Реферат: Применение тройных и кратных интегралов
Министерствообщего и профессионального образования Р.Ф.
Иркутскийгосударственный технический университет.
Кафедравысшей математики.
Реферат.
Применение тройных или кратных
интегралов.
Выполнила: студентка
группы ТЭ-97-1
Мелкоступова С.С.
Проверил преподаватель
кафедры высшей математики
Седых Е.И.
Иркутск1998.
Содержание.
I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
II. Вычислениетройных интегралов.
1. Декартовы координаты.
А) Пример.
2. Цилиндрическиекоординаты.
3. Сферические координаты.
А) Пример.
4. Применение тройныхинтегралов.
I.Масса неоднородного тела.Тройной интеграл.
Рассмотрим тело, занимающеепространственную область <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> (рис. 1), ипредположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывнойфункцией координат точек тела:
<img src="/cache/referats/1739/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">
Единица измерения плотности- кг/м3.
<img src="/cache/referats/1739/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">
Рис. 1.
Разобьем тело произвольным образом на nчастей; объемы этих частей обозначим <img src="/cache/referats/1739/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> Выберем затем в каждойчасти по произвольной точке <img src="/cache/referats/1739/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> Полагая, что в, каждойчастичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке <img src="/cache/referats/1739/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> выражение для массы всего тела в виде суммы
<img src="/cache/referats/1739/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> (*)
Предел этой суммы при условии, что <img src="/cache/referats/1739/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> и каждое частичноетело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и дастмассу М тела
<img src="/cache/referats/1739/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">
Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а еепредел — тройным интегралом от функции <img src="/cache/referats/1739/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> по пространственнойобласти <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1035">
К вычислению тройного интеграла, помимо определениямассы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будемрассматривать тройной интеграл
<img src="/cache/referats/1739/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1036">
где<img src="/cache/referats/1739/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> — произвольнаянепрерывная в области <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1038">
Терминология для тройных интегралов совпадает ссоответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируетсяи теорема существования тройного интеграла .
Свойства двойных интегралов, полностью переносятсяна тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция <img src="/cache/referats/1739/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> тождественно равна 1,то тройной интеграл выражает объем Vобласти <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1040">
<img src="/cache/referats/1739/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1041">
Потому свойства Vи VI надо теперьсформулировать следующимобразом.
V1. Еслифункция <img src="/cache/referats/1739/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> во всех точках областиинтегрирования <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> удовлетворяет неравенствам
<img src="/cache/referats/1739/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1044">
то
<img src="/cache/referats/1739/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1045">
где V — объем области <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1046">
VI1.Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции внекоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
<img src="/cache/referats/1739/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
II. Вычислениетройных интегралов.
Вычисление тройногоинтеграла <img src="/cache/referats/1739/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> может бытьосуществлено посредствомряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующихправил.
1. Декартовы координаты.
Пусть дан тройной интеграл от функции <img src="/cache/referats/1739/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1049">
<img src="/cache/referats/1739/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1050">
причем область <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> отнесена к системедекартовых координат Oxyz, Разобьемобласть интегрирования и плоскостями, параллельнымикоординатным плоскостям.Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельнымиплоскостям Оху, Охz, Оуz.Элемент объема.будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования
<img src="/cache/referats/1739/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1052">
В соответствии с этим будем писать
<img src="/cache/referats/1739/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1053">
Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.
Будем считать, что область интегрирования <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> имеет вид, изображенный нарис. 1).
Опишем около и цилиндрическую поверхность собразующей, перпендикулярной к плоскости Оху.Она касается области <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> вдоль некоторой линии L, котораяделит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю.Уравнением нижней поверхности пусть будет <img src="/cache/referats/1739/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1056"><img src="/cache/referats/1739/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1057">.
Построенная цилиндрическая поверхность высекает изплоскости Оху плоскую областьD,котораяявляется ортогональной проекцией пространственной области <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> на плоскость Оху, при этом линия Lпроектируетсяв границу области <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1059">
Будем производить интегрирование сначала поНаправлению оси Оz.Для этого функция <img src="/cache/referats/1739/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> интегрируется позаключенному в <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> отрезку прямой,параллельной оси Оzи проходящей черезнекоторую точку Р(х, у) области D(нарис. 1 отрезок <img src="/cache/referats/1739/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> ). При данных х и упеременная интегрирования zбудет изменяться от <img src="/cache/referats/1739/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> -аппликаты точки «входа» (<img src="/cache/referats/1739/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> прямой в область <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1065">,до <img src="/cache/referats/1739/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> — аппликаты точки «выхода»(<img src="/cache/referats/1739/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> ) прямой из области <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1068">
Результат интегрирования представляет собойвеличину, зависящую от точки Р (х, у);обозначим ее через F(х,у):
<img src="/cache/referats/1739/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1069">
При интегрировании х и у рассматриваютсяздесь как постоянные.
Мы получим значение искомого тройного интеграла,если возьмем интеграл от функции F(х, у)при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е.если возьмем двойной интеграл
<img src="/cache/referats/1739/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1070">
Таким образом, тройной интеграл Iможетбыть представлен в виде
<img src="/cache/referats/1739/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1071">
Приводя, далее, двойной интеграл по области Dкповторному и интегрируя сначала по y,а затем по x,получим
<img src="/cache/referats/1739/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> (*)
где<img src="/cache/referats/1739/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1073">и <img src="/cache/referats/1739/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> — ординаты точек«входа» в область Dи«выхода» из нее прямой <img src="/cache/referats/1739/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> (в плоскости Оху), а aи b — абсциссы конечных точек интервалаоси Ох, на который проектируетсяобласть D.
Мы видим, что вычисление тройного интеграла пообласти <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> производится,посредством трех последовательных интегрировании.
Формула (*) сохраняется и для областей, имеющихцилиндрическую форму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью собразующими, параллельными оси Оz,аснизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно <img src="/cache/referats/1739/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1077"> и <img src="/cache/referats/1739/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> (рис. 2).
<img src="/cache/referats/1739/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1079">
Рис.2
Если областью интегрирования служит внутренностьпараллелепипеда с гранями,параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянныво всех трех.интегралах :
<img src="/cache/referats/1739/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1080">
В этом случае интегрированиеможно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этомсохраняться.
Если же в общем случае менять порядок интегрирования( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, азатем по области плоскости Oxz), то это приведёт кизменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределовинтегрирования по каждой переменной.
Рис.3 Рис.4
<img src="/cache/referats/1739/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1081">
А) Пример.
Вычислим тройной интеграл
<img src="/cache/referats/1739/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1082">
где <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1083">
<img src="/cache/referats/1739/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1084">
и плоскостью <img src="/cache/referats/1739/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> (пирамида,изображённая на рис.4).
Интегрирование по zсовершается от z=0 до <img src="/cache/referats/1739/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> Поэтому, обозначаяпроекцию области <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> на плоскость Oxy черезD,получим
<img src="/cache/referats/1739/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1088">
Расставим теперь пределы интегрирования по области D — треугольнику, уравнения сторон которого <img src="/cache/referats/1739/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1089">
<img src="/cache/referats/1739/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1090">
2. Цилиндрические координаты.
Отнесём область <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> к системецилиндрических координат <img src="/cache/referats/1739/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1092">Mв пространстве определяетсяполярными координатами <img src="/cache/referats/1739/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> ее проекции Р на плоскость Oxyи ее аппликатой (z).Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установимсвязь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно:
<img src="/cache/referats/1739/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> (*)
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/1739/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1095">
Рис.5
Разобьем область <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> начастичные области <img src="/cache/referats/1739/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1097"> тремя системами координатныхповерхностей: <img src="/cache/referats/1739/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1098"> которыми будутсоответственно круговые цилиндрические поверхности, осью которых является ось Оz,полуплоскости, проходящиечерез ось Оz,иплоскости, параллельные плоскости Оху.Частичными областями <img src="/cache/referats/1739/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1099"> служат прямыецилиндры MN(рис. 5). Так как объем цилиндра MNравенплощади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение
<img src="/cache/referats/1739/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1100">
Преобразование тройного интеграла <img src="/cache/referats/1739/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> к цилиндрическим координатам производится совершенноаналогично преобразованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в выраженииподынтегральной функции <img src="/cache/referats/1739/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> переменные x, y, z заменитьпо формулам (*) и взять элемент объёма равным <img src="/cache/referats/1739/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1103">
Получим
<img src="/cache/referats/1739/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1104">
Если, в частности, <img src="/cache/referats/1739/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> то интеграл выражаетобъём Vобласти <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1106">
<img src="/cache/referats/1739/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1107">
Вычисление тройного интеграла в цилиндрическихкоординатах приводится к интегрированиям по r, по <img src="/cache/referats/1739/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1108"> и по zнаосновании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В частности,если областью интегрирования служит внутренность цилиндра <img src="/cache/referats/1739/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> то пределы трехкратногоинтеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:
<img src="/cache/referats/1739/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1110">
3. Сферическиекоординаты.
Отнесём теперь область интегрирования <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1111"> к системе сферическихкоординат <img src="/cache/referats/1739/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1112">M впространстве определяется её расстоянием rот начала координат (длинарадиуса-вектора точки), углом <img src="/cache/referats/1739/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> междурадиусом-вектором точки и осью Ozи углом <img src="/cache/referats/1739/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1114"> между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy иосью Ox(рис. 6). При этом <img src="/cache/referats/1739/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> может изменятся то 0до<img src="/cache/referats/1739/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> а <img src="/cache/referats/1739/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1117"> — от 0 до <img src="/cache/referats/1739/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1118">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/1739/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1119">
Рис.6
Связь между сферическими и декартовыми координатамилегко устанавливается. Из рис.6 имеем
<img src="/cache/referats/1739/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1120">
Отсюда
<img src="/cache/referats/1739/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1121"> (**)
Разобьем область <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1122"> на частичные области <img src="/cache/referats/1739/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1123">,тремясистемами координатных поверхностей: <img src="/cache/referats/1739/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> которыми будут
<img src="/cache/referats/1739/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1125">
соответственно сферы с центром в началекоординат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz,иконусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной изполуосей Оz. Частичными областями <img src="/cache/referats/1739/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> служат «шестигранники»(рис. 7). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматриватьшестигранник MNкак прямоугольный параллелепипед с измерениями,равными: <img src="/cache/referats/1739/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1127"> по направлениюполярного радиуса, <img src="/cache/referats/1739/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> по направлению меридиана, <img src="/cache/referats/1739/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1129"> по направлению параллели.Для элемента объема мы получимтогда выражение
<img src="/cache/referats/1739/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1130">
Заменив в тройном интеграле <img src="/cache/referats/1739/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1131"> по формулам (**) и взявэлемент объема равнымполученному выражению, будемиметь
<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US"><img src="/cache/referats/1739/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1132">
Особенно удобно применение сферических координат вслучае, когда область интегрирование <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1133"> — шар с центром в начале координатили шаровое кольцо.Например, в последнем случае, если радиусвнутреннего шара <img src="/cache/referats/1739/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1134">,а внешнего <img src="/cache/referats/1739/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1135">
<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US"><img src="/cache/referats/1739/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1136">
Если <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1137"> — шар, то нужно положить <img src="/cache/referats/1739/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1138">
A) Пример.
Вычислимобъем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взятьравной 1, и мы получим
<img src="/cache/referats/1739/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1139">
Применение тройныхинтегралов.
Для вычисления координат центра тяжести тела нужныстатические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz;обозначим их соответственно <img src="/cache/referats/1739/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1140"> Повторяярассуждения получим следующие формулыдля координат <img src="/cache/referats/1739/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1141"> центра тяжестинеоднородного тела, плотность которого задается функцией <img src="/cache/referats/1739/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> занимающего область <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1143">
<img src="/cache/referats/1739/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1144">
Если телооднородно, т. е. <img src="/cache/referats/1739/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1145">
<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US"><img src="/cache/referats/1739/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1146">
где V — объём тела.
Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1147">:
<img src="/cache/referats/1739/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1148">
Две координаты центратяжести <img src="/cache/referats/1739/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> равны нулю, ибополушар симметричен относительно оси Оz(тело вращения с осью Оz).
Интеграл <img src="/cache/referats/1739/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1150"> удобно вычислить,перейдя к сферическимкоординатам:
<img src="/cache/referats/1739/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1151">
Так как объём полушара равен <img src="/cache/referats/1739/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1152"> то
<img src="/cache/referats/1739/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1153">
Перейдём к вычислению моментов инерции телаотносительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) доосей Ox, Oy, Ozсоответственно равны <img src="/cache/referats/1739/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> то полагая дляпростоты <img src="/cache/referats/1739/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1155"> получим следующиеформулы :
<img src="/cache/referats/1739/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1156">
Аналогично плоскому случаю интегралы
<img src="/cache/referats/1739/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1157">
называются центробежнымимоментами инерции.
Для полярного момента инерции формула имеет вид
<img src="/cache/referats/1739/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1158">
Если тело неоднородное, то вкаждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель <img src="/cache/referats/1739/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1159"> — плотность тела вточке P.
Пример. Вычислим полярный момент инерции однородногошара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическимкоординатам. Будем иметь
<img src="/cache/referats/1739/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1160">
где М—масса шара.
Так как для сферы моменты инерции относительно осейкоординат, очевидно, равны между собой,то, учитывая, что <img src="/cache/referats/1739/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1161"> получим
<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US"><img src="/cache/referats/1739/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1162">
Моменты инерции тела относительно оси играют важнуюроль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении околосоответствующей оси. Пусть тело <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1163"> вращается около оси Оzс постоянной угловойскоростью <img src="/cache/referats/1739/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1164"><img src="/cache/referats/1739/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> тела. Как известно,кинетическая энергия точки измеряется величиной <img src="/cache/referats/1739/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1166">т — масса точки, а <img src="/cache/referats/1739/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1167"> — величина ее скорости.Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергийотдельных точек, а кинетическая энергия тела — как сумма кинетическихэнергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применитьдля вычисления.кинетической энергии интеграл.
Возьмем какую-нибудь окрестность <img src="/cache/referats/1739/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1168"> точки Р(х, у, z)тела <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1169"><img src="/cache/referats/1739/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1170"> точки Р при вращении около оси Оzравна <img src="/cache/referats/1739/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1171"> и значит, кинетическая энергия части <img src="/cache/referats/1739/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1172"> тела <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1173"> выразится так :
<img src="/cache/referats/1739/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1174">
где <img src="/cache/referats/1739/image214.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> — плотность тела вточке Р. Для кинетической энергиивсего тела <img src="/cache/referats/1739/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1176"> получаем
<img src="/cache/referats/1739/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1177">
т.е.
<img src="/cache/referats/1739/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1178">
Кинетическая энергия тела, вращающегося околонекоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловойскорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.
Список использованнойлитературы.
1. А.Ф.Бермант, И.Г. Араманович.
Краткий курс математического анализа длявтузов: Учебное пособие для втузов: — М.: Наука, Главная редакцияфизико-математической литературы, 1971 г.,736с.