Реферат: История открытия комплексных чисел

<img src="/cache/referats/727/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/727/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU">“Помимо и дажепротив воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляютсяна выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от ихупотребления, они получают более и более широкое распространение”

  Ф. Клейн.

Автор:  Соловьев Алексей12а.

<img src="/cache/referats/727/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

 

ревнегреческие математики считали “настоящими”только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечностимножества натуральных чисел.

 В III веке Архимед разработал систему обозначениявплоть до такого громадного как <img src="/cache/referats/727/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">           

 Следующимважным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два века до н.э. Отрицательные числа применяли в IIIвеке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия надними, а в VIIвеке эти числа уже подробно изучили индийскиеученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чиселможно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIIIвеке было установлено, что квадратный корень изположительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а изотрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа<img src="/cache/referats/727/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">, чтобы<img src="/cache/referats/727/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">.

 В XVIвеке в связи с изучением кубических уравненийоказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Вформуле для решения кубических уравнений вида <img src="/cache/referats/727/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> кубические иквадратные корни: <img src="/cache/referats/727/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">.<img src="/cache/referats/727/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

 Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет одиндействительный корень (<img src="/cache/referats/727/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> три действительных корня (<img src="/cache/referats/727/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубежеXVIIIи XIX вековдоказал, что буквенное уравнение пятой степени<img src="/cache/referats/727/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> нельзярешить алгебраически; точнее: нельзя выразитьего корень через буквенные величины a, b,c,d,eс помощью шестиалгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение встепень,  извлечение корня).

 В 1830году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которогобольше чем 4, нельзя решить алгебраически. Темне менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексныечисла) nкорней (среди которых могут быть и равные). Вэтом математики были убеждены еще в XVIIвеке(основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIIIи XIXвековупомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г.предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений <img src="/cache/referats/727/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">,не имеющая решений во множестве действительныхчисел, имеет решения вида<img src="/cache/referats/727/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">,<img src="/cache/referats/727/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039">,нужно только условиться действовать над такимивыражениями по правилам обычной алгебры и считать что <img src="/cache/referats/727/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал ихбесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чиселнельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменениекакой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраистаР. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операцийнад такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 годуфранцузский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиковXVIIIвека — Л. Эйлер предложил использовать первуюбукву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа <img src="/cache/referats/727/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> (мнимой единицы). Этотсимвол вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU"> 

Термин “комплексныечисла”  так же был введен Гауссом в1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупностьпонятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

 В течениеXVIIвека продолжалось обсуждение арифметической природымнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. 

 Постепенно развивалась техника операций надмнимыми числами. На рубеже XVIIи XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любыхкомплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.Муавра (1707):<img src="/cache/referats/727/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042"><img src="/cache/referats/727/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1043">.С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов исинусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: <img src="/cache/referats/727/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1044">  которая связывалавоедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлераможно было возводить число e в любую комплекснуюстепень. Любопытно, например, что<img src="/cache/referats/727/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1045">. Можнонаходить sin и cosот комплексныхчисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функцийкомплексного переменного.

 В конце XVIIIвека французский математик Ж. Лагранж смогсказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощьюмнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например,  в теории колебаний материальной точки всопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применялкомплексные числа для решения интегралов.

 Хотя втечение XVIIIвека с помощью комплексных чисел были решены многиевопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логическогообоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал,что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающеехарактер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

 “Никтоведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях смнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формыиероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

 В конце XVIIIвека, в начале XIXвека было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. ДатчанинК. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от другапредложили изобразить комплексное число <img src="/cache/referats/727/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> точкой <img src="/cache/referats/727/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображатьчисло не самой точкой M, а вектором<img src="/cache/referats/727/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1048">, идущим вэту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитаниекомплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор <img src="/cache/referats/727/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> можно задавать не только его координатами a и b, но так же  длиной r и углом j,  который он образует с положительнымнаправлением оси абсцисс. При этом<img src="/cache/referats/727/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1050">,<img src="/cache/referats/727/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> и число z принимает вид<img src="/cache/referats/727/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1052">, которыйназывается тригонометрической формой комплексного числа. Число rназывают модулем комплексного числа z и обозначают <img src="/cache/referats/727/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1053"><img src="/cache/referats/727/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если <img src="/cache/referats/727/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1055">ArgZ не определено, апри<img src="/cache/referats/727/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> оно определено с точностью до кратного<img src="/cache/referats/727/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1057">z в виде<img src="/cache/referats/727/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> (показательная форма комплексного числа).

 Геометрическое истолкование комплексных чиселпозволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексногопеременного, расширило область их применения.

 Сталоясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело свеличинами, которые изображаются векторами <img src="/cache/referats/727/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

 Послесоздания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании“гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такуюсистему вида <img src="/cache/referats/727/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1060"><img src="/cache/referats/727/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1061">  (переместительности):например, <img src="/cache/referats/727/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1062"><img src="/cache/referats/727/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

 Большой вклад в развитие теории функцийкомплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвилизанимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — каэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемамквантовой теории поля.

Список используемой литературы:

“Энциклопедический словарь юного математика”

“Школьный словарь иностранных слов”

“Справочник по элементарной математике” М. Я Выгодский