Реферат: Философские проблемы математики

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Санкт-Петербургская кафедра философии

Реферат на тему

“Философские проблемы математики”

Исполнитель

АспирантСПИИРАН

СелинаО. С.

Научныйруководитель

Доц.Маслиева О.В.

Санкт-Петербург

1998

Содержание

TOC o «1-3» 1. Введение… PAGEREF _Toc419473105h 3

2. Экскурс в историю… PAGEREF _Toc419473106h 5

1.1. Греческаяфилософия и ее математика… PAGEREF _Toc419473107h 5

1.2. Возрождение.Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых PAGEREF _Toc419473108h 8

1.3. Неевклидовыгеометрии и развитие философии математики в XIX в.… … PAGEREF _Toc419473109h 9

1.4. Математика в XXв.… PAGEREF _Toc419473110h 12

3. Философия иматематика… PAGEREF _Toc419473111h 13

4. Заключение… PAGEREF _Toc419473112h 19

5. Список литературы… PAGEREF _Toc419473113h 20

1. Введение

Роль математики всовременной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, безматематического описания целого ряда явлений действительности трудно надеятьсяна их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики,лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкоеиспользование математического аппарата. Более того, без разработки ииспользования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, нисоздание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различныхобластях человеческой деятельности.

Есть и другая сторонаданного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философскийанализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенностиматематического знания были предметом пристального внимания выдающихсяфилософов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемыматематики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозитразвитие как «чистой» и прикладной математики, так и других отраслей науки, втом числе философии.

Философия в сферематематики способствует выработке адекватного понимания математического знания,решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики,специфике ее понятий. Действительно философское понимание математики можетпредстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основеанализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может бытьполучено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходятпод известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторыхобъединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного пониманиялюбого предмета, но сам по себе он недостаточен.

Математики много раз иенялипредставление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенныхфактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычныхвоззрений. Другими словами, современноепонимание математики не может быть сформулировано как простое собраниеимеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взятонепосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, тоесть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследованияистории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры,функции, отношения к другим наукам.

2. Экскурсв историю1.1.Греческаяфилософия и ее математика

Первой философской теориейматематики был пифагореизм, который рассматривал математическое знание какнеобходимую основу всякого другого знания и как наиболее истинную ее часть. Какфилософское течение пифагореизм выходит за рамки собственно философииматематики, но в центре его тем не менее лежит определенное истолкование сутиматематического знания.

Истоки математики уходят вглубокую древность, к Египту и Вавилону. Большинство историков науки относят,однако, появление математики как теоретической дисциплины к более бозднемупериоду, а именно к греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, нив вавилонской математике, несмотря на наличие там довольно сложных и точныхрезультатов, не найлено какго-либо следа собственно математического,дедуктивного рассуждения, то есть вывода одних формул и правил на основе другихили иначе – математического доказательства в обычном смысле этого слова.

Громадный сдвиг,осуществленный в греческой математике, заключается в идее доказательства илидедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписываетсявыдающемуся греческому философу Фалесу из Милета, который жио между 625 – 547гг. до н.э. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесен Фалесом,то надо сказать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развиваласьчрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации.В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свойспецифический метод – метод дедуктивного доказательства, который определяет ееразвитие до настоящего времени.

Появление математики каксистематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философскоемышление, которое оказалось в определенномсмысле подчиненном математике. Это и естественно. Познание того времени былонесколько ограниченным мифологическим и антропоморфным объяснением природы. Нафоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать,как и опровергнуть, где реальное смешалось с фантастическим, математикапоявилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого невызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводы совершеннонепреложны.

Неудивительно, что вматематике греки увидели не просто практически полежное средство, но, преждевсего, выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истинной инеизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику,сделав ее исходным пунктом в своих подходах к описанию действительности. Этамистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора иего последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все естьчисло». Смысл этого утверждения не сводится к тому естественному истолкованию,под которым подписался бы и современный ученый, что всюду могут быть обнаруженыколичественные связи и что всякая закономерность может быть выраженапосредством неких математических соотношений. Греческая философия того времениориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно былобы объяснить все происходящее. Дляпифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей,определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственновоспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражаниечислам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того илииного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии.

Греки заметили, чтоарифметические действия обладают особой очевидностью, безусловнойнеобходимостью, принудительной для разума, которой не обладают никакиеутверждения о реальных событиях и фактах. Это обстоятельство было истолкованокак проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась упифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинноститиго или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовойгармонии.

Что касается природы самойматематической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранниепифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако,мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платонаврождены, они представляют собой впечатления об истине самой по себ, которыедуша получила, пребывая в более совершенном мире, мире идей. Математическоепознание есть поэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюденияприроды, а лишь видения разумом.

Наряду с пифпгорейскойфилософией, существовала другая, более реалистическая (с современной точкизрения) философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита.Известно, что Демокрит отрицал возможность геометричесикх построений в пустоте:геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а преждевсего материальными телами, состоящими из атомов.

Математический атомизмпоявился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особыйвзгляд на природу математики в целом. Однако он неяво содержал в себеопределенную антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математическиеобъекты (числа) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу егопонимания, то в атомистической эвристике математические закономерностивыступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям.Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойстваматематических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращенияматематики в физику, настаивая на чистоте математического метода, а также и наидеализации бесконечной делтмости геометрических величин. Система евклидовскойматематики не могла быть построена без такой идеализации. Но математическийатомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, более эмпиристскую философиюматематики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростомвлияния естественных наук.

1.2.Возрождение.Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых

За тысячу лет, которую мыназываем эпохой средневековья, в математике не произошло существенныхпереворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектомразличных схоластических спекуляций. Философия математики также стояла намертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической инеоплатонической интерпретации. Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческогоматематического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие двастолетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математическихидей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральномуисчислению. Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенностимеханики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новойфилософии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное иабсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своейструктуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установкапроепределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, яркопроявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основным понятием теорииматематика и философа Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечномалого приращения функции. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ееаргумент (x) на некоторую величину h, то получим приращениефункции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0, но вместе с тем этавеличина столь мала, что, умноживее на любоеконечное число, мы не получимконечной величины. В основном своем определении Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины.

Противоречивостьалгоритмовдифференциального исчисления,несогласие их с представлениями о математической строгости, бало очевидным для большинстваматематиков XVIII в. Между тем само этоисчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь вцентральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблемаобоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной,перерастая в некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик дажев мире неспециалистов.

Движение математическогоанализа в XVIII в. кобоснованию, кажется, можно полностью описать в системе «теория-приложение», теесть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимостьвычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело коткрытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов кновым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать болеестрогими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логическинепротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система.

1.3.Неевклидовыгеометрии и развитие философии математики в XIXв.

Философские дискуссии вматематике XIX в. Былисвязаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовыхгеометрий. В области математического анализа также возникли принципиальныетрудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно,были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос оприроде математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро чемв предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых.

11 февраля 1826 г.Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому советуфизико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главнаяидея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независимаот других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно,возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как иевклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных напротивоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всестороннеразработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математическогоанализа.

Значение неевклидовыхгеометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательствонепротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы опараллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Но не толькоэтому математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своейизвестностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с темфактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природематематического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренномупересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, ометодах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать безпреувеличения, что современное понимание математики выросло из попытокосмыслить факт неевклидовых геометрий.

В начале XIX в. в истолковании математики имеливлияние два направления: эмпиризм и априоризм.

Платон в свое времяразличал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа дляПлатона относятся к миру идей, в то время как геометрические объекты являютсяидеальными только наполовину, так как они связаны с чувственными образами ипоэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. Аналогичноеразличение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенноэто касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленныеобразования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, тогеометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями.Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука ореальном пространстве.

Противоположное,рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которомусуждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природенеевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту,понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, какдумали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, нопредставляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущегочеловеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания –пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренниепредставления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всегоэмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятияхчистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении кчистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения неэмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем онии не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики,поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической.Математика таким образом может быть определена как система синтетическихсуждений, выражающая структуру априорных форм чувственности.Как система выводов и доказательств математикадолжна быть полностью инткитивно ясной: по Канту, все математическиедоказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегдаочевидного синтеза»

В теоретическом планеаприориз представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этогорасхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях кматематике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин такжетребовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивнойясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтезгеометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличитьв практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдениятвердых тел или механических движений в пространстве.

Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двухдиаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с темопределенное единство в методологических требованиях: от математических истинтребовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности,непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода.

Возвращаясь к неевклидовымгеометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не быливелики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуютоткрытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании еепредмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – примеродного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовыхгеометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можноотнести только три события, а именно появления самой идеи математики какдедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциальногоисчисления.

1.4.Математика в XXв.

Факты, требующиеперестройки представления о сущности математики как науки, по своему характерумогут быть самыми разными. Такими фактами могут быть отдельные теоремы, новыематематические теории, новые явления в прикладной математике и т. д. Историяпоказывает, что на каждом конкретном этапе философия математики вращаетсявокруг какого-то определенного круга событий в математике, в какой-то мере,может быть, даже абсолютизируя его и преувеличивая его значимость. Дляфилософии математики XX в.таким математическим базисом являются основания математики, попытки математиковустранить противоречия из теории множеств, а в общем плане – найти средства,гарантирующие надежность математических рассуждений.

3. Философия и математика

Подобно тому как основнымвопросом философии является вопрос об отношении сознания к материи, стержневымвопросом философии математики является вопрос об отношении понятий математики кобъективной реальности, другими словами, вопрос о реальном содержанииматематического знания. От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот илииной ученый, зависит характер освещения им всех остальных методологическихпроблем математики, а также то, к какому философскому лагерю он примыкает.

Прежде чем перейти косвещению вопроса о месте математики в системе науки, необходимо предварительновыявить хотя бы в общих чертах объем, содержание и соотношение таких понятий,как философия, обычные науки, специальные науки, частные науки.

Под обычными науками мыпонимаем все науки, за исключением математики, которая является необычнойнаукой. Термин специальные науки обозначает все науки, вкючая математику, ноисключая, разумеется, философию. Частные же науки – это те науки, которыеизучают обхекты в рамках какой-либо одной формы движения материи (или дажечасти ее) – физика, химия, биология, и т. д. Стало быть, частные науки – этоспециальные науки за вычетом математики.

Таким образом, математику,как и философию можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считаесявсеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципеможет использоваться и практически используется во всех без исключения областяхзнания. Возникает вопрос – в чем же существенной различие между философией иматематикой, изчающими одну и ту же реальную действительность?

Самый общий ответ на него,заключается в том, что философия и математика используют разные способыописания объективной действительности и соответствующие им языки: в первомслучае мы имеем дело с естественным, а во втором случае – с искусственнымязыком, предполагающим формально-логический метод описания действительности.

Как известно, философияизучает все явления действительности под углом всеобщих закономерностей и дает,по существу, универсальный метод познания и преобразования природного исоциального окружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), икачественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболееобщих принципов, законов и категорий.

Иное дело математика. Еезадача состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либоматематичекого аппарата, то есть формально-логическим способом. Но на основанииэтого утверждения нельзя делать вывод о том, что математика в отличие отфилософии отображает лишь количественную сторону объектов предметного мира.Нельзя потому, что лишь в исходных понятиях математики воспроизводится чистовнешняя (количество в широком, философском смысле) сторона этих объектов.Развитая же математическая теория выражает не только внешнюю, чистоколичественную сторону предметов реального мира, но и в значительной степени ихвнутреннюю, качественную сторону.

Итак, раздел междуфилософией и математикой проходит не по линии категорий форма и содержание,качество и количество или каких-то иных категорий философии. Различие между этимидвумя способами описания действительности заключается в ином – в методе и языкеописания процессов внешного мира, в том, что математика в любом случаепредполагает формализацию в широком смысле слова, формальный способ описанияизучаемых явлений. Язык математики – это формализованный язык, со всеми егонедостатками и достоинствами.

Но если дело обстоит так,то математический метод должен быть охарактеризован как вспомогательный способтеоретического описания действительности. В общем и целом так оно и есть.Однако математика иногда вернее и глубже отображает реальность, чем этоделается в рамках обычных наук. Больше того, имеют место случаи, когдаэвристическая модель математики оказывается решающей в познании тех или иныхпроцессов, поскольку их изучение на вербальном уровне по некоторым причинамзатруднено, а иногда практически даже невозможно.

Итак, несмотря на одинакововсеобщий характер, философия и математика выполняют различную функцию впознании. При этом философия меньше отличается от частных наук, чем математика,последняя занимает особое положение, иначе «вплетена» в ткань науки, чемфилософия и любая другая наука.

Поподробнее обратимся кфункциям математики и философии.

Мировоззренческая функцияфилософии обусловлена тем, что она является основой научной картины мира, всоздание которой свой посильный вклад вносит, конечно, каждая специальнаянаука. Являясь итогом общественно-исторической практики и познания, философия вэтом смысле выступает в качестве фундамента всего здания науки. Кроме того,философия как система дисциплин обусловливает формирование у человеканеобходимых ценностных ориентаций, имеет огромное воспитательное значение,являясь не только наукой, но и особой формой общественного сознания –идеологией.

Философия является не толькоосновой мировоззрения, но и всеобщим методом познания. Отсюда методологическаяфункция философии. Подобно тому как в системе наук философия выполняетрольстрежня всего знания, она является и всеобщим методом познания ипреобразования действительности: системе наук и их субординации соответствует,таким образом, система и субординация методов.

Философия выполняет поотношению ко всем частным наукам также теоретико-познавательную функцию. Этоочевидно уже потому, что теория познания является одной из относительносамостоятельных дисциплин, в которой изучаются формы и методы научногопознания, структура и уровни его, критерий истины.

Наконец философия в целом,материалистическая диалектика в особенности, выполняет по отношению ко всемостальным наукам логическую функцию. Ни один специалист не может успешно вестиисследования, обобщать и объяснять полученные результаты, не используяфилософских понятий и представлений.

Таким образом, философскиепринципы имеют огромное методологическое значение, обладают большойэвристичекой силой, дают возможность более интенсивно развивать специальныенауки.

Говоря о предмете ифункциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимойстановится интегрирующая роль математики, поскольку она, как и философия, являетсявсеобщей научной дисциплиной. Сравнивая ее с философией, необходимо четкоопределить предмет математического знания. Дефиниция той или иной науки,конечно, не содержит исчерпывающей характеристики этой науки. Ф.Энгельсопределял математику как науку, занимающуюся изучением пространственных форм иколичественных отношений реальной действительности. Однако современные,наиболее развитые математические теории непосредственно имеют дело уже с такназываемыми абстрактными структурами, так что современная математика чаще всегоопределяется как наука о чистых, абстрактных структурах.

Отметим еще однуособенность математики. Обычно предмет науки отличают от ее обхекта. В случаематематики отличие объекта от предмета выглядит не так, как во всех иныхнауках, если иметь ввиду, что под предметом науки обычно понимают определеннуюсферу деятельности, совокупность, систему тех закономерностей, которыеизучаются ею. Математика, строго говоря, не изучает законов развития природнойили социальной среды, их изучают обычные науки. В самом деле, всеобщие законыокружающей нас действительности изучает философия, а частные – остальные(частные) науки. Математике же в этом отношении, что называется не повезло. Онане является частной наукой в обычном понимании этого слова; она есть особыйспособ теоретического описания действительности. В этом отношении она больше,чем обычная наука, ибо в принципе она может описывать любое явление окружающегонас мира и представляет собой целую совокупность дисциплин. (Философия – тоженечто большее, чем наука, но в ином смысле: она является и наукой, и особойформой общественного сознания, содержащей в себе элементы идеологическогохарактера).

Уяснение предметаматематики позволяет понять в общих чертах как она соотносится не только сфилософией, о чем говорилось выше, но и с частными науками, изучающимиотдельные фрагменты природного и социального окружения, равно как и идеальныхпо своей природе психических процессов.

Поскольку математикапредставляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципеможет и должна использоваться во всех отраслях науки.

Специфика математическогоподхода к изучению действительности во многом объясняет и особенность критерияистины в математике.

С критерием истины вчастных науках дело обстоит более или менее просто, особенно если не забыватьоб относительности практики как критерия истины. В математике же критерийистины выступает в весьма своеобразной форме; мы не можем доказать истинностьматематического предложения, основываясь лишь на практике, сколько бы мы неизмеряли углы треугольника, нам не удастся доказать, что сумма внутренних угловтреугольника равняется в точности 180 градусам.

И это объясняется нестолько ошибками измерения, которое не может быть идеальным, абсолютно точным,сколько аподиктическим характером математических понятий, формально-дедуктивным выводом предложений, теорем математики.Короче говоря, практика является исходным пунктом математических понятий, но вкачестве непосредственного критерия истины предложений математики она обычно невыступает. Только в конечном итоге практика определяет пригодность того илииного математического аппарата к описанию конкретных явлений действительности.

Своеобразие критерия истиныв математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критериявыступает в итоге теория арифметики натуральных чисел, истины которых являютсянезыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ковсем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой иметодологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должнысогласовываться все выдвигаемые гипотезы.

Необходимо заметить, чтоиспользование в качестве непосредственного критерия истины арифметикинатуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумядругими требованиями – точностью и непротиворечивостью. Удовлетворени этим двумкритериям – тоже необходимое условие истинности математических построений.

Итак математика –своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания,имеющая свой особый статус в системе наукю Предметом математического описанияможет стать любой процесс действительности, а объектями этой области знанияявляются пространственные формы и количественные отношения реальнойдействительности, в общем случае – абстрактные «математические» структуры.

Математика – своеобразныйспособ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свойособый статус в системе наук.

Математика является наукой,стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом смысле она похожа сфилософией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга ивзаимоиспользование ведет к развитию общества и все остальных, так называемыхспециальных наук. Подобно тому как философия развивалась, обретала новыенаправления и идей, так и математика становилась все более развитой и всеобщейнаукой.

1.

Е.А.Беляев, В.Я.Перминов «Философские и методологические проблемыматематики», МГУ, 1981, — 214 с.

2.

Сборник научных трудов«Гносеологический анализ математической науки», Киев Наукова думка, 1985, -130с.

3.

Е.Д.Гражданников«Экстраполяционная прогностика», Новосибирск, 1988, -142 с.

4.

Н.И.Жуков «Философские проблемыматематики», Минск, 1977, -95 с.

5.

А.Г.Спиркин «Основы философии»,Москва, 1988, 592 с

еще рефераты

Еще работы по математике