Реферат: Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

Министерствообщего и профессионального образования Р.Ф.

Иркутскийгосударственный технический университет.

Кафедравысшей математики.

Реферат.

Применениедвойных интегралов к задачам механики и геометрии.

Выполнила:студентка

группы ТЭ-97-1

Мелкоступова С.С.

Проверил преподаватель

кафедры высшей математики

Седых Е.И.

Иркутск1998.

Содержание.

1.Объёмцилиндрического тела.Двойной интеграл.

2. Вычисление двойныхинтегралов.

a) примеры.

3.Приложениядвойных интегралов к задачам механики.

а) массаплоской пластинки переменной плотности.

б)статические моменты и центр тяжести пластинки.

в) моментыинерции пластинки.

4.Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

а) Объём.

б)Вычисление площади плоской области.

5.Вычисление площади поверхности.

а) Примеры.

1.Объёмцилиндрического тела.Двойной интеграл.

Цилиндрическим теломназывается тело,ограниченное плоскостью Oxy,поверхностью,с которойлюбая прямая,параллельная осиOz,пересекается не более чем водной точке,и цилиндрической поверхностью,образующая которой параллельна оси Oz.

Область D,высекаемая в плоскости Oxyцилиндрической поверхностью,называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковаяцилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело,ограниченное плоскостью Oxyи верхней полусферой <img src="/cache/referats/1736/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">.

Рис. 1

Обычно тело можно составитьиз некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как суммуобъёмов цилиндрических тел,составляющих это тело.

Прежде всего напомним двапринципа,из которых мы исходим при определении объёма тела:

1)

если разбить тело на части,то егообъём будет равен сумме объёмов всех частей;

2)

объём прямого цилиндра, т.е.цилиндрического тела,ограниченного плоскостью,параллельной плоскости Oxy,равен площади основания,умноженной на высоту тела.

Пусть <img src="/cache/referats/1736/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">,ограничивающей цилиндрическоетело.Будем считать функцию <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">Dи сначала предположим,чтоповерхность целиком лежит над плоскостью Oxy,т.е.что<img src="/cache/referats/1736/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> всюду в области D.

Рис. 2

Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрическоготела — область D — на некотороечисло nобластей произвольной формы; будемназывать их частичными областями. Пронумеровав частичные области вкаком-нибудь порядке, обозначим их через <img src="/cache/referats/1736/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> а их площади — через <img src="/cache/referats/1736/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">Oz.Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность на nкусков, соответствующих nчастичным областям. Таким образом, цилиндрическое телоокажется разбитым наn частичныхцилиндрических тел (см.рис.2).Выберем в каждой частичной области <img src="/cache/referats/1736/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> произвольную точку <img src="/cache/referats/1736/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> и заменимсоответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем жеоснованием и высотой, равной <img src="/cache/referats/1736/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">.В результате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен <img src="/cache/referats/1736/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

Принимая объем V данного цилиндрического телаприближенно равным объему построенного n-ступенчатого тела, будемсчитать, что Vnтем точнее выражает V, чем больше nи чем меньше каждая изчастичных областей. Переходя к пределу при <img src="/cache/referats/1736/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">мыбудем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась кнулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если назвать диаметром области наибольшее расстояниемежду точками ее границы (Например, диаметр прямоугольника равен егодиагонали, диаметр эллипса—его большой оси. Для круга приведенное определениедиаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет означать, что каждый из диаметровчастичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будутстягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремитсяк нулю, то эта область может и не стягиваться в точку. Например, площадь прямоугольникас постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, апрямоугольник стягивается к своему основанию, т. е. к отрезку).

В соответствии со сказанныммы принимаем искомый объем V равнымпределу, к которому стремится Vn при стремлении к нулю наибольшегодиаметра частичных областей (при этом<img src="/cache/referats/1736/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

К отысканиюпредела подобных сумм для функций двух переменных приводят самые разнообразныезадачи, а не только задача об объеме.

Рассмотримэтот вопрос в общем виде. Пусть <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> — любая функциядвух переменных (не обязательно положительная), непрерывная в некоторойобласти D,ограниченной замкнутой линией. Разобьем область Dна частичные, как указано выше, выберем в каждойчастичной области по произвольной точке <img src="/cache/referats/1736/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> и составим сумму

<img src="/cache/referats/1736/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> (*)

где <img src="/cache/referats/1736/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> — значение функции в точке <img src="/cache/referats/1736/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1044"><img src="/cache/referats/1736/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> — площадь частичнойобласти.

Сумма (*) называется n-й интегральной суммойдля функции<img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1046">D,соответствующей данному разбиению этой области на nчастичных областей.

Определение.Двойным интегралом от функции <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> по области Dназывается предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) пристремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.

Записывается это так:

Читается:«двойной интеграл от <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> на <img src="/cache/referats/1736/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> по области D». Выражение <img src="/cache/referats/1736/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1051"><img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1052"><img src="/cache/referats/1736/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> — элементом площади,область D — областью интегрирования,наконец, переменные xи у называются переменнымиинтегрирования.

Такимобразом, можно сказать, что объем цилиндрического тела, ограниченногоплоскостью Oxy,поверхностью <img src="/cache/referats/1736/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> и цилиндрической поверхностью собразующей, параллельной оси Oz,выражается двойным интегралом от функции <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1055">, взятым пообласти, являющейся основанием цилиндрического тела:

<img src="/cache/referats/1736/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1056">.

Аналогичнотеореме существования обыкновенного интеграла имеет место следующая теорема.

Теоремасуществования двойного интеграла.

Если функция <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1057">D,ограниченной замкнутой линией,то её n-яинтегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшегодиаметра частичных областей.Этот предел, т.е.двойной интеграл <img src="/cache/referats/1736/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1058">,не зависитот способа разбиения области Dначастичные области<img src="/cache/referats/1736/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> и от выбора в нихточек Pi.

Двойнойинтеграл,разумеется,представляет собой число,зависящее только от подынтегральной функции и областиинтегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования,такчто,например,

Далее мыубедимся а том,что вычисление двойногоинтеграла может быть произведено посредством двух обыкновенных интегрирований.

2.Вычисление двойных интегралов.

Привычислении двойного интеграла <img src="/cache/referats/1736/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> элемент площади <img src="/cache/referats/1736/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> нам удобно представитьв ином виде. Будемразбивать область интегрирования Dв плоскостиOxyна частичные области посредствомдвух систем координатных линий: x=const,y=const.Этими линиями служат прямые,параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями — прямоугольники состоронами,параллельными осям координат.Ясно,что площадькаждой частичной области <img src="/cache/referats/1736/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> будет равна произведениюсоответствующих <img src="/cache/referats/1736/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> и <img src="/cache/referats/1736/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1065">.Поэтому элемент площади <img src="/cache/referats/1736/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> мы запишем в виде <img src="/cache/referats/1736/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> т.е.элементплощади в декартовых координатах является произведением дифференциаловнезависимых переменных.Мы имеем

<img src="/cache/referats/1736/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> (*)

Привычислении двойного интеграла (*) мы будем опираться на тот факт,что он выражает объём Vцилиндрического тела с основанием D,ограниченного поверхностью <img src="/cache/referats/1736/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1069">.Напомним,что мы уже занимались задачей об объёме тела,когда рассматривали применения определённого интегралак задачам геометрии и получили формулу

<img src="/cache/referats/1736/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> (**)

Рис.3

где S(х) — площадьпоперечногосечения тела плоскостью,перпендикулярной к оси абсцисс, а <img src="/cache/referats/1736/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> и <img src="/cache/referats/1736/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> — уравненияплоскостей,ограничивающих тело.Применим теперь этуформулу квычислениюдвойного интеграла

Предположим сначала, что областьинтегрирования Dудовлетворяет следующемуусловию: любаяпрямая, параллельная осиOx или Oy, пересекаетграницу области не более чем в двухточках. Соответствующее цилиндрическоетело изображено нарис.3

Область Dзаключимвнутрь прямоугольника

стороныкоторого касаются границы области в точках А, В, С, Е. Интервал [а, b] является ортогональной проекцией области Dна ось Ох, а интервал [c, d] -ортогональной проекцией области Dна ось Oy. На рис.5 областьDпоказана в плоскости Оху.

Точками Aи Cграницаразбивается на две линии: ABCи AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой,параллельной оси Oy, в однойточке. Поэтому, их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно y:

<img src="/cache/referats/1736/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> (ABC),

<img src="/cache/referats/1736/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1077"> (AEC).

Аналогичноточками В и Е граница разбивается на линии ВАЕи ВСЕ,уравнения которых можно записать так:

<img src="/cache/referats/1736/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> (BAE),

<img src="/cache/referats/1736/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> (BCE).

Рис.5

Рассечемрассматриваемое цилиндрическое телопроизвольнойплоскостью, параллельной плоскости Oyz,т.е. x=const, <img src="/cache/referats/1736/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> (рис). В сечениимы получим криволинейнуютрапецию PMNR,площадькоторой выражается интеграломот функции <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1082">, рассматриваемойкак функция одной переменной у,причем у изменяется от ординатыточки Pдо ординаты точки R. Точка Pесть точка входа прямой х =const(в плоскости Оху) в область D,а R -точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соответственно равны <img src="/cache/referats/1736/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> и <img src="/cache/referats/1736/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1084">.

Следовательно, интеграл

дает выражение для площадиплоского сечения PMNR. Ясно, чтовеличина этого интеграла зависит от выбранного значения х;другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сеченияявляется некоторой функцией от х, мыобозначим ее через S(х):

Согласноформуле (**) объем всего тела будет равен интегралу от S(x)в интервале изменения <img src="/cache/referats/1736/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1087">.( При выводе формулы (**) мы считали,что S(*) естьгеометрическая площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждениясправедливы, строго говоря, лишь для случая <img src="/cache/referats/1736/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> Основываясь на уточненном геометрическомсмысле двойного интеграла, нетрудно доказать, на чем мы не будемостанавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интегралабудет верна для любых функций.

Заменяя вэтой формуле S(x)еёвыражением,окончательно получим

или в болееудобной форме

<img src="/cache/referats/1736/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> (А)

Пределывнутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменнойинтегрирования у при постоянномзначении второго аргумента х. Пределывнешнего интеграла постоянны; они указывают границы, в которых может изменятьсяаргумент х.

Меняя роли хи у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями y=const <img src="/cache/referats/1736/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1091">, мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна <img src="/cache/referats/1736/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1092">,где у при интегрированиисчитаетсявеличиной постоянной. Интегрируязатем Q(у) в пределах изменения у, т. е.от cдо d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла

<img src="/cache/referats/1736/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> (Б)

Здесь интегрирование совершается сначала по х,а потом по у.

.Формулы (А)и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательномувычислению двух обыкновенных определенных интегралов; нужно только помнить,что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрированииза постоянную. Для краткости правые части формул (А) и (Б) называют повторными(или двукратными) интегралами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования- приведением двойного интеграла к повторному.

Формулыприведения двойного интеграла к повторному приобретают особенно простой вид,когда область Dявляется прямоугольником состоронами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае становятся постоянными пределы не только внешнего,но и внутреннего интегралов:

В другихслучаях для сведения двойного интеграла к повторному необходимо прежде всего построитьобласть интегрирования;лучше всего изобразить этуобласть прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис. Затем нужно установитьпорядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет производитьсявнутреннее интегрирование, а по какой — внешнее, ирасставить пределы интегрирования.

Поясним напримерах, какпроизводится расстановка пределов интегрирования.

а) Примеры.

1) Приведем к повторному двойной интеграл <img src="/cache/referats/1736/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1095">D — треугольник,

Рис.6. Рис. 7.

ограниченныйпрямыми y=0,y=xи х=а(рис.7). Если интегрировать сначала по у,а потом по х, то внутреннееинтегрирование производится от линии у=0до линии у=х, а внешнее — от точки х=0 до точки х=а.Поэтому

Меняя порядокинтегрирования, получим

2) Приведем к повторномуинтеграл <img src="/cache/referats/1736/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1099">D ограничена линиями у=0, у=х2и х+у=2.

Область D, а такжекоординаты крайних ее точек показаны на рис. 158. Вид области указывает на то,что удобнее интегрироватьсначала поx,а потом по y:

Если изменимпорядок интегрирования, то результат уже не удастся записать в виде одного повторногоинтеграла, так как линия OBAимеет наразных участках разные уравнения.

Рис.8

Разбиваяобласть D на две: OBC иCBA,получим

Этот примерпоказывает, как важно с самого начала продумать порядок интегрирования.

Формулы (А)и (Б) сведения двойного интеграла к повторному справедливы и для случая областейболее общего вида. Так, формула (А) применима к области, указанной на рис.9, аформула (Б) — к области, изображенной на рис.10. В случае области ещё болееобщего вида (Рис.11) двойной интеграл следует разбить на сумму интегралов поболее простым областям, а затем каждый из них сводить отдельно к повторному,пользуясь формулами (А) и (Б).

Рассмотримтеперь несколько примеров, связанных с вычислением двойных интегралов.

Примеры. 1)Найдём двойной интеграл от функции

попрямоугольной области D <img src="/cache/referats/1736/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1105">

ГеометрическиIвыражает объём четырёхугольнойпризмы

(рис.12),основанием которой служит прямоугольник D,усечённый плоскостью <img src="/cache/referats/1736/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1108">

Возьмёмповторный интеграл сначала по y, затем по x:

То же самоеполучим, интегрируя сначала по x, а затем поy:

2) Вычислимдвойной интеграл

по области D,ограниченной линиями y=x иy=x2. Область D

изображенана рис.13. Интегрируя сначала по y,а потом поx,

получаем

Правильностьрезультата можно проверить, изменив порядок интегрирования :

Вычислимобъём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями <img src="/cache/referats/1736/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> и плоскостью z=0 (рис.14, а).

Поверхность,ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y2.Областьинтегрирования Dполучается в результатепересечения параболы <img src="/cache/referats/1736/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1117"> с линией пересеченияцилиндра z=4-y2 и плоскости z=0,т.е. с прямой y=2(Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости Oyzвычисляем половину искомого объёма :

Следовательно,<img src="/cache/referats/1736/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> куб.ед.

4) Вычислимобъём Vтела, ограниченного поверхностью <img src="/cache/referats/1736/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1120">и плоскостью Oxy.

Заданноетело представляет собой сегмент эллиптического

параболоида,расположенный над плоскостью Оху(рис.15). Параболоид пересекается с плоскостью Оху по эллипсу

Следовательно, задача состоит в отыскании объема цилиндрического тела, имеющего своимоснованием внутренность указанного эллипса и ограниченного параболоидом<img src="/cache/referats/1736/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1123">

В силусимметрии тела относительно плоскостей Oxzи Oyz можно вычислить объем четвертой его части,заключенной в первом координатном угле. Этот объем равен двойному интегралу,распространенному по области, заданной условиями <img src="/cache/referats/1736/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1124">у, затем по х, получим

Подстановка <img src="/cache/referats/1736/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> даёт

откуда <img src="/cache/referats/1736/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1128">

3.Приложения двойных интегралов к задачам

механики.

а) Масса плоской пластинки переменной плотности.

Рассмотримтонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и занимающую область D.Толщину этой пластинки считаем настолько малой, чтоизменением плотности по толщине ее можно пренебречь.

Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называетсяпредел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягиваетсяк данной точке.

Определеннаятаким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения даннойточки, т. е. являться функцией ее координат:

Если быплотность была постоянной (<img src="/cache/referats/1736/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1131"><img src="/cache/referats/1736/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1132">S — площадьпластинки. Найдем теперь массу неоднородной пластинки, считая, что ее плотностьявляется заданной функцией <img src="/cache/referats/1736/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1133">. Для этогоразобьем область, занимаемую пластинкой, на частичные области <img src="/cache/referats/1736/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1134"> с площадями <img src="/cache/referats/1736/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> (рис. 16). Выбирая вкаждой частичной области произвольную точку <img src="/cache/referats/1736/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1136"><img src="/cache/referats/1736/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1137"> в выбранной точке.Составим приближенное выражение для массы пластинки в виде интегральной суммы

<img src="/cache/referats/1736/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> (*)

Для точноговыражения массы следует найти предел суммы (*) при условии <img src="/cache/referats/1736/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1139">

б)Статические моменты и центр тяжести пластинки.

Перейдёмтеперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительноосей координат. Для этого сосредоточим в точках <img src="/cache/referats/1736/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1141">

Переходя кпределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим

Находимкоординаты центра тяжести :

Еслипластинка однородна, т.е. <img src="/cache/referats/1736/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1146"> то формулы упрощаются:

<img src="/cache/referats/1736/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1147"> гдеS — площадь пластинки.

в) Моментыинерции пластинки.

Моментом инерции материальной точки Р с массой mотносительно какой-либо оси называется произведение массы на квадратрасстояния точки Р от этой оси.

Методсоставления выражений для моментов инерции пластинки относительно осейкоординат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статическихмоментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что <img src="/cache/referats/1736/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1148">

Отметим еще, что интеграл <img src="/cache/referats/1736/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1150"> называется центробежным моментоминерции; он обозначается <img src="/cache/referats/1736/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1151">

В механикечасто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массыточки на квадрат ее расстояния до данной точки — полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно началакоординат будет равен

4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойныхинтегралов.

а) Объём.

Как мы знаем, объем V тела, ограниченногоповерхностью <img src="/cache/referats/1736/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1153">, где <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1154"><img src="/cache/referats/1736/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1155"> и цилиндрическойповерхностью, направляющей для которой служит граница области D, аобразующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралуот функции <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1156"> по области D :

Пример 1.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).

Рис.17 Рис.18

Решение. <img src="/cache/referats/1736/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> D — заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0,у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем: <img src="/cache/referats/1736/image226.gif" v:shapes="_x0000_i1161">

Итак, <img src="/cache/referats/1736/image228.gif" v:shapes="_x0000_i1162"> куб. единиц.

Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью <img src="/cache/referats/1736/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1163"> а снизу—поверхностью <img src="/cache/referats/1736/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1164">Оху является область D, тообъем Vэтого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое изэтих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D,а верхним — поверхность <img src="/cache/referats/1736/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> второе тело имеетнижним основанием также область D,а верхним — поверхность<img src="/cache/referats/1736/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1166"> (рис.18).

Поэтомуобъём Vравен разности двух двойныхинтегралов :

или

<img src="/cache/referats/1736/image240.gif" v:shapes="_x0000_i1168"> (1)

Легко,далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда <img src="/cache/referats/1736/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> и <img src="/cache/referats/1736/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1170"> неотрицательны, но итогда, когда <img src="/cache/referats/1736/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1171"> и <img src="/cache/referats/1736/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1172">

Замечание 2. Если в области Dфункция <img src="/cache/referats/1736/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1174">D1где <img src="/cache/referats/1736/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> 2) область D2 ,где <img src="/cache/referats/1736/image250.gif" v:shapes="_x0000_i1176">D1и D2таковы, что двойныеинтегралы по этим областям существуют. Тогда интеграл по области D1 будет положителен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости Оху. Интеграл по D2будет отрицателен и по абсолютной величине равен объему тела, лежащегониже плоскости Оху, Следовательно, интегралпо Dбудет выражать разность соответствующих объемов.

б)Вычисление площади плоской области.

Если мы составим интегральную сумму дляфункции <img src="/cache/referats/1736/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1177"> по области D, тоэта сумма будет равна площади S,<

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Экстремумы функций многих переменных

20 Июня 2015

Реферат по математике

Применение тройных и кратных интегралов

29 Августа 2013

Реферат по математике

"Комплект" заданий по численным методам

29 Августа 2013

Реферат по математике

Структура сходящихся последовательностей

20 Июня 2015