Реферат: Курс лекций по математике (1 семестр)

Линейная алгебра

Основные определения

Определение.Матрицей  размера m´n, где m — число строк, n — число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i — номер строки, а j — номер столбца.

А = /> 

Сложение и вычитаниематриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение.Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij= aij±bij 

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

/> 

a(А+В) =aА ±aВ

А(a±b) = aА ±bА

Пример.Даны матрицы А = />; B= />, найти 2А + В.

2А = />,                                 2А + В = />.

Операция умножения матриц

Определение:Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B= C;

/>.

          Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичнаяматрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

          Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O= O;  O×A= O,

где О – нулевая матрица.

          2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

          3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения  А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

(А + В)С = АС + ВС.

          4) Если произведение АВ определено, то для любого числа aверно соотношение:

a(AB) = (aA)B= A(aB).

          5) Если определено произведение АВ, то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

          6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

          Пример. Найти произведение матриц А = /> и В = />.

АВ = />×/> = />.

ВА = />×/> = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

          Пример. Найти произведение матриц А=/>, В = />

АВ = />×/>= />= />.

Определители (детерминанты)

          Определение.Определителем квадратной матрицы А=/> называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы  по формуле:

detA= />,     где

М1к– детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k– го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формулапозволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det  A= /> 

          Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA= />,     i= 1,2,…,n.

          Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

          Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором  элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

          Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

          Пример. Вычислить определитель матрицы А = />

/>

= -5 + 18 + 6 = 19.

          Пример:. Даны матрицы А = />, В = />.  Найтиdet (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;      det B = 15 – 2 = 13;          

det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ:  AB= />,      

det(AB) = 7×18 — 8×19 = 126 – 152  = -26.

Миноры

          Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено sстрок и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

          Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

          Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения

          Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

          В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

          Теорема Лапласа. Если выбрано sстрок матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

          Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

          Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

          Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ/>, i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0,                      i ¹j,

eij = 1,                       i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

/>,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

          Пример. Дана матрица А = />, найти А-1.

/>

/>              /> 

Таким образом, А-1=/>.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

/>,

где Мji — дополнительный минорэлемента аji матрицы А.

          Пример. Дана матрица А = />, найти А-1.

det A = 4 — 6 = -2.

M11=4;       M12= 3;        M21= 2;        M22=1

   x11= -2;      x12= 1;       x21= 3/2;      x22= -1/2

Таким образом, А-1=/>.

Пример.  Дана матрица А = />, найти А3.

А2 = АА = />/> = />;            A3= />/>= />.

          Отметим, что матрицы /> и /> являются перестановочными.

          Пример.    Вычислить определитель />.

/> = -1/>

/> = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

/> = />= 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

/>= /> = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Базисный минор матрицы

Ранг матрицы

Определение.  В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

          В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

          Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

          Пример.   Определить ранг матрицы.

/>~/>~/>,       />  RgA= 2.

            Пример: Определить ранг матрицы.

/>~/>~/>~/>,   /> Rg= 2.

Пример.Определить ранг матрицы.

/>~/>, />ÞRg= 2.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

          Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

          Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

          Метод основан на применении свойств умножения матриц.

          Пусть дана система уравнений: 

/>

Составим матрицы:   A= />;             B= />;           X= />.

Систему уравнений можно записать:

A×X= B.

Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X= A-1×B,

т.к.   А-1×А = Е, то  Е×Х = А-1×В

Х = А-1×В

          Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

          Пример.Решить систему уравнений:

/> 

Х = <img src=«new.referat.ru/bank-znanii/adm/script