допустимой точностью для определенных условий.

d.

e.

[1]

Математическая форма принципа суперпозиции:

[2]

Некорректной математическойпроцедурой будем считать такие математические операторы, которые небольшиеошибки в используемых данных преобразовывают в большие ошибки результатоввычисления (на порядок и выше). Примером такой процедуры можно считать оператордифференцирования.

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Общая характеристика аксиоматики Гильберта

29 Августа 2013

Реферат по математике

Пропись цифр. Методика прописи цифр

29 Августа 2013

Реферат по математике

Петер Дирихле

29 Августа 2013

Реферат по математике

Теория неявных функций и ее приложения

29 Августа 2013