Реферат: Геометрия Лобачевского

ГеометрияЛобачевского.

<span Book Antiqua",«serif»; color:black">Исаев Андрей.

Гурьев Дмитрий.

«Начала» — величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то,что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Ноне только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового,оригинального. Вплоть до XXв. геометрию вшколах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала»,переведённые и литературно обработанные.

Однако не всёнаписанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Великолепнойбыла его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулироватьнебольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремыгеометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказалисьсовсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой».

Так называемый пятыйпостулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома,как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой,неевклидовой геометрии.

Вот о чёмговорится в пятом постулате: Если две прямые aи bобразуют припересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы α и β,сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180˚; рис 1),то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно стой стороны оттретьей прямой, по которую расположены углы α и β(составляющие вместе не менее 180˚).

Данноеутверждение заметно сложнее остальных аксиом. Потому-то пятый постулат   часто замеряют на равносильную аксиомупараллельности: к данной прямой через данную вне её точку можно провести неболее одной параллельной прямой.

Вообразим. Чтомы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели через нихдве прямые aи b, причём так что aобразует спрямой АВ равен 89˚59′59″ (рис. 2). <img src="/cache/referats/16327/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/16327/image004.jpg" v:shapes="_x0000_i1026"> Иначе говоря, сумма двухвнутренних односторонних углов α и β всего на однуугловую секунду меньше 180˚. Продолжим прямые α и β,пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольныйтреугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен γ исоставляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/tgγ, где с = 1 м. С помощью калькулятора нетрудно подсчитать, что 1/tgγ≈ 2,06 • 105. Следовательно, длина катета АСсоставляем приблизительно 2,06 • 105 = 206 км.

Угол в 1 угловуюсекунду достаточно ощутим (например при астрономических расчётах). Но проверитьдве указанные выше прямые α и β пересекаются на расстоянии206 км отпрямой АВ,  совсем не просто. Ведьизготовить плоский лист бумаги и линейку длиной более 200 км не предоставляетсявозможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо будет добавить ещёодин постулат: свет распространяется по прямой (а это уже физика). А если суммауглов α и β отличается менее чем на 1 угловую секунду?Как видит, пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен.

<img src="/cache/referats/16327/image006.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1045">Сложностьформулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что оченьмногие математики, жившие после Евклида, старались исключить этот постулат изсписка аксиом, т.е. доказать его как теорему с помощью остальных аксиомЕвклида. В «сражениях» с пятым постулатом особенно далеко продвинулись Ламберт,Саккери и Лежандр.

ИтальянецСаккери рассматривал четырёхугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвёртыйугол (обозначим его φ) мог быть прямым, тупым или острым. Саккериустановил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о том, что четвёртыйугол φ всегда равен 90º, позволяет доказать пятый постулат.Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет собой новую аксиому, пятомупостулату.

Гипотезу тупогоугла, допускающую существование четырёхугольника, у которого четвёртый уголφ тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать,что гипотеза острого угла неверна не смог ни Саккери, ни его последователи.Неприступная «крепость»  пятого постулататак и осталась неприступной.     

    Очень интересны исследования французскогоматематика Адриена Мари Лежандра. Но ни одна из них не привела к успеху.

Вот краткоеописание одной из попыток Лежандра. Пусть aи b– две прямые, перпендикулярныодной и той же третьей прямой и пересекающие её в точках А и В. Эти две прямые aи bнепересекаются. Допустим, что пятый постулат Евклида неверен и через А можнопровести ещё одну прямую a′, так жене пересекающую b(рис 4.) <img src="/cache/referats/16327/image008.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1046">  Симметричная ей ( относительно АВ) прямая а″также не пересекает прямую b. Рассматриваядва получающихся острых угла α′ и α″ (симметричных другдругу), Лежандр строго доказывает, что прямая aкак при продолжении её вправо, так и при продолжении её влево всёболее удаляются от прямой b. Но прямыеaи bне могут вести себя подобным образом: если они непересекаются, то должны находится на ограниченном расстоянии друг от друга насвоём протяжении. Не правда ли убедительно? Однако на самом деле это простодругая аксиома: она следует из пятого постулата, и, в свою очередь, из неёвытекает справедливость пятого постулата.       

В начале XIXв. в «сражение» вступил русский математик профессорКазанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он был исключительноталантлив и настойчив. Первое время Лобачевский шёл тем же путём что и егопредшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что пятыйпостулат неверен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем кпротиворечию. Этим противоречием он и будет доказан.

<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;color:black;mso-ansi-language:RU; mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Итак, допустим, что пятый постулатневерен: через точку А, не принадлежащую прямой b(рис. 5, а), можно провести более чем одну прямую, котораяне пересекается с b. Пусть прямые a′ и a″ непересекаются с b. При  их расположение, как на рисунке, будемповорачивать прямую a′ почасовой стрелке. Тогда найдётся прямая c′, которая «в последний раз» не пересекается с b. Значит, прямые, получившиеся из с′ приповороте по часовой стрелке (на сколь угодно малый угол), будут пересекатьпрямую b, а прямые, получающиеся из спри малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Иначе говоря, среди всех прямых, проходящих через точкуА, прямая с′ отделяет пересекающие bпрямые от не пересекающих её. Сама прямая с′не пересекает b. Такая жекартина наблюдается и для прямой с″, симметричной с′  относительно перпендикуляра АР, опущенного наb. Она отделяет пересекающие bот не пересекающих. <img src="/cache/referats/16327/image010.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1047">

Лобачевский называетпрямые с′ и с″ параллельными прямой b, причём с′ параллельна bвправо, а с″ параллельна bвлево. Остальные прямые, проходящие через точку А и непересекающая  прямую b( такие, как a′ и a″ ), именуются расходящимися с прямой b.

Далее,обозначим длину отрезка АР через x, а острый угол, образуемый прямой с′ или с″с прямой АР, — через П(х) (рис. 5, б). Лобачевский вводит эти определенияи обозначения, стремясь, со свойственной ему настойчивостью, узнать, что можетполучиться из его предположения о неверности пятого постулата, и быстрееобнаружить желанное противоречие.

На нашихчертежах линии изогнуты. Но вы должны понять, что Лобачевский рассуждает именноо прямых линиях. Если отрезок АР мал, то острый угол П(х) близок к90˚. Когда отрезок совсем мал, то, мы увидим, что прямые с′ и с″практически сливаются, поскольку угол П(х) очень близок к 90˚(рис.6). <img src="/cache/referats/16327/image012.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1035"> В целом же, в силу предположения о неверностипятого постулата, приходится изображать линии изогнутыми. И если в дальнейшембудут появляться всё более и более странные вещи, то это только хорошо – мыскорее наткнемся на долгожданное противоречие.

Лобачевскийдоказывает (всё в том же предложении о неверности пятого постулата), что двепараллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторонупараллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг отдруга (рис.7, а). <img src="/cache/referats/16327/image014.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1036"> А две расходящиеся прямые имеют единственныйобщий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляютсядруг от друга (рис. 7, б). Это очень похоже на то, о чём писал Лежандр, но мыуже знаем, что здесь пока ещё нет никакого противоречия.

ЗатемЛобачевский рассматривает две параллельные прямые bи cи берёт на прямой bдвижущуюся точку М, удаляющуюся в сторону обратнуюпараллельности (рис. 8).  В каждом положенииточки М он восставляет перпендикуляр pк прямой bдо егопересечения с прямой с. длина перпендикуляра непрерывно возрастает придвижении точки М, и, когда она попадает в положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной. Точнее говоря,перпендикуляр р, восставленный к прямой bв точке Q, параллеленпрямой с (рис. 9, а). Построив прямую с′  симметричную относительно перпендикуляра р,получим три прямые – b, cи c′, которыепопарно параллельны друг другу (рис. 9, б). Возникает своеобразный «бесконечныйтреугольник»: у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин совсемнет (они как бы находятся в бесконечности; рис. 10). Это уже никак несогласуется с привычными представлениями о расположении прямых линий! Нопротиворечия и здесь нет.

<img src="/cache/referats/16327/image016.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1042"><img src="/cache/referats/16327/image018.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1041">ТогдаЛобачевский предпринимает попытку использовать могущество формул. Применяявыведенную им функцию П(х), он получает зависимости, позволяющие посторонам треугольника вычислять его углы. И оказывается что в любомтреугольнике сумма углов меньше 180˚. Значит в четырёхугольнике Саккери(если его разбить диагональю на два треугольника; рис. 11)  сумма углов меньше 360˚. Это означает,что мы находимся в условиях гипотезы острого угла – когда в четырёхугольникеСаккери четвёртый угол φ<90º. Как будто ничего нового нет:Саккери и его последователи долго ломали голову над гипотезой острого угла, нопротиворечий так и не нашли.

ОднакоЛобачевский оказался теперь намного богаче: он имел формулы, выражающиезависимости между сторонами и углами любого треугольника. Пользуясь своимиформулами, Лобачевский доказал: если известны углы треугольника, можнооднозначно вычислить его стороны. Совсем странно! Ведь существуют подобныетреугольники, в которых углы соответственно равны, а стороны неодинаковы, такчто углы треугольника не позволяют вычислить длины всех его сторон (рис.12).

Что это — желанное противоречие? Увы, опять нет! Наличие подобных, но неравныхтреугольников доказывается с помощью аксиомы о параллельных прямых. А потомусам факт, что такие треугольники существуют, может рассматриваться как ещё однановая аксиома, эквивалентная пятому постулату.

И Лобачевскогоосенила гениальная догадка: противоречия никогда не будет! Иначе говоря, еслимы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат, то получаетсянепротиворечивая геометрическая система – та евклидова геометрия, к которой мытак привыкли. Если же ко всем прочим аксиомам вместо пятого постулата мыдобавим отрицание аксиомы параллельности, т.е. аксиому о том, что через точкувне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной, то получимдругую геометрическую систему (Лобачевский назвал её «воображаемой»геометрией), которая, однако, тоже непротиворечива.

В результатедальнейших исследований при помощи материала своей «воображаемой» геометрииЛобачевский построил модель геометрии Евклида. Какая злая ирония судьбы! Еслибы всё было бы наоборот! Гениальный учёный понимал: создай он из материалаевклидовой геометрии (в непротиворечивости которой никто не сомневался) модель собственной«воображаемой» геометрии – и законность его геометрической системы установлена.Это сделали математики уже следующего поколения.

Лобачевский выступил с докладом об открытиинеевклидовой геометрии в1824 г. но поддержки не нашёл. Математики его времениещё не были подготовлены к мысли о возможности существования иной, неевклидовойгеометрии. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей.

Впрочем, одинчеловек понимал и поддерживал его работы. Гениальный Гаусс, «корольматематиков» (судя по архиву, разобранному уже после смерти), ещё в 1815 г., задевять лет до сообщения Лобачевского, размышлял над аналогичными идеями. И темне менее Гаусс, к мнению которого прислушивались все, не решился опубликоватьсвои работы. Однако Гаусс добился того, что Лобачевского избрали иностраннымчленом – корреспондентом Гёттингенского учёного общества. Это единственнаяпочесть, возданная Лобачевскому при жизни.

Кроме Гаусса былещё один человек, который вместе с Лобачевским делит заслугу открытиянеевклидовой геометрии. Венгерский математик Янош Больяй очень интересовалсяпроблемой пятого постулата.

<img src="/cache/referats/16327/image020.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1043">Янош не послушалсовета отца, который сказал, что эта проблема выше человеческих сил. И вскореон добился успеха. Он сумел построить неевклидову геометрию, такую же, как и уЛобачевского, хотя и менее глубокую и последовательную. В своём произведении «Appendix» Янош Больяй изложил новую систему. Каки Лобачевский не добился признания. Однако ему сообщили, что за три года донего книгу такого же содержания. Не поверив в это, он изучал русский язык,чтобы прочесть труды Лобачевского в подлиннике. Непризнание и огорчение, из-затого что его опередили, сломили душевные силы Яноша.

Заметим, что уЯноша Больяя были некоторые интересные построения, которых не было у Лобачевского.Например, он определяет орициклы с помощью хорд равного наклона (а не какортогональные траектории, хотя эти два определения эквивалентны; рис. 16).                         

    

   Математики следующего поколения (Клейн,Кэли, Пуанкаре и др.) сумели построить модель геометрии Лобачевского изматериала геометрии Евклида, тем самым установив непротиворечивость изаконность новой геометрии. И математики поняли, что могут быть разныегеометрии и разные пространства.

    

<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;color:black;mso-ansi-language:RU; mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

      

еще рефераты
Еще работы по математике