Реферат: Теорема Стюарта
МОУ Яркульская СОШ
Проектная работа по математике
/>
<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Monotype Corsiva“; color: #4e003f;»>
<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Monotype Corsiva“; color: #4e003f;»>
<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Monotype Corsiva“; color: #4e003f;»>Выполнила:
Сосунова Татьяна, 10 классРуководитель:Галошина В. И.
<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Monotype Corsiva“; color: #4e003f;»>2010 год
Содержание:
1
Введение
стр. 3
2
Основная часть
1)<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»> Теорема Стюарта
2)Вычисление медиан треугольника
3)<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»> Вычисление биссектрис треугольника
4)Решение задач
стр.4-5
стр.6
стр.7
стр. 8-9
3
Выводы
стр. 10
4
Список использованной литературы
стр. 11
<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #2b70ff;»>
<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #2b70ff;»>
<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #2b70ff;»>Введение:
<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #a3a3a3;»>У меня есть некоторые проблемы в умении доказывать теоремы и выводить формулы. Поэтому я с удовольствием приняла предложение моего учителя по математике изучить теорему Стюарта. Во всех источниках была дана только формулировка теоремы и формула, а так же в справочниках есть формулы для вычисления медианы и биссектрисы треугольника. Доказывать и выводить формулы мне пришлось самостоятельно. Теорема Стюарта<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»> названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г. Теорема Стюарта применяется для нахождения медиан и биссектрис треугольников.
Цели:
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: black;»>1.
Расширить круг изучаемых в школе теорем<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: black;»>2.
Научиться применять теорему для решения задачЗадачи:
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: black;»>1.
Изучить и доказать теорему Стюарта<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: black;»>2.
Получить формулы для вычисления длин медиан и биссектрис треугольника<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: black;»>3.
Рассмотреть применение теоремы Стюарта для решения задач на нахождение длин замечательных линий треугольника
<span style=«font-size: 24pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: red;»>
<span style=«font-size: 24pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: red;»>Теорема Стюарта
<span style=«font-size: 24pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: red;»>Произведение квадрата расстояния от точки, лежащей на стороне треугольника, до противоположной вершины на длину этой стороны равно сумме квадратов оставшихся сторон на несмежные с ними отрезки первой стороны без произведения этих отрезков на длину основания.
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: red;» lang=«EN-US»>AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD*CD
Дано:
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: red;» lang=«EN-US»>
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>ABC<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>D
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>ЄBCДоказать<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;» lang=«EN-US»>:
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>AD2*BC = AB2*CD + +AC2*BD – BC*BD*CD
Доказательство:
/>/>/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;»>
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>A<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>c
b
ac
ab
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;»>
a
D
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>
B <span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>C<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>
Для доказательства используем теорему косинусов:
a2<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>=
b2<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>+c2 – 2<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>bc<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»> <span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>cosA(Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними)2bccosA=b2+c2 — a2
cosA=/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;» lang=«EN-US»>1.
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;»>Рассмотрим ABC:<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>cosB=
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;» lang=«EN-US»>2.
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;»>Рассмотрим BAD:<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>cosB=
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»> <span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>=
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: red;»>
Обе части умножим на 2AB:
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>/>
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>=/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>По свойству пропорций:
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>AB
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>2*<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>BD<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>+BC2<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>*BD-<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>AC<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>2*BD= <span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>AB<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>2*<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>BC<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>+BD2<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>*BC-<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>AD<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>2*<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>BC<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>AD2<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>*
BC= -<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>AB<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>2*<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>BD<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>-BC2<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>*BD+<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>AC<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>2*<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>BD<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>+AB2<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>*BC+<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>BD<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>2*<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>BC<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>AD2*BC= AB2 (BC-BD)-BC*BD(BC-BD)+AC2*BD
AD2*BC= AB2*DC-BC*BD*DC+AC2*BD, <span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>то
есть<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD*CD
Теорема доказана.
Применение теоремы Стюарта для нахождения длин замечательных линий треугольника<span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>
Вычисление медианы треугольника:
Дано:
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>ABC
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>a, <span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>b
, c<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>- стороны треугольникаac,<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>ab
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»> -части ama — медиана к стороне a
Найти:
ma
A
Решение:
c
b
/>
ma
/>/><span style=«font-size: 20pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;»>
a
ac
/>
ab
C
D
B
ma2<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«DE»>a
<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>=c2<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«DE»>ab<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>+b2<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«DE»>ac<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>-acabama=<span style=«font-family: „Book Antiqua“;»>/>
<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>ma=<span style=«font-family: „Book Antiqua“;»>/>
<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>ma=<span style=«font-family: „Book Antiqua“;»>/>
<span style=«font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>=<span style=«font-family: „Book Antiqua“;»>/><span style=«font-size: 20pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>Вычисление биссектрис треугольника:
Дано:
/><span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>ABC
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>a, <span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>b
, c<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;»>- стороны треугольникаac,<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»>ab
<span style=«font-size: 14pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“;» lang=«EN-US»> -части ala — биссектриса к стороне a
Найти:
la
А
/>/>/><span style=«font-size: 18pt; line-height: 115%; font-family: „Book Antiqua“; color: #7030a0;»>Решение:
/>
b
/>
la
C
a
ab
aс
B
c
<