Реферат: Критерий омега-квадрат фон-Мизеса

Министерство образования и науки Украины

Запорожский национальный университет

Индивидуальная работа по математической статистике

Тема: «Критерий w2фон Мизеса»

Выполнил:                                                   студент гр. 8216-2  Безбородов Вячеслав

Проверила:                                                                       Лысенко Елена Анатольевна

Запорожье

2009

Порядок проверки простой гипотезы о согласии

Простая проверяемая гипотеза имеет вид H0: F(x)=F(x,q), где F(x,q) – функция распределения вероятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой выборки, а q– известное значение параметра (скалярного или векторного). В случае простых гипотез предельные распределения статистик критерия согласия w2не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x,q) и, в частности, от его параметров. Говорят, что эти критерии являются “свободными от распределения”. Это достоинство предопределяет широкое использование данных критериев в приложениях.

            При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X:

1.<span style=«font: 7pt „Times New Roman“;»>             

2.<span style=«font: 7pt „Times New Roman“;»>             

x1£x2 £… £xn.

3.<span style=«font: 7pt „Times New Roman“;»>             

4.              В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение

/>

где G(S|H) – распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H0. Если P{S>S*}>a, где a– задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H0отвергается.

Можно вычисленное значение статистики S* сравнить с критическим значением Sa, определяемым из условия

/>

Гипотеза о согласии отвергается, если значение статистики попадает в критическую область, т. е. при S*> Sa.

Нулевая гипотеза

         В критериях типа w2 расстояние между гипотетическим и истинным рас­пределениями рассматривают в квадратичной метрике.

         Проверяемая гипотеза Hимеет вид

/>                          

при альтернативной гипотезе

/>,                         

где E[.]  - оператор математического ожидания,  y(t)  — заданная на отрезке 0£t£1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, что y(t), ty(t), t2y(t) интегрируемы на отрезке 0£t£1.Статистику крите­рия  выражают соотношением

/>

/>,       

где

/>,    />.

Статистика Крамера-Мизеса-Смирнова

 При выборе y(t)º1 для критерия w2 Мизеса получают статистику вида (статистику Крамера-Мизеса-Смирнова)

/>,                       

котораяпри простой гипотезе в пределе подчиняется закону с функцией рас­пределения a1(S), имеющей вид

/>

/>,                           

Алгоритм

1.       Значение статистики Крамера-Мизеса-Смирнова S* вычисляется по формуле

/>.

2.       Значение вероятности P{S>S*}=1-a1(S*) вычисляется по функции распределения a1(S)

/>

/>,

или берется из таблицы 1 приложения.

3.       Критические значения критерия Saпри заданном aмогут быть взяты из таблицы 2.

4.       Гипотеза H0не отвергается, если для вычисленного по выборке значения статистики S*

P{S>S*}=1-a1(S*)>a.

Пример 1.

Гипотеза Н0: рост детей в 5 классе одинаковый и находится в согласии с теоретическим распределении.

1.    Дано распределение детей по росту: 133, 125, 120, 145, 151,  114, 140, 150, 139 (в сантиметрах).

Рост, см

F(x;Θ)

S*

114

0,09375

1,596169

120

0,098684

125

0,102796

133

0,109375

139

0,114309

139

0,114309

145

0,119243

150

0,123355

151

0,124178

2.    a1(S*)≈0,999 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,05 в таблице 2 находим a1(S)=0,4614.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a

P{S<1,59}=1-0,999>a => 0,01<0,5.

ГипотезуНо опровергаем, выборка не находится в согласии с теоретическим распределением.

Пример 2.

Гипотеза Н0: Количество рыбы в сезон на Аляске, за последние 5 лет, теоретически согласовано.

1.    Имеются данные о количестве рыбы (в млн кг), обрабатываемой в рыбный сезон на заводе «SewardFisheries» на Аляске:

1,5; 0,8; 1; 0,6; 1,2.

Вес, млн кг

F(x;Θ)

Сумма

S*

0,6

0,117647

0,000311

0,71288

0,8

0,156863

0,020488

1

0,196078

0,092368

1,2

0,235294

0,215952

1,5

0,294118

0,367093

2.    a1(S*)=0, 99036 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,01 a1(S)=0,7434.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a

P{S<0,71288}=1-0, 99036 <a => 0,00964<0,01.

ГипотезуНо опровергаем, количество рыбы на Аляске теоретически не согласовано.

Пример 3.

Гипотеза Н0: Средний балл студента Иванова И.И.  за последние 5 сессий согласован с теоретическим распределением.

1.    Средние баллы за каждую из 5 последних сессий такие:

4; 4,2; 4; 4,3; 4.

Оценка

F(x;Θ)

Сумма

S*

4

0,195122

0,012497

0,594398

4,2

0,204878

0,002036

4

0,195122

0,049082

4,3

0,209756

0,13956

4

0,195122

0,30789

2.    a1(S*)=0, 98314 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,1, пользуясь таблицей 2, находим a1(S)=0,3473.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a

P{S<0,594398}=1-0, 98314 <a => 0,01686<0,1.

ГипотезуНо, оценки студента теоретически не согласованы.

Таблица1

Функция распределения статистики w2 Мизесаa1(S) при проверке простой гипотезы

S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,00000

00001

00300

02568

06685

12372

18602

24844

30815

36386

0,1

0,41513

46196

50457

54329

57846

61042

63951